Chapitres de maths en Terminale D

Exercices et corrigés sur les fonctions logarithme en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous des exercices corrigés gratuits sur les fonctions logarithme pour les élèves préparant le bac D.

QCM sur la fonction logarithme en terminale D

Question 1 :

Sur $\mathbb{R}$ , une équation équivalente à l’équation $\ln(3x+10)=2\ln(-x)$ est

a. $\displaystyle\ln\left(\frac{3x+10}{-x} \right)=2$

b. $\ln(2x+10)=\ln(x^2)$

c. $\ln((-x)^2-3x-10)=0$

d. aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.

Question 2 :

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=xln(x)-x$ , alors pour tout x on a :

a : $f'(x) = \displaystyle{\frac{1}{x}}-1$

b : $f'(x) = ln(x) -2$

c : $f'(x) = 1-x$

d : $f'(x) = ln(x)$

Question 3 :

$f\text{ : }x \longmapsto ln(9-x^{2})$ en $a=3$

La limite éventuelle de la fonction $f$ proposée en a = 3 est

i. 0

ii. $-\infty$

iii. 9

iv. La limite n’existe pas

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Corrigé du QCM de terminale D les fonctions logarithme

Question 1 :

Il faut ici être vigilant à l’équation de départ!

En effet, $\ln(-x)$ ne peut être défini que pour $-x>0$ c’est-à-dire pour $x<0$

De l’autre côté, $\ln(3x+10)$ ne peut être défini que pour $3x+10>0$ c’est-à-dire pour $3x>-10$
donc pour $x>-\displaystyle\frac{10}{3}$

Donc, en réalité, cette équation n’est définie que pour $x\in \displaystyle\left]-\frac{10}{3}; 0\right[$

Il ne faut donc pas tomber dans le piège automatique $2\ln(-x)=\ln((-x)^2)=\ln(x^2)$

Car $\ln(x^2)$ est défini pour tout $x\neq0$ , donc l’équation b. n’est pas équivalente à l’équation proposée!

Les équations a. et c. ne sont pas équivalentes car:

$\ln(3x+10)=2\ln(-x)\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\ln(3x+10)}{\ln(-x)}=2$ et $\displaystyle\frac{\ln(3x+10)}{\ln(-x)}\neq \displaystyle\ln\left(\frac{3x+10}{-x}\right)$

$\Leftrightarrow \displaystyle\ln(3x+10)-2\ln(-x)=0$ et $\ln(3x+10)-2\ln(-x)\neq \ln((-x)^2-3x-10)$

Question 2 :

$f'(x)= ln(x)-\displaystyle{\frac{x}{x}}-1=ln(x)$

Question 3 :

$\lim\limits_{x \rightarrow 3} 9 - x^{2} = 0$ et $\lim\limits_{X \rightarrow 0} ln(X) = -\infty$ , donc par composition:

$\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 3} ln(9-x^{2}) = -\infty}$

Exercices sur les fonctions logarithme terminale D

Exercice sur l’étude d’une fonction en terminale D

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f\text{ : }x \longmapsto ln(1+e^{x})$

Soit $C$ sa courbe représentative.

Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .

Exercice sur le sens de variation

Étudier le sens de variation de $f$ et préciser son signe.

Corrigé des exercices sur les fonctions logarithme

Corrigé de l’exercice sur l’étude d’une fonction

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{x} = +\infty$ , donc par composition de limites:

$\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} ln(1+e^{x})=ln(1)=0}$

$\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} ln(1+e^{x})=+\infty}$

Corrigé de l’exercice sur le sens de variation en terminale D

$f$ est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de fonctions, et $\forall x \in \mathbb{R}$ :

$f'(x) = \displaystyle {\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}$

$\forall x \in \mathbb{R}\text{, }e^{x} > 0 \Longrightarrow f'(x) > 0$

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . De plus, $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0^{+}$ . Donc la fonction $f$ est nécessairement positive sur $\mathbb{R}$ .

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