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Cours : Limites et continuité en Maths Sup MPSI, PCSI, PTSI et MP2I

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Résumé de cours et méthodes – Limites et continuité en Maths Sup

Plan :

1. Limites
$\quad$ 1.1. Savoir traduire la notion de limite
$\quad$ 1.2. 0pérations sur les limites
$\quad$ 1.3. Utilisation d’inégalités
$\quad$ 1.4. Suite et limite
$\quad$ 1.5. Les limites usuelles
$\quad$ 1.6. Quelques méthodes pour lever des formes indéterminées
$\quad$ 1.7. Le théorème de convergence monotone

2. Continuité
$\quad$ 2.1. Définitions
$\quad$ 2.2. Opérations sur les fonctions continues
$\quad$ 2.3. Image d’une suite convergente

3. Continuité sur un intervalle
$\quad$ 3.1. Théorème des valeurs intermédiaires
$\quad$ 3.2. Image d’un segment
$\quad$ 3.3. Théorème « de la bijection ».

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1. Limites

1.1. Savoir traduire la notion de limite
$\bullet$ Soit $a$ un élément de $I$ ou une extrémité réelle de $I$ et $L$ un réel, $f : I \to \mathbb {K}$ ou $f : I \setminus \{a\} \to \mathbb{K}$ .
$\ast$ On dit que $f$ admet $L$ pour limite en $a$ lorsque :
$\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,$ $\quad \quad \vert x - a \vert \leq \alpha \Rightarrow \, \vert f(x) - L \vert \leq \varepsilon$ .
et on écrit
$\; \; \; \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ ou $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} {\longrightarrow } L$ .

$\ast$ On dit que $f$ admet $L$ pour limite à droite en $a$ lorsque :
$\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I,$ $\quad \; a < x < a + \alpha \Rightarrow \, \vert f(x) - L \vert \leq \varepsilon$ .
On écrit
$\; \; \quad \displaystyle \lim_{x \to a^{+}} f(x) = L$ ou $f(a + \textrm{o}) = L$ .

$\ast$ On dit que $f$ admet $L$ pour limite à gauche en $a$ lorsque :
$\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,$ $\quad \; a - \alpha < x < a \Rightarrow\, \vert f(x) - L \vert \leq \varepsilon$
On écrit
$\; \; \displaystyle \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L$ ou $f(a - \textrm{o}) = L$ .

$\bullet$ On suppose dans cette partie que $f$ est à valeurs réelles.
$\ast$ On dit que $f$ admet $+\infty$ pour limite en $a$ lorsque :
$\forall\, A \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,$ $\quad \quad \quad \vert x - a \vert \leq \alpha \Rightarrow \, f(x) \geq A$ .
On écrit
$\quad \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = + \infty$ ou $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} {\longrightarrow } + \infty$

$\ast$ On dit que $f$ admet $-\infty$ pour limite en $a$ lorsque :
$\forall\, A \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,$ $\quad \quad \quad \quad \vert x - a \vert \leq \alpha \Rightarrow\, f(x) \leq - A$
On écrit
$\quad \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = - \infty$ ou $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} {\longrightarrow } - \infty$

$\ast$ Dans le cas où $I$ contient un intervalle de la forme $[a , +\infty[$ , on dit que $f$ admet $+\infty$ pour limite en $+\infty$ lorsque :
$\forall\, A \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, B \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,$ $\quad \quad \quad \quad x \geq B \Rightarrow \, f(x) \leq - A$ .
On écrit
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$ ou $\displaystyle f(x) \underset {x \to + \infty } {\longrightarrow } + \infty$ .

On vous laisse écrire les autres cas donnant $\displaystyle \lim_{x \to \varepsilon\, \infty} f(x) = \varepsilon ' \infty$ où $\varepsilon$ et $\varepsilon'$ sont égaux à $+$ ou $-$ .

$\bullet$ Dans tous les cas (limite finie ou infinie), il y a unicité de la limite si elle existe.

$\bullet$ Si $f$ admet une limite finie en $a$ (fini ou non), $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

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1.2. 0pérations sur les limites
$\bullet$ Convention d’écriture
On note $\overline {\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty,\, +\infty\}$ .
$\ast$ Addition :
$(+ \infty) + (+\infty ) = +\infty$
$(- \infty) + (-\infty ) = -\infty$
si $a \in \mathbb{R}$ , $(+ \infty) + a =a + (+\infty ) = +\infty$
$(- \infty) + a = (-\infty ) + a = -\infty$ .

$\ast$ Produit :
$(+ \infty) \times (+\infty ) = +\infty$
$(+ \infty) \times (-\infty ) = -\infty$ .
$(- \infty) \times (+\infty ) = -\infty$
$(- \infty) \times (-\infty ) = +\infty$ .
Si $a \in \mathbb{R}^ {+ *}$ , $(+ \infty) \times a = a \times (+\infty ) = +\infty$
$(- \infty) \times a = a \times (-\infty ) = -\infty$ .
Si $a \in \mathbb{R}^ {- *}$ , $(+ \infty) \times a = a \times (+\infty ) = -\infty$
$(- \infty) \times a = a \times (-\infty )= +\infty$ .

Les cas $(+ \infty) - (+\infty )$ et $0 \times \infty$ ou $\infty \times 0$ sont dits indéterminés.

$\bullet$ Une somme de deux fonctions admettant une limite finie ou infinie en $a$ admet une limite en $a$ égale à la somme des limites lorsque l’on n’est pas dans le cas d’indétermination de la somme.

$\bullet$ Si $\lambda \in \mathbb{K} ^*$ et si $f$ admet une limite $L \in \overline{\mathbb{R}}$ en $a$ , $\lambda \, f$ admet $\lambda\, L$ pour limite en $a$ (avec les règles de calcul dans $\overline{\mathbb{R}}$ ).

$\bullet$ Un produit de deux fonctions admettant une limite finie ou infinie en $a$ admet une limite en $a$ égale au produit des limites lorsque l’on n’est pas dans le cas d’indétermination du produit.

$\bullet$ Si une fonction $f$ admet une limite finie $L> 0$ en $a$ , alors $f(x) > L/2$ au voisinage de $a$ .
Si une fonction $f$ admet une limite infinie en $a$ , alors $\vert f(x) \vert \geq 1$ au voisinage de $a$ .
$\bullet$ $\ast$ si une fonction $f$ admet une limite $L \in \mathbb {K} \setminus \{0\}$ en $a$ , la fonction $\displaystyle \frac 1 f$ est définie au voisinage de $a$ et admet $\displaystyle \frac 1 L$ pour limite en $a$ .
$\ast$ si une fonction $f$ admet une limite $\infty$ en $a$ , la fonction $\displaystyle \frac 1 f$ est définie au voisinage de $a$ et admet $0$ pour limite en $a$ .
$\ast$ si une fonction $f$ admet une limite $0$ en $a$ et vérifie $f(x) > 0$ au voisinage de $a$ , la fonction $\displaystyle \frac 1 f$ et admet $+\infty$ pour limite en $a$ .
$\ast$ si une fonction $f$ admet une limite $0$ en $a$ et vérifie $f(x) < 0$ au voisinage de $a$ , la fonction $\displaystyle \frac 1 f$ et admet $-\infty$ pour limite en $a$ .

$\bullet$ Si $f$ admet $L$ pour limite en $a$ , $\vert f \vert$ admet $\vert L \vert$ pour limite en $a$ .

$\bullet$ Soient $f$ définie sur $I$ et à valeurs complexes ; $a$ fini ou infini et $L \in \mathbb{C}$ .
$f$ admet $L$ pour limite en $a$ ssi $\mathcal{R}e (f)$ et $\mathcal{I}m (f)$ admettent respectivement $\mathcal{R}e (L)$ et $\mathcal{I}m (L)$ pour limite en $a$ .

$\bullet$ Composition
Soient $a$ un élément ou une extrémité de $I$ , $f$ définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant $f(I)$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ . Si $f$ admet une limite réelle ou infinie $b$ en $a$ et si $g$ admet une limite réelle ou infinie $L$ en $b$ , alors $g \circ f$ admet $L$ pour limite en $a$ .

1.3. Utilisation d’inégalités
$\bullet$ $f$ admet $0$ pour limite en $a$ ssi $\vert u \vert$ admet $0$ pour limite en $a$ .

$\bullet$ S’il existe un voisinage $\mathcal{V}$ de $a$ sur lequel les fonctions réelles $u$ , $v$ et $w$ vérifient $u(x) \leq v(x) \leq w(x)$ et si $u$ et $w$ ont même limite finie $L$ en $a$ , $v$ admet $L$ pour limite en $a$ .

$\bullet$ Si, au voisinage de $a$ , les fonctions réelles $u$ et $v$ vérifient $u(x) \leq v(x)$ ,
$\ast$ si $\displaystyle \lim_ {x\to a} v(x) = - \infty$ , alors $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_ {x\to a} u(x)= - \infty$
$\ast$ si $\displaystyle \lim _ {x\to a} u(x) = + \infty$ , alors $\quad \quad \quad \displaystyle \lim _ {x\to a} v(x)= + \infty$ .

1.4. Suite et limite
$\bullet$ Version PCSI
Si $f : I \to \mathbb{K}$ admet une limite $L$ en $a$ , pour toute suite $(u_n)_n$ de $I$ vérifiant
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = a$ , alors $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) = L$ .

Conséquence : s’il existe deux suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ de $I$ telles que $\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) \neq \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(v_n)$ ,
$f$ n’a pas de limite en $a$ .

$\bullet$ Théorème de caractérisation séquentielle de limite Version MPSI
$f : I \to \mathbb{K}$ admet une limite $L$ en $a$ ssi pour toute suite $(u_n)_n$ de $I$ vérifiant $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = a$ , alors $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) = L$

exercice :
$x \mapsto \displaystyle \sin \frac 1 x$ n’a pas de limite en $0$

correction : Si

$n \in \mathbb{N}^*$ , on introduit

$\displaystyle u_n = \frac 1 {n \, \pi}$ et

$\displaystyle v_n = \frac 2 {(4 \, n + 1) \, \pi}$ .
On définit ainsi deux suites qui convergent vers

$0$ et vérifient

$\quad \quad f(u_n) = 0$ et

$f(v_n) = 1$ .
Les suites

$(f(u_n))_n$ et

$(f(v_n))_n$ convergent vers des limites différentes.
Donc

$f$ n’a pas de limite en

$0$ .

1.5. Les limites usuelles

$\bullet$ Celles qui proviennent des taux d’accroissements :

$\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{e} ^x - 1} {x} = 1$

$\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x)} {x} = 1$

$\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(x) } {x} = 1$

$\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {1 - \cos(x)} {x^2 / 2 } = 1$

$\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{Arcsin}(x) } {x} = 1$

$\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{Arctan}(x) } {x} = 1$

$\quad \ast \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {(1 + x) ^{\alpha} - 1 } {x} = \alpha$

$\bullet$ Les résultats sur les croissances comparées :
$\quad \ast$ Si $\alpha > 0$ ,
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+ }{x ^{\alpha}\, \ln(x) } = 0$ , $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {\ln(x) } {x^{\alpha} } = 0$

$\quad \ast$ Si $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x ^{\alpha} \, \textrm{e} ^{ - x} = 0$ .

1.6. Quelques méthodes pour lever des formes indéterminées
$\bullet$ M1 : La limite du quotient de deux fonctions polynômes en $\infty$ est la limite du quotient des termes de plus haut degré.

$\bullet$ M2 : En faisant apparaître les quotients ou produits de termes énoncés dans le § $1.5.$

$\bullet$ M3 : Pour une forme indéterminée $\infty - \infty$ , mettre en facteur le terme qui tend le plus vite vers $\infty$ .

$\bullet$ M4 : Pour un quotient de deux termes qui tendent vers 0, mettre en facteur au numérateur et au dénominateur, le terme qui tend le moins vite vers 0.

$\bullet$ M5 : Pour un quotient de deux termes qui tendent vers l’infini, mettre en facteur au numérateur et au dénominateur, le terme qui tend le plus vite vers l’infini.

$\bullet$ M6 : Se souvenir que dans le cas de la limite de $u(x) ^{v(x)}$ lorsque $u(x)$ tend vers $1$ et $v(x)$ tend vers l’infini, on a une forme indéterminée, car on cherche la limite de $\textrm{e} ^{v(x) \, \ln(u(x))}$ .

Et vous aurez un peu plus tard la possibilité d’utiliser des équivalents ou des développements limités pour lever des indéterminations.

Important :
Dans tout problème de rédaction de limite, commencer à transformer éventuellement l’écriture.
Ce n’est qu’au dernier moment lorsque vous êtes en mesure de justifier l’zxistence de la limite que vous pouvez écrire $\displaystyle \lim _{x \to a} f(x) = ...$
Vous ne devez pas écrire une succession d’égalités du type
$\displaystyle \lim _{x \to a} f(x) = \displaystyle \lim _{x \to a} f_1(x) = \displaystyle \lim _{x \to a} f_2(x) = ...$ pour arriver à la fin à $= L$ !

L’utilisation des $\varepsilon$ ne doit se faire qu’en désespoir de cause, quand vous êtes bien sûr d’avoir examiné toutes les autres possibilités de démonstration.
Retenez qu’il réserver ces découpages d’ $\varepsilon$ aux exercices théoriques et aux démonstrations de cours.

1.7. Le théorème de convergence monotone
$\bullet$ Soit $I =\; ]a ,\, b[$ ( $a$ et $b$ finis ou infinis) et $f$ une fonction croissante sur $]a , \, b[$ .
$\ast$ $f$ admet une limite finie $L$ en $b$ ssi $f$ est majorée sur $I$ et dans ce cas
$\quad \quad \displaystyle \lim_{x \to b} f (x)= \sup _ {x \in I} f(x)$ .
$\ast$ Si $f$ n’est pas majorée sur $I$ , $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f (x)= + \infty$ .

$\ast$ $f$ admet une limite finie $\lambda$ en $a$ ssi $f$ est minorée sur $I$ et dans ce cas
$\quad \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f (x) = \inf _ {x \in I} f(x)$ .
$\ast$ Si $f$ n’est pas minorée sur $I$ , $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = - \infty$ .

$\bullet$ Soit $I = \; ]a ,\, b[$ ( $a$ et $b$ finis ou infinis) et $f$ une fonction décroissante sur $I$ .
$\ast$ $f$ admet une limite finie $L$ en $b$ ssi $f$ est minorée sur $I$ et dans ce cas
$\quad \quad \displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = \inf _ {x \in I} f(x)$ .
$\ast$ Si $f$ n’est pas minorée sur $I$ , $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = - \infty$ .

$\ast$ $f$ admet une limite finie $\lambda$ en $a$ ssi $f$ est majorée sur $I$ et dans ce cas,
$\quad \quad \displaystyle \lim_ {x \to a} f(x) = \sup _ {x \in I} f(x)$
$\ast$ Si $f$ n’est pas majorée sur $I$ , $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ .

$\bullet$ Soit $f$ une fonction croissante sur $I$ , pour tout $c \in I$ , différent des bornes de $I$ , $f$ admet une limite à gauche et une limite à droite en $c$ vérifiant
$\quad \quad f(c - \textrm{o}) \leq f(c) \leq f(c + \textrm{o})$ .

$\bullet$ Soit $f$ une fonction décroissante sur $I$ , pour tout $c \in I$ , différent des bornes de $I$ , $f$ admet une limite à gauche et une limite à droite en $c$ vérifiant
$\quad \quad f(c + \textrm{o}) \leq f(c) \leq f(c - \textrm{o})$ .

Conséquences :
$\ast$ Pour prouver qu’une fonction définie sur $[a ,\, b[$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ admet une limite finie en $b$ , il suffit de prouver qu’elle est croissante et majorée, ou qu’elle est décroissante et minorée.
$\ast$ Pour prouver qu’une fonction définie sur $]a ,\, b[$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ admet une limite finie en $a$ , il suffit de prouver qu’elle est croissante et minorée ou qu’elle est décroissante et majorée.

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2. Continuité

2.1. Définitions
$\bullet$ Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ .
$\ast$ Si $a \in I$ , $f$ est continue en $a$ ssi $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ ssi
$\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,$ $\quad \vert x - a \vert \leq \alpha \Rightarrow\, \vert f(x) - f(a) \vert \leq \varepsilon$ .

$\ast$ Si $a \in I$ n’est pas le maximum de $I$ , $f$ est continue à droite en $a$ ssi $\displaystyle \lim_{x\to a^{+} } f(x) = f(a)$ ssi
$\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I$ $\quad \, a \leq x \leq a + \alpha \Rightarrow \, \vert f(x) - f(a) \vert \leq \varepsilon$

$\ast$ Si $a \in I$ n’est pas le minimum de $I$ , $f$ est continue à gauche en $a$ ssi $\displaystyle \lim_{x\to a^{-} } f(x) = f(a)$ ssi
$\forall\, \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+*}, \, \exists \, \alpha \in \mathbb {R} ^{+*}, \,\forall \, x \in I ,$ $\quad \, a - \alpha \leq x \leq a \Rightarrow\, \vert f(x) - f(a) \vert \leq \varepsilon$

$\ast$ $f$ est continue sur $I$ ssi $f$ est continue en tout point de $I$ .

$\bullet$ Soit $I$ un intervalle et $a \in I$ .
Si $f$ est une fonction définie sur $I \setminus \{a\}$ et admettant une limite finie $L$ en $a$ , on dit que $f$ est prolongeable par continuité en $a$ .
On peut alors définir le prolongement par continuité $\tilde {f}$ de $f$ en $a$ par :
$\quad \tilde {f} (x) = \left \{ \begin{matrix} f(x) & \textrm{ si } & x \in I \setminus \{a\} \\ L & \textrm{ si } & x = a \end{matrix} \right.$
En général, on le note encore $f$ .

2.2. Opérations sur les fonctions continues
$\bullet$ Toute somme, produit par un scalaire, produit de fonctions continues en $a$ (resp. sur $I$ ) est continue en $a$ (resp. sur $I$ ).

$\bullet$ Si $g$ ne s’annule pas sur $I$ , si $f$ et $g$ sont continues en $a \in I$ (resp. sur $I$ ), $\displaystyle \frac f g$ est continue en $a$ (resp. sur $I$ ).

$\bullet$ Si $f : I \to \mathbb{C}$ , $f$ est continue en $a$ (resp. sur $I$ ) ssi $\mathcal{R}e(f)$ et $\mathcal{I}m(f)$ sont continues en $a$ (resp. sur $I$ ).

$\bullet$ Si $f$ est continue en $a$ (resp sur $I$ ), $\vert f \vert$ est continue en $a$ (resp. sur $I$ ).

$\bullet$ Soit $f$ définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ , $g$ définie sur $J$ à valeurs dans $\mathbb {C}$ et $a \in I$ . On suppose que $f(I) \subset J$ .
$\ast$ Si $f$ est continue en $a$ et $g$ est continue en $f(a)$ , $g \circ f$ est continue en $a$ .
$\ast$ Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $J$ , $g \circ f$ est continue sur $I$ .

2.3. Image d’une suite convergente
Rappel d’un théorème déjà énoncé :
Si $f$ est définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb {K}$ et $a \in I$ , pour toute suite $(u_n)_n$ de $I$ qui converge vers $a$ , la suite $(f(u_n))_n$ converge vers $f(a)$ .

👍 Exemple important d’utilisation :
Soit $f : I \to I$ et la suite $(u_n)_n$ de points de $I$ définie par $u_0 \in I$ et $\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n+1} = f(u_n)$ .
Lorsque l’on a prouvé qu’elle converge vers $L$ et que $f$ est continue en $L$ , en passant à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ , on obtient $L = f( L )$ .

Exercice important :
Déterminer l’ensemble des fonctions $f$ continues en $0$ telles que $\forall\, (x,\, y) \in \mathbb{R}^2,f(x + y) = f(x) + f(y)$ .

Correction :

$\bullet$ Parité et continuité de $f$ .
$\ast$ En prenant $x = y = 0$ , on obtient $f(0) = 2 \, f(0)$ , donc $f(0) = 0$

$\ast$ En prenant $x$ quelconque et $y = -x$ , $0 = f(0) = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ donc $f(-x) = - f(x)$ .
$f$ est impaire.

$\ast$ Soit $a$ un réel.
En écrivant $\; \; f(x) = f(x - a + a) = f(x - a) + f(a)$
et en utilisant la continuité de $f$ en $0$ , on obtient $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ car $f(0) = 0$ , donc $f$ est continue en $a$ .

$\bullet$ Soit $x$ un réel fixé.
$\ast$ Si $n \in \mathbb{N},$ on note $\quad \quad \quad H_n : f(n \, x) = n \, f(x)$ .
$H_0$ est vraie car $f(0) = 0$ .
On suppose que $H_n$ est vraie, en utilisant l’hypothèse sur $f$ aux points $n \, x$ et $x$ , on obtient :
$f((n + 1) x ) = f(n \, x) + f(x)$ $f(n + 1)x) = n \, f(x) + f(x)$ $f((n + 1) x) = (n + 1) \, f(x)$ .
On a prouvé $H_{n + 1} \,$ .
La propriété est vraie par récurrence sur $n$ .

$\ast$ Si $n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ , on pose $p = - n \in \mathbb{N}$ .
$f(n \, x) = f( - p\, x) = - f(p \, x) = - p \, f(x)$ donc $f(n \, x) = n \, f(x)$ .
On a donc prouvé que pour tout $n \in \mathbb{Z }$ et tout réel $x$ , $f(n \, x)= n \, f(x)$ .

$\ast$ Soit $r \in \mathbb{Q}$ que l’on écrit sous la forme $\displaystyle r = \frac p q$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N} ^*$ .
$f( q \, r \, x) = q\, f(r \, x)$ par le résultat précédent appliqué à $r \, x$
soit $p \, f(x) = f( p \, x) = f(q \, r \, x) = q\, f(r \, x)$ , ce qui s’écrit aussi $f( r \, x) = r \, f(x)$ .

$\bullet$ Soit $t \in \mathbb{R}$ . Il existe une suite $(r_n)_n$ de rationnels qui converge vers $t$ .
On a démontré que
$\quad \quad \forall \, n \, \in \mathbb{N}, \, f( r_n\, . 1 ) = r_n \, f(1)$ .
Comme $f$ est continue en $t$ , on obtient en passant à la limite : $f(t) = t \, f(1)$ .
Il existe donc $a \in \mathbb{R}$ tel que $\quad \quad \quad \forall\, t \in \mathbb{R }, \, f(t) = a\, t$ .

$\bullet$ Réciproquement, si $a$ est un réel, la fonction $f : t \mapsto a \, t$ est continue en $0$ et vérifie :
$\forall\, (x,\, y) \in \mathbb{R}^2,f(x + y) = f(x) + f(y)$ .

L’ensemble des fonctions solutions du problème est l’ensemble des fonctions
$\quad \quad f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} , \, t \mapsto a \, t$ où $a \in \mathbb{R}$ .

3. Continuité sur un intervalle

3.1. Théorème des valeurs intermédiaires
$\bullet$ Énoncé :
Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , si $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$ tels que $f(a) < f(b)$ , pour tout $k \in\; ]f(a) , \, f(b)[$ , il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = k$ .
Ce que l’on peut résumer par : $f$ prend toute valeur entre $f(a)$ et $f(b)$ .

$\bullet$ Conséquence :
Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , si $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$ tels que $a < b$ et $f(a). f(b) < 0$ , il existe $c \in\; ]a , \, b[$ tel que $f(c) = 0$ .

$\bullet$ Raisonnement par dichotomie
Soit $f$ une fonction continue sur $[a , b]$ ( $a < b$ ) à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que $f(a) \, f(b) < 0$ , le raisonnement suivant définit deux suites $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ adjacentes qui convergent vers $c$ tel que $f(c) = 0$ .

voir le principe de dichotomie à connaître :

$\bullet$ On pose $a_0 = a$ et $b_0 = b$ .
$\bullet$ On suppose $a_n$ et $b_n$ définis tels que $f(a_n) \, f(b_n) \leq 0$ et $0 \leq b_n - a_n \leq \displaystyle \frac {b - a} {2 ^n}$
On introduit $c_n = \displaystyle \frac {a_n + b_n } 2$ .
$\ast$ Si $f(a_n) \, f(c_n) \leq 0$ , on pose $\quad \quad a_ {n + 1} = a_n$ et $b_{n + 1} = c_n$
$\ast$ Si $f(a_n) \, f(c_n) > 0$ , on pose $\quad \quad a_ {n + 1} = c_n$ et $b_{n + 1} = b_n$
alors $a_n \leq a_ {n + 1}< b_ {n + 1}\leq b_n\,$ , $\; \; \quad f(a_{n + 1} ) \, f(b_{n + 1} ) \leq 0$
$\quad$ et $0 \leq b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \displaystyle \frac {b - a} {2 ^{n + 1}}$ .

On définit ainsi deux suites adjacentes qui convergent vers $c$ .

⚠️ Important : il faut savoir coder le principe de dichotomie en Python.

$\bullet$ M1 : Pour démontrer qu’une équation du type $f(x) = g(x)$ admet une solution sur un intervalle $I$ , il suffit de prouver que $h = f - g$ est continue sur $I$ et de prouver qu’il existe $a < b$ dans $I$ tels que $h(a)\, h(b) \geq 0$ .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, $h$ s’annule sur $[a , \,b]$ .

$\bullet$ M2 : Pour démontrer qu’une équation du type $f(x) = g(x)$ admet une unique solution sur un intervalle $I$ , il suffit de prouver que $h = f - g$ est continue strictement monotone sur $I$ et que $0 \in h(I)$ .
Car alors $h$ définit une bijection de $I$ sur $h(I)$ donc s’annule une et une seule fois sur $I$ .

exercice
Soit $f$ une fonction continue de $[a , \, b]$ dans $[a , \,b]$ .
Il existe $c \in [a , \, b ]$ tel que $f(c) = c$ .

Correction : On note $g : x \mapsto f(x) - x$ , $g$ est continue sur $[a , \, b]$
$g(a) = f(a) - a \geq a - a \geq 0$ et $g(b) = f(b) - b \leq b - b \leq 0$ .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [a , \, b]$ tel que $g(c) = 0$ soit $f(c) = c$

3.2. Image d’un segment
$\bullet$ Toute fonction réelle $f$ définie et continue sur $[a, \, b]$ est bornée et atteint ses bornes :
c’est à dire on peut définir $\displaystyle M = \sup_{x \in |a, b] } f(x)$ et $\displaystyle m = \inf_{x \in |a, b] } f(x)$ ,
et il existe $(c , d) \in [a, \, b]^2$ tels que $\quad \quad m = f(c)$ et $M = f(d)$ .
De plus, $\quad \forall\, x \in [a , \, b ], \, f(c) \leq f(x) \leq f(d)$ .

$\bullet$ Pour toute fonction réelle $f$ définie et continue sur $[a, \, b]$ , il existe $m$ et $M$ réels tels que $f( [a , \, b ]) = [m , M]$ .
L’image d’un segment par une application continue est un segment.

$\bullet$ Toute fonction complexe $f$ définie et continue sur $[a, \, b]$ est bornée et on peut introduire $\displaystyle M = \sup_{x \in |a, b] } \vert f(x) \vert$ .
(car la fonction $\vert f \vert$ est une fonction réelle continue sur un segment).

3.3. Théorème « de la bijection »
Théorème
Toute fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ définit une bijection de $I$ sur $f(I)$ .
Sa fonction réciproque est continue sur l’intervalle $f(I)$ et est strictement monotone sur $f(I)$ , de même sens de variation que $f$ .

⚠️ : Il existe des bijections discontinues en tout point .
La fonction $f : x \mapsto x - 1$ si $x \in \mathbb{Q}$ et $x \mapsto 1+ x$ si $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est une bijection discontinue en tout point.

Correction : $\bullet$ Discontinuité en tout point
$\ast$ $f$ est discontinue en $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ , car il existe une suite $(u_n)_n$ de rationnels qui converge vers $a$ donc telle que $f(u_n) = u_n - 1$ , la suite $( f (u_n) )_n$ converge vers $a - 1 \neq f(a)$ .

$\ast$ $f$ est discontinue en tout point $a \in \mathbb{Q}$ , car il existe une suite $(u_n)_n$ d’ irrationnels qui converge vers $a$ donc telle que $f(u_n) = u_n + 1$ , la suite $( f (u_n) )_n$ converge vers $a + 1 \neq f(a)$ .
$f$ est donc discontinue en tout point.

$\bullet$ $f$ est surjective
Si $y \in \mathbb{Q}$ , $y = f(y + 1)$ car $y + 1 \in \mathbb{Q}$ .
Si $y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ , $y = f(y - 1)$ car $y - 1 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ .

$\bullet$ On démontre que $f$ est injective.
On suppose que $f(x) = f(y)$ .
$\ast$ Si $f(x) \in \mathbb{Q}, \, f(x) = x - 1$ et donc $f(y) = y - 1$ , alors $x = y$ .
$\ast$ Si $f(x) \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, \, f(x) = x + 1$ et donc $f(y) = y + 1$ , alors $x = y$ .
Dans les deux cas, $x = y$ .

On a donc démontré que $f$ est une bijection de $\mathbb{R }$ sur lui même discontinue en tout point.

MPSI seulement
théorème
Si $f$ est continue et injective sur l’intervalle $I$ , $f$ est strictement monotone sur $I$ .

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