Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices corrigés sur les Développements limités en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Exercices corrigés : Développement asymptotique
Plan des exercices sur le développement asymptotique :
1. Déduction d’une somme d’un calcul de DL
2. Démonstration d’une équivalence
3. Développement asymptotique d’une suite
4. Développement asymptotique d’une suite implicite, exemple 1
5. Développement asymptotique d’une suite implicite, exemple 2
6. Sur le DL de la fonction th
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1. Déduction d’une somme
Si et sont deux entiers naturels, on note . Calculer en distinguant les cas , et et .
Indication : dériver la fonction .
Correction :
En utilisant le binôme de Newton :
puis en dérivant fois :
et en prenant la valeur en :
.
On calcule ensuite le DL de à l’ordre
Pas de panique, il doit y avoir une astuce
grâce à la multiplication par , le calcul du DL de à l’ordre 2 suffit à donner le DL de à l’ordre
donc
Grâce à a formule de Taylor Young, on obtient par unicité du DL
si soit
soit .
soit
Question 2
Écrire un développement asymptotique en de
Question 1
Soit . Montrer que définit une bijection de sur .
Trouver un équivalent simple de en .
Correction : est continue sur , si , donc est strictement décroissante sur .
et
définit une bijection de sur .
.
Question 2
Soit une suite de réels telle que .
Montrer que .
Correction : La suite est une suite de réels strictement positifs à partir d’un certain rang car elle est équivalente à une suite à valeurs strictement positives.
alors admet pour limite car la suite converge vers 0 et en utilisant la continuité de
ce qui donne
donc .
Question 3
Soit une suite de réels. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1)
2)
Correction : On suppose que , alors donc
donne
et comme
on a prouvé que
On suppose que
soit
par continuité de la fonction :
donc
et par division par
soit .
en utilisant la question 2 ,
ou
puis par continuité de la fonction racine carrée et la positivité de ,
.
On a établi l’équivalence des propriétés 1) et 2).
Exercice 3
On note .
Question 1
admet une fonction réciproque définie sur . Vrai ou Faux ?
Correction : est continue sur , strictement croissante car .
,
définit une bijection de sur .
Elle admet une fonction réciproque strictement croissante et définie sur .
3. Développement asymptotique d’une suite
On note si
Question 1
La suite converge vers
Correction :
avec
est la somme de termes positifs et inférieurs à
donc
et ,
ce qui donne .
Question 2
Correction :
avec
il suffit d’utiliser la question 1 avec :
.
Question 3
Écrire un développement asymptotique en de .
Correction : On rappelle que
et
👍 On utilise le résultat de la question 2 avec .
⚠️ à passer de l’expression en à une expression en !
On transforme l’expression en et un expression en fonction de .
donc
donc
alors
donc
On réitère le raisonnement :
donc
donc
en conclusion
puis
👍 On pourrait bien sûr pour suivre pour un développement asymptotique d’ordre plus élevé !
C’est une méthode classique.
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POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION
4. Développement asymptotique d’une suite implicite, exemple 1
Question 1
Montrer que pour tout , l’équation admet une unique solution réelle .
Trouver .
Correction : Soit est une fonction continue strictement croissante sur admettant pour limite en et pour limite en .
Donc définit une bijection de sur .
L’équation admet donc une unique solution .
Comme ,
alors .
Question 2
Correction : .
On commence par déterminer . La relation de définition donne
avec
donc
et alors .
On écrit la relation sous la forme :
comme
.
Alors
On a prouvé que :
Question 3
Trouver tel que
Correction : On avait trouvé
donc
avec
En utilisant ,
et par l’équivalent de la question précédente :
ce qui s’écrit
.
5. Développement asymptotique d’une suite implicite, exercice 2
Question 1
Soit , montrer que l’équation admet une unique solution dans .
Déterminer la limite de la suite
Correction : est continue sur , strictement croissante car sur , vérifie et .
Par le théorème de la bijection, il existe un unique tel que .
Comme , par minoration, .
Puis en divisant par ,
.
Par encadrement ce qui se traduit par .
Question 2
Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.
Correction : On écrit la relation sous la forme
puis
avec , ce qui permet de simplifier :
donc
car .
Question 3
Trouver un développement asymptotique de en de .
Correction : .
On peut écrire puisque ,
.
On note .
.
En utilisant ,
ce qui permet d’écrire que
.
On réitère le raisonnement en écrivant
donc
avec
de limite nulle.
Puis comme ,
et .
6. Sur le DL de la fonction th
On rappelle que .
Question 1
Justifier que l’on peut écrire
Correction : La fonction th est de classe sur et impaire, elle admet donc un DL à tout ordre en ne contenant que des puissances impaires.
Question 2
En utilisant , exprimer si , en fonction des et de factorielles.
Correction : On note
avec
Et on rappelle que
Par produit de deux DL à l’ordre dont l’un ne continent que des puissances paires et l’autre des puissances impaires, on obtient un DL ne contenant que des puissances impaires :
avec
donc
puis en posant ,
et par unicité du DL,
donc
ce qui donne
Question 3
En utilisant une équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par th, trouver une autre expression de en fonction des .
Correction :
Pour tout réel , si l’on note .
On rappelle que
Comme la fonction est de classe , on obtient le DL de à l’ordre en dérivant le DL de écrit à l’ordre
Puis on écrit le D de à l’ordre en faisant le produit de deux DL écrits à l’ordre , le résultat ne contient que des puissances paires :
avec si ,
En égalant si les coefficients de dans l’écriture des DL de la relation , on obtient
donc .
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