{"id":105095,"date":"2021-05-11T11:01:52","date_gmt":"2021-05-11T10:01:52","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=105095"},"modified":"2022-07-21T14:26:26","modified_gmt":"2022-07-21T13:26:26","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-variables-aleatoires-loi-grands-nombres-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-variables-aleatoires-loi-grands-nombres-terminale\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s des variables al\u00e9atoires : la loi des grands nombres"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n
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Exercices et corrig\u00e9s : la loi des grands nombres<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\r\n

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Bien se pr\u00e9parer avec des exercices et corrig\u00e9s sur le chapitre de la loi des grands nombres en terminale sp\u00e9cialit\u00e9 maths est essentiel pour bien r\u00e9ussir l’\u00e9preuve du bac.<\/p>\r\n

1.\u00a0 Variables al\u00e9atoires en terminale sp\u00e9 Maths<\/h2>\r\n

Exercice 1 : l’esp\u00e9rance et la variance de variables al\u00e9atoires<\/h3>\r\n

3 enfants ach\u00e8tent un cornet de glace \u00e0 une boule \u00e0 leur marchand pr\u00e9f\u00e9r\u00e9 : \u00ab\u00a0Fanfan\u00a0\u00bb \u00e0 Aix les Bains.<\/p>\r\n

10 parfums sont disponibles.<\/p>\r\n

Question 1 :<\/strong>
Quelle est la loi du nombre \"X\" de parfums choisis par les 3 enfants ?<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
Calculer l’esp\u00e9rance et la variance de \"X\", donner les r\u00e9sultats sous forme d\u00e9cimale, s\u00e9par\u00e9s par un point virgule<\/p>\r\n

Deux enfants (une fille et un gar\u00e7on) demandent maintenant chacun un cornet \u00e0 2 boules, les 2 boules peuvent \u00eatre de m\u00eame parfum et 10 parfums sont disponibles.
On note \"Y\" le nombre de parfums choisis.<\/p>\r\n

Question 3 :<\/strong>
Trouver la loi de \"Y\".<\/p>\r\n

Question 4 :<\/strong>
Donner une valeur approch\u00e9e \u00e0 \"10^{-3}\" pr\u00e8s de l’esp\u00e9rance et la variance de \"Y\".<\/p>\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 : Loi uniforme sur \"[\![1 , n]\!]\"<\/h3>\r\n

Question 1 :<\/strong>
On suppose que l’on tire au hasard un num\u00e9ro entre \"1\" et \"n\".<\/p>\r\n

On note \"X\" le nombre obtenu.<\/p>\r\n

D\u00e9terminer la loi de \"X\".<\/p>\r\n

On dit que \"X\" suit une loi uniforme sur \"[\![1 , n]\!]\".<\/p>\r\n

Calculer son esp\u00e9rance et sa variance.<\/p>\r\n

On pourra utiliser \"\qquad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n {k^2} = \dfrac {n(n + 1)(2\, n + 1)} 6\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
On tire au hasard un deuxi\u00e8me num\u00e9ro entre \"1\" et \"n\".<\/p>\r\n

On note \"S\" la somme des deux num\u00e9- ros obtenus, d\u00e9terminer l’esp\u00e9rance et la variance de \"S\".<\/p>\r\n

Question 3 :<\/strong>
On suppose dans cette question que \"n = 10\".<\/p>\r\n

Donner la loi de \"S\".<\/p>\r\n

Question 4 :<\/strong>
Soient \"a\" et \"b\" deux entiers relatifs tels que \"a < b\". On dit que \"Y\" suit une loi uniforme sur \"[\![a , b]\!]\", lorsque<\/p>\r\n

\"Y(\Omega) =[\![a , b]\!]\" et pour tout \"k \in [\![a , b]\!]\", \"\qquad \quad \mathbb{P}(X = k) = \dfrac 1 {b - a + 1}\".<\/p>\r\n

a. Si \"Y\" suit une loi uniforme sur \"[\![a , b]\!]\", \"X = Y - a + 1\" suit une loi uniforme sur \"[\![1 , b - a+1]\!]\"<\/p>\r\n

b. En d\u00e9duire l’esp\u00e9rance et la variance de \"Y\".<\/p>\r\n

2. Concentration, loi des grands nombres en terminale<\/h2>\r\n

Exercice 3 : In\u00e9galit\u00e9s de Bienaym\u00e9-Tchebychev\u00a0<\/h3>\r\n

On tire des boules avec remise dans une urne contenant \"60\%\" de boules blanches.<\/p>\r\n

Question 1 :<\/strong>
Quelle est la loi de la variable \"X\" donnant le nombre de boules blanches obtenues apr\u00e8s 20 tirages ?<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
a) En utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev, donner une minoration de la probabilit\u00e9 de tirer moins de 16 boules blanches mais plus de 8.<\/p>\r\n

b) Calculer \"\mathbb{P}(8 < X < 16)\", \u00e0 \"10^{- 3}\" pr\u00e8s, en utilisant la loi de \"X\" et discuter la minoration obtenue dans la question pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\r\n

Exercice 4 In\u00e9galit\u00e9s de concentration<\/h3>\r\n

Quand nous pourrons voyager en avion sans probl\u00e8me …<\/p>\r\n

Dans un avion, une personne est autoris\u00e9e \u00e0 mettre en soute un bagage de \"23\" kg ou moins, sans p\u00e9nalit\u00e9.<\/p>\r\n

Une compagnie a\u00e9rienne a compil\u00e9 la masse de tous les bagages enregistr\u00e9s sur une ann\u00e9e et a constat\u00e9 que la masse d’un bagage est donn\u00e9e en kg par une variable al\u00e9atoire \"X\" d’esp\u00e9- rance 22 et d’\u00e9cart-type 1,4.<\/p>\r\n

Question 1 :<\/strong>
Sur un avion de \"500\" passagers suppo- s\u00e9s ind\u00e9pendants, on appelle \"X_i\" la masse du bagage du passager \"i\" et \"M\" la variable al\u00e9atoire donnant la moyenne des masses des bagages des \"500\" passagers.<\/p>\r\n

Minorer \"\mathbb{P} \left ( M \in \; ]21, 5 \, ; \, 22, 5[\right )\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
Si la masse totale de bagages est inf\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 \"10,5\" tonnes, alors l’avion embarque des bagages d’un autre vol et si la masse totale de bagages est sup\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 \"11,5\" tonnes, alors une partie des bagages de l’avion est envoy\u00e9e sur un autre vol.<\/p>\r\n

Majorer la probabilit\u00e9 (\u00e0 \"10 ^{-4}\" pr\u00e8s) que cet avion contienne des bagages d’un autre vol ou ne contienne pas les bagages de tous ses passagers.<\/p>\r\n

3. Les variables al\u00e9atoires pour se pr\u00e9parer \u00e0 la pr\u00e9pa<\/h2>\r\n

Exercice 5 : Remplir des urnes selon les variables al\u00e9atoires<\/h3>\r\n

Soit \"p \geqslant 3\". On r\u00e9partit \"n\" boules num\u00e9rot\u00e9es de \"1\" \u00e0 \"n\" dans \"p \geqslant 3\" urnes num\u00e9rot\u00e9es de \"1\" \u00e0 \"p\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/strong>
Si \"i \in [\![1,\, p]\!]\", on note \"X_i\" la variable al\u00e9atoire \u00e9gale \u00e0 1 si l’urne \"i\" est vide et 0 si elle est non vide.<\/p>\r\n

Quelle est la loi de \"X_i \,\" ?<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
On note \"X\" le nombre d’urnes vides.<\/p>\r\n

D\u00e9terminer l’esp\u00e9rance de \"X\".<\/p>\r\n

Question 3 :<\/strong>
Dans le cas \"p = 3\", d\u00e9terminer la loi de \"X\". Calculer sa variance.<\/p>\r\n

Question 4 :<\/strong>
On suppose de nouveau \"p \geqslant 3\".<\/p>\r\n

Si \"i \in [\![1 , n]\!]\", on note \"Y_i = 1\" si l’on place la boule \"i\" dans l’urne \"1\".<\/p>\r\n

On note \"S\" la somme des num\u00e9ros dans l’urne \"1\".<\/p>\r\n

a. \"S = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \, i \, Y_i \,\".<\/p>\r\n

b. D\u00e9terminer \"\textrm{E}(S)\" et \"\textrm{V}(S)\".<\/p>\r\n

4. Correction des exercices sur la loi des grands nombres en terminale<\/h2>\r\n

Correction exercice sur la loi et variance de variable al\u00e9atoire de sp\u00e9 maths en terminale<\/h3>\r\n

Question 1 :<\/strong>
Il est conseill\u00e9 de terminer par \"\mathbb{P}(X = 2)\"
\"X(\Omega) =\{1 ,2 , 3\}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Le nombre de choix possibles est \u00e9gal au nombre de \"3\"-listes avec r\u00e9p\u00e9tition de l’ensemble \"E\" des 10 parfums.<\/p>\r\n

Donc \"\textrm{Card} (\Omega) = 10 ^3\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour r\u00e9aliser l’\u00e9v\u00e9nement \"(X = 1)\", il suffit de choisir le parfum pl\u00e9biscit\u00e9 par les 3 enfants : il y a 10 choix de ce parfum, donc \"\textrm{Card} (X = 1) = 10\".<\/p>\r\n

alors \"\mathbb{P}(X = 1) = \dfrac {10} {1000} = \dfrac 1 {100}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour r\u00e9aliser l’\u00e9v\u00e9nement \"(X = 3)\", on doit choisir trois parfums diff\u00e9rents.<\/p>\r\n

C’est l’ensemble des \"3\"– listes sans r\u00e9p\u00e9tition des 10 parfums.<\/p>\r\n

\"\textrm{Card} (X = 3) = 10 \times 9 \times 8\".<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(X = 3) = \dfrac {10 \times 72 } {1000} = \dfrac {72} {100}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" On peut donc tout simplement \u00e9crire que<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(X = 2) = 1 - \mathbb{P}(X = 3) - \mathbb{P}(X = 1)\"<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(X = 2) = 1 - \dfrac {73} {100} = \dfrac {27} {100}\".<\/p>\r\n

Si l’on veut effectuer le calcul de \"\textrm{Card} (X = 2)\",<\/p>\r\n

\"\ast\" On choisit le parfum demand\u00e9 2 fois : 10 choix<\/p>\r\n

\"\ast\" On choisit le parfum demand\u00e9 1 fois : 9 choix<\/p>\r\n

\"\ast\" On choisit l’enfant demandant ce parfum : 3<\/p>\r\n

alors \"\textrm{Card} (X = 2) = 10 \times 9 \times 3\" et<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(X = 2) = \dfrac {27} {100}\"<\/p>\r\n

\"\boxed{\begin{matrix} k&\vert & 0&\vert & 1&\vert &2 \\---&\vert &--&\vert& --&\vert &--\\\mathbb{P}(X = k)&\vert & \dfrac 1 {100}&\vert & \dfrac {27} {100}&\vert &\dfrac {72} {100} \end{matrix} }\"<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
\"\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^3 k \, \mathbb{P}(X = k)\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X)= \dfrac 1 {100} + \dfrac {54} {100} + \dfrac {216} {100}\"<\/p>\r\n

\"\boxed{\textrm{E}(X) = \dfrac {271} {100}}\".<\/p>\r\n

\"\textrm{E} \left (X^2 \right ) = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^3 k^2 \, \mathbb{P}(X = k)\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X^2)= \dfrac 1 {100} + \dfrac {108} {100} + \dfrac {648} {100}\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X^2)= \dfrac {757} {100}\".<\/p>\r\n

\"\textrm{V} \left (X \right ) = \textrm{E} \left (X^2 \right ) - \left ( \textrm{E} \left (X \right ) \right ) ^2\"<\/p>\r\n

\"\textrm{V}(X)= \dfrac {757} {100} - \dfrac {271^2} {100^2 } = \dfrac {2259} {10000}\".<\/p>\r\n

\"\boxed{\textrm{V}(X) = 0,2259}\".<\/p>\r\n

Question 3 :<\/strong>
\"Y(\Omega) = [[1,4]]\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" On d\u00e9termine le nombre de choix de parfums d’un enfant :<\/p>\r\n

\"\ast\" 10 choix du m\u00eame parfum pour les deux boules
\"\ast\" choix de 2 parfums parmi 10 : nombre de parties de 2 \u00e9l\u00e9ments parmi 10 \"\displaystyle \binom {10} 2 = \dfrac {10 \times 9} 2 = 45\".<\/p>\r\n

Chaque enfant a donc \"10 +45 = 55\" choix pour ses parfums.<\/p>\r\n

\"\textrm{Card }(\Omega) = 55^2 = 3025\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\textrm{Card } (Y = 1) = 10\"
et \"\mathbb{P}(Y = 1) = \dfrac {10} {3025} = \dfrac 2 {605}\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Calcul de \"\textrm{Card } (Y = 4)\"<\/p>\r\n

\"\ast\" La fille choisit ses 2 parfums parmi 10 \"\displaystyle \binom {10} 2 = 45\" choix<\/p>\r\n

\"\ast\" Le gar\u00e7on choisit ses 2 parfums parmi 8 : \"\displaystyle \binom {8} 2 = 28\" choix<\/p>\r\n

donc \"\textrm{Card } (Y = 4) = 45 \times 28\"
et \"\mathbb{P}(Y = 4) = \dfrac {45 \times 28} {55 ^2} = \dfrac {252}{605}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Calcul de \"\textrm{Card } (Y = 3)\"<\/p>\r\n

Un parfum est choisi deux fois, il peut \u00eatre choisi par le m\u00eame enfant ou par les deux enfants.<\/p>\r\n

On \u00e9crit que \"(Y = 3) = A \cup B\" avec :<\/p>\r\n

\"\ast\" \"A\" : \u00ab\u00a0un enfant choisit 2 fois le m\u00eame parfum et l’autre enfant choisit 2 autres parfums diff\u00e9rents et diff\u00e9rents du premier\u00a0\u00bb<\/p>\r\n

… On choisit l’enfant ayant un seul parfum : 2 choix
… On choisit ce parfum : 10 choix
… Le deuxi\u00e8me enfant choisit 2 parfums parmi 9 : \"\displaystyle \binom 9 2 = 36\" choix<\/p>\r\n

\"\textrm{Card } (A) = 2\times 10 \times 36 = 720\".<\/p>\r\n

\"\ast\" \"B\" : les deux enfants choisissent le m\u00eame parfum et un deuxi\u00e8me parfum diff\u00e9rent du premier et diff\u00e9rent du deuxi\u00e8me parfum de l’autre\u00a0\u00bb<\/p>\r\n

… On choisit le parfum choisi 2 fois : 10 choix
… On choisit le 2 \u00e8me parfum de la fille : 9 choix
… On choisit le 2 \u00e8me parfum du gar\u00e7on 8 choix<\/p>\r\n

\"\textrm{Card } (B) = 10 \times 9 \times 8 = 720\"<\/p>\r\n

\"\textrm{Card}(Y = 3) = \textrm{Card} (A) + \textrm{Card} (B)\"<\/p>\r\n

\"\textrm{Card}(Y = 3) = 1440\"<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(Y = 3) = \dfrac {1440} {55 ^2} = \dfrac {288}{605}\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" La m\u00e9thode la plus simple est d’\u00e9crire que<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(Y = 2) = 1 - \mathbb{P}(Y = 4) - \mathbb{P}(Y = 1)\" \"\qquad \qquad \qquad - \, \mathbb{P}(Y = 3)\"<\/p>\r\n

\"\quad = 1 - \dfrac {252} {605} - \dfrac {2} {605} - \dfrac {288} {605} = \dfrac{63} {605}\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si l’on veut faire le calcul de \"\textrm{Card}(Y = 2)\", on \u00e9crit \"\qquad \qquad (Y = 2) = C \cup D \cup E\",<\/p>\r\n

\"\ast\" \"C\" : \u00ab\u00a0les deux enfants ont choisi les m\u00eames deux parfums \u00ab\u00a0<\/p>\r\n

il y a \"\displaystyle \binom {10} 2 = 45\" choix de ces 2 parfums parmi 10<\/p>\r\n

donc \"\textrm{Card } (C) = 45\".<\/p>\r\n

\"\ast\" \"D\" : \u00a0\u00bb les deux enfants ont une glace d’un seul parfum et les 2 parfums sont distincts.\u00a0\u00bb<\/p>\r\n

la fille a une glace \u00e0 2 boules de m\u00eame parfum : 10 choix,
le gar\u00e7on a une glace \u00e0 2 boules d’un m\u00eame parfum diff\u00e9rent du choix de la fille : 9 choix<\/p>\r\n

donc \"\textrm{Card } (D) = 10 \times 9\".<\/p>\r\n

\"\ast\" \"E\" : \u00ab\u00a0un parfum est choisi 3 fois et un dernier une fois\u00a0\u00bb<\/p>\r\n

On choisit le parfum choisi 3 fois : 10 choix
on choisit le parfum choisi une fois : 9 choix
on choisit l’enfant prenant 2 parfums : 2 choix<\/p>\r\n

donc \"\textrm{Card } (E) = 10 \times 9 \times 2 = 180\".<\/p>\r\n

\"\textrm{Card}(Y = 2) = \textrm{Card} (C) + \textrm{Card} (D)\" \"\qquad \qquad \qquad \qquad +\, \textrm{Card} (E)\"<\/p>\r\n

\"\textrm{Card}(Y = 2)= 45+90 + 180 = 315\".<\/p>\r\n

et on retrouve \"\mathbb{P}(Y = 2) = \dfrac {315} {55^2} =\dfrac {63} {605}\".<\/p>\r\n

En r\u00e9sum\u00e9,<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(Y = 1) = \dfrac 2{605}\" \"\qquad\" \"\mathbb{P}(Y = 2) = \dfrac{63} {605}\" \"\mathbb{P}(Y = 3) = \dfrac 3 {288}{605}\" \"\qquad\" \"\mathbb{P}(Y = 4) = \dfrac{252} {605}\"<\/p>\r\n

Question 4<\/strong>
\"\textrm{E}(Y) = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^4 k \, \mathbb{P}(Y = k)\" \"\textrm{E}(Y) = \dfrac {1+126+864+1008} {605} = \dfrac {2000} {605}\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(Y) = \dfrac {400} {121} \approx \boxed{3,306}\".<\/p>\r\n

\"\textrm{E} \left (Y^2 \right ) = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^3 k^2 \, \mathbb{P}(Y = k)\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(Y^2 ) = \dfrac {2+252+2592+4032} {605} = \dfrac {6878} {605}\"<\/p>\r\n

\"\textrm{V} \left (Y \right ) = \textrm{E} \left (Y^2 \right ) - \left ( \textrm{E} \left (Y \right ) \right ) ^2\"<\/p>\r\n

\"\textrm{V}(Y) = \dfrac {32238} {73205} \approx\boxed{ 0,440}\".<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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 <\/p>\r\n

Correction exercice 2 : Loi uniforme sur \"[\![1 , n]\!]\" en terminale<\/h3>\r\n

Question 1 :<\/strong>
\"\bullet\" Loi de \"X\"<\/p>\r\n

\"X(\Omega) = [[1 , n]]\"<\/p>\r\n

Pour tout \"k \in [[1 , n]]\", \"\mathbb{P}(X = k) = \dfrac 1 n\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Esp\u00e9rance<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k \, \mathbb{P}(X = k) = \sum _{k = 1} ^n \dfrac k n\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X)= \dfrac {n(n + 1)} {2\, n}\"<\/p>\r\n

\"\qquad \qquad \boxed{\textrm{E}(X) = \dfrac {n + 1} 2 }\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Calcul de la variance<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X^2 ) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^2 \, \mathbb{P}(X = k) = \sum _{k = 1} ^n \dfrac {k^2} n\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X^2) = \dfrac {n(n + 1)(2\, n + 1) } {6\, n}\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X^2) = \dfrac {(n + 1)(2\, n+1)} 6\".<\/p>\r\n

\"\textrm{V}(X )= \textrm{E}(X^2 ) - \left ( \textrm{E}(X ) \right)^2\"<\/p>\r\n

\"\textrm{V}(X ) = \dfrac {(n + 1)((2\, n+1)} 6 - \dfrac {(n + 1)^2} 4\"<\/p>\r\n

\"\textrm{V}(X)= \dfrac {(n + 1) (4\, n + 2 - 3\, n - 3)} {12}\"<\/p>\r\n

\"\qquad \quad \boxed{\textrm{V}(X) = \dfrac {(n + 1) ( n - 1 )} {12} }\"<\/p>\r\n

Question 2 :\u00a0<\/strong>
On note \"Y\" la variable al\u00e9atoire \u00e9gale au deuxi\u00e8me num\u00e9ro.<\/p>\r\n

\"S = X + Y\".<\/p>\r\n

Les variables \"X\" et \"Y\" ont m\u00eame loi et sont ind\u00e9pendantes,<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(S) = \textrm{E}(X) + \textrm{E}(Y) = 2 \, \textrm{E}(X)\" \"\qquad \qquad \quad \boxed{\textrm{E}(X) = n + 1}\".<\/p>\r\n

\"\textrm{V}(S) = \textrm{V}(X) + \textrm{V}(Y) = 2\, \textrm{V}(X)\"<\/p>\r\n

\"\qquad \quad \boxed{\textrm{V}(S) = \dfrac {(n + 1) ( n - 1 )} {6}}\".<\/p>\r\n

Question 3 :<\/strong>
\"S(\Omega) = [[2 , 20]]\"<\/p>\r\n

Soit \"k \in [[2 , 20]]\",<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(S = k) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 1} ^{k} (X = i) \cap (Y = k-i) \right )\" \"\qquad = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^k \mathbb{P}\left ( (X = i) \cap (Y = k-i)\right )\" \"\qquad = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^k \mathbb{P}\left ( X = i \right ) \, \mathbb{P}\left ( Y = k - i\right )\"<\/p>\r\n

par ind\u00e9pendance<\/a> de \"X\" et \"Y\".<\/p>\r\n

avant de remplacer, il faut v\u00e9rifier que \"1 \leqslant k -i \leqslant 10\"<\/p>\r\n

ssi \"i \leqslant k - 1\" et \"k - 10 \leqslant i\"<\/p>\r\n

on rappelle que \"i \geqslant 1\", on distingue deux cas :<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"k \leqslant 11\", les conditions pr\u00e9c\u00e9dentes s’\u00e9crivent \"i \leqslant k - 1\"<\/p>\r\n

et \"1 \leqslant i\"<\/p>\r\n

donc on obtient<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(S = k)= \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{k - 1} \mathbb{P}\left ( X = i \right ) \, \mathbb{P}\left ( Y = k - i\right )\"<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(S = k)= \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{k - 1} \dfrac 1 {10 ^2} = \dfrac {k - 1} {100}\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"12 \leqslant k \leqslant 20\", les conditions pr\u00e9c\u00e9den- tes s’\u00e9crivent (on rappelle que \"i \leqslant 10\")<\/p>\r\n

\"\qquad \qquad i \leqslant 10\" et \"k - 10 \leqslant i\"<\/p>\r\n

donc on obtient<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(S = k)\" \"\quad = \displaystyle \sum _ {i = k - 10 } ^{10} \mathbb{P}\left ( X = i \right ) \, \mathbb{P}\left ( Y = k - i\right )\" \"\quad\displaystyle =\sum _ {i = k - 10} ^{10} \dfrac 1 {n ^2} = \dfrac {10 - (k - 11)} {100}\" \"\mathbb{P}(S = k) = \dfrac {21 - k} {100}\".<\/p>\r\n

En r\u00e9sum\u00e9,
Si \"2\leqslant k \leqslant 11\", \"\mathbb{P}(S = k)= \dfrac {k - 1} {100}\"
Si \"12 \leqslant k \leqslant 20\", \"\mathbb{P}(S = k)= \dfrac {21 - k } {100}\".<\/p>\r\n

Question 4 :<\/strong>
a) \"Y\" prend toute valeur enti\u00e8re entre \"a\" et \"b\" ssi \"X\" prend toute valeur enti\u00e8re entre \"a - a + 1 = 1\" et \"b - a +1\".<\/p>\r\n

Et si \"k \in [[1 , \, b - a + 1]]\",<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(X = k) = \mathbb{P}(Y = k + b - 1) = \dfrac 1 {b - a + 1}\"<\/p>\r\n

\"X = Y - a + 1\" suit une loi uniforme sur \"[[1 , n]]\" avec \"n = b - a + 1\".<\/p>\r\n

b) \"Y = X + a - 1\" o\u00f9 \"X\" suit une loi uniforme sur \"[[1 , n]]\" avec \"n = b - a + 1\".<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(Y) = \textrm{E}(X) + a - 1 = \dfrac {n + 1} 2 + a - 1\"<\/p>\r\n

\"\boxed{\textrm{E}(Y)= \dfrac {b + a} 2 }\".<\/p>\r\n

\"\textrm{V}(Y) = \textrm{V}(X) = \dfrac {(n -1) (n + 1)} {12}\"<\/p>\r\n

\"\boxed{\textrm{V}(Y) = \dfrac {(b - a)(b - a + 2)} 2}\".<\/p>\r\n

Correction exercice 3 : In\u00e9galit\u00e9s de Bienaym\u00e9-Tchebychev<\/h3>\r\n

Question 1 :<\/strong>
On effectue \"20\" \u00e9preuves ind\u00e9pendantes et identiques de probabilit\u00e9 de succ\u00e8s \u00e9gale \u00e0 \"0,6\".<\/p>\r\n

Le nombre \"X\" de boules blanches obtenues suit une loi binomiale<\/a> de param\u00e8tres \"20\" et \"0,6\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
a) \"\textrm {E}(X ) = 20 \times 0,6 = 12\"<\/p>\r\n

et \"\textrm{V}(X) = 12 \times 0,4 = 4 , 8\".<\/p>\r\n

\"\mathbb{P} (8 < X < 16)\"\"\qquad = \mathbb{P} (8 - 12 < X - 12 < 16 - 12)\"<\/p>\r\n

\"\qquad = \mathbb{P}\left ( \vert X - \textrm{E}(X) \vert < 4 \right )\" \"\qquad = 1 - \mathbb{P}\left ( \vert X - \textrm{E}(X) \vert \geqslant 4 \right )\"<\/p>\r\n

En utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 de Tchebychev,<\/p>\r\n

\"\quad \mathbb{P} (8 < X < 16) \geqslant 1 - \dfrac {\textrm{V}(X)}{ 4^2}\".<\/p>\r\n

On termine l’application num\u00e9rique :<\/p>\r\n

\"1 - \dfrac {\textrm{V}(X)}{ 4^2} = 1 - \dfrac {4,8} {16} = 1 - 0 , 3 = 0 , 7\"<\/p>\r\n

donc \"\boxed{\mathbb{P} (8 < X < 16) \geqslant 0,7}\".<\/p>\r\n

b) \"\mathbb{P}(8 < X < 16) = \displaystyle \sum _ {k = 7 } ^ {15} \mathbb{P} (X = k)\"<\/p>\r\n

\"\qquad = \displaystyle \sum _ {k = 7} ^{15} \binom {20} k \, 0 , 6 ^k \times 0 , 4 ^{20-k}\"<\/p>\r\n

ma calculatrice pr\u00e9f\u00e9r\u00e9e donne environ : \"0.893\"<\/p>\r\n

En Python, on peut utiliser la fonction Binomiale(n, p, a, b) \u00e9crite dans l’exercice 6
>>> Binomiale(20, 0.6, 9, 15)
0.893<\/p>\r\n

L’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebychev donne en g\u00e9n\u00e9ral une majoration ou minoration plus ou moins lointaine de la valeur exacte : elle ne prend pas en compte la loi de \"X\", seulement son esp\u00e9rance et sa variance.<\/p>\r\n

Correction exercice 4 : In\u00e9galit\u00e9s de concentration<\/h3>\r\n

Question 1 :<\/strong>
\"M\" est la moyenne empirique d’un \u00e9chantillon de taille \"n = 500\" de variables al\u00e9atoires \"X_i\" de m\u00eame loi que \"X\".<\/p>\r\n

Soit \"M = \dfrac {1} n \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n X_i\" avec \"n = 500\".<\/p>\r\n

L’\u00e9nonc\u00e9 donne :
\"\qquad \mu = \textrm{E}(X) = 22\" et \"\textrm{V}(X) = 1,4^2\".<\/p>\r\n

On demande<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}( M \in\; ]21, 5\, ; \, 22, 5[)\"<\/p>\r\n

\"\qquad = \mathbb{P }( 21,5 < M < 22 , 5 )\"<\/p>\r\n

\"\qquad = \mathbb{P} (- 0,5 < M - 22 < 0,5 )\" \"\quad = 1 - \mathbb{P} \left ( \vert M - \mu \vert \geqslant 0,5 \right )\"<\/p>\r\n

Puis en utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 de concentration,<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}( M \in\; ]21, 5\, ; \, 22, 5[) \geqslant 1 - \dfrac {\textrm{V}(X)} {n \times 0,25 }\"<\/p>\r\n

On termine l’application num\u00e9rique
\"1 - \dfrac {\textrm{V}(X)} {125} = 1 - \dfrac {1,96} {125} \approx 0,984\"<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
La variable \"S\" \u00e9gale \u00e0 la masse totale est \"S = 500 \, M\".<\/p>\r\n

On cherche \u00e0 majorer la probabilit\u00e9 not\u00e9e \"\pi\" :<\/p>\r\n

\"\pi = \mathbb{P} \left ( (S \leqslant 10\, 500 ) \cup (S \geqslant 11\,500) \right )\"<\/p>\r\n

\"\pi = \mathbb{P} \left ( (M \leqslant 21) \cup (M \geqslant 23) \right )\" en divisant par \"500\"<\/p>\r\n

\"\pi = \mathbb{P}\left ( (M - 22 \leqslant - 1) \cup (M - 22 \geqslant 1) \right )\"<\/p>\r\n

Par l’identit\u00e9 de concentration<\/p>\r\n

\"\pi = \mathbb{P } \left ( \vert M - 22 \vert \geqslant 1 \right ) \leqslant \dfrac {\textrm{V}(X)} {n \, \times 1 ^2}\"<\/p>\r\n

On passe \u00e0 l’application num\u00e9rique<\/p>\r\n

\"\qquad \dfrac {\textrm{V}(X)} {n} = \dfrac {1,96} { 500} \approx 0,00392\"<\/p>\r\n

La probabilit\u00e9 demand\u00e9e est inf\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 \"0.0039\", il y a donc peu de chances pour qu’il y ait des probl\u00e8mes de bagages.<\/p>\r\n

Correction exercice 5 : Remplir des urnes selon les variables al\u00e9atoires<\/h3>\r\n

Question 1 :<\/strong>
Si \"j \in [[1 , n]]\", on note \"A_j\" : \u00ab\u00a0la boule num\u00e9ro \"j\" n’est pas plac\u00e9e dans l’urne \"i\".<\/p>\r\n

\"(X_i = 1) = A_1 \cap \cdots \cap A_n\,\".<\/p>\r\n

Ce sont \"n\" \u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants et \"\mathbb{P}(A_j) = \dfrac {p - 1} p\" .<\/p>\r\n

donc \"\mathbb{P}(X _ i = 1) = \left ( 1 - \dfrac 1 p \right ) ^n\"<\/p>\r\n

et \"\mathbb{P}(X _ i = 0) = 1 - \left ( 1 - \dfrac 1 p \right ) ^n\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/strong>
\"X = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p X _ i\" donc \"\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p \textrm{E}(X _ i)\"<\/p>\r\n

Les variables ont m\u00eame loi :<\/p>\r\n

\"\textrm{E}(X) = \displaystyle p \, \textrm{E}(X _ 1) = p \, \left ( 1 - \dfrac 1 p \right ) ^n\".<\/p>\r\n

Question 3 :\u00a0<\/strong>
On suppose dans cette question que \"p = 3\".<\/p>\r\n

On mod\u00e9lise \"\Omega\" par l’ensemble des \"n\"-listes avec r\u00e9p\u00e9tition de \"[[1 , 3]]\" (l’ensemble des num\u00e9ros des 3 urnes) donc \"\Omega = [[1 , 3]]^n\".<\/p>\r\n

\"\textrm{Card}(\Omega) = 3 ^n\" et \"X(\Omega) = [[0, \, 2]]\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"(X = 2)\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0toutes les boules sont mises dans la m\u00eame urne \u00ab\u00a0<\/p>\r\n

\"(X = 2) = \{ (i,i,\, \cdots \,, i) \, / \, 1 \leqslant i \leqslant 3 \}\".<\/p>\r\n

\"\boxed{\mathbb{P}(X = 2)= \dfrac {3} {3 ^n} = \dfrac 1 {3 ^{n - 1} }\; \; \; }\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"(X = 1)\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0toutes les boules sont mises dans 2 urnes.\u00a0\u00bb<\/p>\r\n

Pour r\u00e9aliser \"(X = 1)\",<\/p>\r\n

\"\ast\" on choisit les 2 num\u00e9ros \"i\" et \"j\" des urnes non vides : il y a<\/p>\r\n

\"\displaystyle \binom 3 2 = 3\" choix<\/p>\r\n

\"\ast\" on d\u00e9termine le nombre de \"n\"-listes avec r\u00e9p\u00e9tition de \"\{ i , j \}\", diff\u00e9rentes des 2 listes dont tous les \u00e9l\u00e9ments sont \u00e9gaux \u00e0 \"i\" ou \u00e0 \"j\" : il y en a<\/p>\r\n

\"2^n - 2\".<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(X = 1) =\dfrac {3 \, \left ( 2 ^n - 2 \right ) } {3 ^n}\" \"\boxed{ \mathbb{P}(X = 1)= \dfrac {2 ^n - 2} {3 ^{n - 1}}\; }\".<\/p>\r\n

Le calcul direct de \"\mathbb{P}(X = 0)\" est difficile, il est donc pr\u00e9f\u00e9rable de raisonner<\/a> ainsi.<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"\mathbb{P}(X = 0) = 1 - \mathbb{P}(X = 1) - \mathbb{P}(X = 2)\"<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(X = 0) = 1 - \dfrac { 2 ^n - 2 +1 } {3 ^{n - 1} }\"<\/p>\r\n

\"\boxed{\mathbb{P}(X = 0) = 1 - \dfrac {2 ^n - 1} {3^{n -1}}}\".<\/p>\r\n

\"\textrm{E} (X) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^2 k \, \mathbb{P}(X = k)\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E} (X) = \displaystyle \dfrac { \ 2 ^n - 2 } {3 ^{n - 1} } + \dfrac 2 {3 ^{n - 1}}\"<\/p>\r\n

\"\boxed{\textrm{E} (X) = \dfrac {2 ^n } {3 ^{n - 1}}\;}\"<\/p>\r\n

On retrouve bien la valeur obtenue en question 2 : \"3 \left ( 1 - \dfrac 1 3 \right ) ^n\".<\/p>\r\n

\"\textrm{E} (X^2 ) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^2 k ^2\, \mathbb{P}(X = k)\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E} (X^2 ) = \displaystyle \dfrac { 2 ^n - 2 } {3 ^{n - 1} } + \dfrac 4 {3 ^{n - 1}}\"<\/p>\r\n

\"\textrm{E} (X^2 ) = \dfrac { 2 ^n + 2 } {3 ^{n - 1}}\".<\/p>\r\n

\"\textrm{V}(X) = \textrm{E} (X )- \left ( \textrm{E} (X^2 )\right ) ^2\"<\/p>\r\n

\"\boxed{\textrm{V}(X) =\dfrac { 2 ^n +2 } {3 ^{n - 1}} - \dfrac {2 ^{2n}} {3 ^{2n-2}}\; \; }\".<\/p>\r\n

Question 4 :<\/strong>
a)La variable \"i \, Y_i\" est nulle si le jeton \"i\" n’est pas dans l’urne \"1\" et \u00e9gale \u00e0 \"i\" si le jeton \"i\" est dans l’urne \"1\".
donc \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n i \, Y_i\" est la variable al\u00e9atoire \u00e9gale \u00e0 la somme des num\u00e9ros dans l’urne \"1\".<\/p>\r\n

b) On rappelle que \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n i ^2 = \dfrac {n(n + 1)(2\, n + 1)} 6\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Loi de \"Y_i\"<\/p>\r\n

\"\mathbb{P}(Y_i = 1) = \dfrac 1 p\" (car il y a \"p\" choix d’urne pour le jeton \"i\").<\/p>\r\n

\"\bullet\" Calcul de \"\textrm{E}(S)\"<\/p>\r\n

donc \"\textrm{E}(Y_i) = \dfrac 1 p\" et \"\textrm{V}(Y_i) = \dfrac 1 p \, \left ( 1 - \dfrac 1 p \right )\" par propri\u00e9t\u00e9 des variables de Bernoulli.<\/p>\r\n

Puis par lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance,
\"\textrm{E}(S) = \displaystyle \sum _ {i= 1} ^p \textrm{E}(i \, Y_i) = \sum _ {i = 1} ^p i \, \textrm{E}( Y_i)\" \"\textrm{E}(S) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p \dfrac i p = \dfrac {p(p + 1)} {2 \, p} = \boxed{\dfrac {p + 1} 2 }\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Calcul de \"\textrm{V}(S)\"<\/p>\r\n

Les variables \"Y_1\,,\, Y_2\,,\, \cdots \,,\, Y_n\" sont ind\u00e9pendantes car associ\u00e9es \u00e0 des \u00e9preuves ind\u00e9pendantes (mettre la boule num\u00e9ro \"i\" dans une des \"p\" urnes).<\/p>\r\n

Comme les variables \"i \, Y_i\" sont ind\u00e9pendantes :
\"\textrm{V}(S) = \displaystyle \sum _ {i= 1} ^p \textrm{V}(i \, Y_i) = \sum _ {i = 1} ^p i^2 \, \textrm{V}( Y_i)\" \"\textrm{V}(S) \displaystyle = \sum _ {i = 1} ^p i^2 \, \dfrac {p - 1} {p ^2} = \dfrac {p - 1} {p ^2} \sum _ {i = 1} ^n i ^2\" \"\textrm{V}(S) = \dfrac {p(p + 1)(2\, p +1)(p - 1) } {6 \, p^2 }\" \"\boxed{\textrm{V}(S) = \dfrac {(p ^2 - 1) (2\, p + 1)} {6\, p} }\".<\/p>\r\n

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