Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours variables aléatoires : loi des grands nombres en terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Le niveau de mathématiques au programme de terminale est plus élevé depuis la réforme du bac. La spécialité mathématiques ouvre aux élèves la porte de toutes les classes préparatoire à condition de fournir le travail nécessaire.

Résumé de cours : la loi des grands nombres

Ce cours en ligne sur la loi des grands nombres permet de revoir tous les points essentiels afin de bien réussir et obtenir des bons résultats au bac. Vous pouvez completer ce cours sur la loi des grands nombre avec un prof de maths en ligne.

1. Les variables aléatoires en terminale Maths expertes

1.1. Rappels sur les variables aléatoires en terminale

$\bullet$ Toute application $X : \Omega \to \mathbb{R}$ est une variable aléatoire réelle sur $\Omega$ . On écrit en abrégé $X$ est une v.a.r. sur $\Omega$ .

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire sur $\Omega$ , $X(\Omega)$ est une partie finie de $\mathbb{R}$ , que l’on note $X(\Omega) = \{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}$ .

$\ast$ Si $i \in [\![1,n]\!]$ , $\quad (X = x_i) = \{ \omega \in \Omega \, / \, X(\omega) = x_i \}$

$\ast$ L’ensemble des événements $\qquad \qquad (X = x_i)_{1\leqslant i \leqslant n }$
est formé de parties non vides, 2 à 2 disjointes, de réunion égale à $\Omega$ (c’est un système complet d’événements).

$\bullet$ Donner la loi de la variable aléatoire $X$ c’est donner $X(\Omega) = \{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}$ et pour tout $i \in [\![1,n]\!]$ , la valeur du réel $p_i = \mathbb{P}(X = x_i)$ .

alors : $\displaystyle \sum _ {i = 1}^n \mathbb{P}(X = x_i) = 1$ .

$\bullet$ Soit $p \in ]0 , 1[$ . Une variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si $X(\Omega) = \{0 , 1\}$ et $\mathbb{P}(X = 1) = p$ .

Lorsque $n$ est petit, on peut présenter la loi de $X$ sous forme d’un tableau comme celui-ci :

$\bullet$ On peut définir une probabilité $\mathbb{P} _X$ sur l’univers fini $X(\Omega)$ par:
pour tout $A \subset X(\Omega)$ ,

$\qquad \mathbb{P}_X(A) = \displaystyle \sum _ {\{i \,/ \, x_i \in A\} }\mathbb{P}(X = x_i)$

$\mathbb{P}_X(A)= \mathbb{P} \left ( \{ \omega \in \Omega\, / \, X(\omega) \in A \} \right)$ .

On note $\quad (X \in A) = \{ \omega \in \Omega\, / \, X(\omega) \in A \}$
alors $\mathbb{P}_X(A) = \mathbb{P}(X \in A)$ .

En particulier
si $A = [x , \, + \infty[$ , $\qquad (X \leqslant x) = \{\omega \, / \, X(\omega) \leqslant x\}$
si $A = [x , \, + \infty[$ , $\qquad (X \geqslant x) = \{\omega \, / \, X(\omega) \geqslant x \}$
si $A = \; ]x , \, + \infty[$ , $\qquad (X < x) = \{\omega \, / \, X(\omega) < x \}$
si $A = \; ] - \infty, x]$ , $\qquad (X \leqslant x) = \{\omega \, / \, X(\omega) \leqslant x \}$
si $A =\; ] - \infty, x[$ , $\qquad (X < x) = \{\omega \, / \, X(\omega) < x \}$
etc …

1.2. Opérations sur les variables aléatoires en maths expertes

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires sur l’univers fini $\Omega$ , on définit

$\ast$ la somme des variables aléatoires $X$ et $Y$ par
$X + Y : \Omega \to \mathbb{R}, \, \omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$

$\ast$ le produit des variables aléatoires $X$ et $Y$ par
$\;\; X\, Y : \Omega \to \mathbb{R}, \, \omega \mapsto X(\omega) \times Y(\omega)$ .
$X + Y$ et $X\,Y$ sont des variables aléatoires sur $\Omega$ .

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire sur l’univers fini $\Omega$ ,

$\ast$ si $\alpha \in \mathbb{R}$ , on définit le produit de $X$ par le réel $\alpha$ par
$\qquad \alpha \, X : \Omega \to \mathbb{R}, \, \omega \mapsto \alpha \, X(\omega)$

$\ast$ si $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ,
$\alpha \, X + \beta : \Omega \to \mathbb{R}, \, \omega \mapsto \alpha \, X(\omega) + \beta$
$\alpha X$ et $\alpha \, X + \beta$ sont des variables aléatoires.

Autres exemples :
Si $n \in \mathbb{N}$ , $n \geqslant 2$ et si $X$ , $X_1\,,\, \cdots \, ,\, X_n\,$ sont des variables aléatoires sur $\Omega$ ,
$\quad \ast$ $X ^n : \omega \mapsto (X(\omega))^n$ .
$\quad \ast$ $X _ 1 - X_2$
$\quad \ast$ $X_1 + \cdots + X_n$
$\quad \ast$ $\dfrac 1 n \left (X_1 + \cdots + X_n \right)$
sont des variables aléatoires sur $\Omega$ .

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1.3. Indépendance de variables aléatoires

$\bullet$ Les variables $X$ et $Y$ définies sur l’univers fini $\Omega$ muni de la probabilité $\mathbb{P}$ sont dites indépendantes lorsque

pour tout $x \in X(\Omega)$ et $y \in Y(\Omega)$ , $\mathbb{P} \left ( (X = x) \cap (Y = y) \right ) =$ $\qquad \qquad \quad \mathbb{P} \left ( X = x\right ) \, \mathbb{P} \left (Y = y \right )$

c.a.d. les événements $(X =x)$ et $(Y = y)$ sont indépendants.

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont des variables indépen- dantes, alors pour tout $x$ et $y$ ,
$\ast$ les événements $(X \leqslant x)$ et $(Y \leqslant y)$
$\ast$ les événements $(X \leqslant x)$ et $(Y < y)$
$\ast$ les événements $(X \geqslant x)$ et $(Y \leqslant y)$
(etc …) sont indépendants.

Vous n’aurez pas à prouver que les variables aléatoires sont indépendantes, mais si elles sont indépendantes, vous pouvez utiliser l’indépendance des événements $(X \in A)$ et $Y \in B)$ .

Si l’on a $n$ épreuves indépendantes sur l’univers fini $\Omega$ et si pour tout $k \in [\![1,\, n]\!]$ , $X_k$ est une variable aléatoire associée à la $k$ -ème épreuve, les $n$ variables $(X_1\,,\, \cdots \,,\, X_n)$ sont indépendantes et elles sont alors 2 à 2 indépendantes.

1.4. Espérance d’une variable aléatoire en terminale générale

Soit $X$ une variable aléatoire sur l’univers fini $(\Omega,\, \mathbb{P})$ , lorsque $\qquad X(\Omega) = \{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}$
l’espérance de $X$ est le réel noté $\textrm{E}(X)$ égal à $\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {k= 1} ^n x_k \, \mathbb{P}(X = x_k)$ .

Interprétation : On suppose que $X(\Omega) =\{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}$ .

On dit que $X$ suit une loi uniforme si

pour tout $k \in [\![1,n]\!]$ , $\mathbb{P}(X = x_k) = \dfrac 1 n$

alors $\textrm{E}(X)$ est la moyenne des valeurs prises par $X$ .

$\bullet$ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoi- res sur $(\Omega,\,\mathbb{P})$ , alors
$(1) \quad \textrm{E}(X + Y )= \textrm{E}(X)+ \textrm{E}(Y)$ .

$\bullet$ Soit $X$ une variable aléatoire et $\alpha \in \mathbb{R}$ , alors
$(2) \quad \textrm{E}(\alpha \, X)= \alpha \, \textrm{E}(X)$ .

On traduit $(1)$ et $(2)$ en disant que l’espérance est linéaire.

$\bullet$ Soit $X$ une variable aléatoire et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ , alors
$\qquad \textrm{E}(\alpha \, X + \beta )= \alpha \, \textrm{E}(X) + \beta$

$\bullet$ Soit $n \in \mathbb{N}, \, n \geqslant 2$ . Si pour tout $k \in [\![1 , \, n]\!]$ , $X_k$ est une variable aléatoire sur l’univers fini $\left( \Omega, \, \mathbb{P} \right )$

$\qquad \displaystyle \textrm{E}\left ( \sum_ {k = 1} ^n X_k \right ) = \sum_ {k = 1} ^n \textrm{E}(X_k)$ .

1.5. La variance en maths expertes en terminale

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire sur $(\Omega, \,\mathbb{P} )$ et si $X(\Omega) =\{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}$ ,

$\ast$ la variance de $X$ est le réel positif ou nul :
$\textrm{V}(X) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \left ( x_k- \textrm{E}(X) \right) ^2 \, \mathbb{P}(X = x_k)$
$\ast$ l’écart-type de $X$ est le réel positif ou nul noté $\sigma(X) = \sqrt{\textrm{V}(X) }$ .

$\textrm{V}(X)$ est l’espérance de la variable aléatoire $\left (X - \textrm{E}(X) \right ) ^2$ .

On peut donc écrire : $\qquad \quad\textrm{V}(X) = \textrm{E} \left( \left (X - \textrm{E}(X) \right ) ^2 \right )$ .

$\sigma(X)$ est une mesure de la dispersion de $X$ autour de $\textrm{E}(X)$

$\bullet$ Formule de Koenig-Huyghens

$\qquad \textrm{V}(X) = \textrm{E}(X^2 ) - \left ( \textrm{E}(X) \right ) ^2$ .

Il est préférable d’utiliser cette formule pour le calcul de $\textrm{V}(X)$ .

Si les variables $X$ et $Y$ ont même loi, $\textrm{E}(X) = \textrm{E}(Y)$ et $\textrm{V}(X)= \textrm{V}(Y)$ .

Lorsque $n$ est faible, on peut calculer $\textrm{E}(X)$ et $\textrm{E}(X^2)$ en utilisant un tableau du type suivant :

$\bullet$ Propriétés
$\ast$ Si $X$ est une variable aléatoire et $\alpha$ un réel, $\textrm{V}(\alpha \, X) =\alpha^2 \, \textrm{V}( X)$ .

$\ast$ Si $X$ et $Y$ sont des variables indépendantes sur $(\Omega,\,\mathbb{P})$ , $\qquad \textrm{V}( X + Y)=\textrm{V}( X)+ \textrm{V}( Y)$ .

$\ast$ Soient $n\geqslant 2$ et $n$ épreuves indépen- dantes. Si pour tout $k \in [\![1 , \, n]\!]$ , $X_k$ est une variable aléatoire associée à la $k$ -ème épreuve et si $X = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n X_k\,$ ,
$\qquad \quad \textrm{V}(X) = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \textrm{V}(X_k)$ .

2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev en maths en Terminale

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega,\, \mathbb{P})$

Pour tout $\delta > 0$ , $\qquad \mathbb{P} \left ( \vert X - \textrm{E}(X) \vert \geqslant \delta\right ) \leqslant \dfrac {\textrm{V}(X)} {\delta^2}$ .

On note $X(\Omega) = \{ x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}$ et $\mu = \textrm{E}(X)$

On note $A$ l’ensemble des $i\in [[1 , n]]$ tels que $\vert x_i -\mu \vert \geqslant \delta$ et $B = [[1 , n]]\setminus A$ .

$A = ( X \geqslant \textrm{E}(X) +\delta ) \cup ( X \leqslant \textrm{E}(X) - \delta)$

On écrit $\quad \displaystyle \textrm{V}(X) = \sum _{i = 1} ^n (x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i)$ .

En utilisant la partition $A , B$ de $[[1 , n]]$

$\displaystyle \textrm{V}(X) = \sum _{i \in A} (x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i)$ $\qquad \qquad \qquad \displaystyle +\, \sum _ {i \in B} (x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i)$

comme on additionne des nombres positifs ou nuls,

$\displaystyle \textrm{V}(X) \geqslant \sum _{i \in A} (x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i)$

puis si $i \in A$ , $(x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i) \geqslant \delta^2\, \mathbb{P}(X = x_i)$

donc $\displaystyle \textrm{V}(X) \geqslant \delta ^2 \,\sum _{i \in A} \mathbb{P}(X = x_i)$

$\displaystyle \sum _{i \in A} \mathbb{P}(X = x_i) = \mathbb{P} \left ( \displaystyle \bigcup _{i \in A} (X = x_i) \right )$ .

avec $\displaystyle \bigcup _{i \in A} (X = x_i) = (\vert X - \mu) \vert \geqslant \delta)$

ce qui donne $\textrm{V}(X) \geqslant \delta^2 \, \mathbb{P} \left ( \vert X - \mu) \vert \geqslant \delta \right )$

On obtient le résultat en divisant par $\delta^2 > 0$ .

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne donc une majoration de la probabilité pour que $X \geqslant \textrm{E}(X) + \delta$ ou que $X \leqslant \textrm{E}(X) - \delta$

En particulier si $\sigma$ est l’écart type de $X$ , $\mathbb{P}\left ( \vert X - \mu \vert \geqslant 2 \,\sigma \right ) \leqslant \dfrac 1 4$ .

En prenant $\delta = \sigma$ , on obtient une inégalité qui n’a pas d’intérêt car elle s’écrit $\mathbb{P}\left ( \vert X - \mu \vert \geqslant \sigma \right ) \leqslant 1$

On peut aussi écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sous la forme :

pour tout $\delta > 0$ , $\mathbb{P} \left ( \vert X - \textrm{E}(X) \vert < \delta\right ) \geqslant 1 -\dfrac {\textrm{V}(X)} {\delta^2}$ .

3. Loi des grands nombres en Terminale

3.1. Échantillon de taille $n$ d’une loi

$\bullet$ Soit $X$ une variable aléatoire définie sur l’univers fini $(\Omega, \mathbb{P})$ .

$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}^*$ , on appelle échantillon de taille $n$ de la loi de $X$ toute famille $(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes de même loi que $X$
(on les obtient en répétant $n$ épreuves identiques)

$\ast$ On définit

$\qquad S_n = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^n X_k$ et $M_n = \dfrac 1 n \, S_n\,$ .

$M_n$ est appelée moyenne empirique des variables $(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)$

$\bullet$ Propriétés

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes de même loi.

On note $\mu = \textrm{E}(X_1)$ et $\sigma$ l’écart type de $X_1$

$\ast \;\; \textrm{E}(S_n) = n \, \mu$ et $\textrm{V}(S_n) = n \, \sigma^2$
$\ast \;\; \textrm{E}(M_n) =\mu$ et $\textrm{V}(M_n) = \dfrac {\sigma^2 } n$ .

3.2. Inégalité de concentration en maths expertes

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)$ des variables aléatoires indépendantes de même loi d’espérance $\mu$ et d’écart- type $\sigma$ .
Alors pour tout $\delta > 0$ ,
$\qquad \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac {\sigma^2} {n \, \delta^2}$

C’est simplement une application de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut donc la retrouver facilement.

Plus la taille de l’échantillon est importante, plus les valeurs prises par les moyennes empiriques sont regroupées autour de l’espérance de la loi.

3.3. Loi des grands nombres en terminale

Soit une épreuve $\mathcal{E}$ et une variable aléatoire $X$ associée à cette épreuve dont on note $\mu$ l’espérance et $\sigma$ l’écart type.

En répétant $n$ fois de façon indépen- dante cette épreuve, on obtient un échantillon $(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)$ de taille $n$ de la loi de $X$ .

Pour tout $t > 0$ , $\qquad \quad \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant t \right ) \leqslant \dfrac {\sigma^2} {n \, t^2}$
alors $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant t \right ) = 0$ .

On dit que la suite $(M_n)_n$ converge en probabilité vers $\mu$ .

Cas particulier

Soit $X$ une variable aléatoire de Bernoulli d’espérance $p$ .

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et un échantillon $(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)$ de taille $n$ de la loi de $X$ .

Pour tout $t > 0$ , $\qquad \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant t \right ) \leqslant \dfrac {p(1 - p) } {n \, t^2}$

alors $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant t \right ) = 0$ .

On dit que la suite $(M_n)_n$ converge en probabilité vers $p$ .

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