{"id":105063,"date":"2021-05-11T11:02:00","date_gmt":"2021-05-11T10:02:00","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=105063"},"modified":"2023-09-15T13:23:31","modified_gmt":"2023-09-15T12:23:31","slug":"cours-en-ligne-variables-aleatoires-loi-grands-nombres-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-variables-aleatoires-loi-grands-nombres-terminale\/","title":{"rendered":"Cours sur la loi des grands nombres"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours variables al\u00e9atoires : loi des grands nombres en terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

Le niveau de math\u00e9matiques au programme de terminale est plus \u00e9lev\u00e9 depuis la r\u00e9forme du bac. La sp\u00e9cialit\u00e9 math\u00e9matiques ouvre aux \u00e9l\u00e8ves la porte de toutes les classes pr\u00e9paratoire \u00e0 condition de fournir le travail n\u00e9cessaire.<\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours : la loi des grands nombres<\/h2>\n

Ce cours en ligne sur la loi des grands nombres permet de revoir tous les points essentiels afin de bien r\u00e9ussir et obtenir des bons r\u00e9sultats au bac. Vous pouvez completer ce cours sur la loi des grands nombre avec un prof de maths en ligne<\/a>.<\/p>\n

1. Les variables al\u00e9atoires en terminale Maths expertes<\/h2>\n

1.1. Rappels sur les variables al\u00e9atoires en terminale<\/h3>\n

\"\bullet\" Toute application \"X : \Omega \to \mathbb{R}\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle sur \"\Omega\". On \u00e9crit en abr\u00e9g\u00e9 \"X\" est une v.a.r. sur \"\Omega\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire sur \"\Omega\", \"X(\Omega)\" est une partie finie de \"\mathbb{R}\", que l’on note \"X(\Omega) = \{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"i \in [\![1,n]\!]\", \"\quad (X = x_i) = \{ \omega \in \Omega \, / \, X(\omega) = x_i \}\"<\/p>\n

\"\ast\" L’ensemble des \u00e9v\u00e9nements \"\qquad \qquad (X = x_i)_{1\leqslant i \leqslant n }\"
\nest form\u00e9 de parties non vides, 2 \u00e0 2 disjointes, de r\u00e9union \u00e9gale \u00e0 \"\Omega\" (c’est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements).<\/p>\n

\"\bullet\" Donner la loi de la variable al\u00e9atoire \"X\" c’est donner \"X(\Omega) = \{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}\" et pour tout \"i \in [\![1,n]\!]\", la valeur du r\u00e9el \"p_i = \mathbb{P}(X = x_i)\".<\/p>\n

alors : \"\displaystyle \sum _ {i = 1}^n \mathbb{P}(X = x_i) = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"p \in ]0 , 1[\". Une variable al\u00e9atoire \"X\" suit une loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"p\" si \"X(\Omega) = \{0 , 1\}\" et \"\mathbb{P}(X = 1) = p\".<\/p>\n

Lorsque \"n\" est petit, on peut pr\u00e9senter la loi de \"X\" sous forme d’un tableau comme celui-ci :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"\bullet\" On peut d\u00e9finir une probabilit\u00e9 \"\mathbb{P} _X\" sur l’univers fini \"X(\Omega)\" par:
\npour tout \"A \subset X(\Omega)\",<\/p>\n

\"\qquad \mathbb{P}_X(A) = \displaystyle \sum _ {\{i \,/ \, x_i \in A\} }\mathbb{P}(X = x_i)\"<\/p>\n

\"\mathbb{P}_X(A)= \mathbb{P} \left ( \{ \omega \in \Omega\, / \, X(\omega) \in A \} \right)\" .<\/p>\n

On note \"\quad (X \in A) = \{ \omega \in \Omega\, / \, X(\omega) \in A \}\"
\nalors \"\mathbb{P}_X(A) = \mathbb{P}(X \in A)\".<\/p>\n

En particulier
\nsi \"A = [x , \, + \infty[\", \"\qquad (X \leqslant x) = \{\omega \, / \, X(\omega) \leqslant x\}\"
\nsi \"A = [x , \, + \infty[\", \"\qquad (X \geqslant x) = \{\omega \, / \, X(\omega) \geqslant x \}\"
\nsi \"A = \; ]x , \, + \infty[\", \"\qquad (X < x) = \{\omega \, / \, X(\omega) < x \}\"
\nsi \"A = \; ] - \infty, x]\", \"\qquad (X \leqslant x) = \{\omega \, / \, X(\omega) \leqslant x \}\"
\nsi \"A =\; ] - \infty, x[\", \"\qquad (X < x) = \{\omega \, / \, X(\omega) < x \}\"
\netc …<\/p>\n

1.2. Op\u00e9rations sur les variables al\u00e9atoires en maths expertes<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont deux variables al\u00e9atoires sur l’univers fini \"\Omega\", on d\u00e9finit<\/p>\n

\"\ast\" la somme des variables al\u00e9atoires \"X\" et \"Y\" par
\n\"X + Y : \Omega \to \mathbb{R}, \, \omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)\"<\/p>\n

\"\ast\" le produit des variables al\u00e9atoires \"X\" et \"Y\" par
\n\"\;\; X\, Y : \Omega \to \mathbb{R}, \, \omega \mapsto X(\omega) \times Y(\omega)\".
\n\"X + Y\" et \"X\,Y\" sont des variables al\u00e9atoires sur \"\Omega\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire sur l’univers fini \"\Omega\",<\/p>\n

\"\ast\" si \"\alpha \in \mathbb{R}\", on d\u00e9finit le produit de \"X\" par le r\u00e9el \"\alpha\" par
\n\"\qquad \alpha \, X : \Omega \to \mathbb{R}, \, \omega \mapsto \alpha \, X(\omega)\"<\/p>\n

\"\ast\" si \"\alpha, \beta \in \mathbb{R}\",
\n\"\alpha \, X + \beta : \Omega \to \mathbb{R}, \, \omega \mapsto \alpha \, X(\omega) + \beta\"
\n\"\alpha X\" et \"\alpha \, X + \beta\" sont des variables al\u00e9atoires.<\/p>\n

Autres exemples :
\nSi \"n \in \mathbb{N}\", \"n \geqslant 2\" et si \"X\", \"X_1\,,\, \cdots \, ,\, X_n\,\" sont des variables al\u00e9atoires sur \"\Omega\",
\n\"\quad \ast\" \"X ^n : \omega \mapsto (X(\omega))^n\".
\n\"\quad \ast\" \"X _ 1 - X_2\"
\n\"\quad \ast\" \"X_1 + \cdots + X_n\"
\n\"\quad \ast\" \"\dfrac 1 n \left (X_1 + \cdots + X_n \right)\"
\nsont des variables al\u00e9atoires sur \"\Omega\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

1.3. Ind\u00e9pendance de variables al\u00e9atoires<\/h3>\n

\"\bullet\" Les variables \"X\" et \"Y\" d\u00e9finies sur l’univers fini \"\Omega\" muni de la probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}\" sont dites ind\u00e9pendantes lorsque<\/p>\n

pour tout \"x \in X(\Omega)\" et \"y \in Y(\Omega)\", \"\mathbb{P} \left ( (X = x) \cap (Y = y) \right ) =\" \"\qquad \qquad \quad \mathbb{P} \left ( X = x\right ) \, \mathbb{P} \left (Y = y \right )\"<\/p>\n

c.a.d. les \u00e9v\u00e9nements \"(X =x)\" et \"(Y = y)\" sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont des variables ind\u00e9pen- dantes, alors pour tout \"x\" et \"y\",
\n\"\ast\" les \u00e9v\u00e9nements \"(X \leqslant x)\" et \"(Y \leqslant y)\"
\n\"\ast\" les \u00e9v\u00e9nements \"(X \leqslant x)\" et \"(Y < y)\"
\n\"\ast\" les \u00e9v\u00e9nements \"(X \geqslant x)\" et \"(Y \leqslant y)\"
\n(etc …) sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

Vous n’aurez pas \u00e0 prouver que les variables al\u00e9atoires sont ind\u00e9pendantes, mais si elles sont ind\u00e9pendantes, vous pouvez utiliser l’ind\u00e9pendance<\/a> des \u00e9v\u00e9nements \"(X \in A)\" et \"Y \in B)\".<\/p>\n

Si l’on a \"n\" \u00e9preuves ind\u00e9pendantes sur l’univers fini \"\Omega\" et si pour tout \"k \in [\![1,\, n]\!]\", \"X_k\" est une variable al\u00e9atoire associ\u00e9e \u00e0 la \"k\"-\u00e8me \u00e9preuve, les \"n\" variables \"(X_1\,,\, \cdots \,,\, X_n)\" sont ind\u00e9pendantes et elles sont alors 2 \u00e0 2 ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

1.4. Esp\u00e9rance d’une variable al\u00e9atoire en terminale g\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire sur l’univers fini \"(\Omega,\, \mathbb{P})\" , lorsque \"\qquad X(\Omega) = \{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}\"
\nl’esp\u00e9rance de \"X\" est le r\u00e9el not\u00e9 \"\textrm{E}(X)\" \u00e9gal \u00e0 \"\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {k= 1} ^n x_k \, \mathbb{P}(X = x_k)\".<\/p>\n

Interpr\u00e9tation : On suppose que \"X(\Omega) =\{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}\".<\/p>\n

On dit que \"X\" suit une loi uniforme si<\/p>\n

pour tout \"k \in [\![1,n]\!]\", \"\mathbb{P}(X = x_k) = \dfrac 1 n\"<\/p>\n

alors \"\textrm{E}(X)\" est la moyenne des valeurs prises par \"X\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoi- res sur \"(\Omega,\,\mathbb{P})\", alors
\n\"(1) \quad \textrm{E}(X + Y )= \textrm{E}(X)+ \textrm{E}(Y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire et \"\alpha \in \mathbb{R}\" , alors
\n\"(2) \quad \textrm{E}(\alpha \, X)= \alpha \, \textrm{E}(X)\".<\/p>\n

On traduit \"(1)\" et \"(2)\" en disant que l’esp\u00e9rance est lin\u00e9aire.<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire et \"\alpha, \beta \in \mathbb{R}\" , alors
\n\"\qquad \textrm{E}(\alpha \, X + \beta )= \alpha \, \textrm{E}(X) + \beta\"<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"n \in \mathbb{N}, \, n \geqslant 2\". Si pour tout \"k \in [\![1 , \, n]\!]\", \"X_k\" est une variable al\u00e9atoire sur l’univers fini \"\left( \Omega, \, \mathbb{P} \right )\"<\/p>\n

\"\qquad \displaystyle \textrm{E}\left ( \sum_ {k = 1} ^n X_k \right ) = \sum_ {k = 1} ^n \textrm{E}(X_k)\".<\/p>\n

1.5. La variance en maths expertes en terminale<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire sur \"(\Omega, \,\mathbb{P} )\" et si \"X(\Omega) =\{x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}\",<\/p>\n

\"\ast\" la variance de \"X\" est le r\u00e9el positif ou nul :
\n\"\textrm{V}(X) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \left ( x_k- \textrm{E}(X) \right) ^2 \, \mathbb{P}(X = x_k)\"
\n\"\ast\" l’\u00e9cart-type de \"X\" est le r\u00e9el positif ou nul not\u00e9 \"\sigma(X) = \sqrt{\textrm{V}(X) }\".<\/p>\n

\"\textrm{V}(X)\" est l’esp\u00e9rance de la variable al\u00e9atoire \"\left (X - \textrm{E}(X) \right ) ^2\".<\/p>\n

On peut donc \u00e9crire : \"\qquad \quad\textrm{V}(X) = \textrm{E} \left( \left (X - \textrm{E}(X) \right ) ^2 \right )\".<\/p>\n

\"\sigma(X)\" est une mesure de la dispersion de \"X\" autour de \"\textrm{E}(X)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Formule de Koenig-Huyghens<\/p>\n

\"\qquad \textrm{V}(X) = \textrm{E}(X^2 ) - \left ( \textrm{E}(X) \right ) ^2\".<\/p>\n

Il est pr\u00e9f\u00e9rable d’utiliser cette formule pour le calcul de \"\textrm{V}(X)\".<\/p>\n

Si les variables \"X\" et \"Y\" ont m\u00eame loi, \"\textrm{E}(X) = \textrm{E}(Y)\" et \"\textrm{V}(X)= \textrm{V}(Y)\".<\/p>\n

Lorsque \"n\" est faible, on peut calculer \"\textrm{E}(X)\" et \"\textrm{E}(X^2)\" en utilisant un tableau du type suivant :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"\bullet\" Propri\u00e9t\u00e9s
\n\"\ast\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire et \"\alpha\" un r\u00e9el, \"\textrm{V}(\alpha \, X) =\alpha^2 \, \textrm{V}( X)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"X\" et \"Y\" sont des variables ind\u00e9pendantes sur \"(\Omega,\,\mathbb{P})\", \"\qquad \textrm{V}( X + Y)=\textrm{V}( X)+ \textrm{V}( Y)\".<\/p>\n

\"\ast\" Soient \"n\geqslant 2\" et \"n\" \u00e9preuves ind\u00e9pen- dantes. Si pour tout \"k \in [\![1 , \, n]\!]\", \"X_k\" est une variable al\u00e9atoire associ\u00e9e \u00e0 la \"k\" -\u00e8me \u00e9preuve et si \"X = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n X_k\,\",
\n\"\qquad \quad \textrm{V}(X) = \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \textrm{V}(X_k)\".<\/p>\n

2. In\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev en maths en Terminale<\/h2>\n

In\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev<\/p>\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire sur \"(\Omega,\, \mathbb{P})\"<\/p>\n

Pour tout \"\delta > 0\", \"\qquad \mathbb{P} \left ( \vert X - \textrm{E}(X) \vert \geqslant \delta\right ) \leqslant \dfrac {\textrm{V}(X)} {\delta^2}\".<\/p>\n

On note \"X(\Omega) = \{ x_1\,,\, \cdots \,,\, x_n \}\" et \"\mu = \textrm{E}(X)\"<\/p>\n

On note \"A\" l’ensemble des \"i\in [[1 , n]]\" tels que \"\vert x_i -\mu \vert \geqslant \delta\" et \"B = [[1 , n]]\setminus A\".<\/p>\n

\"A = ( X \geqslant \textrm{E}(X) +\delta ) \cup ( X \leqslant \textrm{E}(X) - \delta)\"<\/p>\n

On \u00e9crit \"\quad \displaystyle \textrm{V}(X) = \sum _{i = 1} ^n (x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i)\".<\/p>\n

En utilisant la partition \"A , B\" de \"[[1 , n]]\"<\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{V}(X) = \sum _{i \in A} (x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i)\" \"\qquad \qquad \qquad \displaystyle +\, \sum _ {i \in B} (x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i)\"<\/p>\n

comme on additionne des nombres positifs ou nuls,<\/p>\n

\"\displaystyle \textrm{V}(X) \geqslant \sum _{i \in A} (x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i)\"<\/p>\n

puis si \"i \in A\", \"(x_i -\mu)^2\, \mathbb{P}(X = x_i) \geqslant \delta^2\, \mathbb{P}(X = x_i)\"<\/p>\n

donc \"\displaystyle \textrm{V}(X) \geqslant \delta ^2 \,\sum _{i \in A} \mathbb{P}(X = x_i)\"<\/p>\n

\"\displaystyle \sum _{i \in A} \mathbb{P}(X = x_i) = \mathbb{P} \left ( \displaystyle \bigcup _{i \in A} (X = x_i) \right )\".<\/p>\n

avec \"\displaystyle \bigcup _{i \in A} (X = x_i) = (\vert X - \mu) \vert \geqslant \delta)\"<\/p>\n

ce qui donne \"\textrm{V}(X) \geqslant \delta^2 \, \mathbb{P} \left ( \vert X - \mu) \vert \geqslant \delta \right )\"<\/p>\n

On obtient le r\u00e9sultat en divisant par \"\delta^2 > 0\".<\/p>\n

L’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev donne donc une majoration de la probabilit\u00e9 pour que \"X \geqslant \textrm{E}(X) + \delta\" ou que \"X \leqslant \textrm{E}(X) - \delta\"<\/p>\n

En particulier si \"\sigma\" est l’\u00e9cart type de \"X\", \"\mathbb{P}\left ( \vert X - \mu \vert \geqslant 2 \,\sigma \right ) \leqslant \dfrac 1 4\".<\/p>\n

En prenant \"\delta = \sigma\", on obtient une in\u00e9galit\u00e9 qui n’a pas d’int\u00e9r\u00eat car elle s’\u00e9crit \"\mathbb{P}\left ( \vert X - \mu \vert \geqslant \sigma \right ) \leqslant 1\"<\/p>\n

On peut aussi \u00e9crire l’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev sous la forme :<\/p>\n

pour tout \"\delta > 0\", \"\mathbb{P} \left ( \vert X - \textrm{E}(X) \vert < \delta\right ) \geqslant 1 -\dfrac {\textrm{V}(X)} {\delta^2}\".<\/p>\n

3. Loi des grands nombres en Terminale<\/h2>\n

3.1. \u00c9chantillon de taille \"n\" d’une loi<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire d\u00e9finie sur l’univers fini \"(\Omega, \mathbb{P})\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on appelle \u00e9chantillon de taille \"n\" de la loi de \"X\" toute famille \"(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)\" de variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes de m\u00eame loi que \"X\"
\n(on les obtient en r\u00e9p\u00e9tant \"n\" \u00e9preuves identiques)<\/p>\n

\"\ast\" On d\u00e9finit<\/p>\n

\"\qquad S_n = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^n X_k\" et \"M_n = \dfrac 1 n \, S_n\,\".<\/p>\n

\"M_n\" est appel\u00e9e moyenne empirique des variables \"(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Propri\u00e9t\u00e9s<\/p>\n

Soient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)\" de variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes de m\u00eame loi.<\/p>\n

On note \"\mu = \textrm{E}(X_1)\" et \"\sigma\" l’\u00e9cart type de \"X_1\"<\/p>\n

\"\ast \;\; \textrm{E}(S_n) = n \, \mu\" et \"\textrm{V}(S_n) = n \, \sigma^2\"
\n\"\ast \;\; \textrm{E}(M_n) =\mu\" et \"\textrm{V}(M_n) = \dfrac {\sigma^2 } n\".<\/p>\n

3.2. In\u00e9galit\u00e9 de concentration en maths expertes<\/h3>\n

Soient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)\" des variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes de m\u00eame loi d’esp\u00e9rance \"\mu\" et d’\u00e9cart- type \"\sigma\".
\nAlors pour tout \"\delta > 0\",
\n\"\qquad \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac {\sigma^2} {n \, \delta^2}\"<\/p>\n

C’est simplement une application de l’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev, on peut donc la retrouver facilement.<\/p>\n

Plus la taille de l’\u00e9chantillon est importante, plus les valeurs prises par les moyennes empiriques sont regroup\u00e9es autour de l’esp\u00e9rance de la loi.<\/p>\n

3.3. Loi des grands nombres en terminale<\/h3>\n

Soit une \u00e9preuve \"\mathcal{E}\" et une variable al\u00e9atoire \"X\" associ\u00e9e \u00e0 cette \u00e9preuve dont on note \"\mu\" l’esp\u00e9rance et \"\sigma\" l’\u00e9cart type.<\/p>\n

En r\u00e9p\u00e9tant \"n\" fois de fa\u00e7on ind\u00e9pen- dante cette \u00e9preuve, on obtient un \u00e9chantillon \"(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)\" de taille \"n\" de la loi de \"X\".<\/p>\n

Pour tout \"t > 0\", \"\qquad \quad \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant t \right ) \leqslant \dfrac {\sigma^2} {n \, t^2}\"
\nalors \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant t \right ) = 0\".<\/p>\n

On dit que la suite<\/a> \"(M_n)_n\" converge en probabilit\u00e9 vers \"\mu\".<\/p>\n

Cas particulier<\/p>\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire de Bernoulli d’esp\u00e9rance \"p\".<\/p>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}^*\" et un \u00e9chantillon \"(X_1\,,\, X_2\,,\, \cdots \,,\, X_n)\" de taille \"n\" de la loi de \"X\".<\/p>\n

Pour tout \"t > 0\", \"\qquad \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant t \right ) \leqslant \dfrac {p(1 - p) } {n \, t^2}\"<\/p>\n

alors \"\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \mathbb{P}\left ( \vert M_n - \mu \vert \geqslant t \right ) = 0\".<\/p>\n

On dit que la suite \"(M_n)_n\" converge en probabilit\u00e9 vers \"p\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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