Chapitres de maths en Terminale D

Cours sur les équations différentielles en Terminale D

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

1. Généralités sur les équations différentielles terminale D

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .

On appelle équation différentielle d’ordre $n$ toute équation

– dont l’inconnue est une fonction $y$ de la variable $x$

– exprimant $y ^{(n)}$ en fonction de $y,$ $y' , \cdots , \, y ^{(n - 1 )}$ et éventuellement de $x$ .

Résoudre une équation différentielle d’ordre $n$ sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ , revient à chercher l’ensemble des fonctions $n$ fois dérivables sur $I$ et vérifiant cette équation en tout point $x \in I$ .

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2. Équation différentielle $y' = a \, y + b$ terminale D

Équation homogène $y ' = a \, y$ où $a \in \mathbb{R}$ .

Théorème de l’équation différentielle :

Les solutions de l’équation différentielle $y' = a \, y$ où $a \in \mathbb{R}$ sont les fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto k \, \textrm{e} ^{a \, x}$ où $k \in\mathbb{R}$ .

Soit $f : x \mapsto k \, \textrm{e} ^{a \, x}$ .

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , $f'(x) = k \, a \, \textrm{e} ^{a \, x} = a \, f(x)$ ,

Donc $f$ est solution de l’équation $y' = a \, y$ .

Propriété de l’équation différentielle :

Soit $(x_0 \,,\, y_0) \in \mathbb{R}^2$ , il existe une unique solution $h$ de $y' = a \, y$ telle que $h(x_0) = y_0\,$ .

Équation complète $y ' = a \, y + b$ où $(a ,\, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$ .

Théorème
L’ensemble des solutions de $y ' = a \, y + b$ où $(a ,\, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$ est l’ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = - \dfrac b a + \lambda \, \textrm{e} ^{ a\, x}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Équation complète $y ' = a \, y + f(x)$ où $a \in \mathbb{R}$ et $f : \mathbb{I} \to \mathbb{R}$ .

On suppose que l’on connait une solution $g$ sur $I$ de l’équation $\qquad \quad y' = a \, y + f(x)$ ,

Alors l’ensemble des solutions de $y ' = a \, y + f(x)$ est l’ensemble des fonctions

$x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{ a\, x} + g(x)$ où $\lambda \in \mathbb{R}$

De plus pour tout $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$ , il existe une unique solution $F$ telle que $F(x_0) = y_0\,$ .

Variations et limite d’une solution de $y' = a \, y + b$ .

La solution générale de $y' = a \, y + b$ où $(a,b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$

Est $f : x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ a \, x} - \dfrac b a$ où $k \in\mathbb{R}$ .

Variations :

Si $x \in \mathbb{R}$ , $f'(x) = a \, k \, \textrm{e} ^{a \, x}$

– si $a \, k > 0$ , $f$ est strictement croissan- te sur $\mathbb{R}$

– si $a \, k < 0$ , $f$ est strictement décrois- sante sur $\mathbb{R}$ .

Limite

– Si $a > 0$ , $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \dfrac {b} a$

– Si $a < 0$ , $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = - \dfrac {b} a$ .

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3. Méthode d’Euler sur les équations différentielles terminale D

Principe de la méthode d’Euler

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ , d’après l’approximation affine, pour un pas $p$ petit :

Si $x, x+p \in I$ , $\qquad \quad f (x + p) \approx f (x) + p f ′(x)$

Si $f$ vérifie une équation différentielle d’ordre $1$ , on peut remplacer $f'(x)$ par une expression en fonction de $f(x)$ et $x$

Donc obtenir une approximation de $f(x + p)$ en fonction de $f(x) ,\, x$ et $p$

Si l’on connaît une condition initiale $f'(x_0) = y_0$ , en utilisant l’approxima- tion affine de façon itérative, on peut déterminer des valeurs approchées de $f(x)$ pour $x \in I$ .

4. Lien avec les équations différentielles au programme de physique

Les équations différentielles rencontrées en physique

En physique, la variable est notée $t$ , on note $y'$ sous la forme $\dfrac {\textrm{d}\, y } {\textrm{d} t}$ .

Les 4 équations différentielles essentielles du programme de la spécialité physique sont définies sur $\mathbb{R}^+$ .

En radioactivité : $\dfrac {\textrm{d}\, N} {\textrm{d} t} + \lambda \, N = 0$

En thermodynamique

$\dfrac {\textrm{d} \, T} {\textrm{d} t } + \dfrac {h\, S} {m\, C} \, T = \dfrac {h\, S} {m\, C} \, T_{th}$
(on note $\tau = \dfrac{m\, C} {h\, S}$ )

En électricité (décharge d’un condensateur )

$\dfrac {\textrm{d} \, {u_c}} {\textrm{d} t} + \dfrac {1} {R\, C} \, u_c = 0$

En électricité (charge d’un condensateur )

$\dfrac {\textrm{d} \, {u_c} } {\textrm{d} t} + \dfrac {1} {R\, C} \, u_c = \dfrac E {R\, C}$

Résolution

Ce sont trois équations différentielles de même type qui peuvent être écrites sous la forme

$\dfrac {\textrm{d}\, f} {\textrm{d} t } + \dfrac {1} {\tau} \, f = 0$

ou $\dfrac {\textrm{d}\, f} {\textrm{d} t } + \dfrac {1} {\tau} \, f = \dfrac {F_{\infty} } {\tau}$

avec $\tau > 0$ et $F _{\infty} \in \mathbb{R }^*$

selon que l’équation n’a pas ou a un second membre.

Pour une équation sans second membre $\dfrac {\textrm{d}\, f} {\textrm{d} t } + \dfrac {1} {\tau} \, f = 0$ ,

la solution générale telle que $f(0) = f_0$ est $t \mapsto f_0 \, \textrm{e} ^{ - t / \tau}$ .

Elle a une limite nulle en $+\infty$ .

Pour une équation sans second membre $\dfrac {\textrm{d}\, f} {\textrm{d} t } + \dfrac {1} {\tau} \, f = \dfrac {F_{\infty} } {\tau}$ .

La solution générale est

$t \mapsto F _{\infty} + k \, \textrm{e} ^{- t /\tau }$

et celle telle que $f(0) = f_0$ est

$t \mapsto F _{\infty} + \left (f_0 - F_{\infty} \right ) \, \textrm{e} ^{- t /\tau }$ .

Cette fonction a une limite égale à $F_{\infty}$ en $+\infty$

Elle est strictement croissante si $f_0 < F_{\infty}$ et décroissante si $f_0 > F_{\infty}\,$ .

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