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Cours : Arithmétique Polynômes en Maths Sup MPSI, MP2I

Résumé de cours Exercices et corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Arithmétique Polynômes en Maths Sup

Plan :

1.Trouver un PGCD de

$A$ et

$B$ 2. Relation de Bezout 3. Propriétés des PGCD et PPCM 4. Polynômes premiers entre eux Rappel

$A$ et

$B$ non nuls de

$\mathbb{K}[\textrm{X}]$ sont associés lorsque’il existe

$\lambda \in \mathbb{K}^*$ tel que

$A = \lambda \, B$ .

1.Trouver un PGCD de $A$ et $B$

On suppose dans ce §, que

$(A , B) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}]) ^2$ et sont non nuls. On note

$\ast$

$\mathcal{D}(A , \, B)$ l’ensemble des diviseurs communs à

$A$ et

$B$ ,

$\ast$

$\textrm{PGCD}(A , \, B)$ un P.G.C.D de

$A$ et

$B$ (soit un polynôme de degré maximal élément de

$\mathcal{D}(A , \, B)$ )

$\ast$

$\Delta = A \wedge B$ le P.G.C.D de

$A$ et

$B$ , c’est à dire le polynôme unitaire de degré maximal de

$\mathcal{D}(A , \, B)$ . Tous les PGCD de

$A$ et

$B$ sont associés.

$\bullet$ M1. Si

$A$ et

$B$ sont scindés sur

$\mathbb{K}$ ,

$\ast$ s’ils n’ont pas de racine commune,

$A \wedge B = 1$

$\ast$ s’ils ont

$p$ racines communes et s’écrivent

$A = \lambda \displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\alpha_k}\, \prod_{j = p + 1 } ^n (\textrm{X} - x_j)^{\alpha_j}$ et

$B = \mu\displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\beta_k}\, \prod_{j = n + 1 } ^q (\textrm{X} - x_j)^{\beta_j}$ où

$(x_j)_{1 \leq j \leq q}$ sont des éléments de

$\mathbb{K}$ deux à deux distincts.

$\quad \quad \quad A \wedge B = \displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\gamma_k}$ où

$\gamma_k = \min(\alpha _ k \, , \, \beta_k)$ .

$\bullet$ M2. Si

$\mathbb{K} = \mathbb{R}$ et si les décompositions de

$A$ et

$B$ sous forme de produits de polynômes irréductibles

$\ast$ s’ils n’ont pas de facteur irréductible commun,

$A \wedge B = 1$

$\ast$ s’ils ont

$p$ facteurs irréductibles communs et s’écrivent :

$A = \lambda \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\alpha_k}\, \prod_{j = p + 1 } ^n P_ j^{\alpha_j}$ et

$B = \mu \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\beta_k}\, \prod_{j = n + 1 } ^q P_ j^{\beta_j}$ où

$(P_j)_{1 \leq j \leq q}$ sont des polynômes irréductibles 2 à 2 distincts,

$A \wedge B = \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\gamma_k}$ où

$\gamma_k = \min(\alpha _ k \, , \, \beta_k)$

$\bullet$ M3. En utilisant une relation de Bezout

$\ast$ Il existe

$(U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2$ tel que

$A \, U + B \, V = A \wedge B$ .

$\ast$

$A \wedge B = 1$ ssi

$\exists\, (U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2$ tel que

$A \, U + B \, V = 1$ .

$\bullet$ M4. En utilisant l’algorithme d’Euclide On se ramène au cas où

$\quad \quad \quad \quad \textrm{deg}\, A \geq \textrm{deg} \,B$ , Poser

$R_0 = A$ et

$R_1 = B$ .

$A \wedge B$ est le polynôme unitaire proportionnel au dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes suivantes :

$R_0 = R_1 \, Q_1 + R_2$

$\quad \textrm{avec deg} \, R_2 < \textrm{deg} \, R_1\,$

$R_{k - 1} = R_k \, Q_k + R_{k + 1}$

$\quad \textrm{avec deg}\, R_{k + 1} < \textrm{deg} \, R_k\,$ …

$R_{n - 2} = R_{n - 1} \, Q_{n - 1} + R_{n}$

$\quad \textrm{avec deg}\, R_{n} < \textrm{deg} \, R_{n - 1}\,$

$R_{n - 1} = R_{n} \, Q_{n} \,$ . 👍 On rappelle que l’on note

$0 \wedge 0 = 0$ . Si

$A \neq 0, \, A \wedge 0$ est associé à

$A$ . Exemple Soit

$A = \textrm{X}^4 + 4\, \textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 - 16$ et

$B = \textrm{X}^3 + 3 \, \textrm{X}^2 - 3 \textrm{X} + 4$ Trouver

$A \wedge B$ et une identité de Bezout. Correction :

$\bullet$ Algorithme d’Euclide : On note

$R_0 = A$ et

$R_1 = B$ .

$\ast$

$R_0 = Q_1\, R_1 + R_2$ avec

$Q_1 = \textrm{X} + 1$ et

$R_2 = \textrm{X}^2 - \textrm{X} - 20$

$\ast$

$R_1 = Q_2 \, R_2 + R_3$ et

$Q_ 2 = \textrm{X} + 4$ et

$R_3 = 21 Q_2$

$\ast$

$R _ 3 = 21( \textrm{X} + 4)$ et

$R_2 (- 4) = 0$ donnent :

$R_3$ divise

$R_2$ , donc

$R_4 = 0$ .

$R_3$ est le dernier reste non nul

$\conclusion$

$A \wedge B = \textrm{X} + 4$

$\bullet$ Identité de Bezout en remontant l’algorithme de Bezout :

$R_3 = R_1 - Q_2 R_2$

$R_3 = R_1 - Q_2 (R_0 - Q_1 \, R_1)$

$R3 = R_1 \left ( 1 + Q_1 \, Q_2 \right ) - Q_2 \, R_0$ En divisant par 21 :

$\textrm{X} + 4 = U \, A + V \, B$ avec

$A = - \displaystyle \frac 1 {21} Q_2$ soit

$U = \displaystyle \frac {- 1} {21} (\textrm{X} +4 )$ et

$V = \displaystyle \frac 1 {21} (1 + Q_1 \, Q_2)$ soit

$V = \displaystyle \frac 1 {21} ( \textrm{X}^2 +5 \textrm {X} +5 )$

$\bullet$ En utilisant l’algorithme étendu sachant que

$Q_1 = \textrm{X} + 1$ et

$Q_2 = (\textrm{X} + 4$ On définit

$\ast$

$(U_0 \,, \, V_ 0) = (1\, ,\, 0)$

$\ast$

$(U_1 \,, \, V_1) = (0 \, , \, 1)$

$\ast$

$(U_2 \,, \, V_2) = (U_0 - Q_1 \, U_1 \, , \, V_0 - Q_1 \, V_1 )$

$(U_2 \,, \, V_2) = (1 \, , \, - Q_1)$

$\ast$

$(U_3 \,, \, V_3) = (U_1 - Q_2 \, U_2 \, , \, V_1 - Q_2 \, V_2 )$

$(U_3 \,, \, V_3) = (- Q_2 \, , \,1 + Q_1\, Q_2)$ donne

$21( \textrm{X} + 4) = ( - Q_2) A + (1 + Q_1 \, Q_2) B$ .

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2. Relation de Bezout

$B = b \, \in \mathbb{K}^*$ ,

$A \wedge B = 1$ et

$A + \displaystyle \left ( 1 - \frac 1 b \, A \right ) B = b$ la relation de Bezout (arithmétique en Maths Sup) est évidente par division par

$b$ de cette relation. On suppose dans la suite $A$ et $B$ non constants. On peut trouver

$U$ et

$V$ de la relation de Bezout : Il existe

$(U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2$ tels que

$A \, U + B \, V = \textrm{PGCD}(A , \, B)$ , en utilisant l’algorithme d’Euclide étendu Poser

$R_0 = A$ et

$R_1 = B$ avec

$\textrm{deg} A \geq \textrm{deg}(B)$ .

$A \wedge B$ est le polynôme unitaire proportionnel au dernier résultat non nul dans la suite des divisions euclidiennes suivantes : on écrit si

$1 \leq k \leq n - 2, \, R_{k - 1} = R_k \, Q_k + R_{k + 1}$ avec

$\textrm{deg} \, R_{k + 1} < \textrm{deg} \, R_k$ et

$R_{n - 1} = R_{n} \, Q_{n} \,$ . En notant

$\left \{ \begin{matrix} U_0 = 1 \, ,\, V_0 = 0 \\ U_1 = 0 \, , \, V_1 = 1 \end{matrix} \right.$ , et si

$1 \leq k \leq n - 1$ ,

$\quad \left \{ \begin{matrix} U _{k + 1} & =&- Q_k \, U_k + U_{k - 1} \\V _{k + 1} & =&- Q_k \, V_k + V_{k - 1} \end{matrix} \right.$ alors pour tout

$0 \leq k \leq n,$

$\quad \quad \, R_k = A \, U_k + B \, V_k\,$ ce qui permet de trouver par récurrence

$R_n = A \, U_n + B \, V_n\,$ et d’en déduire la relation de Bezout. 👍 lorsque

$n$ est faible, on peut « remonter » l’algorithme de Bezout petit à petit en partant de

$\quad R _n = R_{n - 2} - R_{n - 1} \, Q_{n - 1}$ puis en utilisant

$\quad R_{n - 1} = - R_{n - 3} - R_{n - 2} \, Q_{n - 2}$ et en réitérant le principe, jusqu’à tout exprimer en fonction de

$R_0 = A$ et

$R_1 = B$ . ⚠️ Il n’y a pas unicité du couple

$(U \, , \, V)$ de la relation de Bezout car

$(U + Q\, B\, , \, V - Q\, A)$ est aussi solution pour tout

$Q \in \mathbb{K} [\textrm{X}]$ . Démo : On note si

$1 \leq k \leq n - 1$ ,

$H _ k :$

$\left \{ \begin{matrix}R _{k - 1} & =&A \, U_{k - 1}+ B \,V _{k - 1} \\ R _{k} & =&A \, U_k + B \,V _{k } \end{matrix} \right.$

$H_1$ est vraie par choix de

$U_0 \, , \, U_1 \,, \, V_0 \, , \, V_1$ car

$R_0 = A$ et

$R_1 = B$ . On suppose que

$H_k$ est vraie et que

$k < n$ .

$R_{k + 1} = - Q_k \, R_k + R_{k - 1}\,$ . En utilisant

$H_k\,$ ,

$R_{k + 1} = - Q_k (A \, U_k + B \,V _{k })$

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, A \, U_{k - 1}+ B \,V _{k - 1}$

$R_{k + 1} = A ( - Q_k \, U_k + U_{k - 1} )$

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, B ( - Q_k \,V _{k } +V _{k - 1})$ et en utilisant les définitions de

$U_{k + 1}$ et

$V_{k + 1}\,$ ,

$R _{k+1} =A \, U_{k + 1} + B \,V _{k + 1}\,$ , ce qui prouve

$H_{k + 1}\,$ . Exemple Soient

$A = \textrm{X}^4 + 4\, \textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 - 16$ et

$B = \textrm{X}^3 + 3 \, \textrm{X}^2 - 3 \textrm{X} + 4$ . Trouver

$A \wedge B$ et une identité de Bezout. Correction :

$\bullet$ Algorithme d’Euclide : On note

$R_0 = A$ et

$R_1 = B$ .

$\ast$

$R_0 = Q_1\, R_1 + R_2$ avec

$Q_1 = \textrm{X} + 1$ et

$R_2 = \textrm{X}^2 - \textrm{X} - 20$

$\ast$

$R_1 = Q_2 \, R_2 + R_3$ et

$Q_ 2 = \textrm{X} + 4$ et

$R_3 = 21 \, Q_2$

$\ast$

$R _ 3 = 21( \textrm{X} + 4)$ et

$R_2 (- 4) = 0$ donnent :

$R_3$ divise

$R_2\,$ , donc

$R_4 = 0$ .

$R_3$ est le dernier reste non nul

$\ast conclusion$

$A \wedge B = \textrm{X} + 4$

$\bullet$ Identité de Bezout en remontant l’algorithme de Bezout :

$R_3 = R_1 - Q_2 R_2$

$R_3 = R_1 - Q_2 (R_0 - Q_1 \, R_1)$

$R3 = R_1 \left ( 1 + Q_1 \, Q_2 \right ) - Q_2 \, R_0$ En divisant par 21 :

$\quad \quad \quad \textrm{X} + 4 = U \, A + V \, B$ avec

$U = - \displaystyle \frac 1 {21} Q_2$ soit

$U = \displaystyle \frac {- 1} {21} (\textrm{X} +4 )$ et

$V = \displaystyle \frac 1 {21} (1 + Q_1 \, Q_2)$ soit

$V = \displaystyle \frac 1 {21} ( \textrm{X}^2 +5 \textrm {X} +5 )$

$\bullet$ en utilisant l’algorithme étendu sachant que

$Q_1 = \textrm{X} + 1$ et

$Q_2 = \textrm{X} + 4$ On définit

$\ast$

$(U_0 \,, \, V_ 0) = (1\, ,\, 0)$

$\ast$

$(U_1 \,, \, V_1) = (0 \, , \, 1)$

$\ast$

$(U_2 \,, \, V_2) = (U_0 - Q_1 \, U_1 \, , \, V_0 - Q_1 \, V_1 )$

$\quad (U_2 \,, \, V_2) = (1 \, , \, - Q_1)$

$\ast$

$(U_3 \,, \, V_3) = (U_1 - Q_2 \, U_2 \, , \, V_1 - Q_2 \, V_2 )$

$\quad (U_3 \,, \, V_3) = (- Q_2 \, , \,1 + Q_1\, Q_2)$ donne

$21( \textrm{X} + 4) = ( - Q_2) A + (1 + Q_1 \, Q_2) B$ .

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3. Propriétés des PGCD et PPCM

$\bullet$ Si

$A , B , C , P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ ,

$\ast$

$(A\wedge B) \wedge C = A \wedge (B \wedge C)$

$\ast$

$P(A \wedge B)$ et

$(P A) \wedge (P B)$ sont associés.

$\bullet$ Si

$A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n$ sont des éléments non nuls de

$\mathbb{K}[\textrm{X}]$ , le PGCD de cette famille est le polynôme unitaire noté

$A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n$ qui est le diviseur unitaire commun aux

$n$ polynômes de degré maximal. Il existe des polynômes

$U_1 \, , \, U_2 \, , \, \cdots \, ,\, U_n$ de

$\mathbb{K}[\textrm{X}]$ tels que

$\displaystyle A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n = \sum _{k = 1} ^n U_k \, A_k \,$ . (Relation de Bezout)

$\bullet$ Si

$A , B \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ , on appelle PPCM de

$A$ et

$B$ tout élément

$M \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ vérifiant les deux conditions :

$\quad \ast$

$M$ est un multiple de

$A$ et

$B$

$\quad \ast$ Si

$P$ est un multiple de

$A$ et

$B$ ,

$P$ est un multiple de

$M$ . Lorsque

$A$ et

$B$ sont non nuls, tous les PPCM sont associés et on note

$A \vee B$ le seul PPCM unitaire.

$\bullet$ Si

$A , B \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\setminus \{0\}$ ,

$(A \vee B) \, (A \wedge B)$ et

$A \, B$ sont associés.

4. Polynômes premiers entre eux

$\bullet$

$A$ et

$B$ de

$\mathbb{K}[\textrm{X}]$ sont premiers entre eux ssi

$A \wedge B = 1$ ssi

$\exists \, (U \, , \, V) \in \mathbb{K}[\textrm{X}]^2$ ,

$A \, U + B \, V = 1$ .

$\bullet$

$A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n$ de

$\mathbb{K}[\textrm{X}]$ sont premiers entre eux dans leur ensemble ssi

$A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n = 1$ ssi Il existe

$U_1 \, , \, U_2 \, , \, \cdots \, ,\, U_n$ de

$\mathbb{K}[\textrm{X}]$ tels que

$\displaystyle \sum _{k = 1} ^n U_k \, A_k \, = 1$ .

$\bullet$ Si

$A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n$ de

$\mathbb{K}[\textrm{X}]$ sont premiers deux à deux, ils sont premiers entre eux dans leur ensemble. ⚠️ la réciproque est fausse.

$\bullet$ Théorème de Gauss

$A , B , C \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ non nuls, Si

$A \wedge B = 1$ et

$A$ divise

$B \, C$ , alors

$A$ divise

$C$ .

$\bullet$ Soient

$A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n\, , \, P$ de

$\mathbb{K}[\textrm{X}]$

$\ast$

$\forall \, i \in [\![1 \, , \, n]\!],\, P \wedge A_i = 1$ , alors

$P \wedge (A_1 \, \cdots \, A_n) = 1$ .

$\ast$

$\forall \, i \in [\![1 \, , \, n]\!],\, A_i$ divise

$P$ et si les polynômes

$(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont premiers 2 à 2, alors

$A_1 \, \cdots \, A_n$ divise

$P$ . Les mathématiques sont très importantes en Maths Sup, et le coefficient de cette épreuve est très élevé aux concours post-prépa. Adopter les bons réflexes et maîtriser parfaitement les notions de Maths Sup est fondamental pour réussir ces concours. Les cours en ligne et des professeurs particulier de maths sont mis à disposition des étudiants de PTSI, PCSI et MPSI pour les aider dans leurs révisions et les faire progresser durablement. Ainsi, à la fin de ce cours, les étudiants sont invités à consulter et travailler sur les prochains chapitres du programme :

Cours : Arithmétique Polynômes en Maths Sup MPSI, MP2I

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Plan :

1.Trouver un PGCD de $A$ et $B$

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