Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours en ligne Maths en Maths Sup

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Cours : Ensembles et applications en Maths Sup MP2I, MPSI, PCSI, PTSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Résumé de cours et méthodes – Ensembles et applications en Maths Sup

Plan :

1. Raisonnements sur les ensembles
2. Raisonnements sur les applications
3. Image directe et image réciproque
4. Relations d’équivalence et d’ordre
5. Lois internes
6. Structures

Ce chapitre fait partie des fondamentaux de l’année de maths sup. Les raisonnements et les propriétés qui seront travaillées en classe de MPSI, PCSI, PTSI ou encore de MP2I vous serviront durant les deux années de CPGE. Pour exceller, n’hésitez pas à faire appel à nos meilleurs professeurs de maths à domicile qui vous aideront à maitriser tous les éléments de ce chapitre.

1. Raisonnements sur les ensembles en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI

1.1. Égalité et inclusion
$\bullet$ Pour démontrer que l’ensemble $E$ est inclus dans l’ensemble $F$ , on démontre que tout élément de $E$ est élément de $F$ .

Il faut prendre le bon départ :
Si la propriété $P$ est vraie, pour démontrer que $E \subset F$ , on part de $x \in E$ , pour arriver à $x \in F$ , en utilisant dans la démonstration la propriété $P$ .
Un raisonnement consistant à traduire l’hypothèse $P$ ne permet pas de prendre le bon départ, donc ne permet pas de prouver l’inclusion attendue.

exemple : Soient $A , \, B ,\, C$ trois parties de $E$ . Démontrer que $\quad \quad B \subset C \Rightarrow A \cup B \subset A \cup C$ .

Correction : Il faut s’assurer de prendre le bon départ : on cherche à prouver une inclusion.
On part donc de : $x \in A \cup B$ ,
$\ast$ lorsque $x \in A$ , $x \in A \cup C$ car $A \cup B \subset A \cup C$
$\ast$ lorsque $x \in B$ , $x \in C$ car $B \subset C$ donc $x \in A \cup C$ .
Dans les deux cas, $x \in A \cup C$ .
On a donc prouvé que $A \cup B \subset A \cup C$ .

$\bullet$ Pour démontrer que l’ensemble $E$ n’est pas inclus dans l’ensemble $F$ , on cherche un élément de $E$ qui n’est pas élément de $F$ .

$\bullet$ Pour utiliser le fait que $E$ n’est pas inclus dans $F$ , on introduit $e \in E$ tel que $e \notin F$ .

$\bullet$ Il est parfois possible de démontrer l’inclusion $E \subset F$ en raisonnant directement sur les ensembles et en utilisant les propriétés de l’intersection et de la réunion.

exemple : Soient $A , \, B ,\, C$ trois parties de $E$ . Démontrer que $\quad \quad A \cup B \subset A \cap C \Rightarrow B \subset C$ .

Correction : On utilise la suite d’inclusions $\quad \quad B \subset A \cup B \subset A \cap C \subset C$
pour démontrer que $B \subset C$ .

Si l’on veut raisonner avec les éléments, on part de $x \in B$ .
Alors $x \in B \cup A$ , donc $x \in A \cap C$ et en particulier $x \in C$ .
On a prouvé que tout élément $x$ de $B$ est élément de $C$ , donc prouvé que $B \subset C$ .

$\bullet$ Pour démontrer que les ensembles $E$ et $F$ sont égaux, il suffit de prouver que $E \subset F$ et que $F \subset E$ .

$\bullet$ Pour démontrer que les ensembles E et $F$ sont différents, il suffit de trouver un élément $x$ de $E$ qui n’est pas dans $F$ ou de trouver un élément $y$ de $F$ qui n’est pas dans $E$ .

$\bullet$ Il est parfois possible de démontrer l’égalité $E = F$ en raisonnant directement sur les ensembles et en utilisant les propriétés des lois intersection et réunion.

exemple : Soient $A , B, X , Y$ quatre parties de $E$ . Si $A \cup B = E$ , $\; \; A \cap X = A \cap Y$ et $B \cap X = B \cap Y$ ,
on peut établir directement que $X = Y$ .

Correction : On suppose que $A \cap X = A \cap Y$ et $B \cap X = B \cap Y$ où $A \cup B = E$ .
$X = E \cap X = ( A \cup B) \cap X$ $X = (A \cap X) \cup (B \cap X)$
En utilisant les hypothèses :
$X = (A \cap Y) \cup (B \cap Y)= ( A \cup B) \cap Y$

$X = E \cap Y = Y$ .

A ne pas confondre les différentes notations.
Si $E$ est un ensemble, si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ et $x$ un élément de $E$ , on écrit :
$\ast$ $x \in A$ ou $x \notin A$
$\ast$ $A \subset E$ ou $A \in \mathcal {P} (E)$
$\ast$ $x \in E$ mais $\{x \} \subset E$
$\ast$ si $A$ est inclus dans $B$ , $A \subset B$ ou $A \in \mathcal {P} (B)$ .
Bien distinguer « $\in$ » de « $\subset$ « .

1.2. Complémentaires
Définition :
Si $A$ est une partie de $E$ , le complémentaire de $A$ $\quad \quad \quad E \setminus A = \overline {A} = C_E A$
est l’ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ .

Manipuler correctement les complémentaires :
$\ast$ $\overline {\varnothing} = E$ et $\overline {E} = \varnothing$
$\ast$ Si $A \subset E$ , $\; \overline {\, \overline {A}\, } = A$
$\ast$ Si $A \subset E$ et $B \subset E$ ,
$\; \; \overline{ A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ et $\overline{ A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ .
$\ast$ Pour toute famille non vide $(A_i)_{i \in I}$ de parties de $E$ .
$\; \quad \displaystyle \overline{ \bigcup _{i \in I} A_i } = \bigcap_{i \in I} \overline {A_i}$ et $\displaystyle \overline{ \bigcap _{i \in I} A_i } = \bigcup_{i \in I} \overline {A_i}\,$ .

Une formule utile :
Si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ , $\quad \quad A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ .
Elle découle de $\quad \quad A = A \cap E = A \cap (B \cup \overline{B})$ .

1.3. Propriétés de la réunion et l’intersection (PCSI)
Soit $E$ un ensemble.
Si $A , B , C$ sont trois parties de $E$ ,
$\bullet$ Associativité :
$\quad \ast$ $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ .
$\quad \ast$ $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ .

$\bullet$ Commutativité
$\quad \ast$ $A \cup B = B \cup A$ .
$\quad \ast$ $A \cap B = B \cap A$ .

$\bullet$ Avec $\varnothing$ et $E$ ,
$\quad \ast$ $A \cup \varnothing = A$ .
$\quad \ast$ $A \cap \varnothing = \varnothing$ .
$\quad \ast$ $A \cap E = A$ .

$\bullet$ Distributivité
$\quad \ast$ de l’intersection par rapport à la réunion
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
$\quad \ast$ de la réunion par rapport à l’intersection
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .

1.4. Réunion et intersection d’une famille quelconque
Soit $E$ un ensemble et $I$ un ensemble non vide.
On suppose que $\forall\, i \in I, \, A_i \subset E$ .
Soit $x \in E$ .
$\quad \displaystyle x \in \bigcup _{i \in I} A_i$ ssi $\exists\, i \in I,\, x \in E_i$
$\quad \displaystyle x \in \bigcap _{i \in I} A_i$ ssi $\forall\, i \in I,\, x \in E_i\,$ .

Dans la suite, on garde les mêmes notations.

Propriétés
$\bullet$ si $B \subset E$
$\quad \ast$ $\displaystyle B \cap \left ( \bigcup _{i \in I} A_i \right ) = \bigcup _{i \in I} (B \cap A_i)$
$\quad \ast$ $\displaystyle B \cup \left ( \bigcap _{i \in I} A_i \right ) = \bigcap _{i \in I} (B \cup A_i)$

$\bullet$ Lois de Morgan
$\quad \ast$ $\displaystyle C_E \left ( \bigcup _{i \in I} A_i \right ) = \bigcap _{i \in I} (C_E \, A_i)$
$\quad \ast$ $\displaystyle C_E \left ( \bigcap _{i \in I} A_i \right ) = \bigcup _{i \in I} (C_E \, A_i)$

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2. Raisonnements sur les applications en prepa maths sup

2.1. Les définitions
$\bullet$ Connaître les différentes notations
Si $E$ et $F$ sont deux ensembles non vides,
$\ast$ $\mathcal{F}(E , F) = F ^E$ est l’ensemble des applications de $E$ dans $F$ .
$\ast$ $\textrm{Id}_E$ est l’élément de $E ^E$ défini par $\quad \quad \forall \, x \in E, \, \textrm{Id}_E(x) = x$ .
$\ast$ Si $A \subset B$ , l’indicatrice de $A$ est l’application notée $\mathbf{1}_A : A \to \mathbb{R}$ définie par $\mathbf{1}_A(x) = \left \{ \begin{matrix} 1&\textrm{ si }& x \in A\\ 0&\textrm{ si }& x \notin A\end{matrix} \right.$ .

👍 Si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ ,
$\ast$ $A = B$ ssi $\mathbf{1}_A = \mathbf{1}_B$
$\ast$ $A \subset B$ ssi $\mathbf{1}_A \leq \mathbf{1}_B\,$ .
On peut donc utiliser les fonctions indicatrices pour démontrer l’égalité ou l’inclusion de deux ensembles.

$\bullet$ Si $A$ est une partie de $E$ et $f \in E ^F$ , la restriction de $f$ à $A$ est
$f |_ A : A \to F$ , $\forall \, x \in A,\, f|_A(x) = f(x)$ .

$\bullet$ Si $A$ est une partie de $E$ , on appelle prolongement de $f \in A ^F$ à $E$ toute application $g$ telle que la restriction de $g$ à $A$ soit égale à $f$ .
$\bullet$ Soient $f \in E ^E$ et $A$ une partie de $E$ ,
$\ast$ $A$ est stable par $f$
$\quad$ ssi $\forall\, x \in A, \, f(x) \in A$
$\quad$ ssi $f(A) \subset A$ .
$\ast$ Si $A$ est stable par $f$ , on peut définir l’application induite par $f$ sur $A$ : $\quad \quad f | _A : A \to A , x \mapsto f(x)$ .

$\bullet$ Composition
$\ast$ Soient $E$ , $F$ et $G$ 3 ensembles non vides, si $f \in \mathcal{F}(E , F)$ et $g \in \mathcal{F}(F , G)$ , on peut définir $g \circ f \in \mathcal{F}(E , G)$
par $\forall\, x \in E, \, (g \circ f) (x) = g(f(x))$
⚠️ Toujours vérifier que la composition a un sens.
Si $(f, \, g) \in \mathcal{F}(E , E)^2$ , on peut toujours définir $f \circ g$ et $g \circ f$ .

$\ast$ Si $E$ , $F$ , $G$ et $H$ sont quatre ensembles non vides, si $f \in \mathcal{F}(E , F)$ , $g \in \mathcal{F}(F , G)$ et $h \in \mathcal{F}(G , H)$ , $\quad \quad h \circ (g \circ f ) = (h \circ g) \circ f$
Cette application est notée $h \circ g \circ f$ .

2.2. Injection
Dans ce paragraphe, $f$ est une application de $E$ dans $F$ .
$\bullet$ pour démontrer que $f$ est une injection, on démontre que si $x$ et $x'$ sont deux éléments de $E$ tels que $f(x) = f(x')$ , alors $x = x'$ .

$\bullet$ pour démontrer que $f$ est une injection, il suffit de montrer que $f$ est la composée de deux injections.

$\bullet$ pour démontrer que $f$ n’est pas injective, on cherche $x \neq x'$ dans $E$ tels que $f(x) = f(x')$ .

⚠️ : pour démontrer que sous l’hypothèse $H$ , l’application $f$ définie sur $E$ est injective, il faut prendre le bon départ :
On part de $x$ et $y$ dans $E$ tels que $f(x) = f(y)$ et on obtient (en utilisant $H$ au cours du raisonnement) que $x = y$ .

exercice : Soit $f \in E ^F$ .
S’il existe $g \in F ^H$ tel que $g \circ f$ est injective, $f$ est injective.

Correction : Soit $(x ,\, x') \in E^2$ tel que $f(x) = f(x')$ , ce sont deux éléments de $F$ .
On prend l’image par $g$ : $\quad \quad g(f(x)) = g(f(x'))$
$\quad$ soit $g \circ f (x) = g \circ f(x')$ ,
comme $g \circ f$ est injective, $x = x'$ .

On a prouvé que $f$ est injective.

2.3. Surjection
Dans ce paragraphe, $f$ est une application de $E$ dans $F$ .
$\bullet$ pour démontrer que $f$ est une surjection de $E$ sur $F$ , on démontre que pour tout élément $y$ de $F$ , on peut trouver $x$ dans $E$ tel que $y = f(x)$ .
Ce qui revient à prouver que $f(E) = F$ .

$\bullet$ Pour démontrer que $f$ est surjective, il suffit de montrer que $f$ est la composée de deux surjections.

$\bullet$ Pour prouver que $f$ n’est pas surjective, on trouve $y \in F$ tel que pour tout $x \in E$ , $y \neq f(x)$ .

⚠️ : pour démontrer que sous l’hypothèse $H$ , l’application $f$ définie sur $E$ à valeurs dans $F$ est surjective, il faut prendre le bon départ :
On part de $y \in F$ et il faut trouver $x \in E$ (en utilisant $H$ au cours du raisonnement) tel que $y = f(x)$ .

Exercice : Soit $f \in E ^F$ .
S’il existe $g \in H ^E$ tel que $f \circ g$ est surjective, $f$ est surjective.

Correction : L’application $f \circ g$ est définie et $f \circ g : H \to F$ .

Soit $y \in F$ , comme $f \circ g$ est surjective, il existe $t \in H$ tel que $\quad \quad \quad y = f \circ g(t) = f(g(t))$ ,
on écrit donc $y = f(x)$ où $x = g(t) \in E$ .
On a prouvé que $f$ est une surjection de $E$ sur $F$ .

2.4. Bijection
Dans le paragraphe, $f$ est une application de $E$ dans $F$ .
$\bullet$ Il y a équivalence entre
$\; \; \ast$ $f$ est une bijection de $E$ sur $F$
$\; \; \ast$ $f$ est injective et surjective
$\; \; \ast$ pour tout $y$ de $F$ , il existe un et un seul $x$ de $E$ tel que $y = f(x)$
$\; \; \ast$ il existe $(g , h) \in \mathcal{F}(F , E)^2$ tel que $\quad \quad g \circ f = \textrm{Id}_E$ et $f \circ h = \textrm{Id}_F$
( alors $g = h = f^{-1}$ ).

$\bullet$ Dans le cas où $f$ est une fonction définie dans un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ à valeurs dans $J \subset \mathbb{R}$ , on peut chercher à démontrer que $f$ est continue sur $I$ , strictement monotone sur $I$ et que $f(I) = J$ . Alors $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ .
Dans ce cas les graphes de $f$ et de $f ^{- 1}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$ .

$\bullet$ Si $f \in E ^E$ vérifie $f \circ f = \textrm{Id}_E\,$ , alors $f$ est une bijection et $f ^{- 1} = f$ .

$\bullet$ Lorsque $f$ est une bijection de $E$ sur $F$ , pour déterminer $f^{-1}$ :
$\ast$ on peut résoudre l’équation : $y \in F$ et $x \in E$ , $y = f(x)$ , alors
$\quad \quad f^{ -1} : F \to E ,\, y \mapsto x$ .
$\ast$ on peut déterminer une fonction $g$ de $F$ dans $E$ telle que $g \circ f = \textrm{Id}_E$ ou telle que $f \circ g = \textrm{Id}_F$ , alors $g = f^{ -1}$ .

$\bullet$ Si $f$ est une composée de deux bijections, $f$ est bijective.

$\bullet$ ⚠️ si $f \in E ^F$ et $g \in F ^ G$ , lorsque $f$ et $g$ sont des bijections, $g \circ f$ est une bijection de $E$ sur $G$ et $\quad \quad (g \circ f) ^{- 1}= f^{- 1} \circ g ^{- 1}$

Un petit dessin pour illustrer.

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3. Image directe et image réciproque

3.1. Les définitions
Soient $f \in \mathcal{F}(E , F)$ , $A$ une partie de $E$ et $B$ une partie de $F$ .
$\bullet$ Connaître les définitions :
$\ast$ l’image directe de $A$ par $f$ :
$\quad \quad f(A) = \{ f(x) / x \in A\}$
c’est une partie de $F$ .
$\ast$ l’image réciproque de $B$ par $f$ :
$\quad f ^{ - 1}(B) = \{x \in E / f(x) \in B \}$
c’est une partie de $E$ .

$\bullet$ Savoir les traduire :
$\ast$ $y \in f(A)$ ssi $\exists \, x \in A, \, y = f(x)$
$\ast$ $x \in f ^{- 1}(B)$ ssi $f(x) \in B$ .

⚠️ : Si $B$ est une partie de $F$ , on peut définir $f ^{-1}(B)$ même si $f$ n’est pas bijective.
Lorsque $f$ est bijective, $f ^{-1}(B)$ est aussi l’image directe de $B$ par l’application réciproque $f ^{- 1}$ .
On peut définir pour tout $y \in F$ , $f ^{- 1}( \{y \})$ qui est une partie de $E$ , mais pour définir $f ^{- 1}(y)$ , l’application $f$ doit être bijective et dans ce cas, $f ^{- 1}(y)$ est un élément de $E$ .

⚠️ Il faudra faire attention :
$\quad \ast$ Lorsque $x$ est élément de $E$ , $f(x)$ est un élément de $F$ et $f(\{x \})$ est une partie de $F$ .
$\quad \ast$ Lorsque $A$ est une partie de $E$ , $f(A)$ est une partie de $F$ .
$\quad \ast$ Lorsque $B$ est une partie de $F$ , $f ^{ -1} (B)$ est une partie de $E$ .

Deux images pour illustrer (image directe puis image réciproque)

image directe en maths sup — image directe

image reciproque en maths sup — image réciproque

3.2. Les propriétés
Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ .
$\bullet$ $f$ est une surjection de $E$ sur $F$ ssi $f(E) = F$ .

$\bullet$ Vous pouvez utiliser les évidences :
$\; \ast$ $A \subset A' \subset E$ $\Rightarrow f(A) \subset f(A')$ .
$\; \ast$ $B \subset B' \subset F$ $\Rightarrow f^{-1} (B) \subset f^{-1}(B')$ .

Dans la suite, les propriétés énoncées ne sont pas explicitement au programme mais seront démontrées dans une des autres tâches.

$\bullet$ les propriétés de l’image directe
Si $A \subset E$ et $B \subset E$ ,
$\quad \ast$ $f( A \cup B) = f(A) \cup f(B)$
$\quad \ast$ $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$
⚠️ inclusion seulement dans le cas général : prendre $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto x^2$ , $A = \{1 \}$ et $B = \{ - 1\}$ , $f(A) = f(B) = \{1\}$ et $f(A\cap B) = \varnothing$ .

$\bullet$ les propriétés de l’image réciproque
Si $A \subset F$ et $B \subset F$ ,
$\; \ast$ $f^{-1} ( A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$
$\; \ast$ $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f(B)$
$\; \ast$ $f ^{-1}\left(C_F\, A\right) = C_E \, f ^{-1}(A)$ .

$\bullet$ les propriétés combinées
$\quad \ast$ Si $A \subset E$ , $A \subset f ^{- 1} (f(A))$
$\quad \ast$ Si $B \subset F$ , $f( f ^{- 1} (B)) \subset B$ .
⚠️ en général ce ne sont que des inclusions

Démonstration : $\bullet$ Première propriété
$\ast$ Si $A \subset E$ ,
pour tout $x \in A$ , $f(x) \in f(A)$ donc par définition de l’image réciproque, $\quad \quad \quad x \in f ^{- 1} (f(A))$ .
On a prouvé que $A \subset f ^{- 1} (f(A))$ .

$\ast$ un exemple d’inclusion stricte.
Prendre $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \to 0$
$A = \{1\}$ , $f(A) = \{0\}$ et $f ^{- 1} (f(A)) = \mathbb{R}$ .

$\bullet$ Deuxième propriété
$\ast$ Si $B \subset F$ ,
pour tout $y \in f( f ^{- 1} (B))$ , il existe $x \in f ^{- 1} (B)$ tel que $y = f(x)$ et par définition de l’image réciproque, $f(x) \in B$ soit $y \in B$ .
On a prouvé que $f( f ^{- 1} (B)) \subset B$ .

$\ast$ un exemple d’inclusion stricte.
Prendre $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \to 0$
$B =\{1\}$ , $f ^{-1}(B) = \varnothing$ et $f( f ^{- 1} (B)) = \varnothing$

4. Relation d’équivalence et relation d’ordre

4.1. Relation binaire
Soit $E$ un ensemble
$\bullet$ Se donner une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ revient à se donner une partie $\Gamma$ de $E \times E$ et on écrit alors $\quad \quad \quad x \, \mathcal {R} \, y \Leftrightarrow (x , \, y) \in \Gamma$ .

$\bullet$ Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire sur l’ensemble $E$ .
$\ast$ $\mathcal{R}$ est réflexive si $\forall \, x \in E, \, x \, \mathcal{R}\, x$
$\ast$ $\mathcal{R}$ est symétrique si $\quad (x, y) \in E^2,\, x \, \mathcal{R} \, y \Rightarrow y \, \mathcal{R} \, x$
$\ast$ $\mathcal{R}$ est antisymétrique si $(x, y) \in E^2, \, (x \, \mathcal{R} \, y$ et $y \, \mathcal{R}\, x ) \Rightarrow x = y$
$\ast$ $\mathcal{R}$ est transitive si $(x, y, z) \in E^3,$
$(x\, \mathcal{R} \, y$ et $y \, \mathcal{R}\, z) \Rightarrow x\, \mathcal{R} \, z$

4.2. Définitions
Soit $E$ un ensemble.
$\bullet$ Une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ est une relation d’équivalence lorsqu’elle est réflexive, symétrique et transitive.

exemples :
$\ast$ Sur tout ensemble $E$ , » $x = y$ » définit une relation d’équivalence.
$\ast$ Sur l’ensemble $\mathcal{D}$ des droites du plan $\mathcal{P}$ la relation » $D$ est parallèle à $D'$ » définit une relation d’équivalence.

$\bullet$ Si $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $E$ et $x \in E$ ,
la classe d’équivalence de $x$ suivant $\mathcal{R}$ est la partie de $E$ définie par
$\quad \quad \textrm{Cl}(x) = \{ y \in E \, / \, x \, \mathcal{R} \, x \}$
elle peut aussi être notée $\dot x$ ou $\overline {x}$ .
$\ast$ $x \in \textrm{Cl}(x)$
$\ast$ si $(x , y) \in E^2$ , $\textrm{Cl}(x) = \textrm{Cl}(y)$ ou $\textrm{Cl}(x) \cap \textrm{Cl}(y) = \varnothing$ .
$\ast$ $E = \displaystyle \bigcup _{x \in E} \textrm{Cl}(x)$ .
L’ensemble des classes d’équivalence forme une partition de $E$ .

4.3.Congruence
$\bullet$ Si $t \in \mathbb{R}^*$ , on définit si $(x, \, y) \in \mathbb{R}^2$ ,
$\; \; x \equiv y \; \; [t] \Leftrightarrow \exists \, n \in \mathbb{Z} , \ x- y = n \, t$
C’est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$ appelée relation de congruence modulo $t$ (cas usuel en trigonométrie : $t = 2 \, \pi$ ou $t = \pi$ ).

$\bullet$ Si $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit si $(x , \, y) \in \mathbb{Z}^2$ ,
$x \equiv y \; \; [n] \Leftrightarrow \exists\, p \in \mathbb{Z} , \ x- y = n \, p$
C’est une relation d’équivalence sur $\mathbb{Z}$ appelée relation de congruence modulo $n$ .
Pour la relation de congruence modulo $n$ , il y a $n$ classes d’équivalence définies pour $k \in [\![0 , \, n - 1]\!]$ par $\quad\quad \overline k = \{k + n\, p \,/ \, p \in \mathbb{Z}\}$ .

Exercice
La relation de congruence modulo $n$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{Z}$ vérifiant
si $x \equiv y \; \; [n]$ et $z \equiv u \; \; [n]$ ,
$\; \; x + z\equiv y + u \; \; [n]$ et $x\, z \equiv y \, u \; \; [n]$ .

Correction :

$\bullet$ Relation d’équivalence
$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb {Z}, \, x - x = 0 . n$ donc $x \equiv x \; \; [n]$ .
$\ast$ Si $(x ,\, y) \in \mathbb{Z}^ 2$ vérifie $x \equiv y \; \; [n]$ $\exists\, p \in \mathbb{Z} , \ x- y = n \, p$ donc $y - x = n \, (- p)$ avec $- p \in \mathbb{Z}$ , donc $y \equiv x \; \; [n]$ .
$\ast$ Si $(x ,\, y, \, z ) \in \mathbb{Z}^ 3$ vérifie $x \equiv y \; \;[n]$ et $y \equiv z \; \; [n]$ .
$\exists (p\, , \, q) \in \mathbb{Z}^2 , \ x- y = n \, p$ et $y - z = n \, q$ , donc $x - z = n (p + q)$ avec $p + q \in \mathbb{Z}$ , donc $x \equiv z \; \; [n]$ .

On a démontré que la relation de congruence modulo $n$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{Z}$ .

$\bullet$ Classes d’équivalence.
$\ast$ On suppose que $0 \leq i < j < n$ , alors $i$ et $j$ ne sont pas congrus modulo $n$ .
En effet $0 < j - i < n$ n’est pas divisible par $n$ , alors $\overline i \neq \overline j$ . Il y a donc au moins $n$ classes d’équivalence.

$\ast$ $j \in \overline i$ ssi $j - i$ est un multiple de $n$ , donc $\overline i = \{i + n\, p \,/ \, p \in \mathbb{Z}\}$ .

$\ast$ Pour tout $x \in \mathbb {Z}$ , par division euclidienne, on écrit $x = p \, n + r$ avec $r \in [\![0 , n - 1]\!]$ et $p \in \mathbb{Z}$ , donc $x \equiv r \; \; [n]$ et $x \in \dot r$ .

Pour la relation de congruence modulo $n$ , il y a $n$ classes d’équivalence
si $k \in [\![0 , \, n - 1]\!]$ , $\overline k = \{k + n\, p \,/ \, p \in \mathbb{Z}\}$

$\bullet$ Opérations sur les congruences.
On suppose que $x \equiv y \; \;[n]$ et $z \equiv u \; \; [n]$
$\exists \, (p \, , \, q) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $x = y + n \, p$ et $z = u + n \, q$ .
$\ast$ Par somme, $x + z = y + u + n(p + q)$ avec $p + q \in \mathbb{Z}$ donc $x + z\equiv y + u \; \; [n]$ .
$\ast$ Par produit,
$x \, z = y \, u + n (p \, u + q \, y + n\, p \, q)$ avec $p \, u + q \, y +n\, p \, q \in \mathbb{Z}$ , donc $x\, z \equiv y \, u \; \; [n]$ .

4.4. Relation d’ordre

Soit $E$ un ensemble non vide.
$\bullet$ Une relation binaire sur $E$ est une relation d’ordre lorsqu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
On la note souvent $\preceq$ .
On dit alors que l’ensemble $(E\, ,\, \preceq)$ est un ensemble ordonné.

$\bullet$ La relation d’ordre $\preceq$ sur $E$ est une relation d’ordre total lorsque pour tout $(x ,\, y) \in E^2$ , au moins une des deux relations $x \preceq y$ ou $y \preceq x$ est vérifiée.
On dit alors que $(E\, ,\, \preceq)$ est un ensemble totalement ordonné.

$\bullet$ La relation d’ordre $\preceq$ sur $E$ est une relation d’ordre partiel lorsqu’ il existe $(x ,\, y) \in E^2$ tel que les relations $x \preceq y$ et $y \preceq x$ soient fausses.
On dit alors que $(E \,,\, \preceq)$ est un ensemble partiellement ordonné.

exemples
$\ast$ sur $\mathbb{R}$ , la relation $x \leq y$ définit une relation d’ordre total.
$\ast$ Si $E$ est un ensemble contenant au moins deux éléments, la relation $A \subset B$ définit une relation d’ordre partiel sur $\mathcal{P}(E)$ .
$\ast$ Si $A$ est une partie contenant au moins deux éléments, la relation définie sur $\mathcal{F}(A , \mathbb{R})$ par
$\quad f \leq g \Leftrightarrow \forall\, x \in A, \, f(x) \leq g(x)$
est une relation d’ordre partiel.

5. Loi interne

$\bullet$ Définir une loi de composition interne sur un ensemble $E$ revient à se donner une application $f : E \times E \to E$ .
Si $a , b \in E$ , on note souvent $f(a , b) = a \ast b$ ou $A\, \textrm{T} \,b$ ou $a + b$ etc …
exemples :
$\ast$ Sur $\mathcal{P}(E)$ , l’intersection, la réunion.
$\ast$ Sur $\mathcal{F}(A , \mathbb{R})$ , l’addition définie si $f , g \in \mathcal{F}(A , \mathbb{R})$ par $\; \forall \, x \in A, (f + g)(x) = f(x) + g(x)$ .
$\ast$ Sur $\mathcal{F}(E , E)$ , la loi $\circ$ .

$\bullet$ Pour démontrer qu’une loi de composition interne $\ast$ définie sur $E$ est associative, on démontre que $\forall\, (a ,\, b ,\, c) \in E^3 , \, a \ast (b \ast c) = (a \ast b) \ast c$
$\bullet$ Pour démontrer qu’une loi de composition interne $\ast$ définie sur $E$ n’est pas associative, on trouve trois éléments $a,\, b$ et $c$ de $E$ tels que $\quad \; a \ast (b \ast c) \neq (a \ast b) \ast c$ .

$\bullet$ Pour démontrer qu’une loi de composition interne $\ast$ définie sur $E$ est commutative, on démontre que $\quad \quad \forall\, (a ,\, b) \in E^2,\, a \ast b = b \ast a$ .
$\bullet$ Pour démontrer qu’une loi de composition interne $\ast$ définie sur $E$ n’est pas commutative, on trouve deux éléments $a$ et $b$ de $E$ tels que $\quad \quad \quad a \ast b \neq b \ast a$ .

$\bullet$ Pour démontrer qu’une loi de composition interne $\textrm{T}$ définie sur $E$ est distributive par rapport à la loi $\ast$ , on démontre que $\forall\, (a ,\, b ,\, c) \in E^3 , \,$
$\quad \quad a \textrm{T} (b * c) = (a\, \textrm{T} \, b) \ast(a \, \textrm{T}\, c)$
$\quad$ et $(b \ast c)\, \textrm{T}\, a = (b \, \textrm{T} \, a) \ast(c\, \textrm{T} \ a)$ .
👍 la deuxième égalité étant inutile si la loi $\textrm{T}$ est commutative.
$\bullet$ Pour démontrer qu’une loi de composition interne $\textrm{T}$ définie sur $E$ n’est pas distributive par rapport à la loi $\ast$ , on trouve trois éléments $a,\, b$ et $c$ de $E$ tels que
$\quad a \, \textrm{T}\, (b * c) \neq (a\, \textrm{T} \, b) \ast(a \, \textrm{T}\, c)$
ou $(b \ast c) \, \textrm{T} \, a \neq (b\, \textrm{T} \, a) \ast(c\, \textrm{T} \, a)$ .

$\bullet$ Pour démontrer qu’une loi de composition interne $\ast$ définie sur $E$ admet un élément neutre :
a) si l’on a l’intuition de la valeur de l’élément neutre $e$ , on vérifie que l’on a bien $\forall\, z \in E, \, z \ast e = e \ast z = z$ .
👍 La démonstration de $z \ast e = z$ suffit dans le cas d’une loi commutative.
b) sinon, on écrit que $\quad \quad \forall\, z \in E , \, z \ast e = e \ast z = z$ ,
pour chercher à déterminer $e$ .
Si le raisonnement n’a pas été fait par équivalence, après avoir trouvé $e$ , il faut vérifier que pour tout $z$ de $E$ ,
$\quad \quad \quad z \ast e = e \ast z = z$ .
👍 La recherche de $e$ peut se faire uniquement au brouillon, et dans un devoir on peut se limiter au raisonnement décrit en a).

$\bullet$ Pour démontrer qu’un élément $z$ admet un symétrique pour la loi de composition interne $\ast$ d’élément neutre e,
a) si l’on a l’intuition de la valeur du symétrique $z'$ de $z$ : on vérifie que l’on a bien $z \ast z' = z' \ast z = e$ .
👍 La démonstration de l »égalité $z \ast z' = e$ suffit dans le cas d’une loi commutative.
b) sinon, on écrit que $\quad \quad \quad z \ast z' = z' \ast z = e$
pour chercher à déterminer $z'$ .
Si le raisonnement n’a pas été fait par équivalence, après avoir trouvé $z'$ , il faut vérifier que $z \ast z' = z' \ast z = e$ .
👍 La recherche de $z'$ peut se faire uniquement au brouillon, et dans un devoir, on peut se limiter au raisonnement décrit en a).

$\bullet$ Pour démontrer que la partie $A$ de $E$ est une partie stable pour la loi de composition interne $\ast$ définie sur $E$ , on doit prouver que pour tous $a$ et $b$ de $A$ , $a \ast b$ est élément de $A$ .
$\bullet$ Pour prouver que $A$ n’est pas une partie stable pour la loi $\ast$ , on doit trouver $a$ et $b$ dans $A$ tels que $a \ast b$ ne soit pas élément de $A$ .

Propriétés
Si la loi interne $\ast$ est associative,
$\ast$ si l’élément neutre existe, il est unique
$\ast$ si la loi $\ast$ possède un élément neutre, le symétrique de $z$ lorsqu’il existe est unique.

On suppose dans la suite que la loi est associative.
Quand la loi est notée additivement, si la loi possède un élément neutre, il est noté $0$ et le symétrique de $x$ , s’il existe, est noté $- x$ et appelé opposé de $x$ .
Quand la loi est notée multiplicativement, si la loi possède un élément neutre, il est noté $1$ et le symétrique de $x$ , s’il existe, est noté $x^{- 1}$ et appelé inverse de $x$ .

prop Soit $E$ un ensemble muni d’une loi interne associative notée multiplicativement.
Si $x$ et $y$ possèdent un inverse, $x \, y$ possède un inverse et $\quad \quad \quad (x \, y) ^{- 1} = y ^{- 1} \, x ^{- 1}$ .

Exemple :
Soit $E$ un ensemble contenant au moins deux éléments. Quelles sont les propriétés des lois internes « $\cup$ » et « $\cap$ » dans $\mathcal{P}(E)$ ?

Correction : $\bullet$ Propriétés de la réunion :
$\ast$ La réunion est associative et commutative.
$\ast$ $\varnothing$ est élément neutre pour la loi $\cup$
car pour tout $A \in \mathcal {P}(E), \, A \cup \varnothing = A$ .
$\ast$ Seul $\varnothing$ a un symétrique pour la loi $\cup$
Car si $A \neq \varnothing$ , pour tout $B \in \mathcal {P}(E)$ , $A \subset A \cup B$ , donc $A \cup B \neq \varnothing$ .

$\bullet$ Propriétés de l’intersection :
$\ast$ L’intersection est associative et commutative.
$\ast$ $E$ est élément neutre pour la loi $\cap$
car pour tout $A \in \mathcal {P}(E), \, A \cap E = A$ .
$\ast$ Seul $E$ a un symétrique pour la loi $\cap$
Car si $A \neq E$ , pour tout $B \in \mathcal {P}(E)$ , $A \cap B \subset A$ , donc $A \cap B \neq E$ .

$\bullet$ Propriétés conjointes :
$\ast$ La réunion est distributive par rapport à l’intersection :
si $(A , \, B , \, C) \in \mathcal {P}(E)^3,$
$\quad A \cup ( B \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
$\ast$ L’intersection est distributive par rapport à la réunion :
si $(A , \, B , \, C) \in \mathcal {P}(E)^3,$
$\quad A \cap ( B \cup C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .

6. Structures

6.1. Groupe
$\bullet$ Soit $G$ un ensemble non vide muni d’une loi interne notée $\ast$ .
On dit que $(G , \ast)$ est un groupe si, et seulement si,
$\ast$ la loi $\ast$ est associative
$\ast$ la loi $\ast$ possède un élément neutre noté $e$
$\ast$ tout élément $x$ de $G$ possède un symétrique noté $x^{-1}$ .
Si, de plus, la loi $\ast$ est commutative, le groupe est dit commutatif.

$\bullet$ exemples :
$\ast$ Si $E$ est un ensemble non vide, l’ensemble des bijections de $E$ sur $E$ est un groupe pour la loi $\circ$ , appelé groupe des permutations de $E$ et noté $S_E$ .
$\ast$ $(\mathbb{C}\, ,\, +)$ est un groupe commutatif
$\ast$ $(\mathbb{C}^*\, ,\, \times )$ est un groupe commutatif.

$\bullet$ notations :
Si $(G ,\, +)$ est un groupe d’élément neutre $0_G\,$ et $x \in G$ , on définit
$\quad \ast$ $0 . x = 0_G$
$\quad$ et si $n \in \mathbb {N}, \, (n + 1) x = n \,x + x$
$\quad \ast$ si $n \in \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}, \, n\, x = (-n) (-x)$ .

Si $(G , \, .)$ est un groupe d’élément neutre $1_G$ et $x \in G$ , on définit
$\quad \ast$ $x^0 = 1_G$ et si $n \in \mathbb {N}, \, x ^{n + 1} = x^n . x$
$\quad \ast$ si $n \in \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}, \, x^n = (x^{-1})^{-n}$ .

exercice :
Si $.$ est une loi de composition interne sur $E$ , associative et admettant un élément neutre $e$ , l’ensemble $U$ des éléments inversibles de $E$ est un groupe pour la multiplication.

Démonstration : $\ast$ $U$ est non vide car $e$ est inversible, d’inverse égal à lui même.
$\ast$ Si $(x , y) \in U^2$ , on a vu que $x \, y$ est inversible.
Donc la loi $.$ est une loi interne dans $U$ .
$\ast$ La multiplication est associative dans $U$ car elle l’est dans $E$ .
$\ast$ $e$ est encore élément neutre dans $U$ .
$\ast$ Si $x \in U$ , $x^{- 1}$ est inversible d’inverse égal à $x \in U$ , donc $x ^{- 1} \in U$ .
On a prouvé que $(U , \, . \, )$ est un groupe .

6.2. Sous-groupe
$\bullet$ Soit $(G , \ast )$ un groupe et $H$ une partie non vide de $G$ . Il y a équivalence entre
$\ast$ $H$ est un sous-groupe de $(G , \, \ast)$ .
$\ast$ $\forall\, (a , b) \in H^2,\, a \ast b \in H$
et $\forall\, a \in H,\, a ^{- 1} \in H$
$\ast$ $\forall\, (a , b) \in H^2,\, a^{- 1} \ast b \in H$
alors $(H, \, \ast \,)$ est un groupe.

👍 : Pour démontrer que $H$ est non vide, on démontre que $H$ contient l’élément neutre de $G$ .

Remarque :
si $(H , \ast)$ est un sous groupe de $(G , \, \ast )$ lui même sous-groupe de $(G' , \, \ast)$ , $(H , \, \ast)$ est un sous-groupe de $(G' , \, \ast)$ .

$\bullet$ exemples
$\ast$ $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ sont des sous-groupes pour la loi $+$ de $(\mathbb{C}\, ,\, + )$ .

$\ast$ $\mathbb{Q}^*$ , $\mathbb{R}^*$ sont des sous-groupes pour la loi $.$ de $(\mathbb{C}^*\, , \, .)$ .
$\ast$ $(\mathbb{U}\, , \, . )$ (ensemble des complexes de module 1) est un sous groupe de $(\mathbb{C} ^* \, , \, .)$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ , $\mathbb{U}_n$ (ensemble des racines $n$ -ièmes de 1) est un sous-groupe de $(\mathbb{U}\, , \, . )$ .
En cours d’année :
$\ast$ L’ensemble $\textrm{GL}(E)$ des automorphismes de $E$ est un sous-groupe de $S_E\,$ .
$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$ , l’ensemble $\textrm{GL} _ n ( \mathbb{K} )$ des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ inversibles est un groupe pour la multiplication des matrices, appelé groupe spécial linéaire d’ordre $n$ .

6.3. Anneau
$\bullet$ Soit $A$ un ensemble non vide muni de deux lois de composition internes notées « $+$ » et « $.$ « .
On dit que $(A\, ,\, +\, ,\, \, .\times )$ est un anneau si, et seulement si,
$\quad\ast$ $(A\, , \,+)$ est un groupe commutatif (l’élément neutre pour l’addition est noté $0_A$ ou $0$ s’il n’y a pas de confusion possible, le symétrique de $a \in A$ pour l’addition est noté $- a$ )
$\quad\ast$ la multiplication est associative, possède un élément neutre noté $1_A$ (ou $1$ s’il n’y a pas de confusion possible) et la multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Si la multiplication est commutative, l’anneau est dit commutatif.

$\bullet$ Soient $(A , + , \, . )$ un anneau et $I$ une partie non vide.
Sur $\mathcal{F}(I , A)$ , on définit deux lois internes par
si $(f , g) \in \mathcal{F}(I , A)^2$ ,
$\ast$ $f + g$ est définie par $\quad \forall\, x \in I, (f + g)(x) = f(x) + g(x)$
$\ast$ $f . g$ est définie par $\quad \forall\, x \in I, (f . g)(x) = f(x) . g(x)$ .
$\mathcal{F}(I , A)$ est un anneau commutatif.
L’élément neutre pour l’addition est $O : I \to A , x \mapsto 0_A\,$ .
L’élément neutre pour la multiplication est $\mathds{1} : I \to A , x \mapsto 1_A\,$ .

⚠️ Si $(A , + , .)$ est un anneau, $a \neq 0$ et $b \neq 0$ n’impliquent pas $a \, b \neq 0$ .
h.p. Si $(A , + , .)$ est un anneau tel que si $(a , b) \in A^2, a\, b = 0 \Rightarrow a = 0$ ou $b = 0$ , on dit que l’anneau est intègre.

En cours d’année, vous rencontrerez les anneaux suivants :
$\ast$ $(\mathbb{K}[\textrm{X}],\, + ,\, .)$ l’anneau des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$
$\ast$ $(\mathcal{L}(E), \, + , \, \circ)$ l’anneau des endomorphismes de $E$
$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}^*$ , $(\mathcal{M}_n (\mathbb{K}), \, + , \, .)$ l’anneau des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ .

Calculs dans l’anneau $(A\, ,\, + \, , \, . )$ ,
$\ast$ Si $(a , b) \in A^2$ , on note $\quad \quad \quad a - b = a + (-b)$

On note si $a \in A$ et $n \in \mathbb{N}$
$\ast$ $n . a$ est défini par récurrence par
$\quad \quad 0 . a = 0$ , $\quad$
$\quad$ et $\forall\, n \in \mathbb{N}, (n + 1) \, a = n \, a + a$
Puis si $n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}, n \, a = ( - n) (-a)$ .

$\ast$ $a^n$ est défini par récurrence par
$\quad a^0 = 1$ et si $n \in \mathbb{N}, a^{n + 1} = a ^{n} . a$

Prop : Si $(a \, , \, b) \in A^2$
$\ast$ $\forall\, (n ,\, p) \in \mathbb{Z}^2$ ,
$\quad \quad n(a + b) = n\, a + n\, b$
$\quad$ et $n\, (a \,b) = (n \,a)\, b = a\, (n \,b)$
$\quad$ et $n\, a + p\, a = (n + p)\, a$
$\ast$ $\forall\, (n \, , \, p) \in \mathbb{N}^2$ , $a ^n \, . \, a ^p = a ^{n + p}$ .

$\bullet$ Soient $(A\, ,\, + \, , \, . )$ un anneau et $n \in \mathbb{N}^*$ . Si $a$ et $b$ sont deux éléments de $A$ tels que ⚠️ $a \, b = b \, a$ ,
$\ast$ formule de Leibniz :
$\quad a^n - b ^n = (a - b) \displaystyle \left ( \sum _ {k = 0} ^{n - 1} a ^ k \, b ^{n - 1 - k} \right )$

$\ast$ binôme de Newton :
$\quad \quad (a + b) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n}{k} \, a ^k \, b ^{n - k}$ .

6.4. Corps
Un corps est un triplet $(\mathbb{K} , \, + ,\, .)$ tel que $(\mathbb{K} , \, + ,\, .)$ est un anneau commutatif contenant au moins deux éléments et tel que tout élément de $\mathbb{K}^*$ est inversible pour la multiplication.

exemples
$(\mathbb{Q},\, + , \, .)$ , $(\mathbb{R},\, + , \, .)$ et $(\mathbb{C},\, + , \, .)$ sont des corps.
En cours d’année, vous rencontrerez
$(\mathbb{K}(\textrm{X}),\, + , \, .)$ le corps des fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbb{K}$ .

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