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Espaces vectoriels exercices et corrigés en Maths Sup

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

S’entraîner sur des exercices ou sur des annales des concours des écoles d’ingénieurs est le meilleur moyen de réviser efficacement, mais aussi de se rendre compte de son niveau, de ses points forts et de ses axes d’amélioration. Les entraînements sur des cas concrets sont indispensables pour intégrer les meilleures écoles d’ingénieurs françaises.

Exercice sur les familles libres et liées en Maths Sup

Dans $\mathcal{C}(\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ , les familles suivantes forment-elles une famille libre ou liée ?

Si elles forment une famille liée, donner une relation entre les applications.

Question 1 :
$f : x \mapsto \cos(x)$ , $g : x \mapsto \sin(x)$ , $h : x \mapsto 1$ .

Question 2 :
$f : x \mapsto \cos^2(x)$ , $g : x \mapsto \cos(2 \, x)$ et $h : x \mapsto 1$ .

Question 3 :
Soient $a , b$ et $c$ trois réels deux à deux distincts modulo $\pi$ .

$f : x \mapsto \cos(x + a)$ , $g : x \mapsto \cos(x + b)$

et $h : x \mapsto \cos(x + c)$

Question 4 :
Si $\alpha ,\, \beta ,\, \gamma$ sont réels et non nuls,

$f : x \mapsto \textrm{e}^{\alpha \, x} \, \cos(\beta \, x)$

$g : x \mapsto \textrm{e}^{\alpha \, x} \, \sin(\beta \, x)$

$h : x \mapsto \textrm{e} ^{\gamma \, x}$

Exercice sur les bases de sous-espaces vectoriels en Maths Sup

Question 1 :

Déterminer une base de $F \cap G$ .

$\textrm{dim} (F \cap G) =$ ?

Question 2 :

Donner une équation de $G$ dans la base canonique.

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Exercice sur l’application linéaire d’un espace vectoriel

Soit $E = \mathbb{R}_3[\textrm{X}]$ .

Question 1 :

L’application définie sur $E$ par $\quad \quad \varphi(P) = P - (\textrm{X} + 1)\, P'$ est un endomorphisme de $E$ .

Question 2 :

Déterminer une base de l’image et du noyau de $\varphi$ .

Exercice sur l’existence d’un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

Donner une CNS pour qu’il existe un endomorphisme $u$ de $E$ tel que $\quad \quad \textrm {Ker }u = F$ et $\textrm {Im }u = G$ .

Exercice sur le théorème du rang d’un espace vectoriel

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$ -e.v. de dimension finie et $(f ,\, g) \in \mathcal{L}(E)^2$ .

Montrer que les 3 propriétés suivantes sont équivalentes

a) $\textrm{rg}(f + g) = \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g)$

b) $\textrm{Im}(f + g) = \textrm{Im}\,f \oplus \textrm{Im}\, g$

c) $E = \textrm{Ker}(f) + \textrm{Ker}(g)$ et $\textrm{Ker}(f + g) = \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g$ .

Correction de l’exercice sur les familles libres et liées

Question 1 :

Soient $\alpha, \beta , \gamma \in \mathbb{R}$ tels que $\quad \quad \quad \quad \alpha \, f + \beta \, g + \gamma \, h= 0$ .

$\forall \, x \in \mathbb{R}$ , $\, \alpha \cos(x) + \beta \, \sin(x) + \gamma = 0$

pour $x = 0$ , $\alpha + \gamma = 0$

pour $x = \pi$ , $- \alpha + \gamma = 0$ donc $\alpha = \gamma = 0$ .

avec $x = \pi/2$ , $\beta = 0$ .

Donc la famille est libre.

Question 2 :

C’est une famille liée car $\forall\, x \in \mathbb{R},\, \cos(2\, x) = 2 \cos^2(x) - 1$ soit $g = 2\, f - h$ .

Question 3 :

C’est une famille liée car $f,\, g$ et $h$ sont combinaisons linéaires de la famille $F : x \mapsto \cos(x)$ et $G : x \mapsto \sin(x)$ .

On écrit $f = \cos(a) \, F - \sin(a)\, G$ et $g = \cos(b) \, F - \sin(b) \, G$ donc
$\sin (b) \, f - \sin(a) \, g =$ $\quad \quad (\cos(a) \, \sin(b) - \cos(b) \, \sin(a)) F$

soit $\sin (b) \, f - \sin(a) \, g = \sin(b - a) F$

et $\cos(b)\, f - \cos(a) \, g =$ $\quad \quad (\cos(a) \, \sin(b) - \sin(a) \, \cos(b)) G$

soit $\cos(b)\, f - \cos(a) \, g = \sin(b - a) \, G$

On termine avec $h = \cos(c) \, F - \sin(c) \, G$ donc

$\displaystyle h = \frac {\cos(c)} {\sin(b - a) } \left (\sin (b) \, f - \sin(a) \, g \right )$ $\quad \quad \quad \displaystyle - \frac {\sin(c)} {\sin(b - a) } \left ( \cos(b)\, f - \cos(a) \, g \right )$

en réordonnant et avec un peu de trigonométrie

$\quad \displaystyle h = \frac {\sin(b - c)} {\sin(b - a) }\, f + \frac {\sin(c - a)} {\sin(b - a) } \, g$ .

Question 4 :

Soient $a, b$ et $c$ trois réels tels que $\quad \quad \quad a \, f + b \, g + c \,h = 0$ .
$\forall\, x \in \mathbb{R }$
$\left (a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) \right ) \textrm{e} ^{ \alpha \, x} + c \, \textrm{e} ^{\gamma \, x} = 0$

$\bullet$ Si $\alpha = \gamma$ , on obtient pour tout réel $x$ ,
$a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) + c = 0$

en prenant la valeur en $0$ , en $\pi/\beta$ , en $\pi/(2 \, \beta)$ , on obtient
$a + c = 0$ , $- a + c = 0$ et $b + c = 0$ donc $a = b = c = 0$ .

La famille est libre.

$\bullet$ Si $\alpha \neq \gamma$ , on obtient pour tout réel $x$ ,
$\left (a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) \right ) \textrm{e} ^{ \alpha \, x} + c \, \textrm{e} ^{\gamma \, x} = 0$

donc

$\left (a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) \right ) \textrm{e} ^{ (\alpha - \gamma) \, x} + c = 0$

La fonction $x \mapsto a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x)$ est bornée.

On passe à la limite lorsque $x \to + \infty$ si $\alpha - \beta < 0$ et $x \to - \infty$ si $\alpha - \beta > 0$ , comme $x \mapsto \left (a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) \right ) \textrm{e} ^{ (\alpha - \gamma) \, x}$ admet une limite nulle, on obtient en passant à la limite, $c = 0$ .

Il reste alors $\forall\, x \in \mathbb{R},$ $\quad \quad \quad a \, \cos(\beta \, x) + b \, \sin (\beta \, x) = 0$ .

En évaluant en $0$ puis en $\pi / (2\, \beta)$ on obtient $a = 0$ puis $b = 0$ .

La famille $(f , g , h)$ est libre.

Correction sur les bases de sous-espaces vectoriels

Question 1 :

En utilisant la question précédente,
$4\, u_1 + 3 \, u_2 = 10 \, v_1 + v_2 - v_3$ est un vecteur $w = (10,11,9,7)$ non nul de $F \cap G$ .

Par la formule de Grassmann, $\textrm{dim}(F + G) =$ $\quad \quad \quad \textrm{dim}(F)+ \textrm{dim}(G) - \textrm{dim}(F \cap G)$ ,

on obtient $\textrm{dim}(F \cap G) = 1$ , alors $w$ est une base de la droite $F \cap G$ .

Question 2 :

$G$ est un hyperplan de $E$ , donc il admet une équation de la forme $\quad \quad \quad \alpha \, x + \beta \, y + \gamma \, z + \delta \, t = 0$ .

On rappelle qu’une base de $h$ est donnée par $v_1 = (1,1,1,1)$ , $v_2 = (0 , 1 , 0 , -1)$ et $v_3 = (0 , 0 , 1 , 2)$ .

En écrivant que ces trois vecteurs vérifient l’équation de l’hyperplan, on obtient le système

$\left \{ \begin{matrix} \alpha + \beta + \gamma + \delta &=&0\\ \quad \quad \beta - \delta &=&0 \\ \quad \quad \gamma + 2 \, \delta &=&0 \end{matrix} \right.$

ssi $\left \{ \begin{matrix} \alpha &=&0\\ \beta &=& \delta \\ \gamma &=& - 2 \, \delta\end{matrix} \right.$

$G$ a pour équation $y - 2 \, z + t = 0$ dans la base canonique.

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Correction de l’exercice sur l’application linéaire en Maths Sup

Question 1 :

$\bullet$ Si $(P , Q) \in E^2$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ ,
$\varphi(\lambda \, P + Q) = \lambda \, P + Q$ $\quad \quad \quad \quad \quad -\, (\textrm{X} + 1)\, (\lambda \, P' + Q')$
$\varphi(\lambda \, P + Q) = \lambda \,( P - (\textrm{X} + 1)\, P')$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, Q - (\textrm{X} + 1)\, Q'$
$\varphi(\lambda \, P + Q) = \lambda \, \varphi(P) + \varphi(Q)$ .

$\bullet$ Si $P \in E$ , comme $(\textrm{X} + 1)\, P'$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, $\varphi(P) \in E$ .

Donc $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ .

Question 2 :

$\bullet$ . On détermine les images des vecteurs de la base canonique.
$\varphi(1) = 1$
$\varphi(\textrm{X}) = \textrm{X} - \textrm{X}- 1 = - 1$
$\varphi(\textrm{X}^2 ) = \textrm{X}^2 - 2 \, \textrm{X} (\textrm{X}+ 1)$
$\varphi(\textrm{X}^2 ) = - \textrm{X}^2 - 2 \, \textrm{X}$
$\varphi(\textrm{X}^3 ) = \textrm{X}^3 - 3 \, \textrm{X}^2 (\textrm{X}+ 1)$
$\varphi(\textrm{X}^3 ) = -2\, \textrm{X}^3 - 3 \, \textrm{X}^2$ .

$\bullet$ Il est évident que
$\ast$ $\varphi (1 + \textrm{X} ) = 0$
$\ast$ $\textrm{rg} \, \varphi = \textrm{rg} \left ( \varphi (1), \varphi(\textrm{X}), \varphi(\textrm{X}^2), \varphi(\textrm{X}^3) \right )$
$\textrm{rg} \, \varphi = \textrm{rg} \left ( \varphi(\textrm{X}), \varphi(\textrm{X}^2), \varphi(\textrm{X}^3) \right )$

donc $\textrm{rg}\, \varphi = 3$ car la famille $(\varphi(\textrm{X}), \varphi(\textrm{X}^2), \varphi(\textrm{X}^3))$ est une famille de $3$ polynômes de degrés 2 à 2 distincts,

On a donc prouvé que $(\varphi(\textrm{X}), \varphi(\textrm{X}^2), \varphi(\textrm{X}^3))$ est une base de $\textrm{Im} \, \varphi$

$\bullet$ Par le théorème du rang, $\textrm{dim Ker}\,\varphi = 1$ et on a trouvé un élément non nul de $\textrm{Ker} \,\varphi$ , donc une base du noyau est $1 + \textrm{X}$

Correction de l’exercice sur l’existence d’endomorphisme en Maths Sup

a) S’il existe $u \, \in \, \mathcal {L} (E)$ tel que $\textrm {Ker }u = F$ et $\textrm {Im }u = G$ ,

par le théorème du rang, $\dim E =\dim \textrm {Ker }u + \dim \textrm {Im }u$ ,

donc $\dim E = \dim F + \dim G$ .

b) On étudie la réciproque.

On suppose que $\quad \quad \dim E = \dim F + \dim G$ .
$\bullet$ Première méthode : application du théorème de recollement des applications linéaires.

$\ast$ On note $f$ l’application linéaire nulle de $F$ dans $E$ .

Soit $H$ un supplémentaire de $F$ .

$\dim H = \dim E - \dim F = \dim G$ .

Il existe donc un isomorphisme $g$ de $H$ sur $G$ .

On note $u$ l’endomorphisme de $E$ obtenu par recollement des applications linéaires $f$ et $g$ .
i.e. si $x \in E$ est écrit $x = a + b$ avec $a \in F$ et $b \in H$ , on définit $\quad \quad u(x) = f(a) + g(b) = g(b)$ .

$\ast$ Il est alors évident que $F \, \subset \, \textrm {Ker }u$ et que $G \, \subset \, \textrm {Im }u$ .

$\ast$ L’hypothèse et le théorème du rang donnent :
$(\dim \textrm {Ker }u - \dim F)$
$\quad \quad \quad + \, (\dim \textrm {Im }u - \dim G) = 0$ .

Comme somme nulle de deux entiers naturels, $\dim \textrm {Ker }u - \dim F = 0$ et $\dim \textrm {Im }u - \dim G = 0$ .

Par inclusion et égalité des dimensions, on a prouvé que
$\quad \quad \textrm {Ker }u = F$ et $\textrm {Im }u = G$ .

$\bullet$ Deuxième méthode : application du théorème de caractérisation des applications linéaires.
$\ast$ Si $\dim F = 0$ , alors $F = \{0\}$ et $G =E$ , l’application $\textrm {Id}_E$ convient.
$\ast$ Si $\dim G = 0$ , alors $G = \{0\}$ et $F = E$ , l’application nulle convient.
$\ast$ Si $\dim F . \dim G \neq 0$ , on note $n =\dim E$ et $p = \dim G$ .

On introduit une base $(g_1\, , \, {\dots} \, ,\, g_p)$ de $G$ et une base $(f_{p+1}\, , \, {\dots} \, ,\, f_{n})$ de $F$ .

Par le théorème de la base incomplète, on peut déterminer une base $\mathcal{B} = (f_1\, , \, ... \, , f_p\, , \,f_{p+1}\, , \, ... \, , f_{n})$ de $E$ .

On note $u$ l’unique endomorphisme de $E$ tel que
si $1 \leq i \leq p,\; u(f_i) = g_i$
et si $p + 1\, \leq i \, \leq n, \;u(f_i)= 0$ .

Il est alors évident que $F \, \subset \, \textrm {Ker }u$ et que $G \, \subset \, \textrm {Im }u$ .

On termine comme dans la première méthode.

Correction de l’exercice sur le théorème du rang

$\bullet$ On suppose que $\quad \quad \quad \textrm{rg}(f + g) = \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g)$ .

Comme $\textrm{Im}(f + g) )\subset \textrm{Im}\,f + \textrm{Im}\, g$ ,
$\textrm{dim} (\textrm{Im}( f +g ) \leq \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g)$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad - \, \textrm{dim} \left (\textrm{Im} \, f \cap \textrm{Im} \, g \right )$ .

On en déduit que $\textrm{dim} \left (\textrm{Im} \, f \cap \textrm{Im} \, g \right ) \leq 0$ .

Alors $\textrm{Im} \, f \cap \textrm{Im} \, g = \{0\}$ .

On peut donc écrire $\quad \quad \textrm{Im}\, f + \textrm{Im}\, g = \textrm{Im}\, f \oplus \textrm{Im}\, g$ .

Alors $\textrm{dim} (\textrm{Im} \, f \oplus \textrm{Im}\, g ) =\textrm{dim} (\textrm{Im} \, f) + \textrm{dim} (\textrm{Im} \, g)$
$\textrm{dim} (\textrm{Im} \, f \oplus \textrm{Im}\, g ) = \textrm{dim Im}(f + g)$
et $\textrm{Im}(f + g) \subset \textrm{Im}\,f \oplus \textrm{Im}\, g$ donnent $\quad \quad \quad \textrm{Im}(f + g) = \textrm{Im}\,f \oplus \textrm{Im}\, g$ .

$\bullet$ On suppose que $\quad \quad \textrm{Im}(f + g) = \textrm{Im}\,f \oplus \textrm{Im}\, g$ .

On en déduit que $\quad \quad \textrm{rg}(f + g) = \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g) \quad (*)$ .
$\ast$ $\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g ) =\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f )$ $\quad +\, \textrm{dim} (\textrm{Ker } \, g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )$

En appliquant la relation (*) et plusieurs fois la formule du rang,

$\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g )$ $=2 \, n - \textrm{rg}(f) - \textrm{rg}(g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )$
$=2\, n - \textrm{rg}(f + g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )$ .
$=n + \textrm{dim Ker}(f + g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )$

Ce que l’on écrit sous la forme (**)
$\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g ) - n =$
$\quad \textrm{dim Ker}(f + g) - \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right )$ .

L’inclusion simple à justifier
$\quad \quad \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \subset \textrm{Ker }(f + g)$

donne $\textrm{dim} \left ( \textrm{Ker } \, f \cap \textrm{Ker } \, g \right ) \leq \textrm{dim Ker }(f + g)$

et en utilisant (**) :

$\textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g) - n\geq 0$ .
$\Rightarrow \textrm{dim} (\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g) = n$
car $\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g$ est un sev de $E$ .

On a prouvé que $\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g = E$ .

$\ast$ $\textrm{dim Ker}(f + g)=n - \textrm{rg}(f + g)$ et (*)
$\textrm{dim Ker}(f + g) = n -\textrm{rg}(f) - \textrm{rg}(g)$ .
$=n - n + \textrm{dim Ker}\, f - n + \textrm{dim Ker}\, g$
$\textrm{dim Ker}(f + g)=$ $\quad \quad \textrm{dim Ker}\, f + \textrm{dim Ker}\, g -n$

et en utilisant $\textrm{Ker} \, f + \textrm{Ker} \, g = E$ et la formule de Grassmann,

$\textrm{dim Ker}(f + g)= \textrm{dim}\, \left ( \textrm{Ker} \, f \cap \textrm{Ker} \, g \right )$ .

Comme $\textrm{Ker} f \, \cap \textrm{Ker} g \subset \textrm{Ker}(f + g)$ est une inclusion toujours vérifiée, on a prouvé que $\textrm{Ker}(f + g) = \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g$ .

$\bullet$ On suppose que $E = \textrm{Ker}\, f + \textrm{Ker}\, g$ et $\textrm{Ker}(f + g) = \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g$ .
$\ast$ En utilisant $\textrm{Ker}(f + g) = \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g$
$\textrm{rg}(f + g) = n - \textrm{dim Ker}(f + g)$
$\textrm{rg}(f + g) = n - \textrm{dim} \left ( \textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g \right )$

$\ast$ En utilisant $\textrm{Ker}(f) + \textrm{Ker}(g) = E$ ,
$\textrm{dim} \, E = \textrm{dim Ker}\, f + \textrm{dim Ker}\, g$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad - \, \textrm{dim}\left ( \textrm{Ker}\, f \cap \textrm{Ker} \, g\right )$

en utilisant $\textrm{Ker}\,f \cap \textrm{Ker}\, g = \textrm{Ker}(f + g)$ ,

$n = n - \textrm{rg}(f) + n - \textrm{rg}(g) - n + \textrm{rg}(f + g)$

soit $\textrm{rg}(f + g) = \textrm{rg}(f) + \textrm{rg}(g)$ .

On a prouvé l’équivalence des trois propriétés.

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