Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices corrigés sur les séries numériques de Maths Sup

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

S’entraîner sur des exercices constitue un moyen efficace pour vérifier son niveau de connaissances. Avoir acquis l’ensemble des notions du programme de maths en MPSI, PCSI, PTSI est plus qu’essentiel pour les étudiants s’ils souhaitent réussir en Maths Spé et par conséquent, obtenir les meilleurs résultats qu’ils soient aux concours post-prépa.

Exercice sur les études de convergence de séries en Maths Sup

Question 1 :

Nature de $\sum u_n$ si $u_n = \displaystyle \frac {\ln(n)} n$

Série convergente ou divergente ?

Question 2 :

Nature de $\sum u_n$ si $u_n = \textrm{e} ^{ - n ^2}$

Série convergente ou divergente ?

Question 3 :

Nature de $\sum u_n$ si $\qquad \quad u_n = \displaystyle \left ( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right )^ {- \sqrt{n}}$

Série convergente ou divergente ?

Question 4 :

Ensemble des réels $a$ et $b$ tels que si

$\displaystyle u_n=\ln \left(1+\frac 1 n\right)-a\sqrt{1+\frac 2 n}$ $\qquad \qquad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, b\, \, \cos \left(\frac 1 n\right)$ , ${\sum}u_n$ soit convergente.

Question 5 :

La série de terme général $\qquad u_n = \displaystyle \int _n ^ {n + 1 } \frac {1} {\sqrt{x ^4 + x^2 + 1} } \textrm{d} \, x$ est convergente ou divergente ?

Question 6 :

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et $\displaystyle u_n = \frac {a^n} {n + b^n}$ .

Nature de $\sum u_n\,$ .

Exercices sur les calculs de sommes de séries en Maths Sup

Exercice 1 sur les calculs de sommes de séries :

La somme $\displaystyle \sum _ {n = 2} ^{+\infty} \ln \left (\frac {n ^2 + 3 \, n + 2} {n ^2 + 3 \, n} \right )$ est définie et égale à $\ln(a)$

avec $a =$ ?

Exercice 2 sur les calculs de sommes de séries en Maths Sup :

Question 1 :

$g$ : $\displaystyle x\, \mapsto \frac {\sin (\pi \, x)} {1-x}$ , $1 \mapsto \pi$ est continue sur $[0 ,\, 1$ ].

Vrai ou Faux ?

Question 2 :

Montrer que la série de terme général $\int_0 ^1 x^n \, \sin(\pi \, x)\, \textrm{d} \, x$ converge et exprimer sa somme à l’aide d’une intégrale.

Exercice sur la constante d’Euler et applications en Maths Sup

Il existe un réel $\gamma$ (appelé constante d’Euler) tel que $\quad \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k \underset {n \to + \infty} { = } \ln(n) + \gamma + \textrm{o} (1)$ .

Exercice de suite décroissante de réels positifs & série convergente

Question 1 :

Si la suite $(u_n)_n$ est une suite décroissante de réels positifs ou nuls tels que la série de terme général $u_n$ converge, $\displaystyle \sum _{p=n+1}^{2n}u_k\;\geq n\, u_{p}$ avec avec $p = 2n$

Sous les hypothèses de la question 1, la suite $(n\,u_n)_n$ converge vers 0.

Vrai ou Faux ?

Question 2 :

Il existe une série de terme général $u_n$ à termes positifs ou nuls et convergente telle que la suite $(n \, u_n)_n$ ne converge pas vers 0.

Vrai ou Faux ?

Exercice sur la relation simple entre $u_{n+1}$ et $u_n\,$ en Maths Sup

On suppose que $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs.

On définit une suite $(u_n)_n$ par $u_0 > 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \frac {u_{n + 1}} {u_n} = \frac {n + a} {n + b}$ .

Question 1 :

La suite est bien définie et à valeurs strictement positives.

Vrai ou Faux ?

Question 2 :

a) Déterminer le réel $\alpha$ tel que la série de terme général $v_n = \ln(n^\alpha \, u_n)$ soit convergente.

$\alpha =$ ?

b) En déduire un équivalent de $u_n\,$ .

Donner une CNS pour que $\sum u_n$ converge.

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Correction de l’exercice sur les études de convergence de séries

Question 1 :

Série divergente.

Pour $n \geqslant 3, \, \ln(n) > 1$ donc $\displaystyle u_n > \frac 1 n$ .

Par minoration par une série de Riemann divergente, $\sum u_n$ diverge.

Question 2 :

Série convergente.

Si $n \geqslant 1, n ^2 \geqslant n \Rightarrow 0 \leqslant u_n \leqslant \textrm{e} ^{ - n}$

et $\displaystyle \textrm{e} ^{ - n} = \left ( \textrm{e} ^{ - 1} \right ) ^n$ est une série géométrique convergente car $0 < \textrm{e} ^{ - 1} < 1$ .

Par majoration par une série convergente, la série à termes positifs $u_n$ converge. Il n’est pas toujours utile d’utiliser l’astuce du $n^2 \, u_n\,$ .

C’est en particulier maladroit en présence d’une série proportionnelle à une série géométrique ce qui est le cas pour $\textrm{e} ^{ - a \, n - b}$ lorsque $a > 0$ .

Question 3 :

Série divergente.

On étudie $v_n = \ln(n\, u_n)$ .

$v_n = \ln(n) - {\sqrt{n}} \, \ln \left ( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right )$ .

Par utilisation de la quantité conjuguée,

$\displaystyle \sqrt{n +1} - \sqrt{n }= \frac {n + 1 - n } {\sqrt{n + 1} + \sqrt{n }}$

$\qquad \qquad \quad \displaystyle = \frac 1 {\sqrt{n} } \, \frac 1 {\sqrt{1 + 1/n } + 1 }$

Soit $\displaystyle a_n = \frac 1 {\sqrt{1 + 1/n } + 1 }$ , $\qquad \qquad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac 1 2$ .

$\displaystyle v_n = \ln(n) - {\sqrt{n}} \, \ln \frac {a_n} {\sqrt{n}}$

$\displaystyle v_n =\ln(n) - {\sqrt{n}} \, \ln (a_n) + \frac 1 2 {\sqrt{n}} \, \ln(n)$

$\displaystyle v_n =\dfrac { \sqrt{n} \, \ln(n)} 2 \, \left ( \frac {2} {\sqrt{n}} -\dfrac {2\, \ln (a_n)} {\ln(n)} + 1 \right )$

$\displaystyle \lim _ {n \to + \infty} \left ( \frac {2} {\sqrt{n}} -\dfrac {2\, \ln (a_n)} {\ln(n)} + 1 \right ) = 1$

donc $\displaystyle \lim _ {n \to + \infty} v_n = + \infty \Rightarrow\lim_{n\to + \infty} n\, u_n = +\infty$

et pour $n$ assez grand, $n \, u_n \geqslant 1$ donc $u_n \geqslant \dfrac 1 n$ .

Par minoration par une série de Riemann divergente, la série à termes positifs $u_n$ diverge.

Question 4 :

On écrit le développement limité de $u_n$ à l’ordre 2 en $\dfrac{1}{n}$ en utilisant les DL usuels.

$\displaystyle u_n \underset{n\to +\infty } { = } \frac 1 n-\frac 1{2\, n^2}-a-\frac a n+\frac a{2\, n^2}$

$\quad \quad \quad\quad \quad \displaystyle +\, b-\frac b{2\, n^2}+\textrm{o}\left(\frac 1{n^2}\right)$

$\displaystyle u_n \underset{n\to +\infty }{ = } b-a+\frac{1-a} n$

$\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac{a-1-b}{2\, n^2}+\textrm{o}\left(\frac 1{n^2}\right)$

$\ast$ Si $b \, {\neq}\, a$ , $\sum u_n$ diverge grossièrement.

$\ast$ Si $b = a$ et $a\, {\neq}\, 1$ , $\displaystyle u_n \underset{n\to +\infty }\sim \frac{1-a} n$ , par comparaison par équivalence à une série de Riemann de signe constant et divergente, ${\sum u_n}$ diverge.

$\ast$ Si $a = b = 1$ , $\displaystyle u_n\underset{n\to +\infty }\sim \frac{-\;1}{2\;n^2}$ , par comparaison par équivalence à une série de Riemann de signe constant et convergente, ${\sum u_n}$ converge.

Question 5 :

Elle est convergente.

Par inégalité

Si $x > 0, \, \displaystyle 0\leqslant \frac {1} {\sqrt{x ^4 + x^2 + 1} }\leqslant \frac {1} {\sqrt{x ^4 } }$

Par intégration, $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$ où $\qquad \qquad v_n =\displaystyle \int _n ^ {n + 1 } \frac {1} {x^2 } \textrm{d} \, x$ .
$v_n = \displaystyle \left [ \frac { - 1} x \right ] _n ^{n + 1} = \frac 1{n} - \frac 1{n + 1}$ .

Comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1 n = 0$ ,

par comparaison suite -série, $\sum v_n$ converge.

Donc par domination, $\sum u_n$ converge.

Question 6 :

$\bullet$ Si $0 < b \leqslant 1$ , $n + b^n \underset {n \to\infty} \sim n$ car

$\displaystyle n + b^n = n \left ( 1 + \frac {b^n} {n} \right)$ où $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {b^n} {n} = 0$ ,

donc $\displaystyle u_n \underset {n \to \infty} \sim \frac{a^n} n.$

$\ast$ Si $a< 1$ , $\displaystyle 0 \leq \frac{a^n} n \leqslant a^n$ .

Par domination par une série géométrique convergente, $\displaystyle \sum \frac{a^n} n$ converge et par équivalence de séries de réels positifs, $\sum u_n$ converge.

$\ast$ Si $a\geqslant 1$ , alors $\displaystyle \frac{a^n} n \geqslant \frac 1 n$ , donc par minoration par une série de Riemann divergente,

$\displaystyle \sum \frac{a^n} n$ diverge et par équivalence de séries de réels positifs, $\sum u_n$ diverge.

$\bullet$ Si $b > 1$ , $n + b^n \underset {n \to\infty} \sim b^n$ car $\displaystyle n + b^n = b^n \left ( 1 + \frac {n} {b^n} \right)$ où

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {n} {b^n} = 0$ (croissance comparée), donc $\quad \quad \quad \quad \displaystyle u_n \underset {n \to \infty} \sim \frac{a^n} {b^n}\,$ .

Par équivalence à une série géométrique positive, $\sum u_n$ converge ssi $0 < a < b$ .

En résumé , $\sum u_n$ converge ssi

$\qquad\; \;$ ( $0 < a < 1$ et $b \leqslant 1$ )

$\quad$ ou ( $0 < a < b$ et $b > 1$ ).

Correction des exercices sur les calculs de sommes de séries

Correction de l’exercice 1 sur les calculs de sommes de séries en Maths Sup

avec $a = 3$

$\bullet$ Convergence

On utilise $\ln(y) \underset {y \to 1} {\sim} y - 1$ ,

$u_n = \displaystyle \ln \left (\frac {n ^2 + 3 \, n + 2} {n ^2 + 3\, n} \right )$

$\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \frac {n ^2 + 3 \, n + 2} {n ^2 + 3\, n} - 1$

$\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \frac {2} {n ^2 + 3 \,n} \underset {n \to + \infty} {\sim} \frac {2} {n ^2} \,$ .

Par équivalence d’une série de signe constant à une série de Riemann convergente, $\sum u_n$ converge.

$\bullet$ Calcul de la somme

$u_n= \displaystyle \ln \left (\frac {(n + 1)(n + 2)} {n(n + 3)} \right )$

$\displaystyle u_n = \ln \left (\frac {n + 2} {n + 3} \right ) - \ln \left (\frac {n} {n + 1} \right )$

$u_n = \varphi(n + 2) - \varphi (n )$ avec $\varphi(n) = \displaystyle \ln \left (\frac {n} {n + 1} \right )$ où $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \varphi(n) = 0$ .

Comme $\displaystyle S_n = \sum _{k = 2} ^n u_k =\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \varphi(k + 2) - \sum _ {k = 1} ^n \varphi(k )$

$\displaystyle S_n = \sum _ {p = 3} ^{n + 2} \varphi(p) - \sum _ {k = 1} ^n \varphi(k )$

par télescopage,

$\displaystyle S_n = \varphi(n + 2) + \varphi(n + 1) - \varphi (1) - \varphi(2)$

Puis comme $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \varphi(n) = 0$ ,

$\qquad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_n = - \varphi (1) - \varphi(2)$ .

La somme $S$ de la série est égale à $\qquad \quad - \ln(1/2)- \ln(2/3) =\boxed{ \ln(3) }$ .

Correction de l’exercice 2 sur les calculs de sommes de séries :

Question 1 :

Vrai

$g$ : $\displaystyle x\, \mapsto \frac {\sin (\pi\, x)} {1-x}$ est continue sur $[0 , \, 1[$ .

On utilise $\;\; \displaystyle \sin (\pi\, x)=\sin (\pi -\pi \, x)\underset{x\to 1}{\sim} \pi \, (1-x)$ .

donc $g(x) \displaystyle \underset{x\to 1} {\sim} \frac {\pi \, (1-x)} {1 - x}$ .

$g$ admet $\pi$ pour limite en $1$ , donc $g$ est continue en $1$ .

Question 2 :

$g$ est continue sur $[0, \,1]$ . On note $M$ un majorant de $\vert g\vert$ sur $[0 , \, 1]$ .

Si $x \, \in [0 , \,1[$ , $\displaystyle \sum _{k=0}^n x^k\sin (\pi \;x)=\sin (\pi\;x)\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ $\displaystyle \sum _{k=0}^n x^k \sin(\pi \; x) =g(x)(1-x^{n+1})$ .

La relation reste vraie en $1$ , car elle s’écrit $0 = 0$ .

$\displaystyle S_n=\sum _{k=0}^nu_k=\int _{0}^{1}\;g(x)\left(1-x^{n+1}\right)\textrm {d}x$

$\displaystyle S_n =\int_{0}^{1}\;g(x)\,\textrm {d} x-\int _{0}^{1}\;x^{n+1}\, g(x)\, \textrm {d}x$

Soit $\displaystyle I_n = \left|\int _{0}^{1}x^{n+1}\, g(x)\textrm {d}x\right|$

avec $\displaystyle I_n\;\legslant \;\int _{0}^{1}\ x^{n+1}\, M\, \textrm {d} x\;\le \;\frac M{n+2}$ , donc $\boxed{\displaystyle \lim _{n\to +\infty}S_n=\int _{0}^{1}\;g(x)\, \textrm {d}x\,}$ .

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Correction de l’exercice sur la constante d’Euler et applications

On note $\gamma$ la limite de la suite $(a_n)_n \,$ .

Donc $\displaystyle a_n \underset {n \to + \infty} { = } \gamma + \textrm{o} (1)$ ,

soit $\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac 1 k - \ln (n) \underset {n \to + \infty} { = } \gamma + \textrm{o} (1)$

ce qui s’écrit :

$\quad \displaystyle \sum _{k=1}^n\frac 1 k \underset {n \to + \infty} { = } \ln (n) + \gamma + \textrm{o} (1)$ .

De la relation précédente, on déduit que $\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac 1 k \underset {n \to + \infty} { = } \ln (n) + \textrm{o} (\ln(n))$

donc $\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac 1 k \underset {n \to + \infty} { \sim } \ln (n)$ .

Correction de suite décroissante de réels positifs & série convergente

Question 1 :

Vrai

$\ast$ Alors $0\, {\leq} \, 2 \, n \, u_{2 n } \, {\leq}\, 2( S_{2n} - S_n).$

Par encadrement par deux suites qui convergent vers 0, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty }2\, n\, \, u_{2n}=0$

$\ast$ Puis si $n\, {\geq}\, 1$ , $\quad 0\, {\leq} (2 \, n + 1) \, u_{2 n + 1}\, { \leq}\, (2 \,n + 2\, n) u_{2n} \,$ , donc par encadrement, $\quad \quad \quad \displaystyle \lim _{n\to +\infty }(2\, n+1)\,u_{2n+1}=0\,$ .

Par propriété des suites extraites, $\quad \quad \quad \quad \boxed{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }n\, u_n=0\,}$ .

Question 2 :

Vrai

La suite de terme général $v_n = n \, u_n$ ne converge pas vers 0, car la suite extraite $\displaystyle (v_{p^2})_p$ est une suite constante égale à 1.

On a vu que la série de terme général $u_n$ converge.

Correction de l’exercice sur la relation simple entre $u_{n+1}$ et $u_n\,$

Question 1 :

Vrai

Si $n \in \mathbb{N}$ , on note

$\qquad H_n : u_n$ est défini et $u_n > 0$ .

$H_0$ est vérifiée par hypothèse sur $u_0\,$ .

On suppose que $H_n$ est vérifiée, $u_{n + 1}$ est défini car $n + b > 0$ .

$\displaystyle u_{n + 1} = \frac {n + a} {n + b}\, . \, u_n$ et ${u_n}\, > 0$ , donc $H_{n + 1}$ est vérifiée.

Par récurrence, on a établi que $u_n > 0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ .

Question 2 :

a) $\alpha = b-a$

DL de $v_n$ puis comparaison suite-série .

On étudie la convergence de la série de terme général $w_n = v_{n + 1} - v_n \,$ .

$\displaystyle w_n = \ln \left ( \frac {(n + 1)^\alpha} {n^\alpha} \right ) + \ln \frac {n + a} {n + b}$

$\displaystyle w_n = \alpha \ln \left ( 1 + \frac {1} {n} \right ) + \ln \left ( \frac {1 + a/n} {1 + b/n} \right )$

$\displaystyle w_n \underset{n\to +\infty }{=} \frac {\alpha} {n} + \left ( \frac{a} {n} - \frac {b} {n} \right ) +\textrm{O} \left ( \frac 1 {n^2} \right )$

$\displaystyle w_n \underset{n\to +\infty }{=} \frac {\alpha + a - b} n + \textrm{O} \left ( \frac 1 {n^2} \right )$ .

$\ast$ Si $\alpha + a - b \neq 0$ , $\displaystyle w_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac{\alpha + a- b } {n}$ par équivalence à une série de Riemann de signe constant divergente, $\sum w_n$ diverge.

$\ast$ Si $\alpha + a - b = 0$ , $\displaystyle w_n \underset{n\to +\infty }{=} \textrm{O} \left ( \frac 1 {n^2} \right )$ , par domination par une série de Riemann divergente, $\sum w_n$ converge absolument.

En conclusion, pour $\alpha = b - a$ , $\sum w_n$ converge absolument.

Le raisonnement avec « O » évite de calculer le développement limité à l’ordre 2 et abrège les calculs.

b) Par comparaison suite-série, la suite de terme général $v_n$ converge vers une limite $C$ , donc par continuité de la fonction exponentielle,

$\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to \infty} n ^\alpha \, u_n = L = \textrm{e} ^C > 0$

donc $\displaystyle u_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac{L } {n^{b - a}}\;\;$ .

On en déduit que $\sum u_n$ converge ssi $\boxed{ b - a > 1}$ .

Participer à des stages intensifs de révision en Maths Sup est un moyen efficace pour progresser et faire grimper sa moyenne de maths rapidement. Cependant, entre deux périodes de stage, il ne faut pas relâcher ses efforts. Utiliser les cours en ligne pour réviser régulièrement permettra également d’améliorer son niveau et ses connaissances. Pour ce faire, les étudiants de Maths Sup peuvent s’entraîner sur différents chapitres, par exemple :

Exercices corrigés sur les séries numériques de Maths Sup

Exercice sur les études de convergence de séries en Maths Sup

Exercices sur les calculs de sommes de séries en Maths Sup

Exercice 1 sur les calculs de sommes de séries :

Exercice 2 sur les calculs de sommes de séries en Maths Sup :

Exercice sur la constante d’Euler et applications en Maths Sup

Exercice de suite décroissante de réels positifs & série convergente

Exercice sur la relation simple entre $u_{n+1}$ et $u_n\,$ en Maths Sup

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