Chapitres Maths en ECS2

Cours : Couples de variables aléatoires discrètes

Lois, Indépendance, Somme, Covariance

1. Loi d’un couple $(X,Y)$ de v.a.r. discrètes

Méthode 1 : Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes définies sur un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , qu’est-ce que la tribu liée au couple $(X,Y)$ ? Quels liens y a-t-il avec les tribus liées à $X$ et à $Y$ ?

$\bullet$ La tribu liée au couple $(X,Y)$ , notée $\mathcal{A}_{(X,Y)}$ , est la plus petite tribu sur $\Omega$ contenant les $[X=x]\cap[Y=y]$ ,

$(x,y)\in \Omega'_{(X,Y)}$ , où $\Omega'_{(X,Y)}=\{(X(\omega),Y(\omega))|\omega\in \Omega\}$ est l’ensemble des valeurs prises par le couple $(X,Y)$ .

$\bullet$ Les $[Y=y]$ , $y\in Y(\Omega)$ , forment un système complet d’événements, donc pour tout $x$ de $X(\Omega)$ ,

$[X=x]=\displaystyle \bigcup_{y\in Y(\Omega)}\left([X=x]\cap[Y=y]\right)$ , donc $[X=x]\in\mathcal{A}_{(X,Y)}$ .

Donc $\mathcal{A}_{X}\subset \mathcal{A}_{(X,Y)}$ , et de même, $\mathcal{A}_{Y}\subset \mathcal{A}_{(X,Y)}$ .

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Exemple :

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , à valeurs dans $\mathbb{Z}$ , $\mathcal{A}_{(X,Y)}$ contient,
pour tous $j$ et $k$ de $\mathbb{Z}$ , les événements $[X\leq j]\cap[Y\leq k]$ , les $[X\leq j]\cap [Y\geq k]$ , les $[X\geq j]\cap [Y\geq k]$ .

Méthode 2 : Si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , comment peut-on donner la loi du couple $(X,Y)$ ?

La loi du couple $(X,Y)$ est donnée par:

$\bullet$ l’ensemble $\Omega'_{(X,Y)}=(X,Y)(\Omega)$ des valeurs prises par le couple;

$\bullet$ pour tout $(x,y)$ de $\Omega'_{(X,Y)}$ , $\ \mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$ .

Les $[X=x]\cap[Y=y]$ , $(x,y)\in \Omega'_{(X,Y)}$ , forment un système complet d’événements.

On peut remarquer que $\Omega'_{(X,Y)}\subset X(\Omega)\times Y(\Omega)$ .

Exemple : $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ , $Y=(-1)^{X}$ . Trouver la loi du couple $(X,Y)$ .

Méthode 3 : Comment reconnaître qu’une famille $(p_{i,j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}}$ est la loi d’un couple $(X,Y)$ de v.a.r. à valeurs dans $\mathbb{N}$ (c’està-dire que pour tous $i,j$ de $\mathbb{N}$ , $p_{i,j}=\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])$ )?

C’est le cas si et seulement si pour tout $(i,j)$ de $\mathbb{N}^{2}$ $p_{i,j}\geq 0$ , et $\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}}p_{i,j}=1$ , ce qui traduit
que les $[X=i]\cap[Y=j]$ , $(i,j)\in \Omega'_{(X,Y)}$ forment un système complet d’événements.

Exemple : La famille $(\lambda e^{i+j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}}$ est la loi d’un couple de v.a.r. discrètes pour $\lambda$ = …

(i) $\lambda=(1-e^{2})$ ?

(ii) $\lambda=(1-e)^{2}$ ?

(iii) $\lambda=(1-e)$ ?

Réponse : (ii)

Méthode 4 : Comment retrouver les lois des v.a.r. discrètes $X$ et $Y$ quand on connait la loi du couple $(X,Y)$ ?

$\bullet$ En utilisant la formule des probabilités totales avec les systèmes complets d’événements $([Y=y])_{y\in Y(\Omega)}$ et $([X=x])_{x\in X(\Omega)}$ :

$\mathbb{P}([X=x])=\displaystyle \sum_{y\in Y(\Omega)}\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$
et
$\mathbb{P}([Y=y])=\displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)}\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$ .

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}^{*}$ , si pour $(i,j)\in \Omega'$ , $\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])$ est placée dans la i-ème ligne et la j-ème colonne d’un tableau, $\mathbb{P}([X=i])$ est la somme des éléments de la i-ème ligne du tableau, $\mathbb{P}([Y=j])$ est la somme des éléments de la j-ème colonne.

Les lois de $X$ et $Y$ sont appelées lois marginales du couple: on inscrit leurs valeurs dans les marges du tableau.

Exemple : Pour $(i,j)\in \mathbb{N}^{2}$ , $p_{i,j}=\dfrac{1}{e}\dfrac{1}{i!j!2^{i+j}}$ . On admet que la famille $(p_{i,j})$ est la loi d’un couple $(X,Y)$ de v.a.r. discrètes. Alors :

(i) $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $2$ et $Y$ une loi de Poisson de paramètre $1/2$ ?
(ii) $X$ et $Y$ suivent une loi de Poisson de paramètre $2$ ?
(iii) $X$ et $Y$ suivent une loi de Poisson de paramètre $1/2$ ?

Réponse : (iii)

2. Indépendance

Méthode 5 : Comment montrer que deux v.a.r. discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

$\bullet$ Les v.a.r. discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si : pour tout $x$ de $X(\Omega)$ et tout $y$ de $Y(\Omega)$ ,

$\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$

$=\mathbb{P}([X=x])\mathbb{P}([Y=y])$

ce que l’on traduit par : la loi du couple

$(X,Y)$ est le produit des lois marginales.

$\bullet$ Si l’on effectue deux expériences indépendantes par hypothèse, si les valeurs prises par

$X$ dépendent des résultats de la première expérience et les valeurs prises par

$Y$ des résultats de la deuxième,

$X$ et

$Y$ sont indépendantes. La probabilité

$\mathbb{P}$ utilisée traduit cette indépendance.

Exemple : $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ qui suivent des lois de Bernouilli de paramètres $\alpha$ et $\beta$ . $X$ et $Y$ sont indépendantes si ,et seulement si …(i) $XY$ suit une loi de $Bernouilli(\alpha \beta)$

(ii) $[X=1]$ et $[Y=1]$ sont indépendants

(iii) $[X=1]$ et $[Y=0]$ sont indépendants

Réponse : Les 3 réponses sont correctes !

(i) $[XY=1]=[X=1]\cap[Y=1]$ , donc si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $XY$ prend la valeur $1$ avec probabilité $\alpha \beta$ , et sinon prend la valeur $0$ ; réciproquement, si $XY$ suit une loi de Bernouilli de paramètre $\alpha \beta$ , $[X=1]$ et $[Y=1]$ sont indépendants, donc le complémentaire de $[X=1]$ , $[X=0]$ , et $[Y=1]$ aussi, donc aussi par le même argument $[X=0]$ et $[Y=0]$ , donc enfin $[X=1]$ et $[Y=0]$ ; donc $X$ et $Y$ sont indépendantes.

(ii) Si deux événements sont indépendants, on peut remplacer l’un des deux, ou les deux, par leur complémentaire, on obtient encore des événements indépendants.

(iii) Si deux événements sont indépendants, on peut remplacer l’un des deux, ou les deux, par leur complémentaire, on obtient encore des événements indépendants.

Méthode 6 : Comment exploiter l’indépendance de deux v.a.r. discrètes sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ ?

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, toute union d’événements $[X=i]$ , $\ i\in X(\Omega)$ , est indépendante de toute union d’événements $[Y=j]$ , $\ j\in Y(\Omega)$ .

En particulier, pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R}$ , $[X\leq x]$ et $[Y\leq y]$ sont indépendants.

Ex: $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ .

On pose, pour tout $\omega$ de $\Omega$ , $U(\omega)=\textrm{max}(X(\omega),Y(\omega))$ et $V(\omega)=\textrm{min}(X(\omega),Y(\omega))$ .

Calculer, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $\mathbb{P}([U\leq n])$ et $\mathbb{P}([V\geq n])$ .

Réponse :

$[U\leq n]=[X\leq n\cap[Y\leq n]$

$[V\geq n]=[X\geq n]\cap [Y\geq n]$ ,

donc :

$\mathbb{P}([U\leq n])=\mathbb{P}([X\leq n])\mathbb{P}([Y\leq n])$

et $\mathbb{P}[V\geq n]=\mathbb{P}([X\geq n])\mathbb{P}([Y\geq n])$ .

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3. Somme de deux v.a.r. discrètes indépendantes

Méthode 7 : Comment trouver la loi de $X+Y$ quand $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes indépendantes sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ ?

Qu’est-ce que le produit de convolution discret ?

$\bullet$ Si $Z=X+Y$ , $Z(\Omega)=X(\Omega)+Y(\Omega)$ , et pour tout $z$ de $Z(\Omega)$

$\mathbb{P}([Z=z])$

$=\displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)}\mathbb{P}([X=x])\mathbb{P}([Y=z-x]).$

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ , on note, pour tous $k,l,n$ de $\mathbb{N}$ ,

$p_{k}=\mathbb{P}([X=k])$ , $q_{l}=\mathbb{P}([Y=l])$ , $r_{n}=\mathbb{P}([X+Y=n])$ .

Alors pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $r_{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}p_{k}\ q_{n-k}$ .

On écrit $r=p*q$ : $*$ est le produit de convolution, $r$ est la convolée de $p$ et $q$ . On a : $p*q=q*p$ .

Si dans un tableau rectangulaire, $p_{k}q_{l}$ est placé à l’intersection de la $k^{\textrm{\`eme}}$ ligne et de la $l^{\textrm{\`eme}}$ colonne, $(p*q)_{n}$ est la somme des éléments de la diagonale numéro $n$ du tableau (la diagonale numéro $0$ a $1$ élément: $p_{0}q_{0}$ , la diagonale numéro $1$ en a $2$ : $p_{0}q_{1}$ et $p_{1}q_{0}$ , etc…).

Exemple : $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. indépendantes,sur un même espace probabilisé qui suivent des lois de Bernouilli de paramètres $\alpha$ et $\beta$ . Alors :

(i) $X+Y$ suit une loi de Bernouilli de paramètre $\alpha+\beta$ ?

(ii) $X+Y$ ne suit pas une loi de Bernouilli mais $\mathbb{P}([X+Y=1])=\alpha +\beta-2\alpha\beta$ ?

(iii) $X+Y$ ne suit pas une loi de Bernouilli mais $\mathbb{P}([X+Y=1])=\alpha+\beta-\alpha\beta$ ?

Réponse :

(i) Non : $(X+Y)[\Omega)=\{0,1,2\}$ .

(ii) Oui : $(X+Y)(\Omega)=\{0,1,2\}$ et $\mathbb{P}([X+Y=0])=(1-\alpha)(1-\beta)$ , $\mathbb{P}([X+Y=2])=\alpha\beta$ .

(iii) Oui et Non : $(X+Y)(\Omega)=\{0,1,2\}$

$\mathbb{P}([X+Y=0])=(1-\alpha)(1-\beta)$ ,

On a

$\mathbb{P}([X+Y=2])=\alpha\beta$ ,

$\mathbb{P}([X+Y=1])=\alpha+\beta-2\alpha\beta$ .

Méthode 8 : Qu’est-ce que la stabilité des lois binomiales et de Poisson?

$\bullet$ si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont deux v.a.r. définies sur le même espace probabilisé, si $X_{1}$ suit une loi $\mathcal{B}(n_{1},p)$ et $X_{2}$ une loi $\mathcal{B}(n_{2},p)$ et si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes, $X_{1}+X_{2}$ suit une loi $\mathcal{B}(n_{1}+n_{2},p)$ .

Interprétation : On effectue des épreuves successives indépendantes où la probabilité de succès est $p$ .

$X_{1}$ compte le nombre de succès obtenus pendant les $n_{1}$ premières épreuves, $X_{2}$ le nombre de succès obtenus pendant les $n_{2}$ épreuves suivantes.

Alors $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes, et $X_{1}+X_{2}$ compte le nombre de succès au cours des $n_{1}+n_{2}$ premières épreuves.

$\bullet$ Si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont deux v.a.r. définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, suivant des lois de Poisson de paramètres $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ , alors $X_{1}+X_{2}$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda_{1}+\lambda_{2}$ .

Exemple : Si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, et suivent des lois géométriques, $X_{1}+X_{2}$ suit-elle une loi géométrique ?

Réponse : Non !

En effet :

$(X_{1}+X_{2})(\Omega)= [ 2,+\infty [$

4. Etude de v.a.r. de la forme $g(X,Y)$

Méthode 9 : Comment trouver la loi d’une v.a.r de la forme $Z=g(X,Y)$ où $g$ est une application définie sur $\Omega'_{(X,Y)}$ (au moins) à valeurs réelles et $(X,Y)$ un couple de v.a.r. discrètes définies sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ ?

En notant $\Omega'=\Omega'_{(X,Y)}$ , on a: $Z(\Omega)=g(\Omega')$ .

Pour tout $z$ de $Z(\Omega)$ , $[Z=z]=\displaystyle \bigcup_{(x,y)\in \Omega',g(x,y)=z} [X=x]\cap[Y=y]$ : on voit que les $[Z=z]$ appartiennent à la tribu liée au couple $(X,Y)$ , c’est-à-dire que $\mathcal{A}_{Z}\subset \mathcal{A}_{(X,Y)}$ .

On a alors:

$\mathbb{P}(Z=z])$

$=\displaystyle \sum_{(x,y)\in \Omega',g(x,y)=z}\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$

Méthode 10 : Comment étudier l’espérance d’une v.a.r. de la forme $Z=g(X,Y)$ , où $(X,Y)$ est un couple de v.a.r. discrètes définies sur $(\Omega, \mathcal{A},\mathbb{P})$ à l’aide du théorème de transfert ?

Le théorème de transfert permet d’étudier l’espérance de $Z$ sans en calculer la loi, à partir de la loi du couple $(X,Y)$ :

$Z$ admet une espérance si et seulement la série $\displaystyle \sum_{(x,y)\in \Omega'_{(X,Y)}} |g(x,y)|\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$ converge et alors

$\mathbb{E}(Z)$

$=\displaystyle \sum_{(x,y)\in \Omega'_{(X,Y)}} g(x,y)\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$

Certains calculs se font plus simplement en utilisant $M'$ .

Par exemple si $M$ et $M'$ sont semblables, pour tout entier naturel $n$ , $M^{n}$ et $(M')^{n}$ sont semblables (ce sont deux matrices de $f^{n}$ ): si $M=PM'P^{-1}$ , $M^{n}=P(M')^{n}P^{-1}$ .

Exemple : On sait que $A=P\begin{pmatrix} 2& 0& 0\\ 0& 5& 0 \\ 0& 0& 3\end{pmatrix}P^{-1}$ . Calculer $A^{n}$ .

Réponse : $A^{n}=P\begin{pmatrix} 2^{n}&0& 0\\ 0& 5^{n}& 0\\ 0& 0& 3^{n}\end{pmatrix}P^{-1}$ .

5. Espérance, covariance, variance, corrélation linéaire

Méthode 11 : Que peut-on dire de l’espérance d’une combinaison linéaire ou d’un produit de v.a.r. discrètes sur un même espace probabilisé ?

$\bullet$ L’espérance est linéaire: si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes sur un même espace probabilisé qui admettent une espérance, si $a$ et $b$ sont des réels, $aX+bY$ admet une espérance et $\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)$ .

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes sur un même espace probabilisé, indépendantes, qui admettent une espérance, alors $XY$ admet une espérance et $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ .

En général, si $X$ et $Y$ admettent un moment d’ordre $2$ , c’est-à-dire si $X^{2}$ et $Y^{2}$ admettent une espérance, $XY$ admet une espérance et $\mathbb{E}(XY)\leq \dfrac{1}{2}(\mathbb{E}(X^{2})+\mathbb{E}(Y^{2}))$ .

Méthode 12 : Qu’est-ce que la covariance ? Quand existe-t-elle ? Comment la calculer ?

Si $(X,Y)$ est un couple de v.a.r. discrètes définies sur un même espace probabilisé la covariance du couple $(X,Y)$ , quand elle existe est définie par:

$\textrm{cov}(X,Y)=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y)\right))$

La covariance de $(X,Y)$ existe quand $XY$ admet une espérance, ce qui est réalisé si $X$ et $Y$ admettent un moment d’ordre $2$ .

La formule de Huygens donne: $\textrm{cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ .

Exemple : On effectue $n$ ( $n\geq2$ ) d’un dé bien équilibré. $X$ prend la valeur $1$ si on obtient un $6$ au premier lancer, et $0$ sinon, $Y$ prend la valeur $1$ si on obtient un $6$ aux premier et $n^{\textrm{\`eme}}$ lancés, la valeur $0$ sinon.

Que vaut la covariance de $(X,Y)$ ?

Réponse : $5/216$ .

$X$ et $Y$ suivent des lois de Bernouilli de paramètres $1/6$ et $1/36$ , et $XY=Y$ .

Méthode 13 : Quelles sont les propriétés de la covariance ?

$\bullet$ La covariance est bilinéaire, symétrique, positive:
$\bullet$ $\textrm{cov}(X,Y)=\textrm{cov}(Y,X)$ ;
$\bullet$ Si $(X,Y)$ et $(Y,Z)$ admettent une covariance, si $a$ et $b$ sont des réels, $(X,aY+bZ)$ admet une covariance et

$\textrm{cov}(X,aY+bZ)$

$=a\textrm{cov}(X,Y)+b\textrm{cov}(X,Z);$

$\bullet$ Si $\textrm{cov}(X,X)$ existe, alors

$\textrm{cov}(X,X)\geq 0;$

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r.discrètes indépendantes définies sur un même espace probabilisé et si $(X,Y)$ admet une covariance, $\textrm{cov}(X,Y)=0$ .
En particulier, si $Y$ est une v.a.r. constante, $Y=m$ , $\textrm{cov}(X,m)=0$ .

Exemple : $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ qui admettent un moment d’ordre $2$ .

On pose $M=\begin{pmatrix} \textrm{cov}(X,X)& \textrm{cov}(X,Y)\\ \textrm{cov}(X,Y)& \textrm{cov}(Y,Y) \end{pmatrix}$
$U=\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}$ , où $a,b,c,d$ sont des réels.

Alors $^{t}UMV=$ :

(i) $\textrm{cov}(aX+bY,cX+dY)$

(ii) $\textrm{cov}(aX+cY,bX+dY)$

(iii) $\textrm{cov}(aX+dY,bX+cY)$

Réponse : $^{t}UMV=(ac)\textrm{cov}(X,X)+(ad+bc)\textrm{cov}(X,Y)+(bd)\textrm{cov}(Y,Y)$

Méthode 14 : Qu’est-ce que la variance ? l’écart-type ? Quelles en sont les propriétés ?

$X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes définies sur un même espace probabilisé.

$\bullet$ $X$ admet une variance si et seulement si $X^{2}$ admet une espérance, et alors: $\textrm{Var}(X)=\textrm{cov}(X,X)=\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^{2})$ .

$\bullet$ La formule de Huygens donne: $\textrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-(\mathbb{E}(X))^{2}$ .

$\bullet$ Si $X$ admet une variance, on a toujours $\textrm{Var}(X)\geq 0$ .

On peut donc définir l’écart-type de $X$ , noté $\sigma_{X}$ , par: $\sigma_{X}=\sqrt{\textrm{Var}(X)}$ .

$\bullet$ Si $X$ est une v.a.r. constante, $\textrm{Var}(X)=0$ .

Réciproquement, si $X$ admet une variance nulle, $X$ est presque sûrement constante: $X=\mathbb{E}(X)$ p.s..

$\bullet$ Si $X$ admet une variance, pour tous $a$ et $b$ réels, $aX+b$ en admet une et $\textrm{Var}(aX+b)=a^{2}\textrm{Var}(X)$ .

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ admettent une variance, $X+Y$ en admet une et

$\textrm{Var}(X+Y)$

$=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)+2\textrm{cov}(X,Y)$

.
En particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $\textrm{Var}(X+Y)=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)$ .

Exemple : $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , qui admettent une variance, telles que:

$\textrm{Var}(X)=\textrm{Var}(2X+3Y)$ $=\textrm{Var}(-3X+2Y)=1$ .

Alors $\textrm{cov}(X,Y)=$

(i) $2/3$

(ii) $3/11$

(iii) $5/13$

Réponse : (iii) $5/13$

$3\textrm{Var}(Y)+4\textrm{cov}(X,Y)=-1$ et $\textrm{Var}(Y)-3\textrm{cov}(X,Y)=-2$

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Méthode 15 : Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz ?

Si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes définies sur un même espace probabilisé qui admettent un moment d’ordre $2$ , alors
$|\textrm{cov}(X,Y)|\leq \sigma_{X}\sigma_{Y}$ .

Exemple : Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , $\sigma_{X+Y}\leq \sigma_{X}+\sigma_{Y}$ .

Méthode 16 : Qu’est-ce que le coefficient de corrélation linéaire ? Quelles en sont les propriétés ?

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. définies sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ qui admettent une variance non nulle, le coefficient de corrélation linéaire
du couple $(X,Y)$ est le réel $\rho_{X,Y}$ défini par: $\rho_{X,Y}=\dfrac{\textrm{cov}(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}$ .

$\bullet$ On a: $-1\leq \rho_{X,Y}\leq 1$ , et: $\rho_{X,Y}=1$ si et seulement si il existe des réels $a$ et $b$ tels que $Y=aX+b$ p.s. et $a>0$ , $\rho_{X,Y}=-1$
si et seulement si il existe des réels $a$ et $b$ tels que $Y=aX+b$ p.s. et $a<0$ .

Exemple : $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes définies sur un même espace probabilisé qui admettent un moment d’ordre $2$ , $\lambda$ est un réel strictement positif.
Alors $\rho_{-\lambda X,Y}=$

(i) $-\lambda \rho_{X,Y}$

(ii) $\lambda^{2}\rho_{X,Y}$

(iii) $-\rho_{X,Y}$

Réponse : (iii) $-\rho_{X,Y}$

$\textrm{cov}(-\lambda X,Y)=-\lambda \textrm{cov}(X,Y)$ et $\sigma_{-\lambda X}=\lambda \sigma_{X}$

D’autres chapitres, exercices et exercices corrigés sont à disposition des étudiants d’ECS2 pour réviser les cours de maths :

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