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Résumé de cours et méthodes – Maths Sup Analyse Asymptotique

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Plan :

1. Suites dominées et négligeables
2. Suites équivalentes
3. Fonctions dominées et négligeables
4. Fonctions équivalentes
5. Équivalents usuels
6. Opérations autorisées sur les équivalents
7. Opérations interdites sur les équivalents
8. Des méthodes pour obtenir des équivalents
9. D’autres fautes à éviter
10. Équivalents en $0$
11. Équivalents en $1$
12. Équivalents en $\infty$
13. Deux équivalents de suites
14. Fonctions dominées, négligeables et équivalentes
15. Suites dominées, négligeables et équivalentes

Remarque : certains points supposent que les DL ont été vus, ne pas en tenir compte si ce n’est pas le cas.

1. Suites dominées et négligeables

1.1. Suites dominées
Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites réelles ou complexes.
$\bullet$ On dit que la suite $(u_n)_n$ est dominée par la suite $(v_n)_n$ et on écrit $\quad u_n \underset{n \to + \infty}= \textrm{O}(v_n)$ ou $u_n = \textrm{O}(v_n)$
(on lit : $u_n$ est un grand O de $v_n$ ) si, et seulement si,
$\exists \, M \in \mathbb{R}^+, \, \exists \, N \in \mathbb{N}, \, \forall \, n \in \mathbb{N},$ $\quad \quad \quad \quad n \geq N \Rightarrow \vert u_n \vert \leq \, M \, \vert v_n \vert$ .

$\bullet$ S’il existe un entier $N$ tel que si $n \geq N, \, v_n \neq 0$ , la suite $(u_n)_n$ est dominée par la suite $(v_n)_n$ ssi la suite $\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _{n \geq N}$ est bornée.

$\bullet$ $u_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{O}(1)$ ssi la suite $(u_n)_n$ est bornée.

$\bullet$ Si $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n)$ et $v_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(w_n)$ , $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(w_n)\,$ .

$\bullet$ Si $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n)$ et $u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v'_n)$ ,
$\quad \ast$ $u_n + u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n + v'_n )$
$\quad \ast$ $u_n \, u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n \, v'_n )$ .

$\bullet$ Puissance : si $u_n\underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n)$ ,
$\ast$ si $k \in \mathbb{N}$ , $u_n ^k \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n^k )$
$\ast$ si $\forall\, n \in \mathbb{N} , \, u_n\, v_n \neq 0$ , si $k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ , $u_n ^k\underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n^k )$
$\ast$ si $\forall \, n \in \mathbb{N} , \, u_n > 0$ et $v_n > 0$ , si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z }$ , $u_n^{\alpha} \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n^{\alpha})$ .

1.2. Suites négligeables
Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites réelles ou complexes,
$\bullet$ On dit que la suite $(u_n)_n$ est négligeable devant la suite $(v_n)_n$ et on écrit $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n)$ ou $u_n =\textrm{o}(v_n)$ (on lit : $u_n$ est un petit o de $v_n$ ) si, et seulement si, $\forall\, \varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}, \exists \, N \in \mathbb{N}, \, \forall \, n \in \mathbb{N},$ $\quad \quad \quad n \geq N \Rightarrow \vert u_n \vert \leq \, \varepsilon \, \vert v_n \vert$ .
si, et seulement si, il existe une suite $(\varepsilon_n)_n$ de limite nulle telle que $\quad \quad \quad forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_n = v_n \, \varepsilon _n\,$ .

$\bullet$ S’il existe un entier $N$ tel que si $n \geq N, v_n \neq 0$ , la suite $(u_n)_n$ est négligeable devant la suite $(v_n)_n$ ssi la suite $\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _{n \geq N}$ converge vers 0.

$\bullet$ $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (1)$ ssi la suite $(u_n)_n$ converge vers 0.

$\bullet$ Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites réelles ou complexes telles que $u_n\underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n)$ , alors $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{O}(v_n)$ .

$\bullet$ Si $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n)$ et $v_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(w_n)$ , $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(w_n)$ .

$\bullet$ Si $u_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n)$ et $u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v'_n)$ ,
$\quad \ast$ $u_n + u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n + v'_n )$
$\quad \ast$ $u_n \, u'_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n \, v'_n )$ .

$\bullet$ Puissance : si $u_n = \textrm{o}(v_n)$ ,
$\ast$ si $k \in \mathbb{N}$ , $u_n ^k \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n^k )$
$\ast$ si $k \in \mathbb{Z }\setminus \mathbb{N}$ , si $\forall\, n, \, u_n\, v_n \neq 0$ , $u_n ^k \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}(v_n^k )$
$\ast$ $\forall \, n \in \mathbb{N} , \, u_n > 0$ et $v_n > 0$ , $\forall \, \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ , $u_n^{\alpha} \underset{n \to + \infty} = \textrm{o}\left (v_n^{\alpha} \right )$ .

1.3. Traduction des résultats sur les croissances comparées
Comparaison des suites de référence :
$\ast$ $(\ln n)^{\beta }\underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (n^{\alpha})$ si $\alpha > 0$ et $\beta \in \mathbb{R }$ .
$\ast$ $n ^{\alpha} \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (a^n)$ si $a > 1$ et $\alpha \in \mathbb{R}$
$\ast$ $a^n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (n!)$ pour tout $a \in \mathbb{C}$ .
$\ast$ $n! \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (n^n)$ .

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2. Suites équivalentes

2.1. Définitions
Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites réelles ou complexes.
$\bullet$ Il y a équivalence entre :
$\ast$ il existe une suite $(\varepsilon_n)_n$ qui converge vers $0$ telle que $u_n = v_n (1 + \varepsilon _n)$
$\ast$ il existe une suite $(h_n)_n$ qui converge vers $1$ telle que $u_n = v_n \, h_n$
$\ast$ $u_n - v_n \underset{n \to + \infty} = \textrm{o} (v_n)$ .
On dit alors que les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont équivalentes et on écrit : $u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\,$ ou $u_n \sim v_n\,$ .

$\bullet$ S’il existe un entier $N$ tel que si $n \geq N, v_n \neq 0$ , la suite $(u_n)_n$ est équivalente à la suite $(v_n)_n$ ssi la suite $\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _{n \geq N}$ converge vers 1.

$\bullet$ La relation « les suites sont équivalentes » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites réelles (resp. complexes) :
$\quad \ast$ $u_n\underset{n \to + \infty} \sim v_n$ ssi $v_n \underset{n \to + \infty} \sim u_n\,$ .
$\quad \ast$ $u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n$ et $v_n\underset{n \to + \infty} \sim w_n$ $\Rightarrow u_n \underset{n \to + \infty} \sim w_n\,$ .

2.2. Opérations sur les suites équivalentes
Les suites introduites sont réelles ou complexes.

$\bullet$ Si $u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\,$ , $\vert u_n \vert \underset{n \to + \infty} \sim \vert v_n\vert$ .

$\bullet$ si $u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n$ et $u'_n \underset{n \to + \infty} \sim v'_n$
$\quad \ast$ $u_n\, u'_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\, v'_n$
$\quad \ast$ si à partir d’un certain rang $u'_n \, v'_n \neq 0$ , $\displaystyle \frac { u_n } { u'_n } \underset{n \to + \infty} \sim \frac {v_n} {v'_n}$ .

$\bullet$ Puissance et équivalents
$\ast$ si $k \in \mathbb{N}$ , $u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n$ $\Rightarrow u_n ^k \underset{n \to + \infty} \sim v_n^k$
$\ast$ si $k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ et si $u_n \, v_n \neq 0$ pour $n \geq N$ , $u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n \Rightarrow u_n ^k \underset{n \to + \infty} \sim v_n^k$
$\ast$ si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ et si $u_n > 0$ et $v_n > 0$ pour $n \geq N$ ,
$u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n$ $\Rightarrow u_n ^{\alpha} \underset{n \to + \infty} \sim v_n^{\alpha} \,$ .

⚠️ il est indispensable de retenir qu’aucun résultat ne permet de faire une somme ou une différence d’équivalents donc qu’il sera nécessaire d’effectuer un raisonnement complet dans le cas d’une somme ou d’une différence.
De même, il est impossible de dire que si $u_n \underset{n \to + \infty} \sim v_n\,$ , $f(u_n) \underset{n \to + \infty} \sim f(v_n)$ , propriété qui est fausse en général.

2.3. Suites équivalentes et limites
$\bullet$ Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites équivalentes.
$\ast$ Si ce sont des suites de réels non nuls, $u_n$ et $v_n$ sont de même signe pour $n$ assez grand.
$\ast$ si $\displaystyle \lim_{n \to + \infty } v_n = L$ ( $L$ fini ou $L = \infty$ ), alors $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = L$ .

$\bullet$ Si la suite $(u_n)_n$ converge vers le complexe non nul $L$ , $u_n \underset{n \to + \infty} \sim L$ .

⚠️ Si la suite n’est pas la suite nulle, on ne doit jamais obtenir $u_n \underset{n \to + \infty} \sim 0$ .

2.4. Formule de Stirling
$n! \underset{n \to + \infty} \sim n ^n \, \textrm {e} ^{- n} \, \sqrt{2 \, \pi \, n}$ .

3. Fonctions dominées et négligeables

3.1. Fonctions dominées
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies dans un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ (sauf peut-être en $a$ ) réelles ou complexes.
$\bullet$ On dit que la fonction $f$ est dominée par la fonction $g$ lorsque $x \to a$ et on écrit $f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x))$ (on lit : $f(x)$ est un grand O de $g(x)$ si $x \to a$ ) s’il existe un voisinage $\mathcal{W}$ de $a$ inclus dans $\mathcal{V}$ et un réel $M \geq 0$ tel que
$\quad \quad \forall \, x \in \mathcal{W}$ , $\vert f(x) \vert \leq M \, \vert g(x) \vert$ .

$\bullet$ S’il existe un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ sur lequel $g$ est non nulle (sauf peut être en $a$ ), la fonction $f$ est dominée par la fonction $g$ lorsque la fonction $\displaystyle \frac f g$ est bornée au voisinage de $a$ .

$\bullet$ Si $f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x) )$ et $g(x) \underset {x \to a} {=} \textrm{O}(h(x))$ , $f(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{O}(h(x))$ .

$\bullet$ Si $f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x))$ et $h(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(k(x) )$ ,
$\quad \ast f(x) + h(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x) + k(x) )$
$\quad \ast f(x) \, h(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x) \, k(x) )$ .

$\bullet$ Puissance : Si $f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x) )$ ,
$\ast$ si $k \in \mathbb{N}$ , $f^k(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g^k (x))$
$\ast$ si $k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ et si $f(x) \, g(x) \neq 0$ au voisinage de $a$ , $f^k(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g^k (x))$
$\ast$ si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus\mathbb{Z}$ , si $f$ et $g$ sont à valeurs strictement positives au voisinage de $a$ , $f^{\alpha} (x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g^\alpha(x))$ .

3.2. Fonctions négligeables
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies dans un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ (sauf peut-être en $a$ ) réelles ou complexes

$\bullet$ On dit que la fonction $f$ est négligeable devant la fonction $g$ lorsque $x \to a$ ) et on écrit
$\quad \quad \quad f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x))$
(on lit : $f(x)$ est un petit o de $g(x)$ si $x \to a$ ) si pour tout $\varepsilon \in \mathbb{R} ^{+*}$ , il existe un voisinage $\mathcal{W}$ de $a$ inclus dans $\mathcal{V}$ tel que $\quad \forall \, x \in \mathcal{W}, \; \vert f(x) \vert \leq \varepsilon \, \vert g(x) \vert$
ssi il existe une fonction $h$ définie au voisinage de $a$ et de limite nulle en $a$ telle que $f = g \, h$ .

$\bullet$ S’il existe un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ sur lequel $g$ est non nulle (sauf peut être en $a$ ), la fonction $f$ est négligeable devant la fonction $g$ ssi la fonction $\displaystyle \frac f g$ est tend vers $0$ en $a$ .

exemple : Si $\alpha < \beta$ ,
$\quad \ast$ $x^{\beta} \underset {x \to 0}{=} \textrm{o}(x^\alpha)$
$\quad \ast$ $x^{\alpha} \underset {x \to +\infty}{=} \textrm{o}(x^\beta)$ .

$\bullet$ Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies dans un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ ,
$f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x))\Rightarrow f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g(x))$ .

$\bullet$ Si $f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x) )$ et $g(x) = \textrm{o}(h(x))$ , $f(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{o}(h(x))$ .

$\bullet$ Si $f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x))$ et $h(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(k(x) )$ ,
$\quad \ast$ $f(x) + h(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x) + k(x) )$
$\quad \ast$ $f(x) \, h(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x) \, k(x) )$ .

$\bullet$ Puissance : si $f(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g(x) )$
$\ast$ si $k \in \mathbb{N}$ , $f^k(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g^k (x))$
$\ast$ si $k \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ et si $f(x) \, g(x) \neq 0$ au voisinage de $a$ , $f^k(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{O}(g^k (x))$
$\ast$ si $f$ et $g$ sont à valeurs strictement positives au voisinage de $a$ et si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ , $f^{\alpha}(x) \underset {x \to a}{=} \textrm{o}(g^\alpha)(x)$ .

3.3. Traduction des résultats sur les croissances comparées
$\bullet$ Si $\alpha > 0$ et $\beta \in \mathbb{R}$ ,
$\quad \ast$ $(\ln x)^{\beta } \underset {x \to +\infty}{=} \textrm{o} (x^{\alpha})$
$\quad \ast$ $\displaystyle (\vert \ln x \vert )^{\beta } \underset {x \to 0 ^+ }{=} \textrm{o} \left (\frac 1 {x^{\alpha}} \right )$ .

$\bullet$ Si $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle \textrm{e} ^{ - x} \underset {x \to +\infty}{=} \textrm{o} \left (\frac 1 {x^{\alpha}} \right )$ .

4. Définition de fonctions équivalentes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles ou complexes définies dans un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ (sauf peut-être en $a$ ).

$\bullet$ Il y a équivalence entre :
$\; \; \ast$ il existe une fonction $\varepsilon$ définie dans $\mathcal{V}$ de limite nulle en $a$ telle que $\quad \quad f(x) =g(x) (1 + \varepsilon(x) )$
$\; \; \ast$ il existe une fonction $h$ définie dans $\mathcal{V}$ de limite égale à $1$ en $a$ telle que $\quad \quad \quad f(x) =g(x) \, h(x)$
$_; \; \ast$ $f(x) - g(x)\underset {x \to a}{=} \textrm{o} (g(x))$ .
On dit que $f$ et $g$ sont équivalentes en $a$ et on écrit $f(x) \underset {x \to a} \sim g(x)$ .

$\bullet$ S’il existe un voisinage de $a$ sur lequel $g(x) \neq 0$ (sauf peut être en $a$ ), la fonction $f$ est équivalente à la fonction $g$ en $a$ ssi la fonction $\displaystyle \frac {f} {g}$ admet $1$ pour limite en $a$ .

$\bullet$ La relation « les fonctions sont équivalentes en $a$ » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des fonctions réelles (resp. complexes) définies au voisinage de $a$ .
$\quad \ast$ $f(x) \underset {x \to a} \sim g(x)$ ssi $g(x) \underset {x \to a} \sim f(x)$
$\quad \ast$ $f(x) \underset {x \to a} \sim g(x)$ et $g(x) \underset {x \to a} \sim h(x)$ $\Rightarrow f(x) \underset {x \to a} \sim h(x)$ .

5. Équivalents usuels

$\bullet$ équivalents en 0 :

$\ast$ $\displaystyle \sin x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x$
$\ast$ $\displaystyle 1-\cos x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}$
$\ast$ $\displaystyle\tan x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x$
$\ast$ $\displaystyle \ln(1+x) \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x$
$\ast$ $\displaystyle\textrm e^x-1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x$
$\ast$ $\displaystyle(1+x)^\alpha-1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \alpha \, x$
$\ast$ $\displaystyle\textrm{Arcsin } x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x$
$\ast$ $\displaystyle \textrm{Arctan } x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x$
$\ast$ $\displaystyle \textrm {sh } x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x$
$\ast$ $\displaystyle\textrm {ch}(x) -1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}$

👍 Tous ces équivalents (sauf 2 justifiés ci dessous) peuvent être retrouvés à l’aide des taux d’accroissement en $0$ et de la dérivée en $0$ .
Lorsque vous aurez étudié les développements limités, vous pourrez les retrouver en prenant le premier terme non nul du développement limité de la fonction considérée en 0.

Pour voir la démonstration de
$\ast$ $\displaystyle 1-\cos x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}$
$\ast$ $\displaystyle\textrm {ch}(x) -1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}$

$\bullet$ $\displaystyle 1 - \cos(x) \underset {x \to 0} \sim \frac {x ^2} 2$
$\displaystyle 1 - \cos(x) = 2 \, \sin^2 (x / 2)$
$\displaystyle \frac { 1 - \cos(x)} {x^2 / 2} = \frac { \sin^2 (x / 2)} {(x / 2)^2}$
et en utilisant $\displaystyle \lim _{ t \to 0} \frac {\sin(t) } t = 1$ ,
$\displaystyle \lim _{ x \to 0}\frac { 1 - \cos(x)} {x^2 / 2} = 1$ .

$\bullet$ $\displaystyle \textrm{ch}(x) - 1 \underset {x \to 0} \sim \frac {x ^2} 2$
$\displaystyle \textrm{ch}(x) - 1 = \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{- x} - 2 \right )$ $\displaystyle \textrm{ch}(x) - 1 = \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{x / 2} - \textrm{e} ^{- x/2 } \right )^2$
$\displaystyle \textrm{ch}(x) - 1 = 2 \, \textrm{sh} ^2(x / 2)$

$\displaystyle \frac { \textrm{ch}(x) - 1} {x^2 / 2} = \frac {\textrm{sh} ^2 (x / 2)} {(x / 2)^2}$
et en utilisant $\displaystyle \lim _{ t \to 0} \frac {\textrm{sh} (t) } t = 1$ ,
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{ch}(x) - 1} {x^2 / 2} = 1$ .

$\bullet$ équivalents en 1 :

$\ast$ $\displaystyle\ln x \underset{x\rightarrow 1}{ \sim} x-1$

$\ast$ $\displaystyle\textrm{Arccos }(x) \underset{x\rightarrow 1^-}{ \sim} \sqrt{1-x^2}$

Démo : $\ast$ On écrit $\ln(x ) = \ln(x - 1 + 1)$ et on utilise $\ln(1 + t) \underset{t\rightarrow 0}{ \sim}t$ avec $t=x-1$ .

$\ast$ Si $x$ tend vers $1^-$ , $\textrm{Arccos}(x )$ tend vers 0 et comme $\sin(t) \underset{t\rightarrow 0}{ \sim}t$ , alors $\quad\quad \textrm{Arccos}(x) \underset{x\rightarrow 1}{ \sim} \sin(\textrm{Arccos}(x))$
puis on utilise $\sin(\textrm{Arccos}(x))=\sqrt{1-x^2}$
On démontre ce résultat en écrivant que $\sin^2(\textrm{Arccos}(x )) = 1 - \cos^2(\textrm{Arccos}(x))$ $\sin^2(\textrm {Arccos}(x))= 1 - x^2.$
On termine en utilisant $\sin(\textrm{Arccos}(x )) \geqslant 0$ car $\textrm{Arccos}(x ) \in [0 , \pi].$

$\bullet$ équivalents en $\pm \infty$ :

$\ast$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \underset{x\rightarrow \pm \infty}{ \sim} a_n x^n$ si $a_n\neq 0$

$\ast$ $\displaystyle \textrm{ch } x \underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim} \frac{e^x}{2}$

$\ast$ $\displaystyle \textrm{sh }x \underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim} \frac{e^x}{2}$ .

Démo : On écrit $\textrm{ch }(x)= \displaystyle \frac {\textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{ - x } } 2 = \frac {\textrm{e} ^x } 2 \left ( 1 + \textrm{e} ^{ - 2x } \right)$
et $\textrm{sh }(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{ - x } } 2 = \frac {\textrm{e} ^x } 2 \left ( 1 - \textrm{e} ^{ - 2x } \right)$
avec $\displaystyle \lim _{x \to + \infty} (1 \pm \textrm{e} ^{ - 2x } ) = 1$ .

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6. Opérations autorisées sur les équivalents

Produit :
$f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)$ et $h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} k(x)$
$\Rightarrow$ $f(x)\,h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\,k(x)$

Quotient :
$f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)$ et $h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} k(x)$ et $h(x)\,k(x)\neq0$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{f(x)}{h(x)}\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \frac{g(x)}{k(x)}$

Passage à la valeur absolue :
$f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)$ $\Rightarrow$ $|f(x)|\underset{x\rightarrow a}{ \sim} |g(x)|$

Puissance :
$f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)$ $\Rightarrow$ $(f(x)) ^\alpha\underset{x\rightarrow a}{ \sim} (g(x))^\alpha$
(en imposant si $\alpha\notin \mathds{Z},$ $f$ et $g$ à valeurs strictement positives).

Composition à droite :
$f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)$ et si $\displaystyle \lim_{t \to b } h(t) = a$ , $\quad \quad f\circ h(t) \underset{t\rightarrow b}{ \sim} g\circ(t)$

⚠️ La composition à gauche est fausse en général, c’est-à-dire si
$f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)$ , on ne peut pas dire en dehors de la valeur absolue ou de la fonction puissance $\alpha \in \mathbb{R}$ que $h \circ f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} h \circ g(x)$ .

7. Opérations interdites sur les équivalents

👍 Une vérification qui peut aider à corriger des fautes : si la fonction ou la suite n’est pas nullle, on ne peut pas trouver un équivalent égal à 0.

Addition :
$\textrm e^{-x}-1\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}-x$ , $x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x$ et $\displaystyle \textrm e^{-x}-1+x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\frac{x^2}{2}$ et n’est pas équivalent à 0.

Différence :
$1\underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \, 1$ , $\cos(x) \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} 1$ et $\displaystyle 1-\cos x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\frac{x^2}{2}$ et n’est pas équivalent à 0.

Passage au logarithme pour des fonctions admettant 1 pour limite :
$u(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}v(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} v(x) =1$ n’impliquent pas que $\quad \quad \quad \ln (u(x)) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}\ln (v(x))$ .
Exemple :
$1+x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}1+x^2$ et $\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x$ alors que $\ln(1+x^2)\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x^2$ donc $\ln(1+x)$ et $\ln(1+x^2)$ ne sont pas équivalents en 0.

Passage à l’exponentielle :
$u(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}v(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} v(x) =\pm \infty$ n’impliquent pas que $\textrm{ e}^{u(x)} \underset{x\rightarrow a}{ \sim}\textrm{ e}^{v(x)}$ .

Exemple :
$u(x) = x + 1$ est équivalent à $v(x) = x$ en $+\infty$ mais $\textrm{e}^u$ n’est pas équivalent à $\textrm{e}^v,$ car le quotient $\textrm {e}^1$ ne tend pas vers 1.

Passage à la puissance :
$\ast$ $u\underset{a}{ \sim}v$ n’implique pas $w^u\underset{a}{ \sim}w^v$ et n’implique pas que $u^w\underset{a}{ \sim}v^w$ lorsque $w$ n’est pas une constante.
$\ast$ De même, $u_n\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n$ n’implique pas $u_n^n\underset{n\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n^n\,$ .

Voir les exemples justifiant les interdictions pour le passage à la puissance

Exemple 1 :
$\ast$ $u(x) = x + 1$ est équivalent à $v(x) = x$ en $+\infty$ , mais $x^{x+1}$ n’est pas équivalent à $x^{x}$ car le quotient $x$ tend vers $+\infty$ .
$\ast$ De même $(x + 1)^x$ n’est pas équivalent à $x^x$ en $+\infty$ car le quotient $\displaystyle \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ tend vers e en $+\infty$ .

Exemple 2 :
Soit $\displaystyle u_n = 1 + \frac{1}{n}$ et $v_n = 1$ , $u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n\,$ , $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n^n=\textrm e^1>0$ et $v_n^n=1$ , $u_n^n$ et $v_n^n$ ne sont pas équivalents.

8. Des méthodes pour obtenir des équivalents

$\bullet$ M1. Utilisation de la limite
Si $f$ admet une limite finie non nulle $\lambda$ en $a$ , $f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}\lambda$ .

$\bullet$ M2. Utilisation de la dérivée.
Si $f$ est dérivable en $a$ et si $f '(a)$ est non nul, $f(x)-f(a) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}f'(a)(x-a)$ .

Exemple :
$\displaystyle\textrm{Arctan}(x)-\frac{\pi}{4}\underset{x\rightarrow 1}{ \sim}\frac{x-1}{2}$

$\bullet$ M3. Si $f$ et $g$ sont des fonctions à valeurs dans $\left.\right]0 , + \infty\left[\right.$ , de limite nulle en $a$ vérifiant $f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)$ , pour démontrer que $\ln(f(x)) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))$ ,
on écrit $f(x) = g(x) (1 + \varepsilon(x))$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0$ .

Démonstration : On écrit $f(x) = g(x) (1 + \varepsilon(x))$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0$ .
Les fonctions utilisées étant à valeurs strictement positives, on peut écrire
$\quad \ln(f(x)) = \ln(g(x)) + \ln(1 + \varepsilon(x)).$
Comme $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\ln(g(x))=-\infty$ , au voisinage de $a$ , $\ln(g(x)) \neq 0$ donc
$\ln(f(x))=\ln(g(x))\displaystyle\left(1+\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))} \right)$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))}=0$ donc $\quad \quad \ln(f(x))\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x)).$

Cas particulier : $\ln(\sin (x))\underset {x\rightarrow 0} { \sim} \ln (x)$ .

Démonstration : $\displaystyle \ln(\sin (x))=\ln (x)+\ln\left( \frac{\sin (x)}{x}\right)$ , $\displaystyle\ln(\sin (x))=\ln (x)\left(1+\frac{\ln(1+o(1))}{\ln (x)}\right)$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+o(1))}{\ln (x)}=0$ .

$\bullet$ M4. Si $f$ et $g$ sont des fonctions à valeurs dans $\left.\right]0 , + \infty\left[\right.$ , de limite égale à $+\infty$ en $a$ vérifiant $f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)$ , pour démontrer que : $\quad \quad \ln(f(x)) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))$ ,
on écrit $f(x) = g(x) (1 + \varepsilon(x))$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0.$

Démo : Les fonctions utilisées étant à valeurs strictement positives, on peut écrire $\ln(f(x)) = \ln(g(x)) + \ln(1 + \varepsilon(x)).$
Comme $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\ln(g(x))=+\infty$ , au voisinage de $a$ , $\ln(g(x)) \neq 0$ donc $\ln(f(x))=\ln(g(x))\displaystyle\left(1+\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))} \right)$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))}=0$ donc $\quad \quad \quad \ln(f(x))\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))$ .

Cas particulier : $\ln(1 + x) \underset {x \to + \infty} \sim \ln(x)$ .

Démo : $\displaystyle \ln(1+x)=\ln (x)+\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)$ , $\displaystyle\ln(1+x)=\ln (x)\left(1+\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\ln (x)}\right)$ avec $\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\ln (x)}=0$ .
On a prouvé que :
$\quad \quad \quad \ln(1+x)\underset{x\rightarrow + \infty}{ \sim} \ln(x)$ . $\displaystyle \ln(1+x)=\ln (x)+\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)$ , $\displaystyle\ln(1+x)=\ln (x)\left(1+\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\ln (x)}\right)$ avec $\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\ln (x)}=0$ .
On a prouvé que :
$\quad \quad \quad \ln(1+x)\underset{x\rightarrow + \infty}{ \sim} \ln(x)$ .

$\bullet$ M5. Par utilisation de la propriété $f = g + h$ et $h\underset{a} { = } o(g)$ , alors $f \underset {a}\sim g$ .

conséquence :
Si $f = g + h$ où $\displaystyle\lim_a g=+\infty$ et $\displaystyle\lim_a h=\lambda\in \mathds{R}$ , $f\underset{a}{ \sim}g$ , par utilisation de la propriété précédente car $h = o(g).$

Exemple :
$\ln(x)+\textrm{Arctan} x\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}\ln(x)$

Si $f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i(x)$ , l’une au moins des fonctions tendant vers $\infty$ , on met en facteur la fonction qui tend le plus vite vers l’infini.

Exemple : équivalent en $+\infty$ de
$u(x)=x^2+x^{\frac{3}{2}}\displaystyle\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x\ln (x)$ .

Correction :

$u(x)=x^2\displaystyle\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}} \sin\left (\frac{1}{x}\right )+ \frac{\ln(x)}{x}\right)$
$u(x) =x^2(1+\varepsilon(x))$ où la fonction $\varepsilon$ admet 0 pour limite en $+\infty$ , donc $u(x)\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}x^2$ .

👍 Si l’on ne devine pas quelle est la fonction qui tend le plus vite vers l’infini, dans un cas comme celui-ci, il n’y aurait au maximum que trois factorisations à essayer !

$\bullet$ M7. Cas d’une somme de fonctions, chacune des fonctions admettant 0 pour limite.
Si $f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i(x)$ et, si pour tout $i$ , la fonction $u_i$ admet 0 pour limite en $a$ , on met en facteur la fonction qui tend le moins vite vers 0.

Exemple : trouver un équivalent en $0^+$ , de $u(x)=x+x^2\ln(x)+x\ln^2x$ .

$\bullet$ M8. Par utilisation d’un encadrement
Si au voisinage de $a$ , $\quad \quad \quad v(x) \leqslant u(x) \leqslant w(x)$ ,
les fonctions $v$ et $w$ ayant même équivalent $h$ de signe constant au voisinage de $a$ , on divise l’inégalité par $h$ et en encadrant $\displaystyle \frac{u}{h}$ par $\displaystyle \frac{v}{h}$ et $\displaystyle \frac{w}{h}$ soit par 2 fonctions admettant 1 pour limite en $a$ , la fonction $\displaystyle \frac{u}{h}$ admet 1 pour limite en $a$ et on en déduit que $u\underset{a}{ \sim}h$ .

Exemple : On rappelle que $\lfloor x\rfloor$ représente la partie entière du réel $x$ , montrer que $\lfloor x\rfloor\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}x$ .

$\bullet$ M9. Pour trouver un équivalent de $\textrm e^u -\textrm e^v$ lorsque $u$ et $v$ admettent la même limite finie $\lambda$ en $a$ .
On écrit $\textrm e^u-\textrm e^v=\textrm e^v(\textrm e^{u-v}-1)\underset{ a}{ \sim}\textrm e^\lambda(u-v)$
car $\displaystyle\lim_a \textrm e^v=\textrm e^\lambda>0$ , $\displaystyle\lim_a(u-v)=0$ et $\textrm e^x-1\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x.$

Exemple : trouver un équivalent en $0$ de $\textrm e^{\sin x}-\textrm e^{\tan x}$

$\bullet$ M10. Par utilisation d’un développement limité.
Si $f$ a un développement limité d’ordre $n$ au voisinage de $a$ donné par $f(x)\displaystyle\underset{ x\rightarrow a}{ =}\sum_{i=0}^{n}\alpha_i(x-a)^i+\textrm{o}((x-a)^n)$ ,
lorsqu’au moins un des coefficients $\alpha_i$ est non nul, $f(x)\underset{ x\rightarrow a}{ \sim}\alpha_k(x-a)^k$ où $k$ est le plus petit entier tel que $\alpha_k\neq0.$

⚠️ Important ! on ne conserve qu’un seul terme du développement limité quand on prend un équivalent, jamais une somme de plusieurs termes.

Par exemple, on écrit $\textrm e^x \underset{ x\rightarrow 0}{ \sim}1$ , on n’écrit pas que $\textrm e^x$ est équivalent à $1+ x.$
De même, on écrit $\cos x\underset{ x\rightarrow 0}{ \sim}1$ et non $\displaystyle \cos x\underset{ x\rightarrow 0}{ \sim}1-\frac{x^2}{2}.$

$\bullet$ M11. Par intégration d’un équivalent :
si $f(x)\underset{ x\rightarrow a}{ \sim}\lambda(x-a)^n$ où $n\in\mathds{N}$ ,
$\displaystyle \int_{a}^{x}f(t)\,dt\underset{ x\rightarrow a}{ \sim}\frac{\lambda(x-a)^{n+1}}{n+1}$ .

9. D’autres fautes à éviter

⚠️ Lorsque $f(x)\underset{ x\rightarrow a}{ \sim}g(x)$ , on peut dire que $f(x)$ et $g(x)$ ont même signe au voisinage de $a$ ; mais chercher un équivalent de $f(x)$ en $a$ ne peut servir à donner le signe de $f(x)$ sur tout un intervalle de $\mathbb{R}.$

Exemple :
$\textrm e ^{x} - 1 - x \underset{ x\rightarrow 0}{ \sim}\displaystyle \frac { x^2} 2$ donc au voisinage de 0, $\textrm e^ x -1 - x \geqslant 0$ .
Si l’on veut prouver que pour tout réel $x$ $\textrm e^x - 1 - x \geqslant 0,$ on pourra, par exemple, étudier les variations de la fonction
$\quad \quad u : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , x \mapsto \textrm e^x - 1 - x$ ,
calculer $u'(x) = \textrm e^x - 1$ et en démontrant que $u$ est décroissante sur $\left.\right]-\infty, 0\left.\right]$ et croissante sur $\left[\right.0 , + \infty\left[\right.$ , dire (en s’aidant éventuellement d’un tableau de variations) que pour tout réel $x$ , $u(x) \geqslant u(0) = 0.$

⚠️ Attention à la recherche d’un équivalent à partir d’un DL, lorsque les coefficients de ce DL dépendent d’un paramètre. Certaines valeurs du paramètre peuvent annuler le terme retenu comme équivalent.

10. Équivalents en 0

Les équivalents suivants sont-ils justes ? Sinon les corriger.

1) $\displaystyle \cos (x) - 1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\frac{x^2} 2$

2) On note $\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{sh }(x)} {\textrm{ch } x}$ .
$\textrm{th}(x)\underset{x\to 0}{\sim}x$

3) $\tan (x) - \sin(x) \;\underset{x\to 0}{\sim } 0$

4) $\displaystyle \sin (3 \, x) - \sin(x)\;\underset{x\to 0}{\sim} 2 \, x$

5) $\text{ch}(2 \, x) - 1\underset{x\to 0}{\sim} x^2$

6) $\ln (1- x)\underset{x\to 0}{\sim }a \, x$

7) Si $a$ et $b$ sont des réels distincts, $\quad \quad \quad \operatorname{e}^{a\, x}-\operatorname{e}^{b\, x}\underset{x\to 0}{\sim}(a - b)\, x$ .

8) $\textrm{Arcsin}\left ( 1 - \sqrt{1 - 2 \, x^2} \right ) \underset {x \to 0} \sim 2 \,x^2$

11. Équivalents au voisinage de 1

Lorsque $x$ tend vers 1, les équivalents suivants sont ils corrects ? Si oui les justifier, si non donner la bonne réponse.

1) $\ln (x)\underset{x\to 1}{\sim}x-1$

2) $\displaystyle \sqrt{1-x^2}\underset{x\to 1^{-}}{\sim}\sqrt2\;\sqrt{1-x}$

3) $\displaystyle \text{Arccos}(x){}\underset{x\to 1^{-}}{\sim}\sqrt{1-x^2}$

12. Équivalents en $\infty$

Lorsque $x$ tend vers $+ {\infty}$ (ou $- {\infty}$ selon le cas), les équivalents suivants sont ils corrects ?
Si oui les justifier, si non les corriger.

1) $\displaystyle \textrm{sh}(x)\underset{x\to +\infty }{\sim}\frac{\operatorname{e}^x} 2$

2) $\displaystyle\textrm{ch}(x)\underset{x\to -\infty }{\sim}\frac{\operatorname{e}^{a\, x}} 2$

3) $\displaystyle \operatorname{e}^{x+1/x} \underset{x\to +\infty }{\sim}\operatorname{e}^x$

4) $\displaystyle \operatorname{e}^{x^2+\text{Arctan}(x)}\underset{x\to +\infty}{\sim}\operatorname{e}^{x^2}$

5) $\displaystyle \ln (1+x)\underset{x\to +\infty }{\sim}\ln (x)$

6) $\text{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{sh}(x)} {\textrm{ch}(x) } \underset{x\to +\infty }{\sim}1$

7) $\textrm{th}(x)-1\underset{x\to +\infty }{\sim} -\operatorname{e}^{-2x}$

8) $\displaystyle \frac {\pi} 2 + \textrm{Arctan}(x) \underset {x \to - \infty }\sim \frac 1 x$

13. Deux équivalents de suites

1) $\displaystyle \sin(\pi \sqrt{n ^2 + 1}) \underset {n \to + \infty} \sim 0$

2) $(2\, n)! \underset {n \to +\infty} \sim n ^{n} \, \textrm{e} ^{- n} \sqrt {2\, \pi \, n}$

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14. Fonctions dominées, négligeables et équivalentes

Question 1
Si $f$ et $g$ sont définies dans un voisinage de $a$ à valeurs dan $\mathbb{K}$ si $\lambda \in \mathbb{K}^*$
$\ast$ $f (x) \underset {x \to a} = \textrm{O}(g(x)) \Rightarrow \lambda\, f (x) \underset {x \to a} = \textrm{O}(g(x))$
$\ast$ $f (x) \underset {x \to a} = \textrm{o}(g(x)) \Rightarrow \lambda \, f (x) \underset {x \to a} = \textrm{o}(g(x))$
$\ast$ $f (x) \underset {x \to a} \sim g(x) \Rightarrow \lambda \, f (x) \underset {x \to a} \sim \lambda \, g(x)$

Question 2
Soient $f , g$ et $h$ définies au voisinage de $a$ , on suppose que
$f(x) \underset {x \to a } = \textrm{o}(h(x))$ et $g(x) \underset {x \to a } \sim f(x)$ ,
alors $g(x) \underset {x \to a } = \textrm{o}( h(x) )$ .

Question 3
Soient $f ,\, g$ et $h$ définies au voisinage de $a$ , on suppose que
$f(x) \underset {x \to a } = \textrm{o}(h(x))$ et $g(x) \underset {x \to a } = \textrm{o}(h(x))$ ,
alors $f(x) \underset {x \to a } \sim g(x)$ .

Question 4
Soient $f, \, f_1 \, ,\, g ,\, g_1$ des fonctions définies dans un voisinage de $a$ .
On suppose que $f (x) \underset {x \to a} \sim f_1(x)$ , $g (x) \underset {x \to a} \sim g_1(x)$ et $f _1(x) \underset {x \to a} = \textrm{o} ( g_1(x))$
Alors $f(x) + g(x) \underset {x \to a} \sim g_1(x)$ .

Question 5
Si $f$ et $g$ sont définies au voisinage du réel $a$ , équivalentes en $a$ , si $f$ est dérivable en $a$ , $g$ l’est aussi.

Question 6
Si $0 < a < b$ ,
$a ^x \underset {x \to c} = \textrm{o} \left ( b ^x \right )$ et $b ^x \underset {x \to d} = \textrm{o} \left ( a ^x \right )$

15. Suites dominées, négligeables et équivalentes

Dans tout le paragraphe, $(u_n)_n$ , $(v_n)_n$ et $(w_n)_n$ sont des suites réelles ou complexes.
Question 1
Si $(u_n)_n$ est bornée et $v_n \underset{n \to + \infty}= \textrm {O}(u_n)$ , la suite $(v_n)_n$ est bornée.

Question 2
Si la suite $(u_n)_n$ converge et si $v_n \underset{n \to + \infty}= \textrm {O}(u_n)$ , la suite $(v_n)_n$ converge.

Question 3
Si la suite $(u_n)_n$ est bornée et si $v_n \underset{n \to + \infty}= \textrm {o}(u_n)$ , la suite $(v_n)_n$ converge.

Question 4
Si $u_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (v_n)$ et si $v _ n \underset{n \to + \infty} \sim w_n$ , $u_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (w_n)$

Question 5
Si la suite $(u_n)_n$ est bornée et si $v_n \underset{n \to + \infty}\sim u_n \,$ , la suite $(v_n- u_n )_n$ converge.

Question 6
Si la suite $(u_n - v_n )_n$ converge vers 0 et si $v_n \underset{n \to + \infty}\sim u_n\,$ , les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont bornées.

Question 7
Si $\displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2 }\right)$ , $\quad \quad \quad \displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = \textrm{O} \left ( \frac 1 {n ^3} \right)$
et plus généralement si $0 < \alpha < \beta$ ,
si $\displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^\alpha } \right)$ , $\quad \quad \quad \displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^\beta } \right)$ .

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3. Fonctions dominées et négligeables

4. Définition de fonctions équivalentes

5. Équivalents usuels

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6. Opérations autorisées sur les équivalents

7. Opérations interdites sur les équivalents

8. Des méthodes pour obtenir des équivalents

9. D’autres fautes à éviter

10. Équivalents en 0

11. Équivalents au voisinage de 1

12. Équivalents en $\infty$

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