Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours de physique MPSI, PTSI, PCSI : Électricité (perm./transitoire)

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de physique en Maths Sup

Ce cours de physique chimie de maths sup vous aidera à mieux comprendre le cours sur l’électricité, mais si vous rencontrez des blocages en physique chimie, il est recommandé de bénéficier d’un cours en physique chimie MPSI, PCSI, PTSI. En optant pour notre service, vous pourrez anticiper les notions et les échéances à venir en physique chimie, recevoir des cours et des exercices pour vous entraîner à votre rythme, que ce soit le soir ou entre deux cours.

Résumé de cours, méthodes – maths sup Électricité (perm./transitoire)

Plan :

A. Lois de Kirchhoff
B. Résistors
C. Bobines et condensateurs
D. Circuits RC, RL, LC

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A. Lois de Kirchhoff

1. Grandeurs électriques.

* La tension électrique entre deux points est la différence de potentiel électrique, mesuré en volts, entre ce deux points.

* L’intensité électrique mesure le débit de charges traversant une section d’un fil, elle est exprimée en ampères, égaux à des coulombs par seconde.

Exemple.

Dans un fil conducteur, les porteurs de charge sont les électrons, de charge $-e=-1,6\cdot 10^{-19}~\mathrm{C}$

Combien d’électrons traversent-ils en 15 ms une section d’un fil parcouru par un courant d’intensité 100 mA ?

Correction :

$\displaystyle{i=\frac{Q}{\Delta t}=\frac{Ne}{\Delta t}}$
donc $\displaystyle{N=\frac{i\Delta t}{e}=9,4\cdot 10^{15}}$

2. Loi des nœuds, loi des mailles.

Dans l’approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS, le temps caractéristique $\tau$ de propagation des perturbations (typiquement la longueur du circuit divisée par la vitesse de la lumière) est négligeable devant la durée caractéristique $T$ de variation (typiquement : la période du signal)), on a

* Loi des nœuds : la somme des intensités algébriques des courants convergeant vers un nœud est nulle , ou la somme des intensités qui y arrivent est égale à celle des intensités qui en repartent.

* Loi des mailles : la somme des tensions algébriques le long d’une boucle est nulle.

Exemple.

Justifier que lorsqu’une branche parcourue par un courant d’intensité $i$ se subdivise en deux branches parallèles identiques électriquement, chacune est parcourue par un courante d’intensité $i/2$ .

Correction :

Notons $i_1$ et $i_2$ les deux intensités.
On a $i=i_1+i_2$ d’après la loi des nœuds.
Les deux branches sont en parallèle, donc d’après la loi des mailles, les tensions à leurs bornes sont identiques, et comme elles sont identiques électriquement, l’intensité qui les traverse est la même donc $i_1=i_2$
On en déduit $i_1=i_2=i/2$

3. Puissance électrocinétique.

Pour un dipôle électrique parcouru par un courant d’intensité $i$ , et aux bornes duquel la tension vaut $u$

* en convention récepteur, la puissance reçue vaut $\mathcal{P}=ui$

* en convention générateur, la puissance fournie vaut $\mathcal{P}=ui$

Exemple.

L’énergie potentiel électrique d’un porteur de charge de charge $q$ en un point $A$ vaut $Ep_A=qV_A$ où $V_A$ est le potentiel électrique en $A$ .

Justifier l’expression proposée pour la puissance en convention récepteur.

Correction :

Notons A le point d’entrée du dipôle et B le point de sortie.
L’énergie potentielle d’une charge $q$ passe donc de $Ep_A=qV_A$ à $Ep_B=qV_B$ donc la perte d’énergie potentielle vaut
$\Delta E=Ep_A-Ep_B=q(V_A-V_B)=qu$
L’énergie perdue par les charges est égale à l’énergie reçue par le dipôle.
Par définition de la puissance
$\displaystyle{\mathcal{P}=\frac{\Delta E}{\Delta t}}$
$\displaystyle{\mathcal{P}=\frac{q}{\Delta t}u=iu$

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B. Résistors

1. Lois générales.

* En convention récepteur : $u=Ri$

* $\mathcal{P}=Ri^2=\frac{u^2}{R}$

2. Lois d’association.

*En série :

$R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2+\ldots +R_n$

*En parallèle :

$\displaystyle{\frac1{R_{\mathrm{eq}}=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\ldots+\frac1{R_n}}$

* Deux résistors en parallèle :

$\displaystyle{R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}$

Exemple.

* Quelle est la résistance équivalente de $n$ résistors identiques ( $r$ ) en série ?

* Quelle est la résistance équivalente de $n$ résistors identiques ( $r$ ) en parallèle ?

Correction :

* $R_{\mathrm{eq,s\acutes{e}rie}}=nr$
* $R_{\mathrm{eq,paral}}=\frac{r}{n}$

3. Diviseur de tension.

Dans une branche comportant des résistors $R_1$ , …, $R_n$ en série, si $u$ est la tension aux bornes de l’ensemble et $u_K$ celle aux bornes de $R_k$ alors

$\displaystyle{u_k=\frac{R_k}{R_1+\ldots+R_n}u}$

Démonstration de cours.

Montrer la loi du diviseur de tension.

Correction :

En notant $i$ l’intensité du courant dans la branche, on a
$u=(R_1+\ldots+R_n)i$
$u_k=R_ki$
et en divisant les deux égalités, on obtient la loi du diviseur de tension.

C. Bobines et condensateurs

1. Lois courant-tension des dipôles L et C.

* Une bobine d’inductance $L$ (en henry) a pour loi, en convention récepteur

$u=L\frac{di}{dt}$

*Un condensateur de capacité $C$ (en farad) a pour loi, en convention récepteur

$i=C\frac{du}{dt}$

Exemple.

On impose aux bornes d’une condensateur puis d’une bobine une tension $u(t)=U_0\frac{t}{\tau}$

Quelle est la loi d’évolution de $i(t)$ dans chaque cas ?

Correction :

* Bobine :
$\displaystyle{L\frac{di}{dt}=U_0\frac{t}{\tau}}$
donc $\displaystyle{i(t)=\frac12 U_0\frac{t^2}{L\tau}}$
en supposant $i(0)=0$
* Condensateur :
$\displaystyle{i(t)=C\frac{du}{dt}=\frac{CU_0}{\tau}}$

2. Énergies et continuités.

* Énergie (magnétique) emmagasinée par une bobine

$\mathcal{E}=\frac12Li^2$

$i$ est continue dans une bobine.

* Énergie (électrique) emmagasinée par un condensateur

$\mathcal{E}=\frac12Cu^2$

$u$ est continue aux bornes d’un condensateur.

Exemple.

Une tension constante $U_0$ est appliquée aux bornes d’une bobine puis d’un condensateur

Quelle est l’énergie emmagasinée à la date $t$ par le dipôle dans chaque cas ?

Correction :

* Bobine :
$U_0=L\frac{di}{dt}$
donc $i(t)=\frac{U_0}{L}t$ en supposant $i=0$ à $t=0$
donc $\displaystyle{\mathcal{E}=\frac{U_0^2}{2L}t^2}$
* Condensateur :
$\displaystyle{\mathcal{E}=\frac12CU_0^2}$

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D. Circuits RC, RL, LC

1. Circuit RC

L’association RC série est alimentée par un générateur de tension $E$ , la tension initiale aux bornes du condensateur est nulle.

L’équation différentielle vérifiée par $u(t)$ aux bornes du condensateur s’écrit

$\displaystyle{\frac{du}{dt}+\frac1{RC}u=\frac1{RC}E}$

Sa solution s’écrit

$\displaystyle{u(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)}$

où $\tau =RC$ est la constante de temps.

Exemple.

On prend $R=1k\Omega$ et $C=1\mu \mathrm{F}$

À quelle date la tension du condensateur vaut-elle $0,63E$ ?

Correction :

À $t=\tau=1~\mathrm{ms}$ ,
$\displaystyle{e^{-\frac{t}{\tau}}=e^{-1}=0,37}$
donc $u=0,63 E$

2. Circuit RL.

L’association RL série est alimentée par un générateur de tension $E$ , l’intensité initiale dans la bobine nulle.

L’équation différentielle vérifiée par $i(t)$ s’écrit

$\displaystyle{\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{R}{L}\cdot\frac{E}{R}}$

Sa solution s’écrit

$\displaystyle{i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)}$

où $\displaystyle{\tau =\frac{L}{R}}$ est la constante de temps.

Exemple.

Quelle est l’intensité $i_{\infty}$ en régime permanent ? Justifier le résultat.

Correction :

À partir de l’expression de $i(t)$ ,
$\displaystyle{i_{\infty}=\frac{E}{R}}$
En régime permanent, les grandeurs tendent vers des constantes, donc
$u=L\frac{di}{dt}$
est nulle aux bornes de la bobine donc
la loi des mailles dans le circuit s’écrit
$E=Ri$ et $i=\frac{E}{R}$

3. Circuit LC.

L’association LC série est court-circuitée. L’intensité initiale dans la bobine est nulle et la tension initiale aux bornes du condensateur vaut $E$ .

L’équation différentielle vérifiée par la tension $u(t)$ aux bornes du condensateur s’écrit

$\displaystyle{\frac{d^2u}{dt^2}+\frac1{LC}u=0}$

Sa solution s’écrit

$\displaystyle{u(t)=E\cos(\omega_0t)}$

où $\displaystyle{\omega_0 =\frac1{\sqrt{LC}}}$ est la pulsation propre des oscillations.

Exemple.

Vérifier les deux relations de continuité à $t=0$

Correction :

* Pour le condensateur :
$u(0)=E$

* Pour la bobine :
$\displaystyle{i_L(t)=i_C(t)=C\frac{du}{dt}=-CE\omega_0\sin(\omega_0t)}$ et $i_L(0)=0$

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