Chapitres de maths en Terminale D

Exercices et corrigés sur les intégrales et primitives en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous des exercices corrigés gratuits sur les intégrales et primitives pour les élèves préparant le bac D. Vous trouverez d’autres exercices dans l’application mobile PrepApp. Si vous souhaitez vous faire plus accompagner, n’hésitez pas à consulter et à contacter un professeur particulier de mathématiques.

QCM sur les intégrales et primitives en terminale D

Soient $(A_n)$ et $(B_n)$ les suites définies pour $n\geqslant1$ par

$A_n=\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{(\ln(x))^n}{x}dx$ et $B_n=\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^{1}\ln(x)\, dx$

Question 1 :

$(B_n)$ est

a. constante

b. strictement décroissante

c. strictement croissante

d. non monotone

Question 2 :

Pour tout $n\geqslant2$ $B_n$ est

a. strictement négatif

b. strictement positif

c. nul

d. aucune des trois propositions proposées ci-dessus n’est correcte.

Question 3 :

$A_1=$

a. $\displaystyle\frac{1}{4}$

b. $\displaystyle\frac{1}{3}$

c. $\displaystyle\frac{1}{2}$

d. 1

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Corrigé du QCM de terminale D les intégrales et primitives

Question 1 :

On sait que $n+1 > n$ donc $\displaystyle\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$

Or la fonction $x\longmapsto \ln(x)$ est strictement croissante

Donc $\displaystyle\int_{\frac{1}{n+1}}^{1}\ln(x)\, dx < \displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^{1}\ln(x)\, dx$

Donc $B_{n+1} < B_n$

Donc $(B_n)$ est strictement décroissante.

Question 2 :

On sait que, pour tout $x < 1$ , $\ln(x) < \ln(1) = 0$

Donc pour tout $x < 1$ , $\ln(x) < 0$

Donc pour tout $n \geqslant 2$ , $\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^{1}\ln(x)\, dx<0$

Donc pour tout $n\geqslant 2$ $B_n < 0$

Question 3 :

$A_1=\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{(\ln(x))^1}{x}dx$

$=\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\ln(x)dx$

$=\displaystyle\int_{1}^{e}u'(x)u(x)dx$ avec $u(x)=\ln(x)$ et $u'(x)=\frac{1}{x}$

Donc $A_1=\displaystyle\left[ \frac{u(x)^2}{2}\right]_1^e=\left[ \frac{\ln(x)^2}{2}\right]_1^e$

$=\displaystyle\frac{\ln(e)^2}{2}-\frac{\ln(1)^2}{2}$

$=\displaystyle\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{0}{2}=\frac{1}{2}$

Exercice sur les intégrales et primitives en terminale D

Exercice sur les suites intégrales

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par:

(1) $\begin{equation*} u_{n} = \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\text{ } dx \end{equation*}$

Question 1 :

Montrer que $u_{0}+u_{1}=1$ .

Question 2 :

Calculer $u_{1}$ . En déduire $u_{0}$ .

Corrigé de l’exercice sur les intégrales et primitives terminale D

Corrigé de l’exercice sur les suites intégrales

Question 1 :

$u_{0}+u_{1} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+e^{-x}}\text{ } dx + \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\text{ } dx$

$= \int_{0}^{1} \dfrac{1+e^{-x}}{1+e^{-x}}\text{ } dx$

$= \int_{0}^{1} \text{ } dx$

$u_{0}+u_{1}=1$

Question 2 :

Pour calculer l’intégrale $u_{1} = \int_{0}^{1} \displaystyle{\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}} dx$ ,

Nous allons poser le changement de variable $t=e^{-x}$ , i.e $x=-ln(t)$ et $dx = -\displaystyle{\frac{1}{t}} dt$ . Nous obtenons ainsi

$u_{1} = \int_{0}^{1} \displaystyle {\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}} dx$

$= \int_{1}^{\dfrac{1}{e}} \dfrac{t}{1+t} \dfrac{-1}{t} \text{ } dt$

$= \int_{\dfrac{1}{e}}^{1} \dfrac{1}{1+t}\text{ } dt$

$= \left[ln(1+t)\right]_{\dfrac{1}{e}}^{1}$

$=ln(2) - ln\left(1+\dfrac{1}{e}\right)$

$u_{1} = ln\left(\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{e}}\right) = ln\left(\dfrac{2e}{1+e}\right)$

$u_{0}=1-u_{1}=1-ln\left(\dfrac{2e}{1+e}\right)$

Retrouvez d’autres exercices et corrigés des cours de maths niveau terminale D :

Exercices en terminale D : les fonctions logarithmes
Exercices et corrigés sur les nombres complexes en terminale D
Exercice corrigé : les limites, continuité et dérivabilité
Exercice sur la fonction exponentielle en terminale D

Exercices et corrigés sur les intégrales et primitives en Terminale D

QCM sur les intégrales et primitives en terminale D

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Corrigé du QCM de terminale D les intégrales et primitives

Exercice sur les intégrales et primitives en terminale D

Exercice sur les suites intégrales

Corrigé de l’exercice sur les intégrales et primitives terminale D

Corrigé de l’exercice sur les suites intégrales

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales