{"id":170095,"date":"2022-07-11T10:06:03","date_gmt":"2022-07-11T09:06:03","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=170095"},"modified":"2022-07-11T10:19:24","modified_gmt":"2022-07-11T09:19:24","slug":"cours-en-ligne-terminale-d-recurrence","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-recurrence\/","title":{"rendered":"Cours r\u00e9currence terminale D"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Terminale D en maths<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en Terminale D<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes et g\u00e9om\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivabilit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEtude des fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStatistiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur la r\u00e9currence en Terminale D<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Terminale D<\/a><\/p>\n

Vous trouverez ci-dessous un cours principe et raisonnement par r\u00e9currence adapt\u00e9 aux \u00e9l\u00e8ves de terminale D.<\/p>\n

1. D\u00e9couverte de la r\u00e9currence<\/h2>\n

On consid\u00e8re la suite \"(u_n)\" d\u00e9finie par \"u_0 = 1\" et pour tout entier naturel \"n\", \"u_{n+1} = 2 \times u_n +1\"<\/p>\n

\u00c9crivons les premi\u00e8res valeurs de cette suite<\/p>\n

\"u_0 = 1 = 2^1 - 1\"<\/p>\n

\"u_1 = 3 = 2^2-1\"<\/p>\n

\"u_2 = 7 = 2^3-1\"<\/p>\n

\"u_3 = 15 = 2^4-1\"<\/p>\n

\"u_4 = 31 = 2^5-1\"<\/p>\n

\"u_5 = 63 = 2^6-1\"<\/p>\n

\"u_6 = 127 = 2^7-1\"<\/p>\n

On peut alors faire la conjecture que \"u_n = 2^{n+1}-1\" pour tout entier naturel \"n\".<\/p>\n

Cette formule est vraie jusqu’\u00e0 \"n=6\", mais on ne sait pas encore si elle est vraie pour \"n\" plus grand.<\/p>\n

En revanche, si elle est vraie pour \"n=7\", alors elle est vraie pour \"n=8\".<\/p>\n

En effet, si \"u_7 = 2^8-1\", alors \"u_8 = 2 \times (2^8-1)+1\"<\/p>\n

\"u_8= 2^9-2+1 = 2^9-1\"<\/p>\n

Plus g\u00e9n\u00e9ralement, si la formule est vraie pour un certain entier \"n\" donn\u00e9, alors elle est vraie pour l’entier suivant \"n+1\".<\/p>\n

En effet, si \"u_n = 2^{n+1}-1\", alors \"u_{n+1} = 2 \times (2^{n+1}-1)+1\"<\/p>\n

\"u_{n+1} = 2^{n+2}-2+1 = 2^{n+2}-1\"<\/p>\n

\"u_{n+1}= 2^{(n+1)+1}-1\".<\/p>\n

Ainsi, si la formule est vraie pour \"n=0\", alors elle est automatiquement vraie pour \"n=1\", puis pour \"n=2\", puis pour \"n=3\" …<\/p>\n

Finalement, la formule sera vraie pour un entier naturel \"n\" aussi grand que l’on souhaite, donc pour tout entier naturel \"n\".<\/p>\n

Nous avons tenu un raisonnement par r\u00e9currence.<\/p>\n

Dans le paragraphe suivant, nous allons formaliser ce type de d\u00e9monstration.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

Exemple<\/p>\n

Soit \"(u_n)\" d\u00e9finie par \"u_0 = 2\" et pour tout entier naturel \"n\", \"u_{n+1} = 3 \times u_n+2\"<\/p>\n

Calculer les premiers termes de \"(u_n)\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 :<\/p>\n

Les premiers termes de \"(u_n)\" sont 2; 8; 26; 80; 242 …<\/p>\n

En rajoutant \"1\", on reconnait la suite des puissances de \"3\" : 3, 9, 27, 81, 243 …<\/p>\n

On souhaite donc d\u00e9montrer la formule explicite \"u_n = 3^{n+1}-1\".<\/p>\n

\"u_n = 3 \times u{n-1} +2\" est vraie pour \"n>1\" mais n’est pas une formule explicite.<\/p>\n

\"u_n = 3^{n+2}-1\" ne convient pas car elle est fausse pour \"n=0\"<\/p>\n

2 – Raisonnement par r\u00e9currence<\/h3>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/strong> : Principe de r\u00e9currence<\/p>\n

On veut prouver qu’une propri\u00e9t\u00e9 \"P(n)\", d\u00e9pendant d’un entier naturel \"n\", est vraie pour tout entier naturel \"n\".<\/p>\n

Hypoth\u00e8ses<\/strong> :<\/p>\n

\"P(0)\" est vraie (initialisation)<\/p>\n

Pour tout entier naturel \"n\", si \"P(n)\" est vraie, alors \"P(n+1)\" est vraie. (h\u00e9r\u00e9dit\u00e9)<\/p>\n

Conclusion<\/strong> :<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 \"P(n)\" est vraie pour tout entier naturel \"n\"<\/p>\n

Exemple<\/strong><\/p>\n

On consid\u00e8re la suite \"(u_n)\" d\u00e9finie par \"u_0 = 2\" et \"u_{n+1} = \sqrt{5+u_n}\"<\/p>\n

Nous allons d\u00e9montrer par r\u00e9currence que pour tout entier naturel \"n\", \"0 \leq u_n \leq 3\"<\/p>\n

Appelons \"P(n)\" la propri\u00e9t\u00e9 : \"0 \leq u_n \leq 3\"<\/p>\n

Initialisation<\/strong><\/p>\n

\"P(0)\" est vraie car \"0 \leq u_0 \leq 3\"<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/strong><\/p>\n

Soit \"n\" un entier naturel fix\u00e9 tel que \"P(n)\" est vraie.<\/p>\n

On sait que \"0 \leq u_n \leq 3\"<\/p>\n

Par croissance de la fonction \"f : x \mapsto \sqrt{5+x}\",<\/p>\n

\"\sqrt{5} \leq \sqrt{5+u_n} \leq \sqrt{5+3}\"<\/p>\n

donc \"0 \leq u_{n+1} \leq 3\" car \"\sqrt{5} \geq 0\" et \"\sqrt{8} \leq 3\"<\/p>\n

donc \"P(n+1)\" est vraie<\/p>\n

Conclusion<\/p>\n

D’apr\u00e8s le principe de r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 \"P(n)\" est vraie pour tout entier naturel \"n\".<\/p>\n

Nous avons donc pour tout entier naturel \"n\", \"0 \leq u_n \leq 3\".<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

3 – R\u00e9currence \u00e0 partir d’un rang \"n_0\"<\/h2>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/strong> : R\u00e9currence \u00e0 partir d’un rang \"n_0\"<\/p>\n

On veut prouver qu’une propri\u00e9t\u00e9 \"P(n)\", d\u00e9pendant d’un entier naturel \"n\", est vraie pour tout \"n \geq n_0\".<\/p>\n

Hypoth\u00e8ses<\/strong> :<\/p>\n

\"P(n_0)\" est vraie (initialisation)<\/p>\n

Pour tout entier naturel \"n \geq n_0\", si \"P(n)\" est vraie, alors \"P(n+1)\" est vraie. (h\u00e9r\u00e9dit\u00e9)<\/p>\n

Conclusion<\/strong> :<\/p>\n

La propri\u00e9t\u00e9 \"P(n)\" est vraie pour tout entier naturel \"n \geq n_0\"<\/p>\n

Exemple<\/strong><\/p>\n

D\u00e9montrons par r\u00e9currence que pour tout entier naturel \"n \geq 10\", \"2^n > 100 \times n\"<\/p>\n

Appelons \"P(n)\" la propri\u00e9t\u00e9 : \"2^n > 100 \times n\"<\/p>\n

Initialisation au rang \"n_0 = 10\"<\/p>\n

\"P(10)\" est vraie car \"1024 > 1000\"<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/p>\n

Soit \"n\" un entier naturel fix\u00e9, v\u00e9rifiant \"n \geq 10\", tel que \"P(n)\" est vraie.<\/p>\n

On sait que \"2^n > 100 \times n\"
\ndonc \"2^{n+1} > 200 \times n\"<\/p>\n

donc \"2^{n+1} > 100 \times n + 100 \times n\"<\/p>\n

donc \"2^{n+1} > 100 \times (n+1)\" car \"n >1\"<\/p>\n

donc \"P(n+1)\" est vraie<\/p>\n

Conclusion<\/p>\n

D’apr\u00e8s le principe de r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 \"P(n)\" est vraie pour tout entier naturel \"n \geq 10\".<\/p>\n

Nous avons donc pour tout entier naturel \"n \geq 10\", \"2^n > 100 \times n\"<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Cours sur la r\u00e9currence en Terminale D R\u00e9sum\u00e9 de cours Exercices et corrig\u00e9s Cours en ligne de maths en Terminale D Vous trouverez ci-dessous un cours principe et raisonnement par r\u00e9currence adapt\u00e9 aux \u00e9l\u00e8ves de terminale D. 1. D\u00e9couverte de la r\u00e9currence On consid\u00e8re la suite d\u00e9finie par et pour tout entier naturel , \u00c9crivons […]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"yoast_head":"\nCours sur le raisonnement par r\u00e9currence en Terminale D<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Cours sur le raisonnement par r\u00e9currence \u00e0 destination des \u00e9l\u00e8ves qui pr\u00e9parent le bac D notamment en Afrique.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-recurrence\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Cours sur le raisonnement par r\u00e9currence en Terminale D\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Cours sur le raisonnement par r\u00e9currence \u00e0 destination des \u00e9l\u00e8ves qui pr\u00e9parent le bac D notamment en Afrique.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-recurrence\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Groupe R\u00e9ussite\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-07-11T09:19:24+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"170\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"180\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@GroupeReussite\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"4 minutes\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-recurrence\/\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-recurrence\/\",\"name\":\"Cours sur le raisonnement par r\u00e9currence en Terminale D\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website\"},\"datePublished\":\"2022-07-11T09:06:03+00:00\",\"dateModified\":\"2022-07-11T09:19:24+00:00\",\"description\":\"Cours sur le raisonnement par r\u00e9currence \u00e0 destination des \u00e9l\u00e8ves qui pr\u00e9parent le bac D notamment en Afrique.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-recurrence\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-recurrence\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-recurrence\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Accueil\",\"item\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Cours r\u00e9currence terminale D\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite - 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