{"id":102701,"date":"2021-04-30T12:24:18","date_gmt":"2021-04-30T11:24:18","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=102701"},"modified":"2023-09-15T13:32:07","modified_gmt":"2023-09-15T12:32:07","slug":"cours-en-ligne-chaine-markov-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-chaine-markov-terminale\/","title":{"rendered":"Cours sur la cha\u00eene de Markov en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur la cha\u00eene de Markov en terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours : la cha\u00eene de Markov en Terminale en Maths Expertes<\/h2>\n

Ce cours en ligne sur la cha\u00eene de Markov<\/strong> au programme de terminale permet de revoir les notions importantes du cours pour r\u00e9ussir en terminale et obtenir de bons r\u00e9sultats au bac. Si vous \u00eates confront\u00e9 \u00e0 des difficult\u00e9s en math\u00e9matiques, notre offre de prof de maths<\/a> s’adresse sp\u00e9cialement aux \u00e9tudiants de terminale pour les aider \u00e0 surmonter ces obstacles.<\/p>\n

1. Suites de matrices en Terminale<\/h2>\n

1.1. Suite g\u00e9om\u00e9trique de matrices colonnes<\/h3>\n

Soit \"A\" une matrice carr\u00e9e d’ordre \"p\" (en g\u00e9n\u00e9ral \"p=\" 2 ou \"p = 3\".)<\/p>\n

Si \"U_0\" est une matrice colonne \u00e0 \"p\" lignes, on peut d\u00e9finir par r\u00e9currence une suite de matrices colonnes \u00e0 \"p\" lignes par la relation :<\/p>\n

\"\qquad\" si \"n \in \mathbb{N}\", \"U_{n + 1} = A \, U_n \,\".<\/p>\n

Prop<\/strong> : avec les notations pr\u00e9c\u00e9dentes, pour tout entier \"n\in \mathbb{N}, \,U_n = A ^n \ U_0\,\".<\/p>\n

1.2. Deuxi\u00e8me type de suites de matrices colonnes<\/h3>\n

Soit \"A\" une matrice carr\u00e9e d’ordre \"p\" (en g\u00e9n\u00e9ral \"p=\" 2 ou \"p = 3\") et \"B\" une matrice colonne \u00e0 \"p\" lignes<\/p>\n

Si \"U_0\" est une matrice colonne \u00e0 \"p\" lignes, on peut d\u00e9finir par r\u00e9currence une suite de matrices colonnes \u00e0 \"p\" lignes par la relation :<\/p>\n

\"\quad\" si \"n \in \mathbb{N}\", \"U_{n + 1} = A \, U_n + B\".<\/p>\n

M\u00e9thode d’\u00e9tude<\/strong>
\nS’il existe une matrice colonne \"C\" \u00e0 \"p\" lignes telle que \"C = A \, C + B\", en formant \"V_n = U_n - C\", on d\u00e9finit une suite de matrices colonnes telle que pour tout entier<\/p>\n

\"n\" , \"V_ {n + 1} = A \, V_n\"<\/p>\n

donc \"V_n = A^n \, V_0\"<\/p>\n

soit \"\qquad \quad U_n - C = A ^n \,\left (U_0 - C \right )\".<\/p>\n

1.3. Pour des matrices lignes en terminale<\/h3>\n

Soit \"A\" une matrice carr\u00e9e d’ordre \"p\" (en g\u00e9n\u00e9ral \"p=\" 2 ou \"p = 3\".)<\/p>\n

Si \"L_0\" est une matrice ligne \u00e0 \"p\" colonnes, on peut d\u00e9finir par r\u00e9currence une suite de matrices lignes \u00e0 \"p\" colonnes par la relation :<\/p>\n

\"\quad\" si \"n \in \mathbb{N}\", \"L_{n + 1} = L_n\, A\".<\/p>\n

Prop<\/strong> : avec les notations pr\u00e9c\u00e9dentes, pour tout entier \"n\in \mathbb{N}, \,L_n = L_0\, A ^n \,\".<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. La cha\u00eene de Markov en Maths expertes<\/h2>\n

2.1. Graphe probabiliste en terminale<\/h3>\n

D\u00e9finition 1 :<\/strong> Un graphe<\/a> orient\u00e9 est dit pond\u00e9r\u00e9 lorsque chaque ar\u00eate est affect\u00e9e d’un nombre r\u00e9el positif, appel\u00e9 poids de cette ar\u00eate.<\/p>\n

D\u00e9finition 2 :<\/strong> Un graphe probabiliste est un graphe orient\u00e9 pond\u00e9r\u00e9 o\u00f9 tous les poids sont compris entre 0 et \"1\" et o\u00f9 la somme des poids des ar\u00eates issues d’un m\u00eame sommet est \u00e9gale \u00e0 1 .<\/p>\n

Les sommets du graphe sont appel\u00e9s \u00e9tats.<\/p>\n

exemple d’un graphe probabiliste \u00e0 3 \u00e9tats.<\/p>\n

\"Exemple<\/p>\n

2.2. D\u00e9finition d’une cha\u00eene de Markov en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

D\u00e9finition :<\/strong> On consid\u00e8re une suite \"(X_n)_n\" de variables al\u00e9atoires<\/a> permettant de mod\u00e9liser l’\u00e9volution par \u00e9tapes d’un syst\u00e8me pr\u00e9sentant \"k\" \u00e9tats.<\/p>\n

\"\ast\" \u00e0 l’\u00e9tape \"0\", la loi de probabilit\u00e9 de \"X_0\" s’appelle la distribution initiale du syst\u00e8me.
\n\"\ast\" \u00e0 l’\u00e9tape \"n\", la loi de probabilit\u00e9 de \"X_n\" s’appelle la distribution apr\u00e8s \"n\" transitions.<\/p>\n

Lorsque, \u00e0 chaque \u00e9tape, la probabilit\u00e9 de transition d’un \u00e9tat \u00e0 un autre ne d\u00e9pend pas de \"n\", on dit que la suite \"(X_n)\" est une cha\u00eene de Markov.<\/p>\n

Cons\u00e9quence : \u00e0 une cha\u00eene de Markov \u00e0 \"k\" \u00e9tats, on peut associer
\n\"\ast\" un graphe probabiliste o\u00f9 les sommets sont les \u00e9tats du syst\u00e8me al\u00e9atoire et le poids de l’ar\u00eate liant un \u00e9tat \u00e0 un autre est \u00e9gal \u00e0 la probabilit\u00e9 de transition de cet \u00e9tat \u00e0 l’autre.
\n\"\ast\" la matrice de transition de ce graphe probabiliste.<\/p>\n

En pratique, on supposera dans la suite que \"k = 2\" ou \"k = 3\".<\/p>\n

3. Repr\u00e9sentation d’une cha\u00eene de Markov \u00e0 l’aide d’une suite de matrices<\/h2>\n

Propri\u00e9t\u00e9 1.<\/strong><\/p>\n

Soit une cha\u00eene de Markov \u00e0 \"k\" (\"k = 2\" ou \"k = 3\") \u00e9tats.<\/p>\n

On note \"P\" la matrice de transition de associ\u00e9e.<\/p>\n

Pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", si\"(i,j) \in [\![1 , k]\!]^2\", la probabilit\u00e9 de passer de l’\u00e9tat \"i\" \u00e0 l’\u00e9tat \"j\" en \"n\" \u00e9tapes est \u00e9gale au terme \"p_{i,j} ^{(n)}\" de la ligne \"i\" et colonne \"j\" de la matrice \"P ^n\".<\/p>\n

On note la probabilit\u00e9 conditionnelle de \"B\" relative \u00e0 \"A\" (soit \"\mathbb{P} _A (B)\") sous la forme \"\mathbb{P}(B \, \mid \, A)\".<\/p>\n

On fait la d\u00e9monstration lorsque \"\mathbb{P}(X_0 = i) \neq 0\" si \"i \in \{1 , 2\}\".<\/p>\n

Les variables al\u00e9atoires \"X_n\" sont \u00e0 valeurs dans \"\{1 , 2\}\".<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on note \"\mathcal{P}(n)\" :<\/p>\n

la matrice \"P ^n\" est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

\"\begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_n = 1 \,\mid\, X_0 = 1) & \mathbb{P}(X_n = 2 \,\mid\, X_0 = 1)\\<\/p>\n

\"\bullet\" Initialisation <\/strong><\/p>\n

Pour \"n = 1\" :
\n\"\begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_1 = 1 \,\mid\, X_0 = 1) & \mathbb{P}(X_1 = 2 \,\mid\, X_0 = 1)\\
\nest par d\u00e9finition la matrice \"P\" de transition qui exprime la transition en 1 \u00e9tape.<\/p>\n

Donc \"\mathcal{P}(1)\" est vraie.<\/p>\n

\"\bullet\" H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/strong>
\nOn suppose que \"\mathcal{P}(n)\" est vraie pour un entier \"n \geqslant 1\" donn\u00e9.<\/p>\n

\"\ast\" Calcul pr\u00e9liminaire : \"A , B , C\" sont trois \u00e9v\u00e9nements et \"\mathbb{P}(A) \neq 0\".<\/p>\n

Par la formule des probabilit\u00e9s totales,<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B \cap A) =\" \"\qquad \mathbb{P} (B \cap C \, \cap \, A) + \mathbb{P} (B \cap \, \overline{C} \, \cap \,A)\"<\/p>\n

donne<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B \cap A) = \mathbb{P} (B \mid\, C \cap \, A)\, \mathbb{P} (C \mid A) \, \mathbb{P}(A)\" \"\qquad \qquad +\, \mathbb{P} (B \mid \overline{C} \, \cap A)\, \mathbb{P} (\overline{C} \mid A) \, \mathbb{P}(A)\"<\/p>\n

et en divisant par \"\mathbb{P}(A) \neq 0\"<\/p>\n

\"\mathbb{P} (B \mid A) = \mathbb{P} (B \mid C \cap \, A)\, \mathbb{P} (C \mid A)\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad +\, \mathbb{P} (B \mid \overline{C} \, \cap A)\, \mathbb{P} (\overline{C} \mid A)\"<\/p>\n

\"\ast\" Application : <\/strong><\/p>\n

Soient \"i\" et \"j\" dans \"\{ 1 , 2\}^2\"<\/p>\n

On calcule la probabilit\u00e9 de passer de l’\u00e9tat \"i\" \u00e0 l’\u00e9tat \"j\" en \"n + 1\" transitions.<\/p>\n

On applique la formule pr\u00e9c\u00e9dente avec :<\/p>\n

\"B = (X_{n + 1} = j)\" , \"A = (X_{0} = i)\" , \"C = (X_{n } = 1)\" et \"\overline{C} = (X_{n + 1} = 2)\"
\n\"\mathbb{P}(X_{n + 1} = j \,\mid\, X_0 = i)\" \"= \mathbb{P}(X_{n + 1} = j \mid X_n = 1 \,\cap \, X_0 = i)\" \"\qquad \qquad \times \, \mathbb{P}( X_n = 1 \,\mid \, X_0 = i)\" \"\;\; +\, \mathbb{P}(X_{n + 1} = j \mid X_n = 2 \,\cap \, X_0 = i)\" \"\qquad \qquad \times\, \mathbb{P}( X_n = 2 \,\mid \, X_0 = i)\"<\/p>\n

Comme on a une cha\u00eene de Markov<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X_{n + 1} = j \mid X_n = 1 \,\cap \, X_0 = i)\" \"\qquad = \mathbb{P}(X_{n + 1} = j \mid X_n = 1 ) = p_{1 ,j}\"<\/p>\n

et \"\mathbb{P}(X_{n + 1} = j \mid X_n = 2 \,\cap \, X_0 = i)\" \"\qquad = \mathbb{P}(X_{n + 1} = j \mid X_n = 2 ) = p_{2 , j}\"<\/p>\n

donc les relations s’\u00e9crivent en utilisant l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence<\/p>\n

\"\mathbb{P}(X_{n + 1} = j \,\mid\, X_0 = i)\" \"\qquad \qquad = p_{1 ,j}\, p_{i , 1}^{(n)} + p_{2 ,j}\, p_{i , 2 }^{(n)}\"<\/p>\n

soit aussi \"p_{i , 1}^{(n)}\, p_{1 ,j} + p_{i , 2 }^{(n)} \, p_{2 ,j}\,\".<\/p>\n

On reconnait le terme d’indice \"(i,j)\" du produit matriciel \"P^n \times P\"<\/p>\n

donc \"\mathbb{P}(X_{n + 1} = j \,\mid\, X_0 = i) = p_{i,j}^{(n + 1)}\"<\/p>\n

ce qui prouve la relation au rang \"n + 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Conclusion :<\/strong><\/p>\n

la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence sur \"n \in \mathbb{N }^*\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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