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Cours : Trigonométrie en Maths Sup MPSI, PCSI, MP2I et PTSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Trigonométrie en Maths Sup

Fonctions circulaires

Plan :

1. Fonction sinus
2. Fonction cosinus
3. Fonction tangente

1. Fonction sinus

$\bullet$ Propriétés des angles

Pour tout réel $t$ ,

$\ast$ $\sin( t + 2\, \pi) = \sin(t)$

$\ast$ $\sin(- t) = - \sin(t)$

$\ast$ $\sin(\pi - t) = \sin(t)$

$\ast$ $\sin(\pi + t) = - \sin(t)$

$\bullet$ Les angles remarquables

$\sin(0) = 0$ $\quad \quad\quad$ $\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \frac 1 2$

$\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 4 \right ) = \frac 1 {\sqrt{2}}$ $\quad$ $\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 3 \right ) = \frac {\sqrt{3}} 2$

$\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 2 \right ) = 1$

$\bullet$ Étude de la fonction

$\ast$ $\sin$ est continue, strictement croissante sur $[- \pi/2 , \, \pi/2]$ .

$\ast$ la dérivée de $\sin$ est $\quad \quad t \mapsto \cos(t) = \sin ( \pi/2 + t)$ .

$\ast$ Le graphe de $\sin$ est symétrique par rapport à $(0 , 0)$ et par rapport à la droite d’équation $x = \pi/2$ .

2. Fonction cosinus

$\bullet$ Propriétés des angles

Pour tout réel $t$ ,

$\ast$ $\cos( t + 2 \, \pi) = \cos(t)$

$\ast$ $\cos(- t) = \cos(t)$

$\ast$ $\cos(\pi - t) = - \cos(t)$

$\ast$ $\cos(\pi + t) = - \cos(t)$

$\bullet$ Lien entre $\cos$ et $\sin$

Pour tout $t \in \mathbb{R}$

$\ast$ $\displaystyle \cos \left (\frac {\pi} 2 - t \right ) = \sin(t)$

$\ast$ $\displaystyle \sin\left (\frac {\pi} 2 - t \right ) = \cos(t)$

$\ast$ $\displaystyle \cos \left (\frac {\pi} 2 + t \right ) = - \sin(t)$

$\ast$ $\displaystyle \sin \left (\frac {\pi} 2 + t \right ) = \cos(t)$

$\bullet$ Les angles remarquables

$\cos(0) = 1$ $\quad \quad \quad$ $\displaystyle \cos\left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \frac {\sqrt{3} } 2$

$\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 4 \right ) = \frac 1 {\sqrt{2}}$ $\quad$ $\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 3 \right ) = \frac {1} 2$

$\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 2 \right ) = 0$

$\bullet$ Étude de la fonction

$\ast$ $\cos$ est continue, strictement décroissante sur $[0 , \, \pi]$ .

$\ast$ la dérivée de $\cos$ est $\quad t \mapsto - \sin (t) = \cos ( \pi/2 + t)$

$\ast$ Le graphe de $\cos$ est symétrique par rapport à $(\pi/2 , 0)$ et par rapport à la droite d’équation $x = 0$ .

3. Fonction tangente

Elle est définie sur $\mathcal {D} = \mathbb{R} \setminus \{ \pi/2 + k \, \pi \, / \, k \in \mathbb{Z} \}$ par $\displaystyle \tan(t) = \frac {\sin(t)} {\cos(t)}$ .

$\bullet$ Propriétés des angles

Pour tout réel $t \in \mathcal {D}$ ,

$\ast$ $\tan( t + \pi) = \tan(t)$

$\ast$ $\tan(- t) = - \tan(t)$

$\ast$ $\displaystyle\tan\left ( \frac {\pi} 2 - t \right ) = \frac 1 {\tan (t)}$

$\ast$ $\displaystyle \frac 1 {\cos^2(t)} = 1 + \tan^2(t)$ .

$\bullet$ Les angles remarquables

$\tan(0) = 0$ $\quad \quad \quad$ $\displaystyle \tan \left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \frac 1 {\sqrt{3}}$

$\displaystyle \tan \left ( \frac {\pi} 4 \right ) = 1$ $\quad \quad$ $\displaystyle \tan \left ( \frac {\pi} 3 \right ) = \sqrt{3}$

$\bullet$ Étude de la fonction

$\ast$ $\tan$ est continue, strictement croissante sur $]- \pi/2 , \, \pi/2[$ .

$\ast$ La dérivée de $\tan$ est $\quad t \mapsto 1 + \tan^2(t) = \displaystyle \frac 1 { \cos^2 (t)}$ .

$\ast$ $\displaystyle \lim_{t \to \pi/2 ^-} \tan(t) = +\infty$ .

$\; \; \displaystyle \lim_{t \to - \pi/2 ^+} \tan(t) = - \infty$ .

$\ast$ Le graphe de $\tan$ est symétrique par rapport à $(0 , 0)$ .

Les droites d’équations $x = \displaystyle \frac {\pi} 2 + n \, \pi$ où $n \in \mathbb{Z}$ sont asymptotes à la courbe.

4. S’aider du cercle trigonométrique

On peut retrouver les valeurs liant les $\cos$ et $\sin$ des angles $t$ et $-t$ , $t$ et $\pi - t$ $t$ et $\pi/2 - t$ , en plaçant les points correspondants sur le cercle trigonométrique.

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Méthodes

Plan :

1. Retrouver les formules
2. Équations de base
3. Calcul de $\cos(n\, t)$ et $\sin(n\, t)$ .

Le temps dépend de vos capacités à retenir les formules.

1. Retrouver les formules.

Il faut apprendre ces fichues formules, rien de pire à l’oral qu’un étudiant coincé devant une formule de trigonométrie, les jurys trépignent !

Devoir les retrouver c’est

a) perdre un temps précieux

b) et surtout ne pas avoir idée de transformations qui pourraient débloquer les calculs !

Ce paragraphe indique comment retrouver ces formules à partir des formules d’Euler :

$\quad \quad \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = \cos(t) + \textrm{i} \, \sin(t)$

$\quad \quad \cos t = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} + \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} \right )$

$\quad \quad \sin t = \displaystyle \frac 1 {2 \, \textrm{i} } \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} - \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} \right )$

et de la relation : $\textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, b} = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a + b)}$ .

1.1. Valeur de $\cos, \sin , \tan$ de $a \pm b$

$\bullet$ M1. somme

$\ast$

$\cos(a + b) = <img src="https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4fe2391bb9b88bfae89dec46f4ec895_l3.png" height="725" width="725" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[\quad \quad \quad \cos(a) \, \cos(b) - \sin(a) \, \sin(b) $ $\ast$ $\sin(a + b) =$ $ \quad \quad \quad \sin(a) \, \cos(b) + \sin(b) \, \cos(a) $ On utilise $\textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, b} = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a + b)}$, soit $\cos(a + b) + \textrm{i} \, \sin(a + b) = $ $\quad \quad \quad (\cos a + \textrm{i} \, \sin a )(\cos b + \textrm{i} \, \sin b)$ et on termine en égalant les parties réelles et imaginaires. $\bullet$ M2. différence $\ast$ $\cos(a - b) = $ $ \quad \quad \quad \cos(a) \, \cos(b) + \sin(a) \, \sin(b) $ $\ast$ $\sin(a - b) =$ $ \quad \quad \quad \sin(a) \, \cos(b) - \sin(b) \, \cos(a) $ en utilisant $M1$ en remplaçant $b$ par $-b$ sans oublier que $\cos$ est paire et $\sin $ est impaire. $\bullet$ M3. Et les conséquences : $\quad \ast$ $\cos( 2\, a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)$ $\quad \ast$ $\cos(2 \, a) = 2 \cos ^2 (a) - 1$ $\quad \ast$ $\cos(2 \,a) = 1 - 2 \sin ^2(a)$ $\quad \ast$ $\sin(2\, a) = 2 \, \sin(a) \, \cos(a)$ qui peuvent bien sûr s'écrire aussi $\quad \ast$ $\cos ^2 (t) = \displaystyle \frac {\cos(2 \,t) + 1} 2$ $\quad \ast$ $\sin ^2(t) = \displaystyle \frac {1 - \cos(2 \, t)} 2$. $\bullet$ M4. sous réserve de définition des trois tangentes : $\ast$ $ \tan(a + b) = \displaystyle \frac {\tan(a) + \tan(b)} {1 - \tan(a) \, \tan(b)} $ obtenue en faisant le quotient des formules de M1 puis en divisant numérateur et dénominateur par $\cos(a) \, \cos(b)$. $\bullet$ M5. en conséquence de M4 sous réserve de définition des trois tangentes : $\ast$ $\tan(a - b) = \displaystyle \frac {\tan(a) - \tan(b)} {1 + \tan(a) \, \tan(b)} $ $\ast$ $\tan(2\, a) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(a)} {1 - \tan^2(a)}$ en remplaçant $b$ par $-b$ et en utilisant $\tan$ est une fonction impaire. puis en posant $b = a$ dans la formule de M4. Il y a des cas où il est préférable de s'affranchir de ces formules a) Si $n \in \mathbb{Z}$ et $x \in \mathbb{R}$, $\quad \ast$ $\cos(n\, \pi + x) = (- 1) ^n \cos(x) $ $\quad \ast$ $\sin(n \, \pi + x) = (-1) ^n \, \sin(x)$ b) $\ast$ $\displaystyle \cos \left (\frac {\pi} 2 + x \right) = - \sin(x)$, $\quad \; \ast \displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 2 + x \right ) = \cos(x)$ c) $\ast$ $\displaystyle \cos \left (\frac {\pi} 2 - x \right) = \sin(x)$, $\quad \; \ast \displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 2 - x \right ) = \cos(x)$. La démonstration : a) Si $n$ est pair, $\cos(x + n \,\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + n\, \pi) = \sin(x)$ Si $n$ est impair, $\cos(x + n \, \pi) = \cos(x + \pi ) = - \cos(x) $ et $\sin(x + n \, \pi) = \sin(x + \pi ) = - \sin(x) $ . De plus $(- 1) ^n = - 1$ b) La dérivée de $u : x \mapsto \cos(x)$ peut s'écrire $u'(x) = -\sin(x) = \cos(x + \pi/2)$ la dérivée de $v : x \mapsto \sin(x)$ peut s'écrire $v'(x) = \cos(x) = \sin(x + \pi/2)$ c) à l'aide d'un dessin du cercle trigonométrique ou en remplaçant $x$ par $-x$ dans les formules du b). <h4>1.2. Linéarisation</h4> $\bullet$ M6 Formules au programme $\ast$ $2 \, \cos(a) \, \cos(b) = $ $\quad \quad \quad \quad \cos(a + b) + \cos(a - b) $ $\ast$ $2 \, \sin(a) \, \sin(b) =$ $ \quad \quad \quad \quad \cos(a - b) - \cos(a + b)$ $\ast$ $2 \, \sin(a) \cos(b) = $ $ \quad \quad \quad \quad \sin(a + b) + \sin(a - b) $ La justification : $\bullet$ Par M1 et M2 $\cos(a + b) = \cos(a) \, \cos(b) - \sin(a) \, \sin(b) $ et $\cos(a - b) = \cos(a) \, \cos(b) + \sin(a) \, \sin(b) $ Par <a href="https://groupe-reussite.fr/ressources/cours-en-ligne-sommes-produits-maths-sup/">somme</a> et différence : $\cos(a + b) + \cos(a - b) = 2 \, \cos(a) \, \cos (b)$ $\cos(a - b) - \cos(a - b) = 2 \, \sin(a) \, \sin (b)$ $\bullet$ Par M1 et M2 $\sin(a + b) = \sin(a) \, \cos(b) + \sin(b) \, \cos(a) $ et $\sin(a - b) = \sin(a) \, \cos(b) - \sin(b) \, \cos(a) $ et on additionne $\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin(a) \, \cos(b)$. $\bullet$ M7. Formules à retrouver $\ast$ $\cos(p) + \cos(q) = $ $ \quad \quad \quad 2 \, \displaystyle \cos \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right ) $ $\ast$ $\cos(p) - \cos(q) = $ $ \quad \quad \quad - 2 \, \displaystyle \sin \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \sin \left ( \frac {p - q} 2 \right ) $ $\ast$ $\sin(p) + \sin(q) =$ $ \quad \quad \quad 2 \, \displaystyle \sin \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right ) $ et en remplaçant $q$ par $- q$, $\ast$ $\sin(p) - \sin(q) = $ $ \quad \quad \quad 2\, \displaystyle \sin \left ( \frac {p - q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p + q} 2 \right ) $. la démonstration : On pose $p = a + b $ et $q =a - b $ ssi $ a = (p + q)/2$ et $b = (p - q) /2$ Les formules de M6 $\cos(a + b) + \cos(a - b) = 2 \, \cos(a) \, \cos (b)$ $\cos(a - b) - \cos(a - b) = 2 \, \sin(a) \, \sin (b)$ deviennent $\cos(p) + \cos(q) = $ $ \quad \quad 2 \, \displaystyle \cos \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right ) $ $\cos(p) - \cos(q) = $ $ \quad \quad - 2\, \displaystyle \sin \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \sin \left ( \frac {p - q} 2 \right ) $ La formule : $\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin(a) \, \cos(b)$. devient $\sin(p) + \sin(q) =$ $ \quad \quad 2\, \displaystyle \sin \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right ) $. <h4>1.3. Utilisation de $t = \tan(x /2)$</h4> En posant $t = \displaystyle \tan \left ( \frac x 2 \right ) $, on démontre $\quad \ast$ $\cos(x) = \displaystyle \frac {1 - t ^2} {1 + t ^2} $ $\quad \ast$ $\sin(x) = \displaystyle \frac {2\, t} {1 + t ^2} $ $\quad \ast$ $\tan(x) = \displaystyle \frac {2\, t} {1 - t ^2} $. la démonstration : On utilise l'angle double et les résultats de M3 $\cos(x) = 2 \cos^2(x / 2) - 1$ et $\cos^2(x / 2) = \displaystyle \frac 1 { 1 + \tan^2(x/2) } = \frac 1 {1 + t ^2}$ $\cos(x) = \displaystyle \frac 2 {1 + t ^2} - 1 = \frac {1 - t ^2} {1 + t^2}$ et M5 $\tan(x) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(x /2)} {1 + \tan^2(x/2)} = \frac {2 \, t } {1 + t^2}$ Puis on termine avec $\quad \quad \sin(x) = \cos(x) \, \tan(x)$. <h4>1.4. Transformation de $A \cos(x) + B \sin(x)$ si $(A , B) \neq (0 , 0)$</h4> Introduire la forme trigonométrique de $ A + \textrm{i} \, B = \rho \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \varphi}$ $A \cos(x) + B \sin(x) =$ $ \quad \quad \rho \left ( \cos(\varphi) \, \cos(x) + \sin(\varphi) \, \sin(x) \right ) $ $ A \cos(x) + B \sin(x) = \rho \cos(x -\varphi ) $. <h3>2. Équations de base</h3> <div> $\bullet $ E1 avec des cosinus : $\ast$ $\cos(x) = \cos(y)$ $\quad \Leftrightarrow $ $ \exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = y + 2 \, k \, \pi$ $\quad \; \textrm{ou } \exists\, p \in \mathbb{Z}, \, x = - y + 2 \, p\, \pi$ $\ast$ Si $a \in \, [- 1 \,, \, 1]$, $\cos(x) = a$ $\quad \Leftrightarrow $ $ \exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = \textrm{Arccos } a + 2 \, k\, \pi$ $\quad \; \textrm{ou } \exists\, p \in \mathbb{Z}, \, x = - \textrm{Arccos } a + 2 \, p\, \pi$. $\bullet$ E2 avec des sinus $\sin(x) = \sin (y)$ $\quad \Leftrightarrow $ $ \exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = y + 2 \, k \pi\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\quad \; \textrm{ou } \exists\, p \in \mathbb{Z}, \, x = \pi - y + 2 \, p \pi$

$\ast$ Si $a \in \, [- 1 \,, \, 1]$ ,

$\sin(x) = a$

$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = \textrm{Arcsin } a + 2 \, k\, \pi$

$\quad \; \textrm{ou } \exists\, p \in \mathbb{Z}, \, x = \pi - \textrm{Arcsin } a + 2 \, p\, \pi$

$\bullet$ E3 avec des tangentes

$\ast$ $\tan(x) = \tan (y)$

$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = y +k \, \pi$

$\ast$ Si $a \in \mathbb{R}$ ,

$\tan(x) = a$

$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = \textrm{Arctan } a + \, k\, \pi$ .

Lorsque les équations sont « compliquées », il y a moins de risque d’erreur à utiliser des égalités à $k\, \pi$ ou $2\, k \, \pi$ près plutôt que les modulos.

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3. Calcul de $\cos(n t)$ et $\sin(n t)$

Il faut savoir au moins traiter le cas du calcul de $\cos(n \, t)$ ou de $\sin(n \, t)$ lorsque $n$ est un entier donné « faible ».

Le calcul dans le cas général comme il est donné ci-dessous pourrait faire l’objet d’une question de sujet de concours.

On utilise les formules de Moivre et la formule du binôme de Newton

$\cos(n t) + \textrm{i} \, \sin(n t) = ( \cos t + \textrm{i} \, \sin t ) ^n$

On sépare les indices $k = 2 \,p$ des indices $k = 2\, q + 1$ , pour comparer les parties réelles et imaginaires.

$\cos(n \, t) =$ $\quad \displaystyle \sum _ {p = 0} ^N \binom {n} {2 p } (\cos^2 t - 1 ) ^{p} \, \cos^{n - 2 p } t$

$\sin(n\, t) = \sin(t) \times$ $\displaystyle \times \sum _ {q = 0} ^{N'} \binom {n} {2 q + 1 } ( \cos ^2 t - 1 ) ^{ q } \, \cos^{n - 2 q - 1 } t$

avec $N = \displaystyle \left \lfloor \frac n 2 \right \rfloor$ et $N' = \displaystyle \left \lfloor \frac {n - 1} 2 \right \rfloor$ .

la démonstration complète :

Par la formule de Moivre, $\displaystyle \textrm{e} ^{\textrm{i} \, n\, t} = \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} {k} ( \textrm{i} \, \sin(t) ) ^k \, \cos^{n - k} (t)$

On sépare les indices $k = 2\, p$ avec $\quad \quad 0 \leq p \leq n /2$

soit pour $p \in [\![0 , \, N]\!]$ avec $N = \displaystyle \left \lfloor \frac n 2 \right \rfloor$

des indices $k = 2 \, q + 1$ avec $\quad \quad 0 \leq q \leq (n- 1) /2$

soit pour $q \in [\![0 , \, N']\!]$ où $N' = \displaystyle \left \lfloor \frac {n-1} 2 \right \rfloor$

ce qui permet de séparer la partie réelle de la partie imaginaire

$\displaystyle \textrm{e} ^{\textrm{i} \, n\, t} = A _ n + \textrm{i} \, B_n$ avec

$A _n = \displaystyle \sum _ {p = 0} ^N \binom {n} {2 p } ( \textrm{i} \, \sin(t) ) ^{2 p} \, \cos^{n - 2 p } (t)$

et $B_n =$

$\displaystyle \sum _ {q = 0} ^{N'} \binom {n} {2 q + 1 } \textrm{i} ^ {2 q} \, \sin^{2 q + 1 }(t) \, \cos^{n - 2 q - 1 } (t)$

On simplifie ces écritures :

$\cos(n \,t) =$ $\; \; \displaystyle \sum _ {p = 0} ^N \binom {n} {2 p } ( - \, \sin ^2 (t) ) ^{p} \, \cos^{n - 2 p } (t)$

$\cos(n\, t) =$ $\; \; \displaystyle \sum _ {p = 0} ^N \binom {n} {2 p } (\cos^2(t) - 1 ) ^{p} \, \cos^{n - 2 p } (t)$

$\sin(n\, t) = \sin(t) \times$ $\times \displaystyle \sum _ {q = 0} ^{N'} \binom {n} {2 q + 1 } ( - \sin ^2 t ) ^{ q } \, \cos^{n - 2 q - 1 } t$

$\sin(n \,t) =\sin(t) \times$ $\times \displaystyle \sum _ {q = 0} ^{N'} \binom {n} {2 q + 1 } ( \cos ^2 t - 1 ) ^{ q } \, \cos^{n - 2 q - 1 } t$

Pour prendre de l’avance ou faire face à vos difficultés, retrouvez d’autres cours en ligne de maths et cours de maths à domicile pour les PCSI, PTSI et MPSI :

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