Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur le Dénombrement en Terminale générale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths de Terminale

Pour maximiser vos résultats au bac, il vous faudra maîtriser le chapitre sur le dénombrement. En effet, il s’agit d’un important chapitre du programme de Maths de Terminale, essentiel pour le bac mais aussi, si vous voulez plus tard intégrer les meilleures prépa MP. En cas de lacunes, des cours particuliers de maths pourront vous aider à dépasser vos difficultés et à arriver à un excellent niveau.

1. Opérations sur les ensembles en Terminale

1.1. Rappels sur les opérations sur les ensembles en Terminale :

$\bullet$ Si $E$ est un ensemble, on dit que $F$ est une partie de $E$ ou un sous ensemble de $E$ lorsque tout élément de $F$ est élément de $E$ .
Dans ce cas, on écrit $F \subset E$ .
On dit aussi que $F$ est inclus dans $E$ .

Un ensemble $F$ n’est pas inclus dans l’ensemble $E$ s’il existe $x \in F$ tel que $x \notin E$ .

L’ensemble vide noté $\varnothing$ est une partie de tout ensemble $E$ .

$\bullet$ Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux s’ils vérifient les conditions équivalentes :

$\ast$ $E$ et $F$ ont les mêmes éléments

$\ast$ $x$ est élément de $E$ ssi $x$ est élément de $F$

$\ast$ $E \subset F$ et $F \subset E$ .

$\bullet$ Soient $A$ et $B$ deux parties de l’ensemble $E$ .

$\ast$ La réunion de $A$ et $B$ est la partie de $E$ formée des éléments de $E$ qui appartiennent à $A$ ou à $B$ :
$\quad A \cup B = \{ x \, / \, x \in A \textrm{ ou } x \in B \}$ .

$\ast$ L’intersection de $A$ et $B$ est la partie de $E$ formée des éléments de $E$ qui appartiennent à $A$ et à $B$ :
$\quad A \cap B = \{ x \, / \, x \in A \textrm{ et } x \in B \}$ .

$\ast$ $A$ et $B$ sont dits disjoints lorsque $A \cap B = \varnothing$ .

$\bullet$ Si $A$ est une partie de l’ensemble $E$ ,

$\ast$ le complémentaire de $A$ dans $E$ est l’ensemble des éléments de $E$ qui n’appartiennent pas à $A$ : $\quad \overline {A} = E \setminus A = \{x \in E \,/\, x \notin A \}$

$\ast$ $A$ et $\overline{A}$ sont disjointes

$\ast$ $A \cup \overline{A} = E$ .

$\bullet$ Si $A$ et $B$ sont des parties de l’ensemble $E$ ,

$\ast$ $\overline { A \cup B} = \overline{A} \cap \overline {B}$ ,

$\ast$ $\overline { A \cap B} = \overline{A} \cup \overline {B}$ .

1.2. Produit cartésien en Terminale

$\bullet$ Le produit cartésien des ensembles $E$ et $F$ est
$\;\; E \times F = \{ (e , f) \, / \, e \in E \,,\, f \in F \}$ .
Les éléments de $E \times F$ sont appelés couples.
$(e , f) = (e' , f')$ ssi $e = e'$ et $f = f'$ .

$\bullet$ Le produit cartésien des ensembles $E$ , $F$ et $G$ est
$E \times F \times G =$
$\quad \{ (e , f, g ) \, / \, e \in E \,,\, f \in F \,,\, g \in G \}$ .
Les éléments de $E \times F \times G$ sont appelés triplets .
$(e , f, g ) = (e' , f', g' )$ ssi $e = e'$ , $f = f'$ et $g = g'$ .

$\bullet$ Plus généralement si $k \geqslant 3$ et si pour tout $i \in [\![1, k]\!]$ , $E_i$ est un ensemble, le produit cartésien des ensembles $E_1\,,\, E_2\,,\, \cdots \,,\, E_n$ est noté
$\qquad \quad E_1 \times E_2 \times \, \cdots \, \times E_k$
c’est l’ensemble des $k$ -uplets
$(x_1\,,\, x_2 \,,\, \cdots \, ,\, x_k)$ lorsque pour tout $i\in [\![1 , k]\!]$ , $x _ i \in E _ i\,$ .

Dans le cas où pour tout $i \in [\![1 , k]\!]$ , $E_i = E$ , on note le produit cartésien $E ^k$ .
Un élément de $E^k$ est appelé $k$ -uplet ou $k$ -liste d’éléments de $E$ .

En géométrie, par exemple, vous avez déjà raisonné avec $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ .

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2. Principe additif et multiplicatif en Terminale

Dans la suite, on suppose que l’on raisonne dans des ensembles ayant un nombre fini d’éléments. On dit alors qu’ils sont finis.

Si $E$ a $n$ éléments, on dit que le cardinal de $E$ est égal à $n$ et on note $\textrm{Card}(E) = n$ .

On pose $\textrm{Card}(\varnothing ) = 0$ .

Toute partie $F$ d’un ensemble fini $E$ est finie et $\textrm{Card} (F) \leqslant \textrm{Card}(E)$ .

2.1. Principe additif en Terminale

$\bullet$ Si deux ensembles $A$ et $B$ sont finis et disjoints, $A \cup B$ est fini et
$\textrm{Card}(A \cup B) = \textrm{Card}(A) + \textrm{Card}(B)$ .

$\bullet$ Si $n$ ensembles $A_1\,,\, A_2\, ,\, \cdots \, ,\, A_n$ sont finis et 2 à 2 disjoints, $A_1 \cup A_2\,\cup\,\cdots \, \cup A_n$ est fini et
$\;\;\; \textrm{Card}(A_1 \cup A_2\,\cup\,\cdots \, \cup A_n ) =$ $\textrm{Card}(A_1) + \textrm{Card} (A_2) + \cdots + \textrm{Card}(A_n)$

Application : Si $A$ est une partie de l’ensemble fini $E$ ,
$\quad \textrm{Card}(\overline{A}) = \textrm{Card}(E) - \textrm{Card}(A)$ .

Méthode : Utiliser le principe additif pour dénombrer un ensemble $E$ , c’est écrire $E$ comme réunion de $2$ (resp. $n$ ) ensembles finis disjoints (resp. 2 à 2 disjoints) et utiliser l’un des deux résultats précédents.

Méthode pour dénombrer $A \cup B$ lorsque $A \cap B \neq \varnothing$ , écrire $A \cup B$ comme réunion des 3 ensembles, 2 à 2 disjoints,
$\qquad A \cap B$ , $A \cap \overline {B}$ et $B \cap \overline {A}$ .

$\ast \,A \cap \overline {B}$ est l’ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$ , c’est aussi le complémentaire dans $A$ de $A \cap B$

$\ast \, B \cap \overline{A}$ est l’ensemble des éléments de $B$ qui ne sont pas dans $A$ , c’est aussi le complémentaire dans $B$ de $A \cap B$ .

2.2. Principe multiplicatif en Terminale

$\bullet$ Si deux ensembles $A$ et $B$ sont finis, $A \times B$ est fini et
$\textrm{Card}(A \times B) = \textrm{Card}(A) \times \textrm{Card}(B)$ .

$\bullet$ Si $n$ ensembles $A_1\,,\, A_2\, ,\, \cdots \, ,\, A_n$ sont finis, $A_1 \times A_2\,\times\,\cdots \, \times A_n$ est fini et
$\textrm{Card}(A_1 \times A_2\,\times \,\cdots \, \times A_n ) =$
$\qquad \textrm{Card}(A_1) \times \cdots \, \times \textrm{Card}(A_n)$ .

En particulier, si $E$ est un ensemble fini, $\qquad \textrm{Card} (E ^n ) = \left ( \textrm{Card}(E) \right ) ^n$ .

Méthode : Utiliser le principe multiplicatif pour dénombrer un ensemble $E$ c’est écrire $E$ comme produit cartésien de $2$ (resp. $n$ ) ensembles finis et utiliser l’un des deux résultats précédents.

On utilise cette méthode

$\ast$ lorsque l’on choisit successivement deux éléments dans deux ensembles disjoints $E$ et $F$ : on cherche donc le nombre d’éléments de $E \times F$ .

$\ast$ lorsque l’on choisit $k$ éléments en remettant après chaque tirage l’élément tiré dans l’ensemble $E$ .
On détermine un $k$ – uplet de $E ^k$ , il y a donc $\left ( \textrm{Card}(E) \right ) ^k$ choix.

3. Les $k$ -listes en Terminale

3.1. $k$ -liste et applications en Terminale

$\bullet$ On a vu que le nombre de $k$ -listes d’un ensemble $E$ de cardinal $n$ est le nombre de $k$ -uplets de $E^k$ : soit $\qquad \quad \left ( \textrm{Card}(E) \right ) ^k = n ^k$ .

$\bullet$ Le nombre d’applications d’un ensemble $A$ de cardinal $k$ dans un ensemble $E$ de cardinal $n$ est le nombre de $k$ -uplets d’éléments de $E$ soit $n ^k$ .

$\bullet$ Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Le nombre de parties de $E$ est égal à $2 ^n$ .

3.2. Factorielle d’un entier en Terminale

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ , on appelle factorielle de $n$ l’entier noté $n!$ avec $n! = 1 \times 2\times 3 \times \cdots \, \times (n - 1) \times n$
et $0! = 1$

alors pour tout $n \in \mathbb{N},$ $\qquad \quad (n + 1)! = (n + 1) \times n!$

3.3. $k$ -liste sans répétition en Terminale

$\bullet$ Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in [\![1,\, n]\!]$ .
Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ .
On appelle $k$ – liste sans répétition des éléments de $E$ tout $k$ – uplet de $E$ formé d’éléments 2 à 2 distincts.

$\bullet$ Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in [\![1,\, n]\!]$ .
Le nombre de $k$ listes sans répétition des $n$ éléments de $E$ est égal à
$\dfrac {n!} {(n - k)!} = n\, (n - 1) \, \cdots \, (n - k + 1)$ .

3.4. Permutation en Terminale Générale

$\bullet$ Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ .
On appelle permutation des éléments de $E$ toute $n$ -liste sans répétition des éléments de $E$ .

$\bullet$ Il y a $n!$ permutations d’un ensemble à $n$ éléments.

4. Combinaison en Terminale

4.1. Définition et valeur

$\bullet$ Soit $E$ un ensemble formé de $n \in \mathbb{N}$ éléments. Soit $k \in [\![0 , \, n]\!]$ .
On appelle combinaison de $k$ éléments de $E$ toute partie de $E$ à $k$ éléments.

$\bullet$ Soit $n \in \mathbb{N}$ et $k \in [\![0 , \, n]\!]$ .
Le nombre de combinaisons de $k$ éléments d’une partie $E$ à $n$ éléments est égal à $\displaystyle \binom n k =\dfrac {n! } {k! \, (n - k)!}$ .

$\bullet$ $\displaystyle \binom n k =\dfrac {n\, (n - 1) \, \cdots \, (n - k + 1) } {k! }$ .

En particulier $\displaystyle \binom n 0 = \binom n n = 1$ et $\displaystyle \binom n 1 = \binom n {n - 1} = n$

Il est conseillé de retenir aussi que $\quad \displaystyle \binom n 2 = \binom n {n - 2} = \dfrac {n(n - 1)} 2$ .

$\bullet$ Application aux mots :
On écrit un mot de $n$ lettres à partir de $a$ et $b$ . Soit $k \in [\![0 , n]\! ]$ .
Le nombre de mots de $n$ lettres où $a$ est écrit $k$ fois est égal à $\displaystyle \binom n k$ .

$\bullet$ Application au nombre de chemins
On effectue $n$ déplacements, à chaque déplacement, on a le choix entre un déplacement à gauche et un déplacement à droite.
Le nombre de chemins de $n$ déplacements où l’on a effectué $k$ déplacements à droite est égal à $\displaystyle \binom n k$ .

On peut s’aider par un arbre comme ci-dessous :

4.2. Propriétés des coefficients du binôme en Terminale

$\bullet$ Si $n\in \mathbb{N}$ et $k \in [\! [0 , n]\!]$ ,
$\qquad \quad \displaystyle \binom n k = \binom n {n - k}$ .

$\bullet$ Formule du triangle de Pascal
Soit $n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2$ . Si $1\leqslant k \leqslant n - 1$ ,
$\qquad \displaystyle \binom { n- 1 } {k} + \binom {n - 1 } {k - 1} = \binom {n } {k}$ .

On peut obtenir les coefficients du binôme lorsque $n$ est faible (en général $n \leqslant 10$ ), en calculant le triangle de Pascal

$\bullet$ Si $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k = 2 ^n$

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5. Quelques méthodes en complément

5.1 Utilisation du complémentaire en Terminale

Pour dénombrer $A$ « avoir au moins un élément vérifiant une propriété $\mathcal{P}$ » (où $A \subset E$ ),

$\ast$ En général il est plus simple de dénombrer le complémentaire $\overline{A}$ (c’est le cas lorsque le complémentaire se traduit par « sans ») et d’utiliser $\;\; \textrm{Card}(A) = \textrm{Card}(E) - \textrm{Card}(A)$ .

$\ast$ Lorsque le nombre maximum $M$ d’éléments vérifiant la propriété $\mathcal{P}$ est faible, on peut envisager de noter $B _ k$ « avoir $k$ éléments vérifiant $\mathcal{P}\,$ » et écrire $A = \displaystyle \bigcup_{k = 1} ^{M} B_k\,$ , les ensembles étant deux à deux disjoints, $\quad \quad \quad \textrm{Card }A = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^M \textrm{Card }B_k \,$
par le principe additif.

5.2. Autour de $A \cup B$

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ .

$\bullet$ Pas de problème si $A \cap B = \varnothing$ car $\textrm{Card}(A \cup B) = \textrm{Card}(A) + \textrm{Card}(B)$

Lorsque $A \cap B \neq \varnothing$ , on a plusieurs méthodes :

$\bullet$ Par utilisation d’un tableau à 4 lignes et 4 colonnes

Deux lignes intermédiaires $A$ et $\overline {A}$ .
Deux colonnes intermédiaires $B$ et $\overline {B}$ .
Dans les 4 cases intermédiaires du tableau, le cardinal de l’intersection de la ligne et de la colonne.
En fin des lignes 2 et 3, le cardinal de cette partie
En fin des colonnes 2 et 3, le cardinal de cette partie.
En dernière ligne, dernière colonne, $\textrm{Card}(E)$ .

5.3. Dénombrer des tirages en Terminale

Soit $E$ un ensemble de $n$ éléments distincts. Soit $k \in \mathbb{N}^*$ .

$\bullet$ tirer $k$ éléments de $E$ avec remise entre chaque tirage, c’est choisir un élément de $E ^k$ , il y a $n ^ k$ tirages.

$\bullet$ tirer $k\leqslant n$ éléments de $E$ en une seule fois : on obtient une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ , il y a $\displaystyle \binom n k$ tirages

$\bullet$ tirer successivement $k\leqslant n$ éléments de $E$ sans remise : on obtient une $k$ – liste d’éléments 2 à 2 distincts de $E$ , il y en a $\dfrac {n!} {(n - k)!}$ .

5.4. Reconnaitre un modèle binomial en Terminale

On suppose que $n$ et $k$ sont des entiers tels que $0 \leqslant k \leqslant n$ .

$\bullet$ Lorsque l’on répète $n$ fois un tirage entre des éléments de $2$ catégories $a$ et $b$ , il y a $\displaystyle \binom n k$ tirages donnant $k$ fois un élément de catégorie $a$ et $n - k$ éléments de catégorie $n$ .

$\bullet$ Lorsque l’on répète $n$ fois une expérience menant à deux résultats possibles $E$ et $S$ , le nombre de façons d’obtenir une suite de $n$ expériences donnant $k$ fois le résultat $S$ est égal à $\displaystyle \binom n k$ .

5.5. Utiliser un arbre en Terminale

L’illustration par un arbre est à réserver aux cas où l’énoncé demande explici- tement de représenter les différentes situations par un arbre ou pour des effectifs faibles.

$\bullet$ Pour représenter $E \times F$ , où $\textrm{Card}(E) = n$ et $\textrm{Card}(F) = p$ , en partant de la racine, placer $n$ branches terminées par les $n$ éléments de $E$ .
De chacune de ces extrémités, tracer $p$ branches terminées par les $p$ éléments de $F$ .
En parcourant les $n \times p$ branches, on obtient les $n \, p$ couples $(e , f)$ de $E \times F$

$\bullet$ On peut aussi représenter les $k$ – listes sans répétition des $n$ éléments de $E$ .

$\ast$ En partant de la racine, placer $n$ branches terminées par les $n$ éléments de $E$ .

$\ast$ De chacune de ces extrémités, tracer $n - 1$ branches menant aux $n - 1$ éléments de $E$ n’ayant pas encore été tirés.

$\ast$ Puis une troisième série de branches issues de ces $n(n - 1)$ branches etc…

$\ast \ast$ À l’issue du tracé, le parcours des $n(n - 1) \cdots (n - k + 1)$ branches donnent les $k$ listes sans répétition des $n$ éléments de $E$ .

$\bullet$ Dans un modèle binomial.
Pour dénombrer dans une suite de $n$ épreuves ayant $2$ résultats (notés $E$ et $S$ ici) , on peut aussi s’aider d’un arbre :

$\ast$ On part de la racine, et on place 2 branches terminées par $E$ et $S$ .

$\ast$ De chacune de ces 2 branches, par- tent 2 nouvelles branches terminées par $E$ et $S$

$\ast$ On recommence jusqu’à avoir tracé $n$ branches successives.
On obtient un arbre à $2 ^n$ branches correspondant aux $n$ listes de $\{E,\, S\}$ .
On peut ensuite pour $k$ donné suivre les branches donnant $k$ fois $S$ et obtenir le nombre $\displaystyle \binom {n} {k}$ de branches contenant exactement $k$ fois $S$ .

$\bullet$ Mots de longueur $n$ écrits avec $2$ lettres.
On obtient le même principe lorsque l’on veut écrire les mots de $n$ lettres formés uniquement de $a$ et de $b$ .
Faire un arbre comme dans le cas précédent, en remplaçant $E$ par $a$ et $S$ par $b$ .
L’arbre a $2^n$ branches et on peut mettre en évidence les $\displaystyle \binom {n} k$ branches formant des mots contenant exactement $k$ fois la lettre $a$ .

Les Maths ayant un gros coefficient au bac, comme vous pouvez d’ailleurs le voir en consultant notre simulateur du Bac, il est important de bien suivre les cours et s’entraîner sur des exercices. N’hésitez donc pas à vous rendre sur les cours en ligne de maths de terminale pour vérifier vos connaissances, testez-vous par exemple sur les chapitres suivants :

Au delà des cours particuliers, des cours en ligne et des exercices, vous pouvez également utiliser un autre support très utile : les annales du bac de maths. Elles vous serviront pour vous entraîner en conditions réelles et pour bien identifier les attendus de l’épreuve du bac.