Chapitres de maths en Terminale S2

Exercices et corrigés sur les nombres complexes en Terminale S2

Beaucoup d’exercices sont classiques et permettent de progresser sur les nombres complexes en terminale S2. Retrouvez ci-dessous quelques exercices corrigés qui vous seront utiles dans votre préparation du bac S2.

QCM sur les nombres complexes en terminale S2

Question 1 :

Dans $\mathds{C}$ l’équation $z^3+z$ admet :

a. 0 solutions

b. 3 solutions

c. 2 solutions

d. 1 solution

Question 2 :

Un argument de $i\displaystyle{\left(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_D}\right)}$ correspond à une mesure de l’angle orienté:

a. $\left(\overrightarrow{CD}; \overrightarrow{AB} \right)$

b. $\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right)$

c. $\displaystyle{\frac{\pi}{2}-\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right)}$

d. $\displaystyle\frac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right)$

Question 3 :

Le module de $i\displaystyle{\left(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_D}\right)}$ correspond à :

a. $i\displaystyle{\frac{AB}{CD}}$

b. $i\displaystyle{\frac{CD}{AB}}$

c. $\displaystyle{\frac{AB}{CD}}$

d. $\displaystyle{\frac{CD}{AB}}$

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Corrigé du QCM de terminale S2 les nombres complexes

Question 1 :

3 solutions dans $\mathbb{C}$ (attention, en effet, car $0 \in \mathbb{C}$

Question 2 :

$Arg (i \displaystyle{\frac{z_B-z_A}{z_C-z_D})}$

= $Arg(i)+Arg (\displaystyle{\frac{z_B-z_A}{z_C-z_D})}$

= $\displaystyle{\frac{\pi}{2}+(\widehat{\overrightarrow{CD};\,\overrightarrow{AB}})}$

= $\displaystyle{\frac{\pi}{2}+\big(-(\widehat{\overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{CD}})\big)}$

Donc

$Arg (i\displaystyle{\frac{z_B-z_A}{z_C-z_D})}$

= $\displaystyle{\frac{\pi}{2}-(\widehat{\overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{CD}})}$

Question 3 :

$|i\displaystyle{\frac{z_A-z_B}{z_C-z_D}}|$

= $|i|\times |\displaystyle{\frac{z_A-z_B}{z_C-z_D}}|$

= $1\times \displaystyle{\frac{|z_A-z_B|}{|z_C-z_D|}}$

= $\displaystyle{\frac{|z_A-z_B|}{|z_C-z_D|}}$

= $\displaystyle{\frac{AB}{CD}}$

Exercices sur les nombres complexes

Exercice sur les polynômes en terminale S2

On considère le polynôme $P$ défini par :

$P(z)=z^{4}-6z^{3}+24z^{2}-18z+63$

Question 1 :

Placer dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormé $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ , les points $A$ , $B$ , $C$ , et $D$ , d’affixes respectives

$z_{A}=i\sqrt{3}$ , $z_{B}=-i\sqrt{3}$ , $z_{C}=3+2i\sqrt{3}$ , $z_{D}=\overline{z_{C}}$

Montrer que ces quatre points appartiennent au même cercle.

Exercice sur le triangle et nombre complexes

Question 2 :

On note $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $O$ . Déterminer la nature du triangle $BEC$

Corrigé des exercices sur les nombres complexes en terminale S2

Corrigé de l’exercice sur les polynômes et nombres complexes

On peut tout de suite remarquer que les points $A$ et $B$ sont tous deux situés sur l’axe des imaginaires purs, et qu’ils sont symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine du repère $O$ . Quant aux points $C$ et $D$ , ils sont symétriques l’un de l’autre par rapport à l’axe des réels.

Ainsi, on peut d’ores et déjà constater que les points équidistants des points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ doivent nécessairement se trouver sur l’axe des réels. C’est donc en particulier le cas pour le centre du cercle qui passe par ces quatre points.

Soit $M$ un point d’affixe $z=x+iy$ . $M$ est le centre du cercle qui passe par les points $A$ , $B$ , et $C$ si et seulement si :

$|z_{A}-z|=|z_{B}-z|=|z_{C}-z|=|z_{D}-z|$

$\Longleftrightarrow x^{2}+(\sqrt{3}-y)^{2}=x^{2}+(-\sqrt{3}-y)^{2}$

$=(3-x)^{2}+(2\sqrt{3}-y)^{2}$

$=(3-x)^{2}+(-2\sqrt{3}-y)^{2}$

$x^{2}+(\sqrt{3}-y)^{2}=x^{2}+(-\sqrt{3}-y)^{2}$

$\Longleftrightarrow (\sqrt{3}-y)^{2}=(-\sqrt{3}-y)^{2}$

$\Longleftrightarrow 3-2\sqrt{3}y+y^{2}=3+2\sqrt{3}y+y^{2}$

$\Longleftrightarrow 4\sqrt{3}y=0$

Ainsi $x^{2}+(\sqrt{3}-y)^{2}$

$=x^{2}+(-\sqrt{3}-y)^{2}$

$\Longleftrightarrow y = 0$

De même $(3-x)^{2}+(2\sqrt{3}-y)^{2}$

$=(3-x)^{2}+(-2\sqrt{3}-y)^{2}$

$\Longleftrightarrow y=0$

Enfin $x^{2}+(\sqrt{3}-y)^{2}=(3-x)^{2}+(2\sqrt{3}-y)^{2}$ et $y=0$

$\Longleftrightarrow x^{2}+3=9-6x+x^{2}+12$

$\Longleftrightarrow 6x=18$

$\Longleftrightarrow x=3$

Comme nous avons raisonné uniquement par équivalence, nous pouvons affirmer que le point $M$ d’affixe $z=3$ est le centre d’un cercle qui passe par les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .