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Intégration en Maths Sup : exercices et corrigés

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Que ce soient les meilleures écoles du classement des écoles d’ingénieurs ou les autres écoles moins réputées, toutes accordent une très grande importance à la maîtrise des maths. C’est pourquoi les maths ont un coefficient en MP, PC, PSI et PT très élevé. Ces exercices vous permettent de pouvoir faire une bonne séance de révison sur l’intégration en Maths Sup.

Exercice sur les sommes de Riemann en Maths Sup

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0 , 1]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Déterminer $\; \; \displaystyle \lim _{ n \to + \infty} S_n$ où $S _n = \displaystyle \frac 1 n \sum _{k = 0} ^ {n - 1} f \left (\frac {k} n \right ) \, f '\left (\frac {k + 1 } n \right )$

Exercices sur les limites de suites d’intégrales en Maths Sup

Exercice 1 sur les limites de suites d’intégrales :

Si $n \in \mathbb {N}$ , on note $\qquad \qquad u_n = \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t + t ^n} \, \textrm{d} \, t$ .

Question 1
Calculer $u_0$ et $u_1\,$ .

Question 2
Étudier le sens de la variation de la suite $(u_n)_n$ .

La suite $(u_n)_n$ est convergente.

Vrai ou Faux ?

Question 3
Écrire pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\ln(2) - u_n$ sous la forme d’une intégrale.

La suite $(u_n)_n$ converge vers $\ln(2)$ .

Vrai ou Faux ?

Question 4
Si $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ et $x \geq 1$ , on note $F_n(x) =\displaystyle \int_1 ^x \frac 1 {1 + t + t ^n} \, \textrm{d} \, t$ .
Montrer que la fonction $F_n$ admet une limite que l’on notera $v_n$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

La suite $(v_n)_n$ converge vers 0.

Vrai ou Faux ?

Exercice 2 sur les limites de suites d’intégrales :

$I_n = \int _ {0} ^1 t ^n \, \sqrt{\vert \ln(t) \vert } \, \textrm{d} \, t$ est définie si $n \in \mathbb{N}^*$ et la suite $(I_n)_n$ converge vers $0$ .

Vrai ou Faux ?

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Exercice sur une fonction définie par une intégrale en Maths Sup

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ . On pose pour $x \neq 0$ , $\qquad \quad F(x) = \displaystyle \frac 1 {x^2} \, \int_0 ^x t \; f(t) \, \textrm{d} \, t$

Question 1 :

Si $f$ est dérivable en 0, montrer que $F$ est dérivable en $0$ et donner la valeur de $F'(0)$ .

Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ .

Question 2 :

Si $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(t) = 0$ , montrer que $F$ vérifie la même propriété.

Que se passe-t-il si $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(t) = L \in \mathbb{R }^*$ ?

Exercice sur les intégrales de Wallis

Question 1 :

$\forall \, n \in \mathbb{N}, n \geq 2, \, n Wn = a \, W_{n - 2}$

avec $a =$ ?

Question 2 :

$\displaystyle W_n \underset {n \to + \infty} { \sim} \sqrt{\frac {\pi} {2 \, n} }$ .

Vrai ou Faux ?

Question 3 :

Valeur de $W_{2 n + 1}\,$

Exercice sur l’application du lemme de Lebesgue

Question 1 :

Calculer $I_{2 n + 1}$ et $I_{2n}$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

Question 2 :

Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} I_{2 n + 1} - I_{2 n} = 0$ .
En déduire la limite de la suite de terme général $S_n = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \frac {(-1) ^k} {2 \, k + 1}$ .

Question 3 :

Montrer que la fonction $\quad \quad f : t \displaystyle \mapsto \frac 1 {\sin(t)} - \frac 1 t$
est prolongeable par continuité en une fonction de classe $C ^1$ sur $[0 ,\, \pi/2]$ .

Correction de l’exercice sur les sommes de Riemann

Soit $T_n = \displaystyle \frac 1 n \sum_{k = 0} ^ {n - 1} f \left( \frac {k+ 1} n \right ) \, f' \left( \frac {k + 1 } n \right )$ .

En posant $p = k + 1$ , $T_n = \displaystyle \frac 1 n \sum_{p = 1} ^ {n } f \left( \frac {p} n \right ) \, f' \left( \frac {p } n \right )$ .

$T_n$ est une somme de Riemann associée à la fonction continue $f \, f'$ , donc

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} T_n = \int_0 ^1 f(t) f'(t) \textrm{d } t$

$\displaystyle \qquad \qquad = \left [ \frac {f ^2(t)} 2 \right ] _0 ^1 = \frac {f ^2(1) - f^2(0)} 2$ .

$n\, (T _ n - S_n ) =$ $\displaystyle\sum_{k = 0} ^ {n - 1} \left ( f \left( \frac {k+ 1} n \right ) - f \left( \frac {k} n \right ) \right ) \, f' \left( \frac {k + 1 } n \right )$

On introduit $M_1 = \displaystyle \sup _ {t \in [0,1] } \vert f'(t) \vert$ .

Par application de l’inégalité des accroissements finis,

$\displaystyle \left \vert f \left( \frac {k+ 1} n \right ) - f \left( \frac {k} n \right ) \right \vert \leq \frac {M_1} n$

et $\displaystyle \left \vert f' \left( \frac {k + 1 } n \right ) \right \vert \leq M_1$

donc $\vert Tn - S_n \vert \leq \displaystyle \frac 1 n \sum _{k = 0} ^{n - 1} \frac {M_1} {n} \, M_1$

soit $\vert Tn - S_n \vert \leq \displaystyle \frac 1 n M_1^2 \,$ ,

ce qui donne $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}( T_n - S_n) = 0$

et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_n = \frac {f ^2(1) - f^2(0)} 2$ .

Correction des exercices sur les limites de suites d’intégrales

Correction de l’exercice 1 sur les limites de suites d’intégrales :

Question 1 :

$\bullet$ $u_0 = \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t + t ^0} \, \textrm{d} \, t = \int_0 ^1 \frac 1 {2 + t} \, \textrm{d} \, t$

$u_0 = \left [ \ln(2 + t) \right]_0 ^ 1 = \ln(3) - \ln(2)$ .

$\bullet$ $u_1 = \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t + t} \, \textrm{d} \, t$

$\displaystyle u_ 1 = \int_0 ^1 \frac 1 {1 + 2\, t} \, \textrm{d} \, t = \left [ \frac 1 2 \ln(1 + 2 \, t) \right]_0 ^ 1$

$u_1 \displaystyle = \frac {\ln(3)} 2$ .

Question 2 :

Vrai,

$\bullet$ $u_{n + 1} - u_n$

$\quad = \displaystyle \int_0 ^1 \left ( \frac 1 {1 + t + t ^{n + 1}} - \frac 1 {1 + t + t ^n} \right ) \textrm{d} \, t$

$\quad = \displaystyle \int_0 ^1 \frac {t^n(1 - t)} {(1 + t + t ^{n + 1})(1 + t + t ^n)} \; \; \textrm{d} \, t$

Par intégration d’une fonction à valeurs positives ou nulles sur $[0 , 1]$ , $u_{n + 1} - u_n \geq 0$ donc la suite $(u_n)_n$ est croissante.

$\bullet$ On remarque que $\displaystyle \frac 1 {1 + t + t ^n} \leq \frac 1 {1 + t}$

donc $u_n \leq \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t} \, \textrm{d} \, t$

soit $u_n \leq \left [\ln(1 + t) \right] _0 ^1 \leq \ln(2)$ .

La suite est croissante et majorée. Elle est convergente.

Question 3 :

Vrai

$\ln(2) - u_n =$

$\quad \displaystyle \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t} \, \textrm{d} \, t - \int_0 ^1 \frac 1 {1 + t+ t ^n } \, \textrm{d} \, t$

$\ln(2) - u_n = \displaystyle \int_0 ^1 \frac {t ^n} {(1 + t)(1 + t + t ^n)} \, \textrm{d} \, t$

donc $0 \leq \ln(2) - u_n \leq \displaystyle \int_0 ^1 {t ^n} \, \textrm{d} \, t$

car $\displaystyle 0 \leq \frac {1} {(1 + t)(1 + t + t ^n)} \leq 1$

donc $0 \leq \ln(2) - u_n \leq \displaystyle \frac 1 {n + 1}$ ce qui donne par encadrement que la suite $(u_n)_n$ converge vers $\ln(2)$ .

Question 4 :

Vrai

$\bullet$ La fonction $F_n$ est croissante sur $[1 , + \infty[$ . Elle admet une limite finie ou infinie en $+ \infty$ .

On suppose $n \geq 2$ , $F_n(x) \leq \displaystyle \int_1 ^x \frac 1 { t ^n} \, \textrm{d} \, t$

soit $F_n(x) \leq \displaystyle \left [ \frac { - 1} {(n -1) \, t ^{n - 1} } \right] _1 ^x$

$F_n(x) \leq \displaystyle \frac {1} {n - 1} \left ( 1 - \frac {1} {x ^{n - 1}} \right) \leq \frac {1} {n - 1}$

$F_n$ est majorée par $\displaystyle \frac 1 {n - 1}$ .

Elle admet une limite finie $v_n$ lorsque $x \to + \infty$ .

$\bullet$ On a obtenu $0 \leq F_n(x) \leq \displaystyle \frac 1 {n - 1}$

donc pour tout $n \geq 2, \, 0 \leq v_n\leq \displaystyle \frac 1 {n - 1}$ .

Par encadrement, on en déduit que la suite $(v_n)_n$ converge vers 0.

Correction de l’exercice 2 sur les limites de suites d’intégrales :

Vrai

$f _n : t \mapsto t ^n \, \sqrt{\vert \ln(t) \vert }$ , $0 \mapsto 0$ est continue sur $[0 , 1]$ (utilisation d’un prolongement par continuité en $0$ ) donc $I_n$ est définie si $n \geq 1$ .

$f_{1}$ est continue sur $[0 , 1]$ donc bornée, soit $M = \displaystyle \sup _{t \in [0 , 1] } \vert f_1(t) \vert$ .

Si $n \geq 2$ , $f_n(t) = t ^{n - 1} \, f_1(t)$ vérifie

$\qquad \quad \forall\, t \in [0 , 1] , \vert f_n(t) \vert \leq M \, t ^{n - 1}$

donc $\vert I_n \vert \leq \int_0 ^1 M \, t ^{n - 1} \, \textrm{d} \, t$

soit $\displaystyle\vert I_n \vert \leq M \left [ \frac {t ^n} n \right ] _ 0 ^1 \leq \frac {M} n$

ce qui donne $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} I_n = 0$ .

Correction de l’exercice sur une fonction définie par une intégrale

Question 1 :

$\bullet$ $f$ admet un DL d’ordre 1 au voisinage de $0$ donné par

$\qquad \quad f(t) \underset {t \to 0} { = } f(0) + f'(0) \, t+ \textrm{o}(t)$

donc $g$ admet un DL d’ordre 2

$\qquad g(t) \underset {t \to 0} { = } f(0)\, t + f'(0) \, t^2 + \textrm{o}(t^2)$

On obtient celui de $G$ à l’ordre 3

$\quad G(x) \underset {x \to 0} { = } \displaystyle f(0)\frac {x^2} 2 + f'(0)\frac {x^3} 3 + \textrm{o}(x^3 )$

et enfin

$\quad F(x) \underset {x \to 0} { = } \displaystyle f(0)\frac {1} 2 + f'(0)\frac {x} 3 + \textrm{o}(x )$

Comme $F$ admet un DL d’ordre 1 au voisinage de $0$ , $F$ est dérivable en $0$ et $F'(0) = \displaystyle \frac {f'(0)} 3$ .

$\bullet$ On avait vu que pour $x \neq 0$ , $\qquad \quad F'(x) = \displaystyle \frac {f(x) - 2\, F(x)} {x}$

en utilisant les DL de $f$ et $F$ écrits à l’ordre 1 :

$f(x) - 2 \, F(x) \displaystyle \underset {x \to 0} { = }$ $\; \; \displaystyle f(0) + f'(0) x - f(0) - \frac {2 \,f'(0)} 3 \, x + \textrm{o} (x)$

$F'(x)\underset {x \to 0} { = } \displaystyle\frac {f'(0) } 3 + \textrm{o}(1)$

ce qui donne $\qquad \displaystyle \lim_{x \to 0} F'(x) = \frac {f'(0)} 3 = F'(0)$ .

$F'$ est continue en $0$ .

On a prouvé que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb {R}$ .

Question 2 :

$\bullet$ Cas d’une limite nulle. On traduit la limite :

$\forall\, \varepsilon \in \mathbb{R} ^{+* }, \, \exists \, A > 0$ si $t \geq A$ , $\vert f(t) \vert \leq \varepsilon$ .

On suppose que $x > A$

$\quad \left \vert \int_0 ^x t \, f(t) \, \textrm{d} \, t \right \vert\leq \int_0 ^x t \, \vert f(t)\vert \, \textrm{d} \, t$

$\quad \quad \leq \int_0 ^A t \, \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \, t + \int_A ^x t \, \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \,t$

$\quad \quad \leq \int_0 ^A t \, \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \, t + \int_A ^x t \, \varepsilon\, \textrm{d} \, t$

On introduit $\displaystyle M = \sup _{t \in [0 , A] } \vert f(t) \vert$

donc $\displaystyle \left \vert \int_0 ^x t \, f(t) \, \textrm{d} \, t \right \vert\leq M \int_0 ^A t \textrm{d} \, t + \varepsilon\, \left [ \frac {t ^2 } 2 \right] _A ^x$

$\displaystyle \left \vert \int_0 ^x t \, f(t) \, \textrm{d} \, t \right \vert\leq \frac {M \, A^2} 2 + \varepsilon\, \frac {x ^2 } 2$

Ensuite $\vert F(x) \vert \leq \displaystyle \frac {M \, A^2} {2 \, x ^2 } + \frac { \varepsilon} 2$ .

Comme $\displaystyle \lim_ {x \to + \infty} \frac {M \, A^2} {2 \, x ^2 } = 0$ ,

$\exists \, B > 0, \,$ $\forall \, x \geq B,\, \displaystyle \frac {M \, A^2} {2 \, x ^2 } \leq \frac {\varepsilon} 2$

puis si $x \geq \max(A , B), \, \vert F(x) \vert \leq \varepsilon$ .

On a prouvé que $\displaystyle \lim _ {x \to + \infty} F(x) = 0$

$\bullet$ Cas général, on pose $h(x) = f(x) - L$ , $h$ admet $0$ pour limite en $+ \infty$

et $H(x) = \displaystyle \frac 1 {x^2} \, \int_0 ^x t \; h(t) \, \textrm{d} \, t$ vérifie

$H(x) = \displaystyle \frac 1 {x^2} \, \int_0 ^x t \; f(t) \, \textrm{d} \, t - \frac 1 {x^2} \, \int_0 ^x t \; L \, \textrm{d} \, t$

soit $H(x) = F(x) - \displaystyle \frac {L} 2$ .

On en déduit que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty } F(x) = \frac L 2$ .

Correction de l’exercice sur les intégrales de Wallis en Maths Sup

Question 1 :

$a = n-1$

En intégrant $W_n$ par parties avec les fonctions de classe $C^1$ sur $I$ :

$u : t \mapsto - \cos(t)$ et $v : t \mapsto \sin^{n - 1} (t)$

$u'(t) = \sin(t)$

et $v'(t) = (n - 1) \sin^{n - 2}(t)\, \cos(t)$ .

$Wn = \left [ - \cos(t)\, \sin ^{n - 1} (t) \right ] _0 ^{\pi/2}$ $\quad \quad +\, (n- 1) \int _ 0 ^{\pi/2} \cos^2 (t) \sin ^{n - 2} (t) \, \textrm{d} \, t$ .

En utilisant $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ , on obtient par linéarité de l’intégrale $\quad \quad W_n = (n - 1) (W_{n - 2} - W_n)$ .

donc $n \, W_n = (n - 1)\, W_{n - 2}\,$ .

Question 2 :

Vrai

Comme la suite de terme général $\displaystyle \frac {W_{n + 1}} {W _n }$ converge vers $1$ , $W_n \underset {n \to + \infty} { \sim} W_{n - 1}$

et comme $n \, W_n\, W_{n - 1} = \displaystyle \frac {\pi} 2$ ,

on a : $W_n ^2 \underset {n \to + \infty} { \sim} \displaystyle \frac {\pi} {2 \, n}$ .

Comme $W_n > 0$ , on obtient l’équivalent énoncé.

Question 3 :

On utilise $(2 n + 1) \, W_{2 n + 1}\, W_{2 n} = \displaystyle \frac {\pi} 2$

et $\displaystyle W_{2n} = \frac {(2 n)! }{(n ! )^2 } \frac {\pi} {2^{2 n + 1} }\, ,$

pour obtenir

$W_{2 n + 1} = \displaystyle \frac { (n!)^2 \, 2 ^{2 n}} {(2 n + 1)!}$

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Correction de l’exercice sur l’application du lemme de Lebesgue

Question 1 :

Soit $n \in \mathbb{N}$ .

$\ast$ Comme $\displaystyle \cos \left ( \frac {(2 \, p + 1) \pi} 2 \right ) = 0$

$I_{2 p + 3} = I_{2 p + 1}\,$ , donc
$\quad \forall \, n \in \mathbb{N} ,\, I_{2 n + 1} = I_1 = \displaystyle \frac {\pi} 2$ .

$\ast$ Comme $\displaystyle \cos \left ( \frac {2\, p \, \pi} 2 \right ) = (- 1) ^p$

$I_{2 p + 2} - I_{2 p} = \displaystyle \frac {2\, (- 1) ^p} {2 p + 1}$ ,

donc par sommation et télescopage sachant que $I_0 = 0$ :

$\displaystyle I_{2 n} = \sum _{p = 0} ^ {n - 1} ( I_{2 p + 2} - I_{2 p})$

$\displaystyle I_{2 n} = \sum _{p = 0} ^ {n - 1} \frac {2\, (- 1) ^p} {2 p + 1}$ .

Question 2 :

$\bullet$ $I_{2 n + 1} - I_{2 n} =$ $\quad \quad \displaystyle \int_{0} ^{\pi/2} \frac {\sin((2 \,n + 1)t) - \sin(2 \, n\, t)} {\sin(t)} \textrm{d} \, t$ .

Avec un peu de trigonométrie,

$\displaystyle \sin((2 \,n + 1)t) - \sin(2\, n \, t) =$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2 \, \sin \frac t 2 \, \cos \frac {(4 n + 1)\, t} 2$

et $\displaystyle \sin(t) = 2 \sin \frac t 2 \, \cos \frac t 2$

$\displaystyle \frac {\sin((2 n + 1)t) - \sin(2 n t)} {\sin(t) } =$ $\quad\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \frac 1 {\cos(t/2) }\, \cos \frac {(4 n + 1)\, t} 2$

On a donc écrit $\displaystyle \frac {\pi} 2 - I_{2 n} = \int_{0} ^{\pi/2} \cos \frac {(4 n + 1)\, t} 2 \, \varphi(t) \, \textrm{d} \, t$

où $\varphi : t \mapsto \displaystyle \frac 1 {\cos(t/2)}$ est une fonction de classe $C^1$ sur $[0, \, \pi/2]$ .

Par le lemme de Lebesgue,

$\quad \quad \displaystyle \lim _ {n \to + \infty} \left ( \frac {\pi} 2 - I_{2 n } \right ) = 0$ .

$\bullet$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum _{p = 0} ^ {n} \frac {2\, (- 1) ^p} {2\, p + 1} = \frac {\pi} 2$

soit $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \sum _{p = 0} ^ {n} \frac {(- 1) ^p} {2 \, p + 1} = \frac {\pi} 4$ .

Question 3 :

$\bullet$ $f$ est continue sur $]0, \, \pi/2]$ .

$f(t) = \displaystyle \frac {t - \sin(t)} {t \sin(t)}$ .

$t \sin(t) \underset {t \to 0} {\sim} t ^2$ et $t - \sin(t) \underset {t \to 0} { = } o(t ^2)$ $\Rightarrow \displaystyle \lim_{t \to 0} f(t) = 0$ ,

on prolonge $f$ par continuité en 0 en posant $f(0) = 0$ .

$\bullet$ $f$ est de classe $C^1$ sur $]0 , \, \pi/2]$ et

$\quad \quad f'(t) = \displaystyle \frac {- \cos(t)} {\sin^2(t) } + \frac 1 {t ^2}$

$\quad \quad f'(t) = \displaystyle \frac {\sin^2(t) - t ^2 \cos(t)} {t ^2 \, \sin^2(t) }$

Comme $t^2 \sin^2(t) \underset {t \to 0} {\sim} t ^4$ , on écrit le développement limité de $u(t) = \sin^2(t) - t ^2 \cos(t)$ à l’ordre 4 en $0$ .

$\displaystyle u(t) \underset {t \to 0} {= } t ^2 -\frac {t ^4} 3 - t ^2 + \frac {t ^4} 2 + o(t ^4)$

et $\sin^2(t) - t ^2 \cos(t) \underset {t \to 0} { \sim } \displaystyle \frac {t ^4} 6$

donc $f'(t) \underset {t \to 0} { \sim } \displaystyle \frac {1} 6$ .

$f$ est continue sur $[0 , \pi/2]$ , de classe $C^1$ sur $]0 , \, \pi/2]$ et $f'$ admet $1/6$ pour limite en $0$ , donc par le théorème de la limite de la dérivée, $f$ est de classe $C^1$ sur $[0 , \, \pi/2]$ et $f'(0) = 1/6$ .

Attention à commencer par réduire au même dénominateur pour lever l’indétermination $\infty - \infty$ .

Pour lever une indétermination en 0 de la forme $0 / 0$ par utilisation de développements limités, c’est l’ordre $d$ de l’équivalent du dénominateur qui impose d’écrire le DL du numérateur à l’ordre $d$ .

On a utilisé la forme plus élaborée du théorème de la limite de la dérivée.
Si $f$ est une fonction réelle continue sur $[a, b]$ , de classe $C^1$ sur $]a , \, b]$ et telle que $f'$ admet une limite finie $L$ en $a$ , alors $f$ est de classe $C^1$ sur $[a , \, b]$ et $f'(a) = L$ .

Ces quelques exercices sont un bon entrainement pour constater une vraie progression en maths et réussir en Maths Sup. Réviser et s’entraîner régulièrement sur divers exercices de maths est la clé de la réussite. Voici quelques autres chapitres au programme à travailler :

Intégration en Maths Sup : exercices et corrigés

Exercice sur les sommes de Riemann en Maths Sup

Exercices sur les limites de suites d’intégrales en Maths Sup

Exercice 1 sur les limites de suites d’intégrales :

Exercice 2 sur les limites de suites d’intégrales :

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Exercice sur une fonction définie par une intégrale en Maths Sup

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Correction de l’exercice 1 sur les limites de suites d’intégrales :

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