Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices: Sommes et produits

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Exercices – sommes et produits MPSI, PCSI

1. QCM – Vrai/Faux

Les relations suivantes sont- elles vraies ? Les corriger lorsqu’elles sont fausses. Question 1 Si

$n\in \mathbb{N}$ ,

$\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k (- 1) ^k = 0$ . Question 2 Si

$n\in \mathbb{N}$ ,

$\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k = 2 ^n$ . Question 3 Soit

$n \in \mathbb{N}^*$ .

$\displaystyle \sum _{k = 0} ^{\lfloor n /2 \rfloor } \binom n {2 k + 1} = 2 ^{n - 1}$ . Question 4 Soit

$n \in \mathbb{N}$ .

$\displaystyle \sum _{k = 0} ^{n}2 ^k = 2 ^{n + 1} - 1$ . Question 5 Si

$n \in \mathbb{N}$ et

$\textrm{j} =\textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi /3}\,$ ,

$\displaystyle \sum _{k = 0} ^{3\,n + 2 } j ^k = 0$ . Question 6 Soient

$n \in \mathbb{N}^*$ et

$(a_k)_{1 \leq k \leq n}$ une famille de complexes.

$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _{k = 1} ^{n } a_k = \sum _{p = 1} ^{n } a_{n + 1 - p} \,$ . Question 7 Soient

$n \in \mathbb{N}^*$ et

$(u_k)_k$ une suite réelle ou complexe.

$\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \left ( u_k - 2 u_{k + 1} + u_{k + 2} \right ) =$

$\quad \quad \quad \quad \quad u_1 + u_2 - u_n - u_{n + 2}\,$ . Question 8 Soient

$n \in \mathbb{N}^*$ et

$(u_k)_k$ une suite réelle ou complexe.

$\quad \quad \displaystyle \sum _ {k =0} ^n u_{2 k} = \sum _ {k = 0} ^{2 \,n} u_p \,$ . Question 9 Soit

$n \in \mathbb{N}^*$ .

$\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k ^3 = \left ( \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k \right ) ^2$ . Question 10 Si

$n \in \mathbb{N}^*$ ,

$\quad\displaystyle \sum_{k = 0 }^{2 n + 1} a_k = \sum_{k =0 }^n a_{2 k} + \sum_{k =1 }^n a_{2 k - 1}$ Question 11 Soient

$n \in \mathbb{N}^*$ et

$(a_k)_{1 \leq k \leq n}$ ,

$(b_k)_{1 \leq k \leq n}$ deux familles réelles ou complexes

$\quad \displaystyle \left (\sum _ {k = 1} ^n a_k \right ) \, \left (\sum _ {k = 1} ^n b_k \right ) =\sum _ {k = 1} ^n a_k \, b_k\,$ . Question 12 Soit

$n \in \mathbb{N}^*$ ,

$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \sum _{j = k} ^n 1 = \frac {n \, (n + 1)} 2$ Question 13 Si

$n \in \mathbb{N}^*,\displaystyle \sum_{k = - n }^n \frac 1 {k ^2 +1} = 2 \sum_{k =0 }^n \frac 1 {k ^2 +1}$ Question 14 Soit

$n \in \mathbb{N}^*$ . Si

$x \in \mathbb{R}^+, \, f(x) = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac 1 {k + x}$ . a) Si

$k \in [\![1, \, n]\!]$ ,

$\displaystyle f(k) = \sum_{k = 1} ^n \frac 1 {2 \, k}$ . b)

$f(-2 n) + f(n) = \displaystyle \frac 1 {2 n}$ . Question 15 Soient

$n \in \mathbb{N}^*$ et

$(a_{i , j})_{0\leq i , j \leq n}$ une famille réelle ou complexe.

$\quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 0}^n \sum _ {j = i} ^n a_{i ,j} = \sum _ {j = i}^n \sum _ {i = 0} ^n a_{i ,j}\,$ . Question 16 Soient

$n \in \mathbb{N}^*$ et

$x$ et

$y$ des complexes

$x ^{2 n + 1} + y ^{2 n + 1} =$

$\quad\quad \quad \quad (x + y) \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{2 \, n} (- 1) ^k \, x^{k} y ^{2 n - k}$ . Question 17 Soient

$p$ et

$n$ des entiers tels que

$1 \leq p < n$ ,

$\displaystyle \prod _{k = p} ^{n} k = \frac {n!} {p!}$ Question 18 Soient

$p$ et

$n$ des entiers tels que

$0 \leq p < n$ ,

$a \in \mathbb{C}^*$ et

$(b_k)_k$ une famille de complexes.

$\quad \quad \quad \displaystyle \prod _{k = p} ^{n} (a \, b_k) = a \prod _{k = p} ^{n} b_k\,$ .

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2. Des sommes et des coefficients du binôme

Exercice 1 Si

$x \in \mathbb{R}$ , calculer

$\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \binom {n} {k} \, k \, x^{k - 1}$ et

$\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} {k} \, \frac {x^{k + 1}} {k + 1}$ . Exercice 2 Appliquer la formule du triangle de Pascal pour calculer

$\displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p}$ lorsque

$1 \leq p \leq n$ . Exercice 3 Démontrer par récurrence que si

$0\leq p \leq n$ ,

$\displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p} = \binom {n + 1 } {p+ 1}$ . Exercice 4 Utiliser

$\displaystyle \sum _{k = p} ^ n \binom {k}{p} = \binom {n + 1}{p+ 1}$ pour calculer

$\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k$ ,

$\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k ^2$ et

$\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^3$ .

3. Des calculs de sommes

Exercice 1 Si

$n > 1$ ,

$\displaystyle \sum _ {k = n + 1} ^{2 n} \frac 1 k \geq \frac {7} {12}$ . Exercice 2 Soit

$n \in \mathbb{N}^*$ .

$\displaystyle \sum _{k = 1} ^n (-1) ^{k + 1} k ^2 = (-1) ^n \, \frac {n(n + 1)} 2$ Exercice 3 Soit

$n \in \mathbb{N}^*$ .

$\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {k ^2} {4 \, k ^ 2 - 1} = \frac {n(n + 1)} {2(2 \, n + 1)}$ Exercice 4 Soit

$n \in \mathbb{N}^*$ . Calculer

$S_n = \displaystyle \sum _{k = 1 } ^n \frac 1 {1 + 2 + \, \cdots \, + k} \,$ . Exercice 5 Formule de Vandermonde Soit

$n\in \mathbb{N}^*$ .

$\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k ^2 = \binom {2n} n$ . Exercice 6 Soit

$n\in \mathbb{N}^*$ . Calculer

$\displaystyle \sum _{k = 0} ^n ( - 1) ^k \binom n k ^2$ Exercice 7 Soit

$n \in \mathbb{N}^*$ et

$(x_k)_{1 \leq k \leq n}$ une famille de réels telle que

$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n x_k ^2 = \sum _ {k = 1} ^n x_k = n$ , alors

$\forall \, k \in [\! [1 , \, n]\!], x_ k = 1$ Exercice 8 Si

$n \in \mathbb{N}^*, \displaystyle \sum _{k = 1}^n \binom n k \frac {(-1) ^k} k = \sum _{k = 1} ^n \frac 1 k$ Exercice 9 Si

$n \in \mathbb{N}^*$ , calculer

$S_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{n ^2 - 1} \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ Exercice 10 Calculer si

$n \in \mathbb{N}^*$ ,

$\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1}^n \ln \left ( 1 + \frac 4 {k(k + 4)} \right )$ .

4. Calcul de produits

Exercice 1 Si

$n \in \mathbb{N}$ et

$n \geq 2$ , calculer

$\quad \quad \quad \displaystyle \prod _ {k = 2} ^n \left ( 1 - \frac 1 {k ^2} \right )$ . Exercice 2 Exprimer à l’aide factorielles

$\quad \quad \quad \displaystyle \prod _{k = 1} ^{n } (2\, k + 1)$ . Exercice 3 Si

$n \in \mathbb{N}^*$ et

$x \in \mathbb{R}$

$\quad \quad P_n(x) = \displaystyle \prod_ {k = 1 }^n \left ( 1 + \frac {x} k \right)$ . Question 1 Exprimer

$P_n(x)$ en fonction de

$x,\, n$ et

$P_n(x- 1)$ lorsque

$x \neq 0$ . Question 2 Exprimer si

$p \in \mathbb{N}^*$ ,

$P_n(p)$ à l’aide de coefficients du binôme. Exercice 4 Si

$n\in \mathbb{N}^*$ , simplifier

$\displaystyle \prod _{i = 1} ^{n }\; \prod _{j = 1} ^{n } i ^j$ .

5. Sommes doubles

Exercice 1 Si

$n \in \mathbb{N}^*$ , calculer

$\displaystyle \sum _ {1 \leq i < j \leq n} i \, j\,$ . Exercice 2 Si

$n \in \mathbb{N}^*$ , calculer

$\displaystyle \sum _ {1 \leq i \leq j \leq n} i ^2$ . Exercice 3 Si

$n \in \mathbb{N}^*$ , calculer

$\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _{j = 1} ^n \min(i \, , \, j)$ . Exercice 4 Si

$n \in \mathbb{N}$ , calculer

$\quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n \sum _{j = 0} ^n 2 ^{\min(i \, , \, j)}\; 3 ^{\max(i , j)}$ . Exercice 5 Si

$n \in \mathbb{N}$ et

$n \geq 2$ , calculer

$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n - 1} \sum _{j = i +1 } ^n \frac {i^2 } j$ .

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6. Formule d’inversion de Pascal

Question 1 Soit

$n \in \mathbb{N}$ . Montrer que pour tout

$i\in [\![0 \, , \, n]\!]$ ,

$\quad \displaystyle \sum _{k = i} ^n (-1) ^{n - k} \binom {n } k \binom {k} i = \binom n i \delta _{n , \, i}$ on note

$\delta_ {n , \, p} = 0$ si

$n \neq p$ et 1 si

$n = p$ . Question 2 Soit

$N \in \mathbb{N}^*$ et

$(u_n)_{n \leq n \leq N}$ et

$(v_n)_{n \leq n \leq N}$ deux familles de réels ou complexes.

$\forall \, n \leq N ,\displaystyle u_n = \sum _{k = 0} ^n \binom n k v _k$ ssi

$\forall \, n \leq N ,\displaystyle v_n = \sum _{k = 0} ^n (-1) ^{n - k} \binom n k u _k \,$ .

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