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Cours : Équations différentielles en Maths Sup

Résumé de cours Exercices et corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Equations différentielles en Maths Sup

Plan :

1. Équation différentielle linéaire du premier ordre
$\quad$ 1.1. Équation homogène
$\quad$ 1.2. Ensemble des solutions
$\quad$ 1.3. Recherche d’une solution particulière de $(\mathcal{E})$
$\quad$ 1.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz
$\quad$ 1.5. Consignes de rédaction
$\quad$ 1.6. Raccordement de solutions (en cours d’année).

2. Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
$\quad$ 2.1. Équation homogène
$\quad$ 2.2. Ensemble des solutions
$\quad$ 2.3. Recherche d’une solution particulière de $(\mathcal{E})$
$\quad$ 2.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz
$\quad$ 2.5. Consignes de rédaction.

1. Équation différentielle linéaire du premier ordre

On note $(\mathcal{E})$ $y' + a(x) \, y = b(x)$ où $a, b$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb {K}$ .

1.1. Résolution de l’équation sans second membre $(\mathcal{H}) : y' + a(x) \, x$ .
On détermine une primitive $A$ de $x \mapsto a(x)$ sur l’intervalle $I$ .
La solution générale de $(\mathcal{H})$ est donnée par : $I \to \mathbb {K}, x \mapsto \lambda \textrm {e} ^{- A(x)}$ où $\lambda \in \mathbb{K}$ .

Cas particulier :
si $a \in \mathbb{K}$ , l’ensemble des solutions de $y' + a\, y = 0$ sur $\mathbb{R}$ est l’ensemble des fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{K}$ , $x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{- a \, x}$ où $\lambda \in \mathbb{K}$ .

👍 Dans le cas où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , une solution de $(\mathcal{H})$ est soit nulle sur $I$ , soit ne s’annule pas sur $I$ et garde alors un signe constant sur $I$ .
Donc lorsque la solution générale de $(\mathcal{H})$ s’écrit sous la forme $\quad \quad x \mapsto \lambda \, \vert u(x) \vert \, v(x)$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ ,
comme la fonction $x \mapsto u(x)$ ne s’annule pas sur $I$ , elle a un signe constant donc la solution générale de $(\mathcal{H})$ peut s’écrire
$x \mapsto \lambda \, u(x) \, v(x)$ ou $x \mapsto - \lambda \, u(x) \, v(x)$ donc en résumé sous la forme $\quad \quad x \mapsto \mu\; u(x) \, v(x)$ où $\mu \in \mathbb{R}$ .
On peut donc « supprimer » la valeur absolue.

exemple :
solution générale de $(\mathcal{H})$ $y' - \displaystyle \frac 3 x \, y = 0$

Correction : La solution générale sur $I_1 =\; ]- \infty ,\, 0[$ ou sur $I_2 = ]0 , +\infty[$ est $x \mapsto \lambda \, \vert x \vert ^3$ (car $A(x) = - 3 \ln \vert x\vert$ soit encore $x \mapsto \mu \, x ^3$ où $\mu \in \mathbb{R}$ .

👍 Un peu plus tard dans l’année, vous pourrez dire que l’ensemble $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ des solutions de $(\mathcal{H})$ sur $I$ est un espace vectoriel de dimension 1 de base $\quad \quad I \to \mathbb{K} , \, x \mapsto \textrm {e} ^{- A(x)}$ .

1.2. Ensemble des solutions
$\bullet$ On note $(\mathcal{E})\quad y' + a(x) \, y = b(x)$
$\quad \quad\quad$ et $(\mathcal{H})\quad y' + a(x) \, y = 0$
La solution générale de $(\mathcal{E})$ est la somme de la solution générale de $(\mathcal{H})$ et d’une solution particulière de $(\mathcal{E})$ .

$\bullet$ Principe de superposition des solutions.
On suppose que $b = \lambda \, b_1 + \mu \, b_2$ où $(\lambda \, \mu) \in \mathbb{K}^2$ et $b_1$ et $b_2$ sont continues sur $I$ .
Si $y_1$ (resp $y_2$ ) est solution particulière de $y' + a(x) \, y = b_1(x)$
(resp. de $y' + a(x) \, y = b_2(x)$ )
$\lambda \, y_1 + \mu \, y_2$ est solution particulière de $y' + a(x) \, y = b(x)$ .

1.3. Détermination d’une solution particulière de $(\mathcal{H})$ .
$\bullet$ Elle peut être évidente.

$\bullet$ Sinon, on utilise la méthode de variation de la constante.
Ayant trouvé comme solution de $(\mathcal{H})$ , $x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{-A(x)}$ , on note $\quad \quad \forall\, x \in I,\, y(x) = \lambda(x) \, \textrm{e} ^{-A(x)}$ .
On écrit que $y$ est solution de $(\mathcal{H})$ sur $I$ Le terme en $\lambda(x)$ doit disparaître et on obtient :
$y$ est solution sur $I$ de $(\mathcal{H})$
ssi $\forall\, x \in I, \, \lambda'(x) \, \textrm{e}^{-A(x)} = b( x)$
ssi $\forall \, x \in I,\, \lambda'(x) = \textrm{e} ^{A(x)}\, b( x)$ .

👍
$\bullet$ En général, on peut déterminer une primitive de $x \mapsto \textrm{e} ^{A(x)}\, b( x)$ .
$\bullet$ Si l’on ne sait pas déterminer une primitive de cette fonction à l’aide des fonctions usuelles, on introduit $x_0 \in I$ et on dit que $\exists \, C \in \mathbb{K},\, \forall\, x \in I,$ $\quad \,\displaystyle \lambda(x) = C + \int_{x_0} ^{x } b( t)\, \textrm{e} ^{A(t)}\, \textrm{d} \, t$ .
Dans ce cas, l’ensemble des solutions sur $I$ est l’ensemble des fonctions $I \to \mathbb{K}$ , $x \mapsto \displaystyle \, \left ( C + \int_{x_0} ^{x } b( t)\, \textrm{e} ^{A(t)}\, \textrm{d} \, t\right ) \, \textrm{e} ^{-A(x)}$
où $C \in \mathbb{K}$ .

$\bullet$ On termine en donnant l’ensemble des solutions, ou en cherchant la solution vérifiant la condition initiale donnée par l’énoncé.

en MPSI 👍 Un peu plus tard dans l’année, vous pourrez dire que l’ensemble $\mathcal{S}(\mathcal{E})$ des solutions de $(\mathcal{E})$ sur $I$ est un sous-espace affine de l’espace vectoriel des fonctions dérivables sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ .

1.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz
Théorème de Cauchy-Lipschitz :
Si les fonctions $a$ et $b$ sont continues sur l’intervalle $I$ ,
pour tout $(x_0 ,\, y_0) \in I \times \mathbb{K}$ , il existe une unique solution $f$ de
$\quad \quad \quad y' + a(x) y = b(x)$
vérifiant $f(x_0) = y_0\,$ .

Remarque : Elle peut s’exprimer sous la forme : si $x \in I$ , $f(x) = \displaystyle \, \left ( y_0 + \int_{x_0} ^{x } b( t)\textrm{e} ^{A(t)}\, \textrm{d} \, t\right ) \, \textrm{e} ^{- A(x)}$ avec $\displaystyle A(x) = \int_{x_0} ^{x } {a(t)}\, \textrm{d} \, t$ .

1.5. Consignes de rédaction
Soit $(\mathcal{E }) : y' + a(x) \, y = b(x)$ .
Dans la suite, $I$ est un intervalle sur lequel les fonctions $a$ et $b$ sont continues.
On note $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ si les fonctions $a$ et $b$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}$ et $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ si les fonctions $a$ et $b$ sont à valeurs dans $\mathbb{C}$ .

$\bullet$ Noter $(\mathcal{H }) : y' + a(x) y = 0$ .
Dire : on introduit $A : I \to \mathbb{K}$ une primitive de $a$ sur l’intervalle $I$ ,
la solution générale de $(\mathcal{H })$ sur $I$ est la fonction $x \mapsto k\, \textrm{e} ^ {-A(x)}$ où $k \in \mathbb{K}$ .
Lorsque $(\mathcal{E }) = (\mathcal{H })$ , terminer la rédaction par :
l’ensemble des solutions de $(\mathcal{H })$ sur $I$ est l’ensemble des fonctions $\quad I \to \mathbb{K},\, x \mapsto k \, \textrm{e} ^{-A(x)}$ où $k \in \mathbb{K }$ .

$\bullet$ Lorsqu’il y a un second membre et pas de solution particulière évidente, dire :
on cherche une solution particulière par la méthode de variation de la constante. On écrit :
$x \mapsto \lambda(x) \, \textrm{e} ^{- A(x)}$ est solution de $(\mathcal{E })$ sur $I$
ssi $\forall\, x \in I\,, \, \lambda'(x) \textrm{e} ^{ - A(x)} = b(x)$
ssi $\forall\, x \in I\,, \, \lambda'(x) = b(x) \, \textrm{e} ^{ A(x)}$
ssi $\exists \, C \in \mathbb{K} ,\, \forall\, x \in I\, ,\, \lambda(x) = F(x) + C$ où $F$ est une primitive sur $I$ de $\quad \quad \quad x \mapsto b(x) \, \textrm{e} ^{ A(x)}$ .

$\bullet$ Terminer en disant au choix :
$\; \; \ast$ la solution générale de $(\mathcal{E })$ sur $I$ est définie par $I \to \mathbb{K}$ , $\quad x \mapsto (F(x) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{-A(x)}$ où $\alpha \in \mathbb{K}$ .
ou
$\; \; \ast$ l’ensemble des solutions de $(\mathcal{E })$ sur $I$ est l’ensemble des fonctions $I \to \mathbb{K}$ , $x \mapsto (F(x) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{-A(x)}$ où $\alpha \in \mathbb{K}$
ou encore
$\; \; \ast$ $\mathcal{S}_{I } (\mathcal{E })$ (ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$ sur $I$ ) est égal à l’ensemble
$\left \{ I \to \mathbb{K} ,\, x \mapsto (F(x) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{-A(x)} \, / \, \alpha \in \mathbb{K} \right \}$ .

1.6. Raccordement de solutions
⚠️ Paragraphe utile en cours d’année, les raisonnements nécessitent en général des équivalents et des développements limités.

Résolution de
$\quad (\mathcal{E}) \, \alpha(x) y' + \beta(x) y = \gamma(x)$ .
Supposons pour fixer les idées que $I = ]a ,\, b[$ et que $\alpha$ ne s’annule qu’en un point $c$ de $]a ,\, b[$ .
On note $I_1 =\; ]a ,\, c[$ et $I_2 =\; ]c , \, b[$ , en divisant par $\alpha(x)$ on obtient une équation dite normalisée de la forme
$(\mathcal{E}')$ : $y' + a(x) y = b(x)$ où les fonctions $a$ et $b$ sont continues sur chacun des intervalles $I_1$ et $I_2\,$ .

$\bullet$ On résout $(\mathcal{E}')$ sur chacun des intervalles $I_1$ et $I_2\,$ .

👍 : il est en général possible de poser $j \in \{1 \, , \, 2\}$ et de résoudre $(\mathcal{E}')$ sur $I_j$ sans être obligé de le faire deux fois.
Il faudra à la fin donner l’ensemble des solutions sur $I_1$ puis l’ensemble des solutions sur $I_2\,$ . Il est conseillé de nommer les constantes définissant la solution générale par des lettres différentes.

$\bullet$ On pose
$\quad f(x) = \left \{ \begin{matrix} f_1(x) &\textrm{si}& x \in \; ]a , \, c [ \\ f_2(x) &\textrm{si}& x \in \; ]c , \, b [ \end{matrix} \right.$
où $f_1$ est solution de $(\mathcal{E})$ sur $]a ,\, c[$ et $f_2$ est solution de $(\mathcal{E})$ sur $]c ,\, b[$ .

$\bullet$ Puis
$\ast$ a) on cherche s’il est possible (en choisissant éventuellement les constantes) de prolonger $f$ par continuité en $c$ , donc en démontrant que la limite à gauche de $c$ de la fonction $f_1$ est égale à la limite à droite de $f_2$ en $c$ .
Si c’est le cas,
$\ast$ b) on cherche si la fonction $f$ est dérivable en $c$ .
Si c’est le cas,
$\ast$ c) on cherche si $f$ est encore solution de $(\mathcal{E})$ en $c$ .
Dans ce cas, la (ou les) fonction(s) obtenue(s) est (sont) solution(s) de $(\mathcal{E})$ sur $]a ,\, b[$ .
On dit que l’on a raccordé les solutions en $c$ .

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2. Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

Hypothèses : soit à résoudre l’équation $\quad (\mathcal{E}) : a\, y'' + b\, y' + c\, y = f(x)$
où $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2$ et $f$ est une fonction continue sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ . On note $(\mathcal{H}) : a\, y'' + b \, y' + c \, y = 0$ .

2.1. Résolution de $a \, y'' + b\, y' + c \, y = 0$ où $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2$ .
On note $P(r) = a \, r^2 + b\, r + c$ .

Si l’équation caractéristique $P(r) = 0$
$\ast$ a deux racines distinctes $\alpha$ et $\beta$ dans $\mathbb{K}$ , on introduit :
… $h_1 : x \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, x}$
… $h_2 : x \mapsto \textrm {e} ^{\beta \, x}$ .

$\ast$ a une racine double $\alpha$ , on introduit :
… $h_1 : x \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, x}$
… $h_2 : x \mapsto x\, \textrm {e} ^{\alpha \, x}$ .

$\ast$ $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , complexes conjuguées : $\alpha + \textrm {i} \, \beta$ et $\alpha - \textrm {i} \, \beta$ , où $\beta \neq 0$ , on introduit :
… $h_1 : x \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, x}\, \cos(\beta\, x)$
… $h_2 : x \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, t}\, \sin(\beta\, x)$ .

Dans chacun des trois cas, l’ensemble des solutions de $(\mathcal{H})$ s’écrit
$\mathcal{S}(\mathcal{H}) = \left \{ \lambda \, h_1 + \mu \, h_2 \, / \, (\lambda , \, \mu) \in \mathbb{R} ^2 \right \}$ .

$\ast$ et pour aller plus vite : dans le cas $y'' + \, \omega^2\, y = 0$ avec $\omega > 0$
… $h_1 : x \mapsto \cos(\omega \, x)$
… $h_2 : x \mapsto \sin(\omega \, x)$ .

$\ast$ et pour aller plus vite : dans le cas $y'' - \, \omega^2\, y = 0$ avec $\omega > 0$
… $h_1 : x \mapsto \textrm{ch}(\omega \, x)$
… $h_2 : x \mapsto \textrm{sh}(\omega \, x)$ .
ou
… $h_1 : x \mapsto \textrm{e}^{\omega \, x}$
… $h_2 : x \mapsto \textrm{e}^{ - \omega \, x}$ .

👍 Un peu plus tard dans l’année, vous pourrez dire que l’ensemble $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ des solutions de $\mathcal{H}$ sur $I$ est un espace vectoriel de dimension 2 de base $(h_1 \, , \, h_2)$ .

2.2. Ensemble des solutions
$\bullet$ On note $(\mathcal{E})\quad a \, y'' + b \, y' + c \, y = f(x)$ et $(\mathcal{H})\quad a \, y'' + b \, y' + c \, y = 0$
La solution générale de $(\mathcal{E})$ est la somme de la solution générale de $(\mathcal{H})$ et d’une solution particulière de $(\mathcal{E})$ .

$\bullet$ Principe de superposition des solutions.
On suppose que $f = \lambda \, f_1 + \mu \, f_2$ où $(\lambda \, \mu) \in \mathbb{K}^2$ et $f_1$ et $f_2$ sont continues sur $I$ .
Si $y_1$ (resp $y_2$ ) est solution particulière de $a \, y'' + b \, y' + c \, y = f_1(x)$
(resp. de $a \, y'' + b \, y' + c \, y = f_2(x)$ )
$\lambda \, y_1 + _mu \, y_2$ est solution particulière de $a \, y'' + b \, y' + c \, y = f(x)$ .

2.3. Recherche d’une solution particulière de $(\mathcal{E})$
$(\mathcal{E}) : a y'' + b y' + c y = f(x)$ où $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2$
On note $P(r) = a \, r^2 + b \, r + c$ .

$\bullet$ M1. Penser au principe de superposition des solutions pour trouver une solution particulière avec un second membre plus simple.

$\bullet$ M2. Utilisation de la fonction conjuguée.
Si $(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb{R} ^3$ et si $I \to \mathbb {C }$ , $x \mapsto y(x)$ est solution de $a \, y'' + b\, y' + c \, y = f(x)$ la fonction $I \to \mathbb {C }$ , $x \mapsto \overline {y(x)}$ est solution de $a\, y'' + b \, y' + c\, y = \overline {f(x)}$ .

$\bullet$ M3. Cas où $f(x) = A \, \textrm{e} ^{\lambda \, x}$ où $(A \,, \, \lambda ) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K}$
$\ast$ Si $P(\lambda ) \neq 0$ , on cherche une solution particulière sous la forme
$\quad \quad x \mapsto B \,\textrm{e} ^{\lambda \, x}$ où $B \in \mathbb{K}$ .

$\ast$ Si $P(\lambda ) = 0$ et $P'(\lambda ) \neq 0$ , on cherche une solution particulière sous la forme
$\quad \quad x \mapsto B\, x \,\textrm{e} ^{\lambda \, x}$ où $B \in \mathbb{K}$ .

$\ast$ Si $P(\lambda ) = P'(\lambda ) =0$ , on cherche une solution particulière sous la forme
$\quad x \mapsto B\, x^2 \,\textrm{e} ^{\lambda \, x}$ où $B \in \mathbb{K}$ .

$\bullet$ M4. $f(x) = B \, \cos(\omega \, x)$ ou $f(x) = B \, \sin(\omega \, x)$
$\ast$ Chercher une solution particulière $y_P$ à valeurs complexes de
$\quad \quad a \, y'' + b \, y' + c \, y = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \omega \, x}$ .

$\ast$ $B \, \mathcal{R}e (y_p)$ est une solution particuliè- re de $a \, y'' + b \, y' + c \, y = B \, \cos(\omega \, x)$

$\ast$ $B \, \mathcal{I}m (y_p)$ est une solution particuliè- re de $a \, y'' + b \, y' + c \, y = B \, \sin(\omega \, x)$ .

$\bullet$ M5. Second membre de la forme $f$ fonction polynôme de degré $n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ de degré $n$ et avec $c \neq 0$ , chercher une solution sous la forme d’une fonction polynôme de même degré.

Justification de M5 : On suppose que $f(x) = \displaystyle \sum_ {k =0 } ^n \alpha _k \, x ^k$ .
On cherche $g(x) = \displaystyle \sum_ {k =0 } ^n \beta _k \, x ^k$
$g'(x) = \displaystyle \sum_ {k =1} ^n k \; \beta _k \, x ^{k - 1 }$ $\displaystyle g'(x)= \sum_ {k =0} ^{n - 1} (k + 1) \, \beta _{k + 1} \, x ^k$
$g''(x) = \displaystyle \sum_ {k =1} ^{n - 1} (k + 1) \, k \, \beta _{k + 1} \, x ^{k - 1}$
$g''(x) = \displaystyle \sum_ {k =2} ^{n - 1} (k + 1) (k + 2) \, \beta _{k + 2}\, x ^{k}$
$a \; g''(x) + b \, g'(x) + c\, g(x) = \displaystyle \sum_ {k = 0} ^ n d_k \, x ^k$
où $d_ n= c \, \beta _ n\,$ , $d_{n - 1} = c \, \beta _ {n - 1} + b \,n \, \beta_{n}$
et si $0 \leq k \leq n - 2$ , $d_k = c \, b_k + b \, (k + 1) \, b_{k + 1}$ $\quad \quad \quad \quad\quad \quad + \, a \, (k + 2) (k + 1) \, b _{k + 2}\,$ .
Le système $\forall\, k \in [\![0 \, , n]\!],\, d_k = \alpha _ k$ admet une unique solution lorsque $c \neq 0$ (on commence par résoudre le cas $k = n$ puis $k = n - 1$ etc … pour terminer par $k = 0$ ).

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2.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz
Soit $(a , \, b ,\,c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2$
Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ .
Pour tout $x _0 \in I$ et $(y_0\, , \, y_1) \in \mathbb{K}^2$ ,
il existe une unique solution $\varphi$ de $\quad \quad a \, y'' + b\, y' + c \, y = f(x)$
vérifiant $\varphi(x_0) = y_0$ et $\varphi'(x_0) = y_1\,$ .

2.5. Consignes de rédaction
$\bullet$ Résoudre d’abord l’équation homogène $a \, y'' + b\, y' + c \, y = 0$ , introduire les fonctions $h_1$ et $h_2$ définies dans le paragraphe 2.3. selon la valeur de $\Delta$ .
Et écrire que l’ensemble des solutions de $(\mathcal{H})$ est
$\mathcal{S}(\mathcal{H}) = \left \{ \lambda \, h_1 + \mu \, h_2 \, / \, (\lambda , \, \mu) \in \mathbb{R} ^2 \right \}$

$\bullet$ Dans le cas où il y a un second membre, déterminer une solution particulière $y_P$ de $(\mathcal{E})$ et écrire
$\ast$ $\mathcal{S}(\mathcal{E})$ est égal à $\left \{ \lambda \, h_1 + \mu \, h_2 + y_P \, / \, (\lambda , \, \mu) \in \mathbb{R} ^2 \right \}$
$\ast$ ou $x \mapsto \lambda \, h_1(x) + \mu \, h_2(x) + y_P(x)$ où $(\lambda , \, \mu)\in \mathbb{R} ^2$ est solution générale de $(\mathcal{E})$ .

$\bullet$ S’il y a lieu déterminer la ou les solution(s) vérifiant la ou les condition(s) initiales(s) donnée(s).

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