Chapitres Maths en Terminale Générale

Dénombrement en terminale : cours, formules et méthodes

Par Seda Biber, mis à jour le 27/10/2026

Le dénombrement consiste à compter les éléments d’un ensemble fini sans les écrire un par un. En terminale, quatre formules suffisent dans la plupart des exercices : $n^k$ pour les k-uplets, $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ pour les k-uplets d’éléments distincts, $n!$ pour les permutations et $\dbinom{n}{k}$ pour les combinaisons. Pour choisir la bonne, posez-vous deux questions : l’ordre compte-t-il ? Un même élément peut-il apparaître plusieurs fois ?

Ce que l’on compte	Ordre	Répétition	Formule	Exemple
k-uplets d’un ensemble à n éléments	Oui	Oui	$n^k$	Codes à 4 chiffres : $10^4=10\,000$
k-uplets d’éléments distincts	Oui	Non	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	Podiums de 3 parmi 8 coureurs : $8\times 7\times 6=336$
Permutations de n éléments	Oui	Non	$n!$	Rangements de 5 livres : $5!=120$
Combinaisons (parties à k éléments)	Non	Non	$\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$	Choix de 3 délégués parmi 30 : $\dbinom{30}{3}=4\,060$
Parties d’un ensemble à n éléments	Sans objet	Sans objet	$2^n$	Parties de $\{a\,;b\,;c\}$ : $2^3=8$

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Qu’est-ce que le dénombrement en terminale ?

Dénombrer un ensemble fini $E$ , c’est calculer son cardinal, c’est-à-dire son nombre d’éléments, noté $\text{Card}(E)$ . Par convention, l’ensemble vide a pour cardinal 0.

Le chapitre « Combinatoire et dénombrement » appartient à la partie « Algèbre et géométrie » du programme de spécialité de terminale publié au BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, qui s’applique encore en 2026-2027. Un nouveau programme de terminale, publié au BO n° 14 du 2 avril 2026, entrera en vigueur à la rentrée 2027.

Le vocabulaire des ensembles sert dans tout le chapitre. Pour deux parties $A$ et $B$ d’un ensemble $E$ :

$A\cup B$ (A union B) contient les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ ;
$A\cap B$ (A inter B) contient les éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$ ;
$A$ et $B$ sont disjoints si $A\cap B=\emptyset$ ;
le complémentaire $\overline{A}$ contient les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ ;
le produit cartésien $A\times B$ est l’ensemble des couples $(a\,;b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$ . Un couple est ordonné : $(1\,;2)\neq(2\,;1)$ .

Plus généralement, un k-uplet (ou k-liste) d’éléments de $E$ est une suite ordonnée $(x_1\,;x_2\,;\ldots\,;x_k)$ de $k$ éléments de $E$ , éventuellement répétés. Un couple est un 2-uplet, un triplet est un 3-uplet.

Comment utiliser le principe additif et le principe multiplicatif ?

Le principe additif s’applique à une réunion d’ensembles disjoints : si $A\cap B=\emptyset$ , alors

$\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)$

Si les ensembles ne sont pas disjoints, on retire les éléments comptés deux fois : $\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)$ . Par exemple, dans une classe, 14 élèves font du latin, 9 font du grec et 4 font les deux. Le nombre d’élèves qui font au moins l’une des deux langues est $14+9-4=19$ .

Le principe multiplicatif s’applique à un produit cartésien :

$\text{Card}(A\times B)=\text{Card}(A)\times\text{Card}(B)$

Un menu propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Un repas complet est un triplet (entrée, plat, dessert) : il y a $3\times 4\times 2=24$ repas différents. Un arbre de choix donne le même résultat, avec 3 branches, puis 4, puis 2.

Comment dénombrer les k-uplets d’un ensemble ?

Si $E$ contient $n$ éléments, le nombre de k-uplets d’éléments de $E$ est égal à $\text{Card}(E^k)$ , c’est-à-dire :

$n^k$

C’est le principe multiplicatif appliqué $k$ fois : chaque position peut recevoir n’importe lequel des $n$ éléments. Les éléments peuvent se répéter et l’ordre compte.

Un code de carte à 4 chiffres est un 4-uplet de $\{0\,;1\,;\ldots\,;9\}$ : il y a $10^4=10\,000$ codes.
Avec les 26 lettres de l’alphabet, on peut écrire $26^3=17\,576$ « mots » de 3 lettres, qu’ils aient un sens ou non.
On tire successivement avec remise 3 boules dans une urne de 5 boules numérotées : il y a $5^3=125$ tirages possibles.

Combien de parties possède un ensemble à n éléments ?

Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties (on dit aussi sous-ensembles). Pour construire une partie, on décide pour chaque élément s’il en fait partie (1) ou non (0) : une partie correspond donc à un n-uplet de $\{0\,;1\}$ , et il y en a $2^n$ .

Pour $E=\{a\,;b\,;c\}$ , on trouve bien $2^3=8$ parties : $\emptyset$ , $\{a\}$ , $\{b\}$ , $\{c\}$ , $\{a\,;b\}$ , $\{a\,;c\}$ , $\{b\,;c\}$ et $\{a\,;b\,;c\}$ . N’oubliez ni l’ensemble vide ni $E$ lui-même.

Le même nombre $2^n$ compte les chemins d’un arbre à $n$ niveaux avec deux branches à chaque niveau, ou les issues d’une suite de $n$ épreuves de Bernoulli (succès ou échec). C’est le point de départ de la loi binomiale.

Comment dénombrer les k-uplets d’éléments distincts ?

Si les éléments ne peuvent pas se répéter, le premier élément se choisit parmi $n$ , le deuxième parmi $n-1$ , et ainsi de suite. Pour $k\leqslant n$ , le nombre de k-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à $n$ éléments est :

$n\times(n-1)\times\ldots\times(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$

Le produit compte exactement $k$ facteurs. Beaucoup de manuels appellent ces k-uplets des arrangements et notent leur nombre $A_n^k$ , mais cette notation n’est pas exigée par le programme.

Course de 8 coureurs : il y a $8\times 7\times 6=336$ podiums possibles (or, argent, bronze).
On tire successivement sans remise 3 boules dans une urne de 5 boules : il y a $5\times 4\times 3=60$ tirages.

Qu’est-ce qu’une factorielle et une permutation ?

Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ , la factorielle de $n$ est le produit des entiers de 1 à $n$ :

$n!=1\times 2\times\ldots\times n$ , avec par convention $0!=1$

On a aussi $(n+1)!=(n+1)\times n!$ , une relation de récurrence utile dans les démonstrations par raisonnement par récurrence. Les premières valeurs sont : $1!=1$ , $2!=2$ , $3!=6$ , $4!=24$ , $5!=120$ , $6!=720$ . La factorielle grandit très vite : $10!=3\,628\,800$ .

Une permutation d’un ensemble à $n$ éléments est un n-uplet de ses éléments, tous distincts : c’est une façon de les ranger dans un ordre. Il y en a $n!$ (cas $k=n$ de la formule précédente). Les 5 lettres distinctes du mot MATHS donnent $5!=120$ anagrammes.

Comment calculer une combinaison (coefficient binomial) ?

Une combinaison de $k$ éléments d’un ensemble $E$ à $n$ éléments est une partie de $E$ à $k$ éléments. L’ordre ne compte pas et il n’y a pas de répétition. Leur nombre se note $\dbinom{n}{k}$ et se lit « k parmi n ». Pour $0\leqslant k\leqslant n$ :

$\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}=\dfrac{n\times(n-1)\times\ldots\times(n-k+1)}{k!}$

Pourquoi divise-t-on par $k!$ ? Chaque partie à $k$ éléments peut être rangée de $k!$ façons et donne donc $k!$ k-uplets d’éléments distincts. Avec 8 coureurs, les 336 podiums correspondent à $\dfrac{336}{3!}=\dfrac{336}{6}=56$ groupes de 3 coureurs, sans tenir compte des médailles. On retrouve $\dbinom{8}{3}=56$ .

Retenez les valeurs particulières :

$\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1$ (une seule partie vide, une seule partie égale à $E$ ) ;
$\dbinom{n}{1}=n$ ;
$\dbinom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ . Par exemple, 20 personnes qui se serrent toutes la main échangent $\dbinom{20}{2}=190$ poignées de main.

Autres exemples : on peut choisir 3 délégués dans une classe de 30 élèves de $\dbinom{30}{3}=\dfrac{30\times 29\times 28}{6}=4\,060$ façons. Dans un jeu de 32 cartes, il existe $\dbinom{32}{5}=201\,376$ mains de 5 cartes. Un tirage simultané de cartes ou de boules se compte toujours avec une combinaison.

💡 Astuce : à la calculatrice, utilisez la fonction nCr, dans le menu des probabilités (PRB ou PROB selon le modèle). Pour

$\dbinom{30}{3}$ , tapez 30 nCr 3. La fonction nPr donne le nombre de k-uplets d’éléments distincts : 8 nPr 3 affiche 336.

Quelles sont les propriétés des coefficients binomiaux ?

Trois propriétés sont au programme, avec leurs démonstrations.

Symétrie. Pour $0\leqslant k\leqslant n$ , $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}$ . Choisir les $k$ éléments que l’on garde revient à choisir les $n-k$ éléments que l’on laisse. Exemple : $\dbinom{30}{27}=\dbinom{30}{3}=4\,060$ .

Relation de Pascal. Pour $1\leqslant k\leqslant n-1$ :

$\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}=\dbinom{n}{k}$

Démonstration par dénombrement : fixez un élément $a$ de $E$ . Les parties à $k$ éléments qui contiennent $a$ se forment en choisissant les $k-1$ autres éléments parmi les $n-1$ restants, soit $\dbinom{n-1}{k-1}$ parties. Celles qui ne contiennent pas $a$ choisissent leurs $k$ éléments parmi $n-1$ , soit $\dbinom{n-1}{k}$ parties. Ces deux ensembles sont disjoints, et le principe additif donne la formule. On peut aussi la démontrer par le calcul, avec les factorielles.

Somme d’une ligne. $\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\ldots+\dbinom{n}{n}=2^n$ . Le membre de gauche compte les parties de $E$ en les classant selon leur nombre d’éléments, le membre de droite les compte toutes d’un coup.

La relation de Pascal permet de construire le triangle de Pascal : chaque nombre est la somme du nombre situé au-dessus et de celui situé au-dessus à gauche. La ligne $n$ donne les coefficients $\dbinom{n}{k}$ .

n \ k	0	1	2	3	4	5	6	Somme
0	1							1
1	1	1						2
2	1	2	1					4
3	1	3	3	1				8
4	1	4	6	4	1			16
5	1	5	10	10	5	1		32
6	1	6	15	20	15	6	1	64

Exemple de lecture : $\dbinom{6}{2}=15$ , et la relation de Pascal donne bien $\dbinom{5}{1}+\dbinom{5}{2}=5+10=15$ .

Comment choisir la bonne formule de dénombrement ?

Avant de calculer, identifiez précisément les objets que vous comptez. Un même énoncé peut se modéliser par un ensemble, un arbre, un tableau ou un mot. Ensuite, répondez aux deux questions du tableau en haut de page :

tirages successifs avec remise : l’ordre compte, les répétitions sont possibles, on compte des k-uplets, soit $n^k$ ;
tirages successifs sans remise : l’ordre compte, pas de répétition, on compte des k-uplets d’éléments distincts, soit $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ ;
tirages simultanés : l’ordre ne compte pas, on compte des combinaisons, soit $\dbinom{n}{k}$ .

Passer par le complémentaire. Pour compter les cas où il y a « au moins un » élément d’un certain type, comptez plutôt les cas où il n’y en a aucun et retirez-les du total. Parmi les $10^4=10\,000$ codes à 4 chiffres, $9^4=6\,561$ ne contiennent aucun 7. Il y a donc $10\,000-6\,561=3\,439$ codes qui contiennent au moins un 7.

Mots et chemins. Le nombre de mots de $n$ lettres formés de $k$ lettres A et de $n-k$ lettres B est $\dbinom{n}{k}$ : il suffit de choisir les $k$ positions des A. Il y a ainsi $\dbinom{5}{2}=10$ mots de 5 lettres avec 2 A et 3 B. Le même calcul compte les chemins d’un arbre de $n$ épreuves de Bernoulli qui réalisent exactement $k$ succès, d’où la formule $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ de la loi binomiale.

💡 Astuce : pour vérifier une formule, testez-la sur un petit cas que vous pouvez énumérer à la main ou avec un arbre. Si l’arbre de

$\{a\,;b\,;c\}$ donne 6 rangements, la formule doit aussi donner

$3!=6$ .

Pour vous entraîner sur les tirages et les codes, passez aux exercices corrigés de dénombrement en terminale. Si un point reste flou, un professeur peut le reprendre avec vous en cours particuliers de maths ou en stage de terminale. Les autres chapitres sont réunis dans les cours de maths de terminale.

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FAQ sur le dénombrement en terminale

Quelle est la différence entre une combinaison et un arrangement ?

Dans un arrangement (k-uplet d'éléments distincts), l'ordre compte : un podium or, argent, bronze n'est pas le même que bronze, argent, or. Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas : on choisit seulement un groupe. Il y a donc k! fois plus d'arrangements que de combinaisons. Avec 8 coureurs, il y a 336 podiums mais seulement 56 groupes de 3.

Pourquoi 0! vaut-il 1 ?

C'est une convention qui rend les formules valables dans tous les cas. Elle donne par exemple « 0 parmi n » égal à n! divisé par (0! × n!), soit 1 : il existe une seule partie à 0 élément, l'ensemble vide. Elle est aussi cohérente avec la relation (n+1)! = (n+1) × n! pour n = 0.

Comment savoir si l'ordre compte dans un exercice ?

Demandez-vous si échanger deux éléments donne un résultat différent. Pour un code, un classement ou des tirages successifs, oui : l'ordre compte. Pour une main de cartes, un comité ou un tirage simultané, non : on compte des combinaisons.

La formule du binôme de Newton est-elle au programme de terminale ?

Elle ne figure pas parmi les contenus de la partie « Combinatoire et dénombrement » du programme de spécialité de 2019. Certains exercices l'utilisent en la rappelant dans l'énoncé. Elle est étudiée en classe préparatoire.

Le dénombrement tombe-t-il au bac ?

Oui, le chapitre fait partie du programme de spécialité évalué à l'épreuve écrite de terminale. Il apparaît souvent dans les exercices de probabilités, en particulier avec la loi binomiale, où les coefficients « k parmi n » comptent les chemins de l'arbre.

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