Chapitres Maths en Terminale Générale

Fonctions polynômes, exercices et corrigés en Terminale

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.9 (1049 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Exercice sur les équations du second degré à coefficients réels

Question 1 :

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\qquad x^2 - 4 \, x + 13 + 4 \, \sqrt{2} = 0$ .

Question 2 :

Trouver deux complexes de somme égale à 1 et de produit égal à $\dfrac 3 2$ .

Question 3 :

Racines complexes de $\qquad \qquad x ^4 + 7 \, x ^2 + 10 = 0$

Exercice sur la détermination de fonctions polynômes

Question 1 :

Déterminer les coefficients de la fonction polynôme $P : x \mapsto 6 \, x^4 + a \, x^3 + b \, x ^2 + c\, x + d$ admettant $\sqrt{2}$ , $- \sqrt{2}$ , $-1/2$ et $1/3$ pour racines.

Question 2 :

Trouver une fonction polynôme $P$ de degré 3 admettant $-1$ et $4$ pour racines et telle que $P(0) = 8$ et $P(1) = 18$ .
Le coefficient de $x$ est égal à ?

Question 3 :

Soit $P : x \mapsto x ^4 - 4 \, x^3 + 6 \, x ^2 - 4 \, x + 5$
Écrire $P$ comme produit de deux polynômes de degré 2 sachant que $P( \textrm{i} ) = 0$ .
En déduire les racines du polynôme $P$ .

Exercice théorique sur les polynômes en Terminale Maths Expertes

Question 1 :

Il existe une unique fonction polynôme $P$ de degré 3 et telle que $P(0) = 0$ vérifiant pour tout réel $x$ ,
$\qquad \quad P(x + 1) - P(x) = x ^2$ .

Vrai ou faux ?

Question 2 :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .

En déduire sous forme factorisée la valeur de $1^2 + 2 ^2 + \cdots + n ^2$ .

Exercice sur l’utilisation de $x^n - a^n$ en Terminale

Question 1 :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\qquad P : x \mapsto x ^{n + 1} - x^n - x + 1$

Il existe une fonction polynôme $Q$ telle que pour tout réel $x$ ,

$\qquad \quad P(x) = (x - 1) ^2 \, Q(x)$

et $Q(1) = n$ .

Vrai ou Faux ?

Question 2 :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P : x \mapsto x ^{n + 2} - x^{n + 1}+ x ^2 -3\, x + 2$ .

Il existe une fonction polynôme $Q$ telle que pour tout réel $x$ , $\qquad \quad P(x) = (x - 1) ^2 \, Q(x)$

Vrai ou Faux ?

Mon parcours pour réussir en Terminale

Je révise le bac en autonomie ou avec un prof

J'obtiens des conseils d'orientation

Je m’entraîne sur des annales corrigées du bac

Avis Google France
★★★★★ 4,8 sur 5

Correction sur les équations du 2nd degré à coefficients réels

Question 1 :

$\Delta = 16 - 4 \,(13 + 4 \, \sqrt{2} = - 4\,( 9 + 4 \, \sqrt{2} )$

$\Delta = - 4 \left ( 2^2 \, \sqrt{2} ^2 + 1 + 2 \times 2 \,\sqrt{2} \right )$

$\Delta = - 4 \left ( 1 + 2 \, \sqrt{2} \right ) ^2$

$\Delta = \left ( 2 \, \textrm{i} \, ( 1 + 2 \, \sqrt{2}) \right ) ^2$

L’équation admet deux racines complexes conjuguées :

$\displaystyle \frac {4 - 2 \, \textrm{i}\, ( 1 + 2 \, \sqrt{2}) } {2} =\boxed{ 2 - \textrm{i}\, ( 1 + 2 \, \sqrt{2})}$

et $\boxed{\displaystyle 2 + \textrm{i}\, ( 1 + 2 \, \sqrt{2})}$ .

Question 2 :

Ils sont racines de $x^2 - S \, x + P = 0$ avec $S = 1$ et $P = \displaystyle \frac {3} 2$ donc de :

$\qquad \qquad x^2 - x + \dfrac 3 2 = 0$ .

$\Delta = 1 - 6 = - 5 = \left ( \textrm{i} \, \sqrt{5} \right ) ^2$

Les deux racines sont

$\qquad \qquad \boxed{\dfrac {1 + \textrm{i} \, \sqrt{5} } 2}$ et $\boxed{\dfrac {1 - \textrm{i} \, \sqrt{5} } 2}$ .

Question 3 :

En posant $y = x ^2$ , on commence par résoudre : $y ^2 + 7 \, y + 10 = 0$ qui a pour discriminant $\Delta = 49 - 40 = 9$

donc deux racines réelles distinctes $\displaystyle \frac {- 7 - 3} 2 = - 5$ et $\displaystyle \frac {- 7 + 3 } 2 = - 2$

On écrit donc $\qquad y ^2 + 7 \, y + 10 = (y + 2) (y + 5)$ .

Puis $P(x) = (x ^2 + 2) (x ^2 + 5)$ .

$P(x) = 0$ ssi $x ^2 = - 2$ ou $x ^2 = - 5$

ssi $x = \pm \, \textrm{i} \, \sqrt{2}$ ou $x = \pm \, \textrm{i} \, \sqrt{5}$ .

Les 4 racines complexes de $P(x) = 0$ sont $\boxed{\textrm{i} \, \sqrt{2} \, ,\, - \textrm{i} \, \sqrt{2}\, ,\, \textrm{i} \, \sqrt{5} , \, - \textrm{i} \, \sqrt{5}\, }$ .

COURS PARTICULIERS

Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.

96% de réussite au BAC
44% de mentions Bien et Très bien
99% de recommandation à leurs amis

POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION EN TERMINALE

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Correction de l’exercice sur la détermination de fonctions polynômes

Question 1 :

Comme le coefficient de $x^4$ dans $P$ est 6 et comme on a donné les 4 racines de $P$ :

$P(x) =\displaystyle 6 \times \left (x - \sqrt{2} \right ) \left (x + \sqrt{2} \right )$ $\qquad \qquad \qquad \times \left (x + \dfrac 1 2 \right ) \left (x - \dfrac 1 3 \right )$ .

$P_1(x) = \left (x - \sqrt{2} \right ) \left (x + \sqrt{2} \right )= x^2 - 2$

$P_2(x) = \displaystyle \left (x + \frac 1 2 \right ) \left (x - \frac 1 3 \right )$

$P_2(x) = x ^2 + \displaystyle \left ( \frac 1 2 - \frac 1 3 \right ) x - \frac 1 6$

$P_2(x) = x ^2 + \displaystyle \frac 1 6 \, x - \frac 1 6$

donc $6 \, P_2(x) = 6 \, x ^2 + x - 1$

$P(x) = (x ^2 - 2) \, (6 \, x ^2 + x - 1)$

$P(x) = 6 \, x ^4 + x^3 - x ^2 - 12 \, x ^2 - 2\, x + 2$

$\boxed{P(x) = 6 \, x ^4 + x^3 - 13 \, x ^2 - 2\, x + 2}$ .

Question 2 :

Comme $-1$ et $4$ sont racines de $P$ de degré 3, il existe une fonction polynôme $Q$ de degré $1$ telle que pour tout réel $x$ , $P(x) = (x + 1) \, (x - 4)\, Q(x)$

donc il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\quad P(x) = (x + 1) \, (x - 4) \, (a \, x + b)$ .

$P(0) = -4 \, b = 8$

et $P(1) = 2 (-3) (a + b) = 18$

ssi $b = - 2$ et $a + b = - 3$

ssi $b = - 2$ et $a = - 1$ .

donc $P(x) = -(x + 1) (x - 4) (x + 2)$

$P(x) = - (x^2 - 3 \, x - 4)(x + 2)$

$P(x) = - x^3 + 3 \, x ^2 + 4 \, x - 2 \, x^2 + 6 \, x + 8$

$\boxed{P(x) = - x^3 + x^2 + 10\, x + 8}$ .

Question 3 :

Comme $P(\textrm{i} ) = 0$ , $\overline{P(\textrm{i}) } = 0$ soit $P( - \textrm{i}) = 0$ car $P$ est à coefficients réels,

donc $P(x) = (x - \textrm{i}) (x + \textrm{i}) \, (a \, x ^2 + b \, x + c )$

soit $P(x) = (x ^2 + 1) \, (a \, x ^2 + b \, x + c )$

en développant

$P(x) = a \, x ^4 + b \, x^3 + (c + a) \, x ^2 + b\, x + c$

On obtient le système

$\left \{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 4 \\ c + a = 6 \\ b = - 4 \\ c = 5 \end{matrix} \right.$ ssi $\left \{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 4 \\ c= 5 \end{matrix} \right.$

$\boxed{P(x) = (x ^2 + 1) \, ( x ^2 - 4 \, x + 5 ) }$ .

On cherche les racines de $\qquad Q(x) = x ^2 - 4 \, x + 5 = 0$

$\Delta = 16 - 20 = - 4 = (2 \, \textrm{i} ) ^2$

Les racines de $Q(x) = 0$ sont donc $\displaystyle \frac {4 + 2 \, \textrm{i} } 2 = 2 + \textrm{i}$ et $2 - \textrm{i}$

Les racines de $P$ sont $\boxed{\textrm{i},\, - \textrm{i} ,\, 2 + \textrm{i},\, 2 - \textrm{i}}$ .

STAGE REVISION BAC

Profite de tes vacances pour gagner des points au bac.

96% de réussite au BAC
44% de mentions Bien et Très bien
99% de recommandation à leurs amis

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Correction de l’exercice théorique sur les polynômes en Terminale

Question 1 :

Vrai

On cherche donc des réels $a$ , $b$ et $c$ tels que $P(x) = a\, x ^3 + b \, x^2 + c\, x$ .

$P(x + 1) =$ $\; \; a\, (x + 1) ^3 + b (x + 1) ^2 + c(x + 1)$

On rappelle que $(x + 1) ^3 = x^3 + 3 \, x ^2 + 3 \, x + 1$

$P(x + 1) = a \, x^3 + (3 \, a + b) \, x ^2$ $\qquad +\, (3 \, a + 2 \, b + c) \, x + a + b + c$

$P(x + 1) - P(x) =$ $\qquad \quad 3 \, a \, x ^2 + (3 \, a + 2 \, b)\, x + a + b + c$

Pour tout $x$ , $P(x + 1) - P(x) = x^2$ ssi

$\left \{ \begin{matrix} 3 \, a = 1 \\ 3 \, a + 2 \, b = 0 \\ a + b + c = 0 \end{matrix} \right.$ ssi $\left \{ \begin{matrix} a = 1/3 \\ 2 \, b = - 1 \\ c = - 1/3 + 1/2 \end{matrix} \right.$

donc $\boxed{P(x) = \displaystyle\frac 1 3 \, x ^3 - \frac 1 2 \, x^2 + \frac 1 6 \, x}$ .

Question 2 :

Soit $S _ n = 1^2 + 2 ^2 + \cdots + n ^2$ .

On écrit la relation $P(x + 1) - P(x) = x ^2$ en prenant comme valeurs successives de $x$ : $0 , 1 ,\, 2 , \cdots ,\, n$

$P(1) - P(0) = 0^2$

$P(2) - P(1) = 1^2$

$P(3) - P(2) = 2^2$

$\vdots$

$P(n ) - P(n - 2) = (n - 1) ^2$

$P(n+ 1 ) - P(n)^2 = n ^2$

$-----------------$

Puis en sommant ces relations, après simplifications, il ne reste que

$P(n + 1) - P(0) = S_n$ avec $P(0) = 0$

$S_n = \displaystyle \frac 1 3 (n + 1) ^3 - \frac 1 2\, (n + 1)^2 + \frac 1 6 \, (n + 1)$

On factorise $\displaystyle \frac {n + 1} 6$

$S_n = \displaystyle \frac {n + 1} 6 \left ( 2 \, (n + 1) ^2 -3\, ( n + 1) + 1 \right )$

$S_n = \displaystyle \frac {n + 1} 6 \left ( 2\, n ^2 + 4 \, n + 2 - 3 \, n - 2 \right )$

$S_n = \displaystyle \frac {n + 1} 6 \left ( 2\, n ^2 + n \right )$

$\boxed {S_n = \displaystyle \frac {n(n + 1) (2 \, n + 1)} 6 }$ .

Correction d’exercice sur l’utilisation de $x^n - a^n$ en Terminale

Question 1 :

Vrai

$P(x) = x^n (x - 1) - (x - 1)$

$P(x) = (x - 1) \, (x ^n - 1)$

Comme $x ^n - 1 = (x - 1) \, Q(x)$ avec $\boxed{Q(x) = x ^{n - 1} + x ^ {n - 2} + \cdots + x + 1}$

$P(x) = (x - 1) ^2 \, Q(x)$ .

Il est immédiat que $Q(1) = n$ .

Question 2 :

Vrai

$P(x) = x ^{n + 2} - x^{n + 1}+ x ^2 -3\, x + 2$

$\bullet$ 1 est racine évidente de $\qquad \qquad x ^2 -3\, x + 2 = 0$ ,

l’autre racine est égale au produit $2$ des racines donc

$\qquad x^2 -3\, x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .

$\bullet$ Puis $P(x) = x^ {n + 1} \, (x - 1) + (x - 1) (x - 2)$

$P(x) = (x - 1) (x ^{n + 1} + x - 2)$

$\bullet$ $R(x) = x ^{n + 1} + x - 2$

$R(1) = 0$ , donc on peut factoriser $x - 1$

$R(x) = x ^{n + 1 } - 1 + (x - 1)$

comme $x ^{n + 1 } - 1 = (x - 1) \, R_1(x)$ avec $R_1(x) = x ^n + x ^{n - 1} + \cdots + x + 1$

$R(x) = (x - 1) (R_1(x) + 1)$

donc $\boxed{P(x) = (x - 1) ^2 Q(x)}$ avec $Q(x) = R_1(x) + 1$

$\boxed{Q(x) = x ^n + x ^{n - 1} + \cdots + x + 2}$ .

Profitez aussi des autres cours en ligne avec exercices corrigés pour vous entraîner sur les notions fondamentales de maths au programme de maths expertes en Terminale :

Pour accéder aux meilleurs cours particuliers à domicile ou en ligne, sélectionner le prof qu'il vous faut

Recherchez un prof particulier

Fonctions polynômes, exercices et corrigés en Terminale

Exercice sur les équations du second degré à coefficients réels

Exercice sur la détermination de fonctions polynômes

Exercice théorique sur les polynômes en Terminale Maths Expertes

Exercice sur l’utilisation de $x^n - a^n$ en Terminale

Mon parcours pour réussir en Terminale

Je révise le bac en autonomie ou avec un prof

J'obtiens des conseils d'orientation

Je m’entraîne sur des annales corrigées du bac

Correction sur les équations du 2nd degré à coefficients réels

COURS PARTICULIERS

Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.

POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION EN TERMINALE

Correction de l’exercice sur la détermination de fonctions polynômes

STAGE REVISION BAC

Profite de tes vacances pour gagner des points au bac.

Correction de l’exercice théorique sur les polynômes en Terminale

Correction d’exercice sur l’utilisation de $x^n - a^n$ en Terminale

Pour accéder aux meilleurs cours particuliers à domicile ou en ligne, sélectionner le prof qu'il vous faut

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales