{"id":102730,"date":"2021-04-30T12:41:38","date_gmt":"2021-04-30T11:41:38","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=102730"},"modified":"2022-07-22T15:14:39","modified_gmt":"2022-07-22T14:14:39","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-chaine-markov-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-chaine-markov-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s sur les cha\u00eenes de Markov en terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n
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Exercices la cha\u00eene de Markov en terminale et corrig\u00e9s gratuits<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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Exercice 1 – Sujet de bac<\/h2>\n

Dans une soci\u00e9t\u00e9 d’assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).<\/p>\n

On constate que \"30\%\" de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l’ann\u00e9e suivante, alors que \"85\%\" de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l’ann\u00e9e suivante.<\/p>\n

En 2014, \"60\%\" des clients paient en une fois et \"40\%\" paient mensuellement.<\/p>\n

Dans toute la suite de l’exercice, \"n\" d\u00e9signe un nombre entier naturel.<\/p>\n

On note :
\n\"\ast\" \"a_n\" la probabilit\u00e9 qu’un client choisi au hasard paie en une fois pour l’ann\u00e9e \"2014+n\" ;
\n\"\ast\" \"b_n\" la probabilit\u00e9 qu’un client choisi au hasard paie mensuellement pour l’ann\u00e9e \"2014+n\".
\nOn a \"a_0 = 0,6\" et \"b_0 = 0,4\" et on note \"p_n\" l’\u00e9tat probabiliste pour l’ann\u00e9e \"2014+n\". Ainsi \"p_0 = (0,6\quad 0,4)\".<\/p>\n

On note :
\n\"\bullet\" \"A\" l’\u00e9tat \u00ab\u00a0le client paie en une fois \u00a0\u00bb ;
\n\"\bullet\" \"B\" l’\u00e9tat \u00ab\u00a0le client paie mensuellement\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

Repr\u00e9senter un graphe<\/a> probabiliste de sommets \"A\" et \"B\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

\u00c9crire la matrice de transition \"M\" associ\u00e9e \u00e0 ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphab\u00e9tique.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer la probabilit\u00e9 qu’un client paie en une fois durant l’ann\u00e9e 2018 (arrondir le r\u00e9sultat au milli\u00e8me).<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer la distribution invariante et en donner une interpr\u00e9tation.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 sur la cha\u00eene de Markov en Terminale<\/h2>\n

Un lapin se d\u00e9place dans un terrier compos\u00e9 de trois galeries, not\u00e9es A, B et C, dans chacune desquelles il est confront\u00e9 \u00e0 un stimulus particulier.<\/p>\n

\u00c0 chaque fois qu’il est soumis \u00e0 un stimulus, le lapin reste dans la galerie o\u00f9 il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une \u00e9tape.<\/p>\n

S’il est dans la galerie \"A\" ou \"C\", il y reste avec la probabilit\u00e9 \"1/3\" ou il passe dans la galerie \"B\" avec la probabilit\u00e9 \"2/3\"<\/p>\n

S’il est dans la galerie \"B\", il y reste avec la probabilit\u00e9 \"1/2\" sinon il passe dans la galerie \"A\" ou la galerie \"C\" avec la probabilit\u00e9 \"1/4\".<\/p>\n

Question\u00a0 1 :\u00a0 <\/strong><\/p>\n

Repr\u00e9senter le graphe de probabilit\u00e9 associ\u00e9 \u00e0 cette situation.
\nOn notera \"A\", \"B\" et \"C\" les trois \u00e9tats correspondant aux trois galeries.<\/p>\n

Question 2 : <\/strong><\/p>\n

\u00c9crire la matrice de transition associ\u00e9e.<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\u00c9crire en justifiant le raisonnement la relation liant \"R_n = (a_n \quad \quad b_n \quad c_n)\", \"M\" et \"R_{n + 1}\,\".<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

D\u00e9terminer la distribution stationnaire.
\nOn donnera les trois valeurs sans parenth\u00e8ses, sous la forme \"u/v\" en les s\u00e9parant par une virgule.<\/p>\n

Question 5 :<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9finit la suite \"(u_n)\" par
\n\"\quad\" si \"n \in \mathbb{N}\", \"u_n = a_n -c_n\,\".<\/p>\n

a) La suite \"(u_n)\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison :<\/p>\n

b) Pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"u_n = \dfrac 1 {3 ^n}\".<\/p>\n

Exercice 3 de Terminale G\u00e9n\u00e9rale sur la cha\u00eene de Markov<\/h2>\n

Le PageRank ou PR est l’algorithme d’analyse des liens concourant au syst\u00e8me de classement des pages Web utilis\u00e9 par le moteur de recherche Google.<\/p>\n

Il mesure quantitativement la popularit\u00e9 d’une page web. Le PageRank n’est qu’un indicateur parmi d’autres dans l’algorithme qui permet de classer les pages du Web dans les r\u00e9sultats de recherche de Google.<\/p>\n

Ce syst\u00e8me a \u00e9t\u00e9 invent\u00e9 par Larry Page, cofondateur de Google.<\/p>\n

On en examine une illustration sur un nombre faible de pages<\/p>\n

On consid\u00e8re 4 pages not\u00e9es \"A,\, B, \, C\" et \"D\".<\/p>\n

Les fl\u00e8ches indiquent les hyperliens menant d’une page \u00e0 une autre.<\/p>\n

On choisit une page au hasard , pour chaque page sur laquelle on arrive, on choisit une page au hasard etc …<\/p>\n

\"Sch\u00e9ma<\/p>\n

Question 1 : <\/strong><\/p>\n

\u00c9crire une fonction Python nomm\u00e9e choix et de param\u00e8tre PagePrec qui choisit la page suivante au hasard sur les pages disponibles.
\nEn chargeant le module random l’appel \u00e0
\n\"\qquad\" random.choice(L)
\nchoisit au hasard un des \u00e9l\u00e9ments de la liste \"L\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

\u00c9crire une deuxi\u00e8me fonction Python de param\u00e8tres \"k\" et \"n\" qui, partant de la page \"k\" effectue \"n\" clics et renvoie le num\u00e9ro de la page d’arriv\u00e9e.<\/p>\n

Question 3 : <\/strong><\/p>\n

\u00c9crire une fonction Python TestPages , de param\u00e8tre le nombre de clics, qui choisit au hasard la premi\u00e8re page et qui renvoie la liste du nombre de visites pour chaque page.
\nrandom.randint(a , b) donne un entier choisi au hasard entre l’entier \"a\" et l’entier \"b\".<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

D\u00e9finir une fonction Maximum de param\u00e8tre une liste \"L\" et qui renvoie la liste [indice,valeur], o\u00f9 valeur est la valeur maximale de la liste \"L\" et indice , le premier indice pour lequel on rencontre ce maximum.
\nLa v\u00e9rifier avec \"L = [4,3,2,1,7,6,7,3]\"<\/p>\n

Question 5 :<\/strong><\/p>\n

\u00c9crire une fonction qui permette de tester la meilleure page pour un nombre de clics \u00e9lev\u00e9 :
\nPour les 4 pages initiales possibles, on effectue nbClics et d\u00e9terminer la page la plus visit\u00e9e et le nombre de visites.
\nOn pourra la tester pour 1000 clics.<\/p>\n

Correction exercice 1 du sujet de bac sur la cha\u00eene de Markov<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

L’\u00e9nonc\u00e9 donne :
\nL’assurance pay\u00e9e annuellement l’est encore l’ann\u00e9e suivante avec la probabilit\u00e9 \"0,3\" et pay\u00e9e mensuellement avec la probabilit\u00e9 \"0,7\" .
\nL’assurance pay\u00e9e mensuellement l’est encore l’ann\u00e9e suivante avec la probabilit\u00e9 \"0,85\" et pay\u00e9e annuellement avec la probabilit\u00e9 \"0,15\" .
\nce qui donne le graphe probabiliste pour les deux \u00e9tats \"A\" et \"B\" :<\/p>\n

\"R\u00e9ponse<\/p>\n

Question 2 :\u00a0\u00a0<\/strong><\/p>\n

Si \"A_n\" (resp. \"B_n\" ) est l’\u00e9v\u00e9nement le client paye en une seule fois (resp. mensuellement) pour l’ann\u00e9e \"2014 + n\" )
\nl’\u00e9nonc\u00e9 donne pour tout entier \"n\",<\/p>\n

\"\mathbb{P}(A_{n + 1} \mid A_n) = 0,3\", \"\mathbb{P}(B_{n + 1} \mid A_n) = 0,7\"
\n\"\mathbb{P}(A_{n + 1} \mid B_n) = 0,15\"
\net \"\mathbb{P}(B_{n + 1} \mid B_n) = 0,85\"<\/p>\n

\"\boxed{M = \begin{pmatrix} 0,3&0,7\\0,15&0,85\end{pmatrix}}\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

On rappelle la d\u00e9monstration :
\nPar la formule des probabilit\u00e9s totales,
\n\"\mathbb{P}(A_{n + 1} )= \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid A_n) \, \mathbb{P}(A_{n} )\" \"\qquad \qquad +\, \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid B_n) \, \mathbb{P}(B_{n} )\"
\nsoit \"a_{n + 1} = 0,3 \, a_n + 0,15 \, b_n\"
\net \"\mathbb{P}(B_{n + 1} )= \mathbb{P}(B_{n + 1} \mid A_n) \, \mathbb{P}(A_{n} )\" \"\qquad \qquad \quad + \, \mathbb{P}(B_{n + 1} \mid B_n)\, \mathbb{P}(B_{n} )\"
\nsoit \"b_{n + 1} = 0,7 \, a_n + 0,85 \, b_n\"<\/p>\n

ce qui se traduit par \"p_{n + 1} = p_n \, M\".
\ndonc \"p_4 = p_0 \, M ^4\" avec \"p_0 = (0,6\quad 0,4)\" et \"M^4 = \begin{pmatrix} 0,3943375&0,6056625\\0,30283125&0,69716875\end{pmatrix}\"<\/p>\n

et en arrondissant les r\u00e9sultats au milli\u00e8me, \"\boxed{p_4 \approx ( 0,358 \quad 0,642) }\".<\/p>\n

La probabilit\u00e9 qu’un client paie en une fois durant l’ann\u00e9e 2018 est \u00e9gale \u00e0 \"\boxed{0,358}\".<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9termine \"a\" et \"b\" tels que \"(a \quad b) = (a \quad b)\, M = (a \quad b) \begin{pmatrix} 0,3&0,7\\0,15&0,85\end{pmatrix}\"
\nsoit \"(a \quad b) = (0,7\ a + 0,15 b \quad 0,3 \, a + 0,85 \, b )\"
\nssi \"\left \{\begin{matrix} a &=&0,7\ a + 0,15 b\\b&=& 0,3 \, a + 0,85 \, b \end{matrix}\right.\"
\nssi \"\left \{\begin{matrix} 0,3\, a &=& 0,15 \,b\\0 , 15\, b&=& 0,3 \, a \end{matrix}\right.\"
\nssi \"30\, a = 15\, b\" ssi \"b = 2 \, a\"
\nComme on veut que \"a + b = 1\", on doit avoir \"a + 2 \, a = 1\" ssi \"a = \dfrac 1 3\"<\/p>\n

La distribution invariante est donn\u00e9e par \"\qquad \qquad \qquad \boxed{\left (\dfrac {1} {3} \quad \dfrac {2} {3} \right )}\".<\/p>\n

On peut donc estimer que pour \"n\" grand, la probabilit\u00e9 de payer annuellement sera proche de \"\dfrac 1 {3}\" et celle de payer mensuellement sera proche de \"\dfrac {2} {3}\".<\/p>\n

Correction exercice 2 de la cha\u00eene de Markov<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

L’\u00e9nonc\u00e9 donne
\nS’il est dans \"A\" (resp. \"C\"), il y reste avec la probabilit\u00e9 \"1/3\" et il passe dans \"B\" avec la probabilit\u00e9 \"B\".
\nS’il est dans \"B\", il y reste avec la probabilit\u00e9 \"1/2\" et il passe dans \"A\" (resp. \"C\") avec la probabilit\u00e9 \"1/4\"
\nCe qui donne le graphe de probabilit\u00e9 \u00e0 trois \u00e9tats \"A\",\"B\" et \"C\":<\/p>\n

\"Graph<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

On traduit les donn\u00e9es de l’\u00e9nonc\u00e9 par :
\n\"\mathbb{P}(B_{n + 1} \, \mid \, A_n ) = \mathbb{P}(B_{n + 1} \, \mid \, C_n ) =\dfrac 2 3\"
\n\"\mathbb{P}(A_{n + 1} \, \mid \, A_n ) = \mathbb{P}(C_{n + 1} \, \mid \, C_n ) = \dfrac 1 3\"
\nalors \"\mathbb{P}(C_{n + 1} \, \mid \, A_n ) = \mathbb{P}(A_{n + 1} \, \mid \, C_n ) = 0\"
\n\"\mathbb{P}(A_{n + 1} \, \mid \, B_n ) = \mathbb{P}(C_{n + 1} \, \mid \, B_n ) =\dfrac 1 4\"
\n\"\mathbb{P}(B_{n + 1} \, \mid \, B_n ) = \dfrac 1 2\"<\/p>\n

\"M = \begin{pmatrix} 1/3&2/3&0\\1/4&1/2&1/4\\0&2/3&1/3\end{pmatrix}\"<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

On fixe \"n \in \mathbb{N}\".
\nLa famille \"(A_n\, ,\, B_n\, ,\,C_n)\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements.
\nPar la formule des probabilit\u00e9s totales,<\/p>\n

\"\mathbb{P}(A_{n + 1} )= \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid A_n) \, \mathbb{P}(A_{n} )\" \"\qquad \qquad + \, \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid B_n) \mathbb{P}(B_{n} )\" \"\qquad \qquad + \, \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid C_n) \, \mathbb{P}(C_{n} )\"
\nsoit \"a_{n + 1} = \dfrac 1 3 \, a_n + \dfrac 1 4 \, b_n\"
\nde m\u00eame \"c_{n + 1} = \dfrac 1 4 \, b_n + \dfrac 1 3 \, c_n\,\".<\/p>\n

\"\mathbb{P}(B_{n + 1} )= \mathbb{P}(B_{n + 1} \mid A_n) \, \mathbb{P}(A_{n} )\" \"\qquad \qquad + \,\mathbb{P}(B_{n + 1} \mid B_n) \mathbb{P}(B_{n} )\" \"\qquad \qquad +\, \mathbb{P}(B_{n + 1} \mid C_n) \mathbb{P}(C_{n} )\"
\ndonc \"b_{n + 1} = \dfrac 2 3 \, a_n+\dfrac 1 2\, b_n + \dfrac 2 3 \, c_n\"<\/p>\n

soit pour tout \"n\in \mathbb{N}\", \"\boxed{R_{n + 1} = R_n \, M}\".<\/p>\n

Question 4 :<\/strong><\/p>\n

On cherche \"\pi = (x \quad y \quad x)\" tel que \"\qquad \qquad \qquad \pi= \pi \, M\"
\n\"x, \,y\" et \"z\" \u00e9tant positifs ou nuls et de somme \u00e9gale \u00e0 1.
\nComme tous les \u00e9l\u00e9ments de \"M\" sont strictement positifs, on sait que \"\pi\" existe et est unique.<\/p>\n

\"M = \begin{pmatrix} 1/3&2/3&0\\1/4&1/2&1/4\\0&2/3&1/3\end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"\pi= \pi \, M\" ssi \"\pi = \left (\dfrac {x} 3 + \dfrac y 4 \quad \dfrac {2x} 3 + \dfrac y 2 + \dfrac {2z} 3 \quad \dfrac y 4 + \dfrac 7 3 \right )\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} x &=& x/3 + y/4 \\ y& =& 2x/3+y/2+2z/3\\z &=& y/4+z/3\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} 2/3 x &=& y/4 \\ y/2 &=& 2x/3+2z/3\\ 2z/3 &=& y / 4 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} x& =& 3 y/8 \\ y& =& 4x/3+4z/3\\ x &=& 3 y / 8 \\z &=& 3\, y / 8\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"x = \dfrac {3\, y} 8 = z\" car alors \"\dfrac {4 x} 3 + \dfrac {4 z } 3 = \dfrac {y} 2 + \dfrac {y} 2 = 1\"<\/p>\n

On a obtenu \"\left ( \dfrac {3\, y} 8 \quad y \quad \dfrac {3\, y} 8 \right )\".
\nLa somme des \u00e9l\u00e9ments est \u00e9gale \u00e0 \"\dfrac {3\, y} 4 + y = \dfrac {7\, y} 4 = 1\" ssi \"y = \dfrac 4 7\"<\/p>\n

donc \"\boxed{\pi = \left (\dfrac 3 {14} \quad \dfrac 4 7 \quad \dfrac 3 {14}\right )}\".<\/p>\n

Question 5 :<\/strong><\/p>\n

a) \"u_{n + 1} = a_{n + 1} -c_{n + 1}\"
\n\"\quad = \left ( \dfrac 1 3 \, a_n + \dfrac 1 4 \, b_n \right ) - \left ( \dfrac 1 3 \, c_n + \dfrac 1 4 \, b_n \right )\"
\ndonc \"u_{n + 1} = \dfrac 1 3 \, \left (a_n - c_n) \right ) = \dfrac 1 3 \, u_n\,\".
\n\"(u_n)\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"\dfrac 1 3\".<\/p>\n

b) Par propri\u00e9t\u00e9 des suites g\u00e9om\u00e9triques, pour tout \"n \in \mathbb{N}\",
\n\"u_n = \left ( \dfrac 1 3 \right ) ^n \, u_0 = \dfrac 1 {3^n} (a_0 - c_0)\".
\nsachant que \"a_0 = 1\" et \"b_0 = c_0 = 0\", alors \"u_n = \dfrac 1 {3^n}\" soit \"a_n - c_n \dfrac 1 {3^n}\,\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
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 <\/p>\n

Correction exercice 3 de terminale sur la cha\u00eene de Markov<\/h2>\n

Question 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On num\u00e9rote les pages de \"0\" \u00e0 \"3\".
\nSi l’on est sur la page \"0\", on choisit une page parmi \"\{1,2,3\}\".
\nSi l’on est sur la page \"2\", on choisit une page parmi \"\{ 0 , 3\}\".
\nSi l’on est sur la page \"1\" (resp 3), on passe sur la page 0 (resp. 1).<\/p>\n

def choix(PagePrec):
\n\"\qquad \vert\" if PagePrec == 0:
\n\"\qquad \quad \vert\" R = random.choice ([1, 2, 3])
\n\"\qquad \vert\" elif PagePrec == 1:
\n\"\qquad \quad \vert\" R = 0
\n\"\qquad \vert\" elif PagePrec == 2:
\n\"\qquad \qquad \vert\" R = random.choice([0, 3])
\n\"\qquad \vert\" else :
\n\"\qquad \qquad \vert\" R = 1
\n\"\qquad \vert\" return R<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

def Partant(k,n):
\n\"\qquad \vert\" page = k
\n\"\qquad \vert\" for i in range(n):
\n\"\qquad \qquad \vert\" page = choix(page)
\n\"\qquad \vert\" return page<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On d\u00e9finit une liste \"L\" form\u00e9e de \"4\" z\u00e9ros.
\nQuand on arrive sur une page, il suffit d’augmenter L[page ] d’une unit\u00e9 pour marquer qu’elle a \u00e9t\u00e9 visit\u00e9e une fois de plus.<\/p>\n

def TestPages (nbClics):
\n\"\quad \vert\" L = [0 for k in range(4)]\n\"\quad \vert\" Page = random.randint(0,3)
\n\"\quad \vert\" L[Page] = 1
\n\"\quad \vert\" for essai in range(nbClics):
\n\"\quad \quad \vert\" Page = choix(Page)
\n\"\quad \quad \vert\" L[Page]= L[Page]+ 1
\n\"\quad \vert\" return (L)<\/p>\n

\">>>\" TestPages(1000)
\n[377, 303, 136, 185]\n

Question 4 :\u00a0\u00a0<\/strong><\/p>\n

def Maximum(L):
\n\"\qquad \vert\" n = len(L)
\n\"\qquad \vert\" maxi = L[0]\n\"\qquad \vert\" indice = 0
\n\"\qquad \vert\" for i in range(1, n):
\n\"\qquad \qquad \vert\" if L[i]> maxi :
\n\"\qquad \qquad \vert\" indice = i
\n\"\qquad \qquad \vert\" maxi = L[i]\n\"\qquad \vert\" return [indice,maxi]\n

explication : on d\u00e9termine le nombre d’\u00e9l\u00e9ments de la liste.
\nOn initialise maxi par L[0] et indice par 0.
\nPuis on d\u00e9crit la liste, en modifiant les variables maxi et indice lorsque l’on obtient une valeur \"L[i]\" strictement sup\u00e9rieure au maxi provisoire.<\/p>\n

\">>>\" Maximum([4,3,2,1,7,6,7,3])
\n[4, 7]\n

Question 5 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

def TestMeilleurePage (nbClics):
\n\"\qquad \vert\" L = [0 for k in range(4)]\n\"\qquad \vert\" for k in range (4):
\n\"\qquad \qquad \vert\" Lk = [0 for i in range(4)]\n\"\qquad \qquad \vert\" Page = k
\n\"\qquad \qquad \vert\" Lk[k] = 1
\n\"\qquad \vert\" for essai in range(nbClics):
\n\"\qquad \qquad \quad \vert\" Page = choix(Page)
\n\"\qquad \qquad \quad \vert\" Lk[Page]= Lk[Page] + 1
\n\"\qquad \qquad \vert\" L[k] = Maximum(Lk)
\n\"\qquad \vert\" return (L)<\/p>\n

\">>>\" TestMeilleurePage(1000)
\n[[0, 378], [0, 378], [0, 373], [0, 368]]\n

La page la plus visit\u00e9e est la page \"0\" donc nomm\u00e9e \"A\", ind\u00e9pendamment de la page de d\u00e9part.<\/p>\n

Pour vous pr\u00e9parer \u00e0 l’examen du bac, retrouvez des d\u00e9finitions, des exemples, conseils et m\u00e9thodes sur les autres chapitres du programme de l’option maths expertes.<\/p>\n

Retrouvez ici les chapitres \u00e0 conna\u00eetre en sp\u00e9 maths expertes :<\/p>\n