Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours sur les variables aléatoires en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

A. Variable aléatoire en Maths Sup MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

1. Notations des variables aléatoires en Maths Sup

$\bullet$ $(\Omega, \mathbb{P})$ est un espace probabilisé fini, une variable aléatoire réelle $X$ est une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ .

L’ensemble $X(\Omega)$ est un ensemble fini.

$\bullet$ Dans la suite, on note

$\ast$ $(X = a) = \{\omega \in \Omega\, / \, X(\omega) = a\}$ .

$\ast$ Si $A$ est une partie de $\mathbb{R}$ , $(X \in A ) = \{ \omega \in\Omega \, / \, X(\omega) \in A \}$ .

$\ast$ $(X \leqslant a) = \{\omega \in \Omega\, / \, X(\omega) \leqslant a\}$

$\ast$ Si $a < b$ , $(a \leqslant X \leqslant b ) = \{\omega \in \Omega\, / \,a \leqslant X(\omega) \leqslant b\}$

Ce sont des parties finies de $\Omega$ .

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire sur $(\Omega, \mathbb{P})$ , si $f : \Omega \to \mathbb{R}$ , on peut définir la variable aléatoire notée $f(X)$ : $\qquad f(X) : \Omega \to \mathbb{R}, \omega \mapsto f( X(\omega))$ .

2. Définir la loi d’une variable aléatoire en Maths Sup

$\bullet$ Donner la loi de la variable aléatoire $X$ ,

$\ast$ c’est donner l’ensemble $\qquad X(\Omega) = \{x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n\}$

$\ast$ et définir $\forall\, i \in [\![1,\, n]\!] , \, \mathbb{P} (X = x_i)$ .

On doit vérifier $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \mathbb{P} (X = x_i) = 1$ .

$\bullet$ On peut alors définir la loi $\mathbb{P}_X$ de $X$

$\qquad \quad \mathbb{P} _X : X(\Omega) \to [0 , \,1] ,$

$\qquad \qquad A \mapsto \displaystyle \sum _ {\{i / x_i \in A\}} P(X = x_i)$ .

Alors $(X(\Omega) ,\; \mathbb{P}_X)$ est un ensemble probabilisé fini.

3. Définir l’espérance d’une variable aléatoire en Maths Sup

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire sur $(\Omega , \mathbb{P})$ et si $X(\Omega) = \{ x_1\,, \, \cdots \, ,\, x_n \}$ .
l’espérance de $X$ est le réel $\qquad \textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n x _ i \, \mathbb{P}(X = x_i)$ .

$\bullet$ $\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {\omega \in \Omega} X(\omega) \, \mathbb{P}(\{\omega\})$ .

Cette formule peut être utile pour les démonstrations des propriétés de l’espérance, elle est inutile dans le cas des calculs pratiques.

$\bullet$ Si $Y = f(X)$ , on peut calculer $\textrm{E}(Y)$ sans utiliser la loi de $Y$ grâce au théorème de transfert.

Lorsque $X(\Omega) = \{ x_1\,, \, \cdots \, ,\, x_n \}$ ,

$\qquad \textrm{E}(Y) =\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n f(x_i) \, \mathbb{P}(X = x_i)$ .

$\bullet$ En particulier si $X$ est une variable aléatoire réelle,

$\ast$ lorsque $(a ,\, b) \in \mathbb{R}^2$ , $\qquad \quad \textrm{E} (a\, X + b) = a \, \textrm{E}(X) + b$

$\ast$ Si $f$ et $g$ sont définies sur $X(\Omega)$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ,

$\textrm{E} (f(X) + g(X) ) = \textrm{E}(f(X)) + \textrm{E} (g(X))$

$\ast$ Si $X(\Omega) \subset \mathbb{R}^+$ , $\textrm{E}(X) \geqslant 0$ .

$\ast$ Si $X(\Omega) = \{ x_1\,, \, \cdots \, ,\, x_n \}$ , le moment d’ordre $2$ de $X$ est égal à $\qquad \textrm{E} (X ^2) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \, x_i^2\; \mathbb{P}(X = x_i)$ .

4. Définir la variance de $X$ en Maths Sup

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire réelle, la variance de $X$ est égale à $\qquad \textrm{V}(X) = \textrm{E} ( (X - \textrm{E}(X)) ^ 2 )$ .

C’est un réel positif ou nul et l’écart type de $X$ est égal à $\sigma_X = \sqrt{\textrm{V}(X)}$ , il mesure la dispersion de $X$ autour de $\textrm{E}(X)$ .

$\bullet$ Il vaut mieux calculer la variance de $X$ à l’aide du théorème de Koenig-Huyghens

$\qquad \textrm{V}(X) = \textrm{E}(X ^2) - (\textrm{E}(X))^2$ .

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire réelle, lorsque $(a ,\, b) \in \mathbb{R}^2$ , $\qquad \textrm{V} (a\, X + b) = a^2 \, \textrm{V}(X)$

$\bullet$ Si $\textrm{V}(X) > 0$ , la variable aléatoire $\displaystyle Y = \frac {X - \textrm{E}(X)} {\sqrt{\textrm{V}(X)}}$ , appelée variable aléatoire centrée réduite associée à $X$ , vérifie $\textrm{E}(Y) = 0$ et $\textrm{V}(Y) = 1$ .

5. Variables aléatoires de même loi en Maths Sup

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles définies sur $(\Omega, \, \mathbb{P})$ ont même loi lorsque

$\;\; X(\Omega) = Y(\Omega)$

et $\forall \, x \in X(\Omega)$ , $\mathbb{P}(X = x) = \mathbb{P}(Y = x)$ .

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B. Couples de variables aléatoires réelles en Maths Sup

1. Loi conjointe de variables aléatoire en Maths Sup

Soit $(\Omega , \, \mathbb{P})$ un univers probabilisé fini.

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires réelles sur $\Omega$ .

$\bullet$ Définir la loi conjointe des variables $X$ et $Y$ , c’est donner

$\ast$ $X(\Omega) = \{x_1\, ,\, x_2 \, , \cdots \, ,\, x_n\}$

et $Y(\Omega) = \{y_1\, ,\, y_2 \, ,\cdots \, , \, y_q\}$

$\ast$ $\forall\, (i,\, j) \in [\![1,\, n]\!] \times [\![1,\, q]\!]$ ,

la valeur de $\mathbb{P}(X = x_i \cap Y = y_j)$ qui est aussi notée $\mathbb{P}(X = x_i \, ,\, Y = y_j)$ .

$\bullet$ Vérifier que l’on a donné la loi du couple $(X , \, Y)$ , c’est vérifier que l’on a donné les ensembles $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ et vérifier que

$\forall\, x \in X(\Omega)$ et $\forall\, y \in Y( \Omega)$ ,

$\qquad \quad \mathbb{P}(X = x \cap Y = y) \geq 0$

et $\displaystyle \sum _ {x \in X(\Omega) } \; \sum _ {y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}(X = x \cap Y = y) = 1$ .

2. Lois marginales de variables aléatoires en Maths Sup

$\bullet$ Ayant la loi conjointe des variables aléatoires $X$ et $Y$ , on peut déterminer les lois des variables $X$ et $Y$ appelées lois marginales.

$\ast$ $\forall\, x \in X(\Omega)$ ,

$\mathbb{P}(X = x) = \displaystyle \sum _ {y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}(X = x \cap Y = y)$

$\ast$ $\forall\, y \in Y(\Omega)$ ,

$\mathbb{P}(Y = y) = \displaystyle \sum _ {x \in X(\Omega)} \mathbb{P}(X = x \cap Y = y)$

3. Loi conditionnelle de variable aléatoire en Maths Sup

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires et $y \in Y(\Omega)$ tel que $\mathbb{P}(Y = y) \neq 0$ ,

alors $X(\Omega) \to [0 ,\, 1]$

$\qquad \qquad x \mapsto \displaystyle \mathbb{P} (X = x \mid Y = y)$

définit la loi d’une variable aléatoire appelée loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y = y)$ .

4. Indépendance de deux variables aléatoires en Maths Sup

$\bullet$ Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur $(\Omega, \mathbb{P})$ sont indépendantes lorsque

$\forall\, x \in X(\Omega) , \forall\, y \in Y(\Omega)$

$\mathbb{P}(X = x \cap Y = y)=$ $\qquad \qquad \qquad \mathbb{P}(X = x)\, . \, \mathbb{P}( Y = y)$

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, pour tout $(A ,\, B) \in \mathcal{P}(\mathbb{R})^2$ , $\mathbb{P}((X ,\, Y) \in A \times B ) =$ $\qquad \qquad \qquad \mathbb{P}(X \in A) \, \mathbb{P}(Y \in B)$ .

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, les variables $f(X)$ et $g(Y)$ sont aussi indépendantes.

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, pour tout $x \in X(\Omega)$ tel que $\mathbb{P}(X = x) \neq 0$ , la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X = x)$ est la loi de $Y$ .

5. Indépendance de $n$ variables aléatoires en Maths Sup

$n\geqslant 3$ variables aléatoires réelles $(X_1\,,\, X_2\, ,\, \cdots \, ,\, X_n)$ sont mutuellement indépendantes

ssi $\forall\,i\in [\![1 ,\, n]\!], \forall\, x_i \in X_i(\Omega) , \,$

$\displaystyle \mathbb{P}\left ( \bigcap _{i = 1} ^n (X _ i = x_i) \right) = \prod_{i = 1} ^n \mathbb {P}(X _ i = x_i)$

ssi $\forall\,i\in [\![1 ,\, n]\!], \forall\, A_i \subset \mathbb{R}\,$ ,

$\displaystyle \mathbb{P}\left ( \bigcap _{i = 1} ^n (X _ i \in A_i ) \right) = \prod_{i = 1} ^n \mathbb {P}(X _ i \in A_i)$

$\bullet$ Si $(X_1\,,\, X_2\, ,\, \cdots \, ,\, X_n)$ sont $n$ v.a.r. mutuellement indépendantes, toute sous famille est formée de variables aléatoires indépendantes.

En particulier, elles sont deux à deux indépendantes.

$\bullet$ Si $(X_1\,,\, X_2\, ,\, \cdots \, ,\, X_n)$ sont $n$ v.a.r. indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ , $X = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n X_i$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

6. Compléments des propriétés de l’espérance en Maths Sup

$\bullet$ L’espérance est une forme linéaire sur l’espace vectoriel des variables aléatoires définies sur $(\Omega, \, \mathbb{P})$ .

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs positive sou nulles, $\textrm{E}(X) \geqslant 0$

$\bullet$ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que $\forall\, \omega \in \Omega, \, X(\omega) \leqslant Y(\omega)$ , $\textrm{E} (X) \leqslant \textrm{E}(Y)$

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires dont on connaît la loi conjointe, $\textrm{E}(X \, Y)$ est égale à

$\displaystyle \sum _{x \in X(\Omega)} \sum _ {y \in Y(\Omega)} \, x\, y \, \mathbb{P}(X = x\, , \, Y = y)$ .

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont des v.a.r. sur $(\Omega , \, \mathbb{P})$ indépendantes, $\textrm{E}(X \, Y) = \textrm{E}(X) \, \textrm{E}(Y)$ .

C. Les lois usuelles de variables aléatoires en Maths Sup

$\bullet$ Variable aléatoire constante :

$\ast$ $X(\Omega) = \{a\}$ , $\mathbb{P}(X = a) = 1$ .

$\ast$ $\textrm{E}(X) = a$ et $\textrm{V}(X) = 0$ .

$\bullet$ Variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p \in [0 , \,1]$ :

$\ast$ $X(\Omega) = \{0 ,\, 1 \}$ ,

$\mathbb{P}(X = 1) = p$ et $\mathbb{P}(X = 0) = 1 - p$

$\ast$ $\textrm{E}(X) = p$ et $\textrm{V}(X) = p\,(1 - p)$ .

On note $X \hookrightarrow \mathcal{B}( p)$ .

$\bullet$ Variable aléatoire uniforme sur $[\![1 , \,n]\!]$ :

$\ast$ $X(\Omega) = [\![1 , \,n]\!]$ ,

$\forall\, k \in [\![1 , \,n]\!], \, \mathbb{P}(X = k) = \displaystyle \frac 1 n$

$\ast$ $\textrm{E}(X) = \displaystyle \frac {n + 1} 2$ et $\textrm{V}(X) = \displaystyle \frac {n ^2 - 1} {12}$ (deux résultats à retrouver)

On note $X \hookrightarrow \mathbb{U} ([\![1 , \,n]\!] )$ .

$\bullet$ Variable aléatoire de loi binomiale de paramètres $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in [0 , \,1]$ :

$\ast$ $X(\Omega) = [\![0 , \,n]\!]$ ,

$\forall\, k \in [\![0 , \,n]\!],$ $\quad \quad \, \mathbb{P}(X = k) = \displaystyle \binom n k \, p^k (1 - p) ^{n - k}$

$\ast$ $\textrm{E}(X) = n\, p$ et $\textrm{V}(X) = n \, p\, (1 - p)$ .

On note $X \hookrightarrow \mathcal{B}( n, \, p)$ .

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D. Calculs pratiques de l’espérance ou de la variance en Maths Sup

$\bullet$ En reconnaissant la loi de $X$

$\bullet$ Si $X = a \, Y + b$ , $\textrm{E}(X) = a \, \textrm{E}(Y) + b$ .

$\bullet$ En utilisant la définition et en utilisant les sommes classiques.

$\bullet$ En utilisant le théorème de transfert qui rend inutile le calcul de la loi de $X$ lorsque l’on peut écrire $X = f(Y)$ .

C’est souvent la démarche à utiliser lorsque l’on demande directement l’espérance de $X$ sans calculer sa loi, lorsque cette loi n’est pas classique.

$\bullet$ En écrivant $X$ comme somme de variables aléatoires plus simples (en général des variables aléatoires de Bernoulli).

$\bullet$ On peut aussi envisager de déduire de

$\displaystyle \sum _{x \in X(\Omega)} \mathbb{P}(X = x)$ une relation permettant d’être réutilisée pour le calcul de $\textrm{E}(X)$ .

2. Pour la variance des variables aléatoires en Maths Sup

$\bullet$ En reconnaissant la loi de $X$ .

$\bullet$ Si $X = a \, Y + b$ , $\textrm{V}(X) = a^2 \, \textrm{V}(Y)$ .

$\bullet$ En utilisant la formule de Koenig-Huyghens, $\textrm{V}(X) = \textrm{E}(X^2) - \left ( \textrm{E}(X) \right ) ^2$

$\bullet$ Il sera peut-être plus simple de passer par le calcul , pour $a \in \mathbb{R}$ , de

$\textrm{E}(X ( X - a))$ (en général $a = 1$ ) et d’utiliser la formule :

$\textrm{V}(X) =$ $\quad \textrm{E}(X ( X - a)) + a \,\textrm{E}(X) - (\textrm{E}(X))^2$

$\bullet$ En écrivant $X = Y + Z$ où l’on connaît la loi des variables $Y$ et $Z$ et en particulier si $Y$ et $Z$ sont indépendantes,

$\qquad \textrm{V}(X) =\textrm{V}(Y) + \textrm{V}(Z)$ .

$\bullet$ En écrivant $X$ comme somme de variables aléatoires $X_i$ plus simples (en général des variables aléatoires de Bernoulli).

$\ast$ si elles sont 2 à 2 indépendantes, la variance de $X$ est la somme des variances des $X_i\,$ .

E. Inégalités de Bienayme-Tchebichev en Maths Sup

$\bullet$ L’énoncé

$\ast$ Hypothèses : $X$ est une variable aléatoire sur l’univers fini $(\Omega, \, \mathbb{P})$ et $\varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}$ .

$\ast$ Conclusion : $\qquad \textrm{P}( \vert X - \textrm{E}(X)\vert \geqslant \varepsilon) \leqslant \displaystyle \frac {\textrm{V}(X)} {\varepsilon ^2 }$ .

F. Des méthodes pour déterminer les lois de quelques variables

1. Cas de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$

On suppose que $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ .

1.a. On a su calculer $\mathbb{P}(X \leqslant k)$ pour $k \in \mathbb{N}$ .

$\bullet$ $\mathbb{P}(X = 0 ) = \mathbb{P}(X \leqslant 0)$ .

$\bullet$ Si $k \in \mathbb{N}^*$ , écrire

$(X \leqslant k) = (X = k) \cup (X \leqslant k - 1)$

Les événements étant disjoints,

$\mathbb{P}(X \leqslant k) = \mathbb{P}(X = k) + \mathbb{P}(X \leqslant k - 1)$

soit

$\mathbb{P}(X = k) = \mathbb{P}(X \leqslant k) - \mathbb{P}(X \leqslant k - 1)$

1.b. On a su calculer $\mathbb{P}(X \geqslant k)$ pour $k \in \mathbb{N}$ .

Lorsque $X(\Omega) \subset [[0,\, N]]$ ,

$\bullet$ $\mathbb{P}(X = N ) = \mathbb{P}(X \geqslant N)$ .

$\bullet$ Si $k \leqslant N - 1$ , écrire

$(X \geqslant k) = (X = k) \cup (X \geqslant k + 1)$

Les événements étant disjoints,

$\mathbb{P}(X \geqslant k) = \mathbb{P}(X = k) + \mathbb{P}(X \geqslant k + 1)$

soit

$\mathbb{P}(X = k) = \mathbb{P}(X \geqslant k) - \mathbb{P}(X \geqslant k + 1)$

2. Somme de deux variables aléatoires en Maths Sup

Pour trouver la loi de $S = X + Y$ lorsque $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ .

$\bullet$ Déterminer $S(\Omega)$ .

$\bullet$ Écrire si $k \in S(\Omega)$ ,

$\quad (S = k) = \displaystyle \bigcup _ {i + j = k} (X = i\, ,\, Y = j)$

C’est une réunion d’événements deux à deux incompatibles,

$\mathbb{P}(S = k) = \displaystyle \sum _{i + j = k} \mathbb{P} (X = i , Y = j)$ .

$\mathbb{P}(S = k) = \displaystyle \sum _{i = 0} ^k \mathbb{P} (X = i , Y = k - i)$

3. Minimum et maximum de deux variables aléatoires indépendantes

Si $X_1$ et $X_2$ sont deux variables réelles, on note $U = \min(X_1\, , \, X_2)$ et $V = \max(X_1\, , \,X_2)$ .

$\bullet$ Lois de $U$ et $V$

$\ast$ $\mathbb{P} (U = u) = \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = u)$
$\qquad \qquad \qquad$ $+\, \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 > u)$
$\qquad \qquad \qquad +\, \mathbb{P}(X_2 > u \cap X_1 = u)$ .

$\ast$ $\mathbb{P}(V = v) = \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 = v)$
$\qquad \qquad \qquad +\, \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 < v)$
$\qquad \qquad \qquad + \, \mathbb{P}(X_1 < v \cap X_2 = v)$ .

$\bullet$ Loi du couple

$\ast$ $\mathbb{P}(U = u \cap V = u)$
$\qquad \qquad \qquad =\mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = u)$ .

$\ast$ Si $u < v$ , $\mathbb{P}(U = u \cap V = v) =$
$\qquad \qquad = \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = v)$
$\qquad \qquad + \, \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 = u)$

$\ast$ Si $u > v,\; \mathbb{P}(U = u \cap V = v) = 0$ .

Il est utile de se souvenir que

$\qquad \quad U + V = X_1 + X_2$

$\qquad$ et $V - U = \vert X_1 - X_2\vert$ .

4. Maximum et minimum de $n \geq 3$ variables aléatoires réelles

Si $X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n$ sont $n$ variables aléatoires réelles, on note $\; \; U = \displaystyle \min _{1 \leqslant i \leqslant n} X_i$ et $V = \displaystyle \max _{1 \leqslant i \leqslant n} X_i\,$ .

$\bullet$ Loi de $U$

On calcule

$\quad \mathbb {P} (U \geq u) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{i = 1} ^n ( X_i \geqslant u) \right )$

(On peut aussi utiliser $\mathbb{P} (U > u)$ ).

Si les variables sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ , on termine avec les remarques du 6.1.2.

$\bullet$ Loi de $V$

On calcule

$\qquad \mathbb {P} (V \leqslant v) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{i = 1} ^n ( X_i \leqslant v) \right )$ .

Si les variables $X_i$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$ , on termine avec les remarques du 1.b.

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Cours sur les variables aléatoires en Maths Sup

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2. Définir la loi d’une variable aléatoire en Maths Sup

3. Définir l’espérance d’une variable aléatoire en Maths Sup

4. Définir la variance de $X$ en Maths Sup

5. Variables aléatoires de même loi en Maths Sup

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1. Cas de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$

1.a. On a su calculer $\mathbb{P}(X \leqslant k)$ pour $k \in \mathbb{N}$ .

1.b. On a su calculer $\mathbb{P}(X \geqslant k)$ pour $k \in \mathbb{N}$ .

2. Somme de deux variables aléatoires en Maths Sup

3. Minimum et maximum de deux variables aléatoires indépendantes

4. Maximum et minimum de $n \geq 3$ variables aléatoires réelles

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