Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices: Sommes et produits

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Exercices – sommes et produits MPSI, PCSI

1. QCM – Vrai/Faux

Les relations suivantes sont- elles vraies ? Les corriger lorsqu’elles sont fausses.

Question 1
Si $n\in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k (- 1) ^k = 0$ .

Question 2
Si $n\in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k = 2 ^n$ .

Question 3
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . $\displaystyle \sum _{k = 0} ^{\lfloor n /2 \rfloor } \binom n {2 k + 1} = 2 ^{n - 1}$ .

Question 4
Soit $n \in \mathbb{N}$ . $\displaystyle \sum _{k = 0} ^{n}2 ^k = 2 ^{n + 1} - 1$ .

Question 5
Si $n \in \mathbb{N}$ et $\textrm{j} =\textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi /3}\,$ , $\displaystyle \sum _{k = 0} ^{3\,n + 2 } j ^k = 0$ .

Question 6
Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(a_k)_{1 \leq k \leq n}$ une famille de complexes.
$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _{k = 1} ^{n } a_k = \sum _{p = 1} ^{n } a_{n + 1 - p} \,$ .

Question 7
Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(u_k)_k$ une suite réelle ou complexe.
$\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \left ( u_k - 2 u_{k + 1} + u_{k + 2} \right ) =$ $\quad \quad \quad \quad \quad u_1 + u_2 - u_n - u_{n + 2}\,$ .

Question 8
Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(u_k)_k$ une suite réelle ou complexe.
$\quad \quad \displaystyle \sum _ {k =0} ^n u_{2 k} = \sum _ {k = 0} ^{2 \,n} u_p \,$ .

Question 9
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . $\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k ^3 = \left ( \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k \right ) ^2$ .

Question 10
Si $n \in \mathbb{N}^*$ , $\quad\displaystyle \sum_{k = 0 }^{2 n + 1} a_k = \sum_{k =0 }^n a_{2 k} + \sum_{k =1 }^n a_{2 k - 1}$

Question 11
Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(a_k)_{1 \leq k \leq n}$ , $(b_k)_{1 \leq k \leq n}$ deux familles réelles ou complexes
$\quad \displaystyle \left (\sum _ {k = 1} ^n a_k \right ) \, \left (\sum _ {k = 1} ^n b_k \right ) =\sum _ {k = 1} ^n a_k \, b_k\,$ .

Question 12
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ , $\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \sum _{j = k} ^n 1 = \frac {n \, (n + 1)} 2$

Question 13
Si $n \in \mathbb{N}^*,\displaystyle \sum_{k = - n }^n \frac 1 {k ^2 +1} = 2 \sum_{k =0 }^n \frac 1 {k ^2 +1}$

Question 14
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .
Si $x \in \mathbb{R}^+, \, f(x) = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac 1 {k + x}$ .
a) Si $k \in [\![1, \, n]\!]$ , $\displaystyle f(k) = \sum_{k = 1} ^n \frac 1 {2 \, k}$ .

b) $f(-2 n) + f(n) = \displaystyle \frac 1 {2 n}$ .

Question 15
Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(a_{i , j})_{0\leq i , j \leq n}$ une famille réelle ou complexe.
$\quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 0}^n \sum _ {j = i} ^n a_{i ,j} = \sum _ {j = i}^n \sum _ {i = 0} ^n a_{i ,j}\,$ .

Question 16
Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $x$ et $y$ des complexes
$x ^{2 n + 1} + y ^{2 n + 1} =$ $\quad\quad \quad \quad (x + y) \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{2 \, n} (- 1) ^k \, x^{k} y ^{2 n - k}$ .

Question 17
Soient $p$ et $n$ des entiers tels que $1 \leq p < n$ , $\displaystyle \prod _{k = p} ^{n} k = \frac {n!} {p!}$

Question 18
Soient $p$ et $n$ des entiers tels que $0 \leq p < n$ , $a \in \mathbb{C}^*$ et $(b_k)_k$ une famille de complexes.
$\quad \quad \quad \displaystyle \prod _{k = p} ^{n} (a \, b_k) = a \prod _{k = p} ^{n} b_k\,$ .

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2. Des sommes et des coefficients du binôme

Exercice 1
Si $x \in \mathbb{R}$ , calculer $\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \binom {n} {k} \, k \, x^{k - 1}$
et $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} {k} \, \frac {x^{k + 1}} {k + 1}$ .

Exercice 2
Appliquer la formule du triangle de Pascal pour calculer $\displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p}$ lorsque $1 \leq p \leq n$ .

Exercice 3
Démontrer par récurrence que si $0\leq p \leq n$ , $\displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p} = \binom {n + 1 } {p+ 1}$ .

Exercice 4
Utiliser $\displaystyle \sum _{k = p} ^ n \binom {k}{p} = \binom {n + 1}{p+ 1}$ pour calculer $\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k$ , $\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k ^2$ et $\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^3$ .

3. Des calculs de sommes

Exercice 1
Si $n > 1$ , $\displaystyle \sum _ {k = n + 1} ^{2 n} \frac 1 k \geq \frac {7} {12}$ .

Exercice 2
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .
$\displaystyle \sum _{k = 1} ^n (-1) ^{k + 1} k ^2 = (-1) ^n \, \frac {n(n + 1)} 2$

Exercice 3
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .
$\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {k ^2} {4 \, k ^ 2 - 1} = \frac {n(n + 1)} {2(2 \, n + 1)}$

Exercice 4
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Calculer $S_n = \displaystyle \sum _{k = 1 } ^n \frac 1 {1 + 2 + \, \cdots \, + k} \,$ .

Exercice 5 Formule de Vandermonde
Soit $n\in \mathbb{N}^*$ . $\displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k ^2 = \binom {2n} n$ .

Exercice 6
Soit $n\in \mathbb{N}^*$ . Calculer $\displaystyle \sum _{k = 0} ^n ( - 1) ^k \binom n k ^2$

Exercice 7
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $(x_k)_{1 \leq k \leq n}$ une famille de réels telle que
$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n x_k ^2 = \sum _ {k = 1} ^n x_k = n$ ,
alors $\forall \, k \in [\! [1 , \, n]\!], x_ k = 1$

Exercice 8
Si $n \in \mathbb{N}^*, \displaystyle \sum _{k = 1}^n \binom n k \frac {(-1) ^k} k = \sum _{k = 1} ^n \frac 1 k$

Exercice 9
Si $n \in \mathbb{N}^*$ , calculer $S_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{n ^2 - 1} \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$

Exercice 10
Calculer si $n \in \mathbb{N}^*$ ,
$\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 1}^n \ln \left ( 1 + \frac 4 {k(k + 4)} \right )$ .

4. Calcul de produits

Exercice 1
Si $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$ , calculer
$\quad \quad \quad \displaystyle \prod _ {k = 2} ^n \left ( 1 - \frac 1 {k ^2} \right )$ .

Exercice 2
Exprimer à l’aide factorielles
$\quad \quad \quad \displaystyle \prod _{k = 1} ^{n } (2\, k + 1)$ .

Exercice 3
Si $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$
$\quad \quad P_n(x) = \displaystyle \prod_ {k = 1 }^n \left ( 1 + \frac {x} k \right)$ .
Question 1
Exprimer $P_n(x)$ en fonction de $x,\, n$ et $P_n(x- 1)$ lorsque $x \neq 0$ .

Question 2
Exprimer si $p \in \mathbb{N}^*$ , $P_n(p)$ à l’aide de coefficients du binôme.

Exercice 4
Si $n\in \mathbb{N}^*$ , simplifier $\displaystyle \prod _{i = 1} ^{n }\; \prod _{j = 1} ^{n } i ^j$ .

5. Sommes doubles

Exercice 1
Si $n \in \mathbb{N}^*$ , calculer $\displaystyle \sum _ {1 \leq i < j \leq n} i \, j\,$ .

Exercice 2
Si $n \in \mathbb{N}^*$ , calculer $\displaystyle \sum _ {1 \leq i \leq j \leq n} i ^2$ .

Exercice 3
Si $n \in \mathbb{N}^*$ , calculer $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _{j = 1} ^n \min(i \, , \, j)$ .

Exercice 4
Si $n \in \mathbb{N}$ , calculer
$\quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n \sum _{j = 0} ^n 2 ^{\min(i \, , \, j)}\; 3 ^{\max(i , j)}$ .

Exercice 5
Si $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$ , calculer
$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n - 1} \sum _{j = i +1 } ^n \frac {i^2 } j$ .

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6. Formule d’inversion de Pascal

Question 1
Soit $n \in \mathbb{N}$ .
Montrer que pour tout $i\in [\![0 \, , \, n]\!]$ , $\quad \displaystyle \sum _{k = i} ^n (-1) ^{n - k} \binom {n } k \binom {k} i = \binom n i \delta _{n , \, i}$
on note $\delta_ {n , \, p} = 0$ si $n \neq p$ et 1 si $n = p$ .

Question 2
Soit $N \in \mathbb{N}^*$ et $(u_n)_{n \leq n \leq N}$ et $(v_n)_{n \leq n \leq N}$ deux familles de réels ou complexes.
$\forall \, n \leq N ,\displaystyle u_n = \sum _{k = 0} ^n \binom n k v _k$
ssi $\forall \, n \leq N ,\displaystyle v_n = \sum _{k = 0} ^n (-1) ^{n - k} \binom n k u _k \,$ .