Chapitres de maths en Terminale S2

Exercices et corrigés gratuits en terminale S2 sur les suites

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale S2

Beaucoup d’exercices sont classiques et permettent de progresser sur les suites numériques en terminale S2. Retrouvez ci-dessous quelques exercices corrigés qui vous seront utiles dans votre préparation du bac S2.

1. Récurrence et suites

Exercice 1 :

On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

$\left \{ \begin{array}{c @{=} c} u_{0} = 1 \\ u_{n+1} = \displaystyle{\frac{u_{n}}{\sqrt{u_{n}^{2}+1}}} \\ \end{array} \right.$

Montrez que pour tout n,

$u_{n} = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}$

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Corrigé de l’exercice 1 :

$u_{1}=\dfrac{u_{0}}{\sqrt{u_{0}^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$u_{2}=\dfrac{u_{1}}{\sqrt{u_{1}^{2}+1}}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\dfrac{1}{2}+1}}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$u_{3}=\dfrac{u_{2}}{\sqrt{u_{2}^{2}+1}}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}$

$u_{4}=\dfrac{u_{3}}{\sqrt{u_{3}^{2}+1}}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{4}}\right)^{2}+1}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

On peut donc conjecturer que $\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ .

Posons la propriété suivante : $P(n)$ : $"u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}"$ .

Initialisation

$u_{0}=1$ et $\dfrac{1}{\sqrt{0+1}}=1$ donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité

soit $n \in \mathbb{N}$ , supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.

$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{\sqrt{u_{n}^{2}+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\dfrac{1}{n+1}+1}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \times \dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}}$

Ainsi $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion

$\forall n \in \mathbb{N}\text{, }P(n)$ est vraie, c’est-à-dire :

$\forall n \in \mathbb{N}\text{, }u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

2 – Etude de deux suites

Question 1 :

Soient les suites: $(U_n)$ définie par $U_0=4$ et pour tout entier naturel $n$ : $U_{n+1}=-\displaystyle\frac{3}{2}U_n+\displaystyle\frac{5}{2}n+1$

et $(V_n)$ par $V_n=U_n-n$

Calculer $U_1 =$

Question 2 :

$(U_n)$ est:

a. arithmétique et géométrique

b. arithmétique non géométrique

c. géométrique non arithmétique

d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte.

Question 3

( $V_n$ ) est:

a. arithmétique et géométrique

b. arithmétique non géométrique

c. géométrique non arithmétique

d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte.

Question 4 :

Quel que soit $n$ : $U_n=$

a. $4\times(1,5)^n-n$

b. $4\times(1,5)^n$

$4\times(1,5)^n+n$

d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte.

Question 5 :

La suite $(U_n)$ :

a. converge

b. diverge vers $-\infty$

c. diverge vers $+\infty$

d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte.

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Corrigé de la question 1 :

On a $U_0=4$ donc

$\begin{array}{rcl}U_1&=&-\displaystyle\frac{3}{2}\times 4+\displaystyle\frac{5}{2}\times 0+1\\ & &\\&=&-6+1=-5\end{array}$

Corrigé de la question 2 :

On a $U_{n+1}-U_n=-\displaystyle\frac{3}{2}U_n+\displaystyle\frac{5}{2}n+1-U_n$

= $-\displaystyle\frac{5}{2}U_n+\displaystyle\frac{5}{2}n+1$ n’est pas une constante

Donc (Un) n’est pas arithmétique.

On a

$\displaystyle\frac{U_{n+1}}{U_n}=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{3}{2}U_n+\displaystyle\frac{5}{2}n+1}{U_n}$

= $-\displaystyle\frac{3}{2}+\displaystyle\frac{5n}{2U_n}+\displaystyle\frac{1}{U_n}$ n’est pas une constante.

Donc $(U_n)$ n’est pas géométrique.

Donc $(U_n)$ n’est pas arithmétique, ni géométrique!

Corrigé de la question 3 :

On a

$V_{n+1}=U_{n+1}-(n+1)$

= $-\displaystyle\frac{3}{2}U_n+\displaystyle\frac{5}{2}n+1-n-1$

= $-\displaystyle\frac{3}{2}U_n+\displaystyle\frac{3}{2}n$

Donc $V_{n+1}=-\displaystyle\frac{3}{2}(U_n-n)=-\displaystyle\frac{3}{2}V_n$

Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $\left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

Donc $V_{n+1}-V_n=-\displaystyle\frac{3}{2}V_n-V_n=-\displaystyle\frac{5}{2}V_n$ n’est pas une constante

Donc $(V_n)$ n’est pas arithmétique

Donc $(V_n)$ est géométrique non arithmétique

Corrigé de la question 4 :

$(V_n)$ est géométrique de raison $\left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)$ donc pour tout entier naturel $n$ , $V_n=V_0 \times \left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^n$ .

Or $V_0=U_0-0=4-0=4$

Donc $V_n=4 \times \left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^n=4\times (1,5)^n$ .

Or $V_n=U_n-n$ donc $U_n=V_n+n$

Donc pour tout entier naturel $n$ , $U_n=4\times(-1,5)^n+n$

Corrigé de la question 5 :

On sait que $(V_n)$ est géométrique de raison $(-\displaystyle\frac{3}{2})$

Donc $(V_n)$ n’est ni convergente, ni divergente vers $+\infty$ ou $-\infty$

Or $U_n = V_n + n$ , donc $(U_n)$ n’est ni convergente, ni divergente vers $+\infty$ ou $-\infty$

3 – Limites de suites numériques

Exercice 1 :

Calculer la limite quand $n \rightarrow +\infty$ de la suite suivante $u_{n}=\displaystyle{\frac{3}{n}+\frac{n}{3}}$

Exercice 2 :

Calculer la limite quand $n \rightarrow +\infty$ de la suite suivante $u_{n}=\displaystyle{\frac{1}{n\sqrt{n}}}$ est

Exercice 3 :

Calculer la limite quand $n \rightarrow +\infty$ de la suite suivante $u_{n}=\displaystyle{\frac{3^{n}}{2^{n}}}$

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Corrigé de l’exercice 1 :

$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} \displaystyle{\frac{3}{n}} = 0$ et $\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} \displaystyle{\frac{n}{3}} = +\infty$ . Donc, par somme :

$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$

Corrigé de l’exercice 2 :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*}\text{, }u_{n}=\displaystyle{\frac{1}{n^{\displaystyle{\frac{3}{2}}}}}$ . Comme la puissance de $n$ au dénominateur est strictement positive, nous avons :

$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} u_{n} = 0$

Corrigé de l’exercice 3 :

La suite $\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{3}{2}$ strictement supérieure à $1$ . Ainsi, nous pouvons affirmer que

$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$

4. Convergence et monotonie des suites

Exercice 1 :

On considère les deux suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par

$\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=5} \\ {u_{n+1}=\displaystyle{\frac{3 u_{n}+v_{n}}{4}}} \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{v_{0}=15} \\ {v_{n+1}=\displaystyle{\frac{u_{n}+5 v_{n}}{6}}} \end{array}\right.$

On admet que $(U_n)$ converge vers $l_1 \in \mathbb{R}$ et que $(V_n)$ converge vers $l_2 \in \mathbb{R}$ . Alors :

a. $l_1 =l_2$

b. $l_1 < l_2$

c. $l_1 > l_2$

d. On ne dispose pas assez d’informations pour comparer $l_1$ et $l_2$

Exercice 2 :

On considère une suite $(U_n)$ strictement croissante de premier terme $u_0=2$ et la suite $(V_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n= \displaystyle{\frac{-2}{1-3 \times u_n}}$ . Alors la suite $(v_n)$ est :

a. monotone et croissante.

b. monotone et décroissante.

c. non monotone

d. aucune des 3 réponses précédentes n’est exacte.

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Corrigé de l’exercice 1 :

On passe à la limite dans l expression de $l_1$ .

On obtient $l_1 = \displaystyle{\frac{ 3 \times l_1 + l_2}{4}}$

Donc $4 \times l_1 = 3 \times l_1+l_2$

D’où $l_1 = l_2$

Corrigé de l’exercice 2 :

La suite $(U_n)$ est strictement croissante, de premier terme 2. Par conséquent, la suite $(1-3 \times u_n)$ est strictement monotone de premier terme -5.

Par conséquent la suite $(V_n)$ est strictement monotone et décroissante.

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