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Exercices : Stratégies de calcul en ECG1

Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Stratégies de calcul

Exercice 1 : 

Soient x_1, \cdots, x_n n réels tels que \sum_{k=1}^n x_k^2 = \sum_{k=1}^n x_k =n.

Montrer que pour tout k \in [\![ 1, n ]\!], x_k = 1.

 

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Exercice 2 : 

Soient x_1 , \dots , x_n et y_1, \cdots , y_n 2n réels. Le but de l’exercice est d’établir l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

(1)   \begin{equation*} \left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i =1}^n x_i^2 } \sqrt{\sum_{i =1}^n y_i^2 }. \end{equation*}

1) Montrer que l’inégalité est évidente si y_1 = \cdots = y_n = 0 .

2) On suppose dans la suite que la famille \left( y_i \right)_{i \in [\![ 1, n ]\!]} est constituée d’éléments non tous nuls. Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f \left( t \right) = \sum_{i=1}^n \left( x_i + t y_i \right)^2.    (1)

 a) Montrer que f est un trinôme du second degré en t. Préciser son signe.

   b) En calculant son discriminant \Delta, montrer (1).

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Exercice 3 : 

Si x est un réel positif, on admet qu’il existe un unique réel positif y tel que y^3 = x. Ce réel est noté \sqrt[3]{x}. La seule relation importante à retenir est le fait que y^3 =x.

Par exemple, \sqrt[3]{1000}= 10 car 10^3 = 1000.

Soit S = \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}.

Le but de l’exercice est de montrer que S est entier.

1) Montrer que si x, y \ge 0, alors \sqrt[3]{xy} =\sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{y}.

2) Vérifier que pour tout a, b \in \mathbb{R}, on a : \left( a + b \right)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3.

3) En calculant S^3, vérifier que S est solution de l’équation x^3 = 21 x + 90.

4) On pose f définie sur \mathbb{R} par f \left( x \right) = x^3 - 21 x - 90. En faisant l’étude de la fonction f, montrer l’équation f \left( x \right) = 0 admet une unique solution positive x_0. En tâtonnant, montrer que cette solution est entière.

5) Conclure.

 

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