Chapitres de maths en Terminale D

Cours sur les fonctions logarithme en Terminale D

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale D

Vous trouverez ci-dessous un cours de maths sur les fonctions logarithme proposé aux élèves de terminale D. Ce chapitre est un des plus importants de l’année de terminale pour le bac et pour la préparation des études supérieures en mathématiques. Des proefsseurs particuliers en ligne sont disponibles si vous souhaitez de l’aide.

1. Définition et propriétés de la fonction Ln en terminale D

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $ln$ , est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0;+\infty[$ , et vérifie :

$\boxed{\forall x \in ]0;+\infty[\text{, }\forall y \in \mathbb{R}\text{, }ln(x)=y \Longleftrightarrow e^{y}=x}$

Premières propriétés

La fonction $ln$ a pour ensemble de définition $]0;+\infty[$ et vérifie :

$\forall x,y > 0\text{, }ln(x \times y)=ln(x)+ln(y)$

$\forall x \in \mathbb{R}\text{, }ln(e^{x})=x$

$\forall x > 0\text{, }e^{ln(x)}=x$

La fonction $ln$ s’annule en $1$ : $ln(1)=0$ .

Signe

La fonction $ln$ est strictement négative sur $]0;1[$ puis strictement positive sur $]1;+\infty[$ .

Propriétés algébriques

Pour tous $x$ et $y$ dans $]0;+\infty[$ , et tout entier $n$ :

$ln(xy)=ln(x)+ln(y)$

$ln\left(\frac{1}{x}\right)=-ln(x)$

$ln\left(\frac{x}{y}\right)=ln(x)-ln(y)$

$ln\left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{2}ln(x)$

$ln\left(x^{n}\right)=nln(x)$

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2 – Limites et dérivée de la fonction logarithme terminale D

Limites :

$\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} ln(x) = +\infty$

$\lim\limits_{x \longrightarrow 0} ln(x) = -\infty$

$\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$

$\lim\limits_{h \longrightarrow 0} \frac{ln(1+h)}{h} = 1$

Dérivée et sens de variation

La fonction $ln$ est dérivable (donc continue) sur $]0;+\infty[$ et, pour tout réel $x$ strictement positif :

$ln'(x)=\frac{1}{x}$

L’approximation affine au voisinage de $0$ de la fonction $h \longmapsto ln(1+h)$ est $h \longmapsto h$ . On écrira :

$ln(1+h) \thicksim h\text{, pour }h\text{ proche de }0$

La fonction $ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ , donc, pour tous réels $x$ et $y$ de $]0;+\infty[$ :

$x < y \Longleftrightarrow ln(x) < ln(y)$

$x=y \Longleftrightarrow ln(x)=ln(y)$

Si une fonction $u$ est positive et ne s’annule pas sur un intervalle $I$ , alors $ln(u)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x$ de $I$ :

$\left(ln(u)\right)'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$

Tableau de variations et courbe

La fonction $ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .

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3 – Fonction logarithme décimal terminale D

Définition: fonction logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal la fonction, notée $log$ , et définie sur $]0;+\infty[$ par :

$log(x)=\frac{ln(x)}{ln(10)}$

Croissance comparée des fonctions exponentielle, puissances entières et logarithme

Pour tout entier naturel $n$ :

$\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = +\infty$

$\lim\limits_{x \longrightarrow -\infty} x^{n}e^{x} = 0$

A l’infini, l’exponentielle de $x$ l’emporte sur toute puissance de $x$

$\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} \frac{ln(x)}{x^{n}} = 0$

En $+\infty$ , les puissances de $x$ l’emportent sur le logarithme de $x$ .

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