Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés sur l’intégration en terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Retrouvez l’ensemble des exercices corrigés sur l‘intégration en terminale. Entraînez-vous pour réussir les épreuves du baccalauréat et augmentez votre moyenne !

Intégration maths terminale : Calcul d’intégrales

$\displaystyle \int_1 ^3 (2 \, t ^3 + 3 \, t ^2- \, t - 1) \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle \int _{\ln(2)}^ {\ln(3)} \, \textrm{e} ^{ 2 \, t } \textrm{d} \, t$
$\displaystyle \int_0 ^1 \dfrac {1} {(2\, t + 1) ^2} \, \textrm{d} \, t$ .
$\displaystyle \int_0 ^1 \left ( \dfrac 1 {t + 1} + 1 - 2 \, t \right ) \, \textrm{d} \, t$

Intégration maths terminale : Calcul de primitives

Soit $f : t \mapsto \dfrac {\ln(t)} {\sqrt {t}}$ .
Trouver la primitive $F$ sur $I = \; ]0 , + \infty[$ , nulle en $1$ de la fonction $f$ en effectuant une intégration par parties.
Soit $f : t \mapsto (3 \, t - 2) \, \sin(t)$ .
Trouver la primitive $F$ sur $I = \mathbb{R}$ , nulle en $0$ de la fonction $f$ en effectuant une intégration par parties
Soit $f : t \mapsto \ln^2 (t)$ .
Trouver la primitive $F$ sur $I = \; ]0 , + \infty[$ , nulle en $1$ de la fonction $f$ en effectuant deux intégrations par parties.
Soit $f : t \mapsto \cos(t) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t}$ .
Trouver la primitive $F$ sur $I = \mathbb{R}$ , nulle en $0$ de la fonction $f$ en effectuant deux intégrations par parties

Intégration maths terminale : intégration par parties

$\displaystyle \int_1 ^{\textrm{e}} t \, \ln(t) \,\textrm{d} \, t = \dfrac {\textrm{e}^2 - 1} 4$ Vrai ou faux ?
Si $n \in \mathbb{N}$ , $\int_1 ^{\textrm{e}} t^n \, \ln(t) \,\textrm{d} \, t$
$\int_0 ^1 \left ( 2 \, t + 1 \right ) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t } \, \textrm{d} \, t = a + b\, \textrm{e} ^{ - 2 }$ .

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Correction exercice n°1 sur l’intégration

1. Valeur : 60

$I = \int_1 ^3 (2 \, t ^3 + 3 \, t ^2- \, t - 1) \, \textrm{d} \, t$
$I= \left [ \dfrac 1 2\, t ^4 + t ^3 - \dfrac 1 2 \, t ^2 - t \right]_1^3$
$I = \dfrac {81} 2 + 27 - \dfrac 9 2 - 3 - \left ( \dfrac 1 2 + 1 - \dfrac 1 2 - 1 \right)$
$I = \dfrac {81 - 9} 2+ 24 - 0 = 36 + 24 = 60$ .

2. Valeur : 5/2

$I = \displaystyle \int _{\ln(2)}^ {\ln(3)} \, \textrm{e} ^{ 2 \, t } \textrm{d} \, t = \left [ \dfrac 1 2 \, \textrm{e} ^{ 2 \, t } \right] _ {\ln(2)} ^{\ln(3)}$
$I = \dfrac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{ 2 \, \ln(3) } - \textrm{e} ^{ 2 \, \ln(2) } \right )$
$I = \dfrac 1 2 \left ( 9 - 4 \right ) = \dfrac 5 2$ .

3. Valeur : 1/3

$I = \displaystyle \int_0 ^1 \dfrac {1} {(2\, t + 1) ^2} \, \textrm{d} \, t$
$I= \left [ \dfrac {- 1} {2\, (2 \, t + 1)} \right]_0^1 = \dfrac { - 1} {6} + \dfrac 1 2$
$\boxed{I = \dfrac 1 3 }$ .

4. Valeur : In(2)

$I = \displaystyle \int_0 ^1 \left ( \dfrac 1 {t + 1} + 1 - 2 \, t \right ) \, \textrm{d} \, t$
$I = \left [ \ln(t + 1) + t - t ^2 \right ]_0 ^1 = \ln(2) + 1 - 1$ $\boxed{ I = \ln(2)}$ .

Correction exercices n°2 sur l’intégration

1. $F$ est définie pour $x \in I$ par $F(x) = \displaystyle \int_1^x \dfrac {\ln(t)} {\sqrt {t}}\, \textrm{d} \, t$ On introduit $u = \ln$ et $v : t \mapsto 2 \, \sqrt {t }$ .
Ces fonctions sont dérivables sur $I$ de dérivées continues. $\left \{ \begin{matrix} u(t)&=&\ln(t)\\v'(t) &=& 1/\sqrt {t } \end{matrix} \right.$ $\quad \left \{ \begin{matrix} u'(t)&=&1/t\\v(t) &=& 2\, \sqrt {t } \end{matrix} \right.$

$\displaystyle F(x) = \left [\, 2\, \sqrt {t } \, \ln(t) \, \right] _1 ^{x} - \int_1 ^{x} \dfrac {2} {\sqrt {t }} \,\textrm{d} \, t$
$F(x) = 2\, \sqrt {x } \, \ln(x) - \left [ 4 \, \sqrt {t } \right] _1 ^{x}$
$\boxed{F(x) = 2\, \sqrt {x } \, \ln(x) - 4 \, \sqrt {x } + 4}$ .

2. $F(x) = \int_0 ^{x} (3 \, t - 2) \, \sin(t) \, \textrm{d} \, t$

On introduit $u : t \mapsto 3\, t - 2$ et $v : t \mapsto - \cos(t)$ , ces fonctions sont dérivables sur $I$ de dérivées continues.

$\left \{ \begin{matrix} u(t)=3 \, t - 2 \\v'(t) = \sin(t) \ \end{matrix} \right.$ $\left \{ \begin{matrix} u'(t)= 3 \\v(t) = -\cos(t) \end{matrix} \right.$

$F(x)$
$= \left [ - (3 \, t - 2 ) \, \cos(t) \right] _0 ^{x} + \int_0 ^{x} 3\, \cos( t) \, \textrm{d} \, t$
$= (2 - 3 \, x) \, \cos(x) - 2 + \left [ 3\, \sin(t) \right] _0 ^{x}$
$\boxed{F(x) = (2 - 3 \, x) \, \cos(x) - 2 + 3 \, \sin(x) }$ .

3. $F$ est définie pour $x \in I$ par $F(x) = \displaystyle \int_1^x \dfrac {\ln(t)} {\sqrt {t}}\, \textrm{d} \, t$

On introduit $u = \ln^2$ et $v : t \mapsto t$ . Ces fonctions sont dérivables sur $I$ de dérivées continues.

$\left \{ \begin{matrix} u(t)=\ln^2(t)\\v'(t) =1 \end{matrix} \right.$ $\left \{ \begin{matrix} u'(t)=2 \, \ln(t) /t\\v(t) = t \end{matrix} \right.$

$\displaystyle F(x) = \left [t \, \, \ln^2 (t) \right] _1 ^{x} - 2 \int_1 ^{x} \ln(t) \,\textrm{d} \, t$
$\displaystyle F(x) = x \, \, \ln^2 (x) - 2 \, G(x)$ avec $G(x) = \int_1 ^{x} \ln(t) \,\textrm{d} \, t$ .

Pour calculer $G(x)$ ,

On introduit

$u = \ln$ et $v : t \mapsto t$ . Ces fonctions sont dérivables sur $I$ de dérivées continues.

$\left \{ \begin{matrix} u(t)&=&\ln(t)\\v'(t) &=& 1 \end{matrix} \right.$ $\quad \left \{ \begin{matrix} u'(t)&=&1 /t\\v(t) &=& t \end{matrix} \right.$

$\displaystyle G(x) = \left [\, t \, \, \ln (t) \, \right] _1 ^{x} - \int_1 ^{x} \,\textrm{d} \, t$

$G(x) = x\, \, \ln(x) - \left [ t \right] _1 ^{x}$

$G(x) = x\, \, \ln(x) - x + 1$

$\boxed{F(x) = x \, \, \ln^2 (x) - 2 \, x \ln(x) + 2 \, x - 2 }$ .

4. Si $x \in \mathbb{R }$ ,

$F(x) = \int_0 ^x \, \cos(t) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t} \, \textrm{d} \, t$

On introduit

$\quad u : t \mapsto \textrm{e} ^{ - 2 \, t}$ et $v : t \mapsto \sin(t)$ .

Ces fonctions sont dérivables sur $I$ de dérivées continues.

$\left \{ \begin{matrix} u(t)= \textrm{e} ^{ - 2 \, t}\\v'(t) = \cos(t) \end{matrix} \right.$

$\left \{ \begin{matrix} u'(t)=-2 \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t} \\v(t) = \sin(t) \end{matrix} \right.$

$F(x)$

$= \left [ \sin(t) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t} \right ]_0 ^x + 2 \, \int_0 ^x \, \sin(t) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t} \, \textrm{d} \, t$ ;

On effectue une deuxième intégration par parties en introduisant

$\quad u : t \mapsto \textrm{e} ^{ - 2 \, t}$ et $v : t \mapsto - \cos(t)$ .

Ces fonctions sont dérivables sur $I$ de dérivées continues.

$\left \{ \begin{matrix} u(t)= \textrm{e} ^{ - 2 \, t}\\v'(t) = \sin(t) \end{matrix} \right.$

$\left \{ \begin{matrix} u'(t)=-2 \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t} \\v(t) = - \cos (t) \end{matrix} \right.$

$F(x) = \sin(x) \,\textrm{e} ^{ - 2 \, x} + 2\, \left [ - \cos(t) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t} \right ]_0 ^x$ $\qquad \qquad - 4 \, \int_0 ^x \, \cos(t) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t} \, \textrm{d} \, t$ ;

$F(x) = \sin(x) \,\textrm{e} ^{ - 2 \, x} - 2 \, \cos(x) \,\textrm{e} ^{ - 2 \, x }$ $\qquad \qquad \qquad \qquad + \, 2 - 4 \, F(x)$

donc $5 \, F(x) = (\sin(x) - 2 \, \cos(x) ) \textrm{e} ^{ - 2 \, x } + 2$

et $F(x) = \dfrac {2 + (\sin(x) - 2 \, \cos(x) ) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, x }} 5$ .

Correction exercices n°3 sur l’intégration

1. On introduit
$u = \ln$ et $v : t \mapsto \dfrac {t ^2} 2$ . Ces fonctions sont dérivables sur $I$ de dérivées continues.

$\left \{ \begin{matrix} u(t)=\ln(t)\\v'(t) &=& t \end{matrix} \right.$ $\left \{ \begin{matrix} u'(t)=1/t\\v(t) = t^2/2 \end{matrix} \right.$ $I = \int_1 ^{\textrm{e}} t \, \ln(t) \,\textrm{d} \, t$

$\displaystyle I = \left [ \dfrac {t ^2} 2\, \ln(t) \right] _1 ^{\textrm{e}} - \int_1 ^{\textrm{e}} \dfrac {t} 2 \,\textrm{d} \, t$

$I = \dfrac {\textrm{e}^2 } 2 - \left [ \dfrac {t ^2} 4 \right] _1 ^{\textrm{e}}$

$I = \dfrac {\textrm{e}^2 } 2- \dfrac {\textrm{e}^2 } 4 + \dfrac {1} 4$

$\boxed{I = \dfrac {\textrm{e}^2 + 1} 4}$ .

2. On introduit

$\qquad \quad u = \ln$ et $v : t \mapsto \dfrac {t ^{n + 1} } {n + 1}$ .

Ces fonctions sont dérivables sur $[1 , \textrm{e} ]$ de dérivées continues.

$\left \{ \begin{matrix} u(t)&=&\ln(t)\\v'(t) &=& t^n \end{matrix} \right.$ $\qquad \quad \left \{ \begin{matrix} u'(t)&=&1/t\\v(t) &=& t^{n + 1}/{(n + 1)} \end{matrix} \right.$

$I_n = \int_1 ^{\textrm{e}} t^n \, \ln(t) \,\textrm{d} \, t$

$\displaystyle I_n = \left [ \dfrac {t ^{n + 1}} {n + 1}\, \ln(t) \right] _1 ^{\textrm{e}} - \dfrac 1 {n + 1} \int_1 ^{\textrm{e}} {t^n } \,\textrm{d} \, t$

$I_n = \dfrac {\textrm{e}^{n + 1} } {n + 1} - \left [ \dfrac {t ^{n + 1}} {(n + 1)^2 } \right] _1 ^{\textrm{e}}$

$I_n = \dfrac {\textrm{e}^{n + 1} } {n + 1}- \dfrac {\textrm{e}^{n + 1} - 1 } {(n + 1)^2 }$

3. On introduit

$\quas u : t \mapsto 2 \, t + 1$ et $v : t \mapsto \dfrac {- \textrm{e} ^{ - 2 \, t }} 2$ .

Ces fonctions sont dérivables sur $[0 , 1 ]$ de dérivées continues.

$\left \{ \begin{matrix} u(t)&=&2 \, t + 1 \\v'(t) &=& \textrm{e} ^{ - 2 \, t } \ \end{matrix} \right.$ $\qquad \qquad \left \{ \begin{matrix} u'(t)&=&2\\v(t) &=& - \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t } / 2\end{matrix} \right.$

$I = \int_0 ^1 \left ( 2 \, t + 1 \right ) \, \textrm{e} ^{ - 2 \, t } \, \textrm{d} \, t$ .

$I = \left [ \dfrac {- \textrm{e} ^{ - 2 \, t }} 2\, (2 \, t + 1) \right] _0 ^{1} + \int_0 ^{1} \textrm{e} ^{ - 2 \, t } \,\textrm{d} \, t$

$I = - 3 \, \dfrac {\textrm{e} ^{ - 2 }} 2 + \dfrac 1 2 + \left [ \dfrac {- \textrm{e} ^{ - 2 \, t }} 2 \right] _0 ^{1}$

$\boxed{ I = 1 - 2 \,\textrm{e} ^{ - 2 }}$ .

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