Cours en ligne Physique en Maths Sup

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Exercices sur les forces centrales en maths sup

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique en Maths Sup

Ces exercices sur les forces centrales en maths sup constituent un bon moyen de mettre en application vos cours de Physique, afin de vous entraîner concrètement. Ils constituent donc un bon complément aux annales des concours d’écoles d’ingénieurs, qui sont elles un bon moyen de mettre en pratique ses cours en conditions réelles. Toutefois, vous pouvez parfois être confrontés à des lacunes et des blocages. Dans ce cas là, des cours particuliers de physique chimie pourront pallier à vos difficultés.

QCM sur les Forces Centrales en Maths Sup

Question sur les forces Centrales

Pour un mouvement à force centrale,

a. le moment de la force et le moment cinétique sont nuls

b. le moment de la force est nul et le moment cinétique est constant (non nul)

c. le moment de la force est constant (non nul) et le moment cinétique est nul

d. le moment de la force et le moment cinétique sont constants (non nuls)

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Question sur les Forces Centrales Conservatives

L’énergie potentielle, nulle à l’infini, dont dérive la force centrale

$\displaystyle{\vec{f}=-\frac{K}{r^3}\vec{u}_r}$ est

a. $\displaystyle{\frac{-3K}{r^4}}$

b. $\displaystyle{\frac{-K}{2r^2}}$

c. $\displaystyle{\frac{-K}{4r^4}}$

d. $\displaystyle{\frac{-K}{3r^4}}$

Question sur les Forces Centrales Newtoniennes en Maths Sup

La trajectoire d’une particule de charge positive au voisinage d’une particule de charge positive fixe en $O$ est

a. un cercle

b. une ellipse

c. une parabole

d. une hyperbole

Correction du QCM sur les forces centrales en maths sup

Correction du QCM sur les Forces Centrales en Maths Sup

Réponse B, le moment de la force est nul et le moment cinétique est constant (non nul) : $\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{f})=\vec{OM}\wedge\vec{f}=\vec{0}$

donc $\vec{L}_O=\vec{\mathrm{cste}}$

Correction du QCM sur les Forces Centrales Conservatives

Réponse B, $\displaystyle{\frac{-K}{2r^2}}$ : $\displaystyle{-\frac{dEp}{dr}=-Kr^{-3}}$

donc $\displaystyle{Ep=K\frac{r^{-2}}{-2}}$

Correction du QCM sur les Forces Centrales Newtoniennes

Réponse D, une hyperbole : L’énergie mécanique vaut

$\displaystyle{Em=\frac12mv_0^2+\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r_0}>0}$

L’énergie potentielle effective a pour expression

$\displaystyle{Ep_{\mathrm{eff}}=\frac{L_O^2}{2mr^2}+\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r}}$
C’est la somme de deux fonctions strictement décroissantes, elle est donc strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ , elle tend vers $+\infty$ en $0$ et vers $0$ en $+\infty$ , l’inéquation

$Ep_{\mathrm{eff}}(r)\leq Em$ a donc pour ensemble des solutions $[r_{\mathrm{min}},+\infty[$

La trajectoire pour un mouvement à force centrale newtonienne étant une conique, ici à branche infinie, c’est donc une hyperbole (la parabole correspondrait à une vitesse nulle à l’infini, ce qui n’est pas le cas ici car $Em>0$ ).

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Exercices sur les forces centrales en maths sup

Exercice sur la Force Centrale Elastique

Un ressort de longueur à vide nulle et de constante de raideur $k$ a une extrémité fixe en $O$ et son autre extrémité reliée à $M$ , de masse $m$ , qui glisse sans frottement sur un plan horizontal $(O,x,y)$

À $t=0$ , on lance $M$ depuis $M_0$ défini par

$\vec{OM_0}=r_0\vec{u}_x$

avec une vitesse initiale

$\vec{v}_0=v_0\cos\alpha\vec{u}_x+v_0\sin\alpha\vec{u}_y$

1. Justifier qu’on a un mouvement à force centrale.

2. Montrer que le moment cinétique est constant et l’exprimer avec les notations de l’exercice.

3. À quelle condition a-t-on un mouvement circulaire ? Donner dans ce cas la période et la vitesse aréolaire.

Exercice sur les Forces Conservatives en Maths Sup

Une planète de centre $O$ , de rayon $R_P$ et de masse $m_P$ est approchée par un astéroïde.

Sa position initiale dans un repère $(O,x,y)$ est $M_0(a,b)$ avec $a\gg b$

Sa vitesse en ce point vaut $\vec{v}_0=-v_0\vec{u}_x$

On suppose

$\displaystyle{v_0^2\gg\frac{\mathcal{G}m_S}{a}}$

À quelle condition l’impact entre l’astéroïde (de rayon très inférieur à $R_P$ ) n’entrera-t-il pas en collision avec la planète ?

Exercice sur les Forces Centrales Newtoniennes

La masse de la Terre est $m_T=5,98\cdot 10^{24}~\mathrm{kg}$ , sa période de révolution $T=86164$ s.

1. Déterminer le rayon $r_{GS}$ et la vitesse $v_{GS}$ d’un satellite géostationnaire

2. On fait une erreur de lancement : on place le satellite sur la bonne orbite ( $r=r_{GS}$ ), avec la bonne vitesse en norme ( $v=v_{GS}$ ) mais avec une direction qui fait un angle $\alpha=5^{\circ}$ par rapport à la tangente au cercle.

Déterminer la période de révolution du satellite et son demi-grand axe.

Correction des exercices sur les forces centrales en maths sup

Correction de l’exercice sur la Force Centrale Elastique

1. Le poids est compensé par la force normale du support et la force de rappel du ressort vaut
$\vec{f}=-kr\vec{u}_r$ c’est bien une force centrale.

2. Le moment en $O$ de $\vec{f}$ vaut

$\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{f})=\vec{OM}\wedge\vec{f}=\vec{0}$

donc par application du TMC $\vec{L}_O=\vec{\mathrm{cste}}$

Le moment cinétique est égal à sa valeur initiale

$\vec{L}_O=r_0\vec{u}_x\wedge\left[mv_0\cos\alpha\vec{u}_x+mv_0\sin\alpha\vec{u}_y\right]$

$\vec{L}_O=mr_0v_0\sin\alpha\vec{u}_z$

3. Si le mouvement est circulaire, le vecteur vitesse est orthogonal au vecteur position à tout instant, donc $\alpha=\frac{\pi}{2}$ donc

$\vec{v}_0=v_0\vec{u}_y$ .

Le rayon est constant donc $\vec{OM}=r_0\vec{u}_r$

Le PFD appliqué à $M$ donne

$\displaystyle{-mr_0\stackrel{\cdot}{\theta}=-kr_0}$

$\displaystyle{mr_0\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}=0}$

donc le mouvement est circulaire uniforme, $v_0=r_0\stackrel{\cdot}{\theta}$

On en déduit la condition

$\displaystyle{mv_0^2=kr_0^2}$

La période du mouvement circulaire vaut

$T_0=\frac{2\pi r_0}{v_0}$

La vitesse aréolaire vaut

$\displaystyle{\mathcal{A}=\frac{\pi r_0^2}{T_0}=\frac{r_0v_0}{2}}$

Correction de l’exercice sur les Forces Centrales Conservatives

L’impact est évité si le rayon minimal d’approche est supérieur à $R_P$

Au rayon minimal d’approche, $\stackrel{\cdot}{r}=0$ donc $Ep_{\mathrm{eff}}=Em$

On évalue $Em$ à l’instant initial. On peut négliger $Ep_0$ devant $Ec_0$ d’après l’hypothèse de l’énoncé donc

$Em=\frac12mv_0^2$

On évalue le moment cinétique à l’instant initial

$\vec{L}_O=(a\vec{u}_x+b\vec{u}_y)\wedge m(-v_0\vec{u}_x)$

$\vec{L}_O=-mbv_0\vec{u}_z$

On en déduit

$\displaystyle{Ep_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{mb^2v_0^2}{2r^2}-\frac{\mathcal{G}m_Pm}{r}}$

Le rayon minimal d’approche est donc solution de l’équation

$\displaystyle{\frac{mb^2v_0^2}{2r^2}-\frac{\mathcal{G}m_Pm}{r}=\frac12mv_0^2}$

soit $\displaystyle{r^2+\frac{2\mathcal{G}m_P}{v_0^2}r-b^2=0}$

Cette équation du second degré a une unique solution positive, la condition cherchée est donc

$\displaystyle{\sqrt{\frac{\mathcal{G}^2m_P^2}{v_0^4}+b^2}-\frac{\mathcal{G}m_P}{v_0^2}>R_P}$

Correction de l’exercice sur les Forces Centrales Newtoniennes

1. Par troisième loi de Kepler,

$\displaystyle{r_{GS}=3\sqrt{\mathcal{G}m_TT^2}{4\pi^2}}$

$\displaystyle{v_{GS}=\sqrt{\frac{\mathcal{G}m_T}{r_{GS}}}}$

$r_{GS}=42,2\cdot 10^6~\mathrm{m}$

$v_{GS}=3075~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$

2. L’énergie mécanique vaut

$\displaystyle{Em=\frac12mv_{GS}^2-\frac{\mathcal{G}m_Tm}{r_{GS}}}$

donc elle est égale à celle du géostationnaire,

donc d’après la formule

$\displaystyle{-\frac{\mathcal{G}m_Tm}{2a}=-\frac{\mathcal{G}m_Tm}{2r_{GS}}}$ donc

$a=r_{GS}$ donc

$T=T_{GS}=86164~\mathrm{s}$

Il n’est pas tout-à-fait géostationnaire, mais est bien une fois par jour à la verticale du même point.

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Question sur les forces Centrales

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Exercice sur la Force Centrale Elastique

Exercice sur les Forces Conservatives en Maths Sup

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Correction des exercices sur les forces centrales en maths sup

Correction de l’exercice sur la Force Centrale Elastique

Correction de l’exercice sur les Forces Centrales Conservatives

Correction de l’exercice sur les Forces Centrales Newtoniennes

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