Chapitres Maths en Terminale Générale

Conditionnement et indépendance en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Résumé de cours Probabilités : conditionnement et indépendance

Découvrez un résumé de cours ainsi que des exercices et des corrigés d’exercices sur les probabilités. Les probabilités sont un des chapitres les plus importants au programme de maths en Terminale, si vous un etes lyonais n’hésitez pas à prendre des cours de maths à Lyon pour maitriser le conditionnement et l’indépendance. D’autant plus que les notions abordées dans ce chapitre seront utiles dans tous les domaines d’études dans le supérieur. Que ce soit dans les meilleures écoles d’ingénieurs post-bac, les meilleures écoles de commerce post-bac ou encore pour les meilleures prepa scientifiques et HEC.

1.Conditionnement et indépendance

Définition : probabilité conditionnelle

Soient des événements $A$ et $B$ . Si $A$ est de probabilité non nulle, alors la probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A}(B)$ , est définie par :

$\boxed{P_{A}(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}}$

Définition : événements indépendants

Des événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si et seulement si $\boxed{P(A \cap B) = P(A) \times P(B)}$ .

Théorème

Soient des événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles. Les trois assertions suivantes sont équivalentes :

$\text{(i) }P_{A}(B)=P(B)$

$\text{(ii) }P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

$\text{(iii) }P_{B}(A)=P(A)$

Définition : indépendance de $2$ variables aléatoires

Soient $2$ variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur $E$ . On note $x_{1}, x_{2},..., x_{k}$ les valeurs prises par $X$ et $y_{1}, y_{2},...,y_{r}$ celles prises par $Y$ .

$X$ et $Y$ sont dites indépendantes si et seulement si, pour tout $i$ de $\{1,2,...,k\}$ et tout $j$ de $\{1,2,...,r\}$ :

$P(X=x_{i}\text{ et }Y=y_{j})$

$= P(X=x_{i}) \times P(Y=y_{j})$

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2.Combinaisons

Définition

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ , soit $p$ un entier naturel

$\bullet$ Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est une partie de $E$ possédant $p$ éléments. On note $\begin{pmatrix} n \\ p \\ \end{pmatrix}$ le nombre de combinaisons de $p$ éléments de $E$ .

$\bullet$ Si $p=0$ , alors $\begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} = 1$ .

$\bullet$ Si $0 < p \leq n$ , alors : $\begin{pmatrix} n \\ p \\ \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{n (n-1)\times ... \times (n-p+1)}{p (p-1) \times ... \times 2 \times 1}}$
= $\displaystyle{\frac{n!}{p!(n-p)!}}$ .

Propriétés

$\bullet$ Pour tout entier naturel $n$ : $\begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n \\ \end{pmatrix} = 1$ et si $n \geq 1$ : $\begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \end{pmatrix} = n$ .

$\bullet$ Pour tous entiers naturels $n$ et $p$ tels que $p \leq n$ , on a : $\begin{pmatrix} n \\ p \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-p \\ \end{pmatrix}$ .

$\bullet$ Formule de Pascal : pour tous entiers naturels $n$ et $p$ tels que $p < n$ , on a :

$\boxed{\begin{pmatrix} n+1 \\ p+1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ p \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ p+1 \\ \end{pmatrix}}$

Formule du binôme de Newton

Pour tous complexes (et donc réels) $a$ et $b$ , et tout entier naturel non nul $n$ :

$(a+b)^{n}$ =

$a^{n} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + ... + \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} a^{n-k}b^{k} + ... + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \end{pmatrix} a^{1}b^{n-1} + b^{n} = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} a^{n-k}b^{k}$

Exemple :

Calculer

$\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ \end{pmatrix}$

3. Lois de probabilités discrètes

Loi de Bernoulli

Une variable aléatoire $X$ , prenant la valeur $1$ avec la probabilité $p$ et la valeur $0$ avec la probabilité $1-p$ , suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . On notera alors :

$\boxed{X \thicksim B(p)}$

L’espérance et la variance d’une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p$ sont données par :

$\boxed{E(X)=p\text{ et }Var(X)=p(1-p)}$

Loi binomiale

La somme $X$ de $n$ variables aléatoires indépendantes de Bernoulli, prenant la valeur $1$ avec la probabilité $p$ et la valeur $0$ avec la probabilité $1-p$ , suit la loi binomiale de paramètre $(n,p)$ . On notera :

$\boxed{X \thicksim B(n,p)}$

$\bullet$ Les valeurs prises par $X$ sont les entiers de $0$ à $n$ .

$\bullet$ Pour tout entier $k$ tel que : $0 \leq k \leq n$ , $P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} p^{k}(1-p)^{n-k}$ .

$\bullet$ L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $(n,p)$ sont données par :

$\boxed{E(X)=np\text{ et }Var(X)=np(1-p)}$

Exercices sur les probabilités : conditionnement et indépendance

Dans une entreprise, un technicien passe chaque semaine pour s’occuper de l’entretien des machines. A chacun de ses passages hebdomadaires, il décide, pour chaque machine, si une intervention est ou non nécessaire. Pour un certain type de machine, le technicien est intervenu la première semaine de leur installation et a constaté :

$\bullet$ que, s’il est intervenu la $n$ -ième semaine, la probabilité qu’il intervienne la $(n+1)$ -ième semaine est égale à $\displaystyle {\frac{3}{4}}$ ;

$\bullet$ que, s’il n’est pas intervenu la $n$ -ième semaine, la probabilité qu’il intervienne la $(n+1)$ -ième semaine est égale à $\displaystyle{\frac{1}{10}}$ .

On désigne par $E_{n}$ l’événement : « le technicien intervient la $n$ -ième semaine » et par $p_{n}$ la probabilité de cet événement $E_{n}$ .

Question 1 :

Donner les nombres $P(E_{1})=p_{1}$ , $P_{E_{n}}(E_{n+1})$ et $P_{\overline{E_{n}}}(E_{n+1})$ .

Question 2 :

Déterminer, en fonction de $p_{n}$ , $P(E_{n+1} \cap E_{n})$ et $P(E_{n+1} \cap \overline{E_{n}})$ .

Question 3 :

En déduire que, $\forall n \in \mathbb{N}^{*}\text{, }p_{n+1}=\displaystyle {\frac{13}{20}}p_{n}+\displaystyle {\frac{1}{10}}$ .

Question 4 :

On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul : $q_{n}=p_{n}-\displaystyle {\frac{2}{7}}$ .

Démontrer que la suite $(q_{n})$ est géométrique. Quelle est sa limite ?

Question 5 :

En déduire la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , et l’expression de $p_{n}$ en fonction de $n$ .

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Annales sur les Probabilités : conditionnement et indépendance en Terminale

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Mais tous les élèves peuvent également maximiser et approfondir leurs connaissances de cours en maths, avec l’ensemble de nos cours en ligne de maths gratuits. Quelques exemples de cours en ligne de maths au programme de terminale :

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