{"id":179937,"date":"2023-03-10T11:50:58","date_gmt":"2023-03-10T10:50:58","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=179937"},"modified":"2023-03-10T14:22:21","modified_gmt":"2023-03-10T13:22:21","slug":"cours-en-ligne-terminale-d-complexes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-complexes\/","title":{"rendered":"Cours nombres complexes et g\u00e9om\u00e9trie terminale D"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Terminale D en maths<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en Terminale D<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes et g\u00e9om\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivabilit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEtude des fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStatistiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur les nombres complexes et g\u00e9om\u00e9trie en Terminale D<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Terminale D<\/a><\/p>\n

Vous trouverez ci-dessous un cours de maths<\/a> sur les nombres complexes propos\u00e9 aux \u00e9l\u00e8ves de terminale D.<\/p>\n

1. Ecriture alg\u00e9brique et trigonom\u00e9trique des complexes en terminale D<\/h2>\n

Le corps des nombres complexes \"\mathbb{C}\" peut \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 par un plan. On parle du plan complexe. Tout nombre complexe d’affixe \"z\" sera alors repr\u00e9sent\u00e9 par ses coordonn\u00e9es dans une base orthonorm\u00e9e du plan. On distingue d\u00e8s lors deux principaux syst\u00e8mes de coordonn\u00e9es :<\/p>\n

– les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes;<\/p>\n

– les coordonn\u00e9es polaires.<\/p>\n

Coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes et \u00e9criture alg\u00e9brique<\/strong><\/p>\n

Soit \"(O,\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{u_{y}})\" un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 du plan. Ce rep\u00e8re est dit cart\u00e9sien si les vecteurs de la base \"\overrightarrow{u_{x}}\" et \"\overrightarrow{u_{y}}\" sont fixes. Dans un tel rep\u00e8re, tout point \"M\" d’affixe \"z \in \mathbb{C}\" est d\u00e9termin\u00e9 par le couple de r\u00e9els \"(x,y)\" tels que :<\/p>\n

\"\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{u_{x}}+y.\overrightarrow{u_{y}} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}\"<\/p>\n

Les r\u00e9els \"(x,y)\" sont les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes du point \"M\" dans la base \"(\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{u_{y}})\". Dans le vocabulaire des nombres complexes, \"x\" est appel\u00e9 partie r\u00e9elle et \"y\" partie imaginaire. Ces coordonn\u00e9es permettent d’\u00e9crire l’\u00e9criture alg\u00e9brique du nombre complexe \"z\" :<\/p>\n

\"z = x + i.y = \Re(z) + i. \Im(z)\"<\/p>\n

Coordonn\u00e9es polaires et \u00e9criture trigonom\u00e9trique ou exponentielle<\/strong><\/p>\n

Pour introduire les coordonn\u00e9es polaires, il convient tout d’abord de tracer le cercle trigonom\u00e9trique et de placer un point M quelconque sur ce cercle. On d\u00e9finit alors un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\overrightarrow{u_{r}},\overrightarrow{u_{\theta}})\" tel qu’indiqu\u00e9 sur la figure ci-dessous :<\/p>\n

\"Cours<\/p>\n

 <\/p>\n

– le vecteur radial \"\overrightarrow{u_{r}}\" est un vecteur unitaire dirig\u00e9 suivant le vecteur \"\overrightarrow{OM}\"; il suit le d\u00e9placement du point M;<\/p>\n

– le vecteur orthoradial \"\overrightarrow{u_{\theta}}\" est un vecteur unitaire orthogonal au vecteur \"\overrightarrow{u_{r}}\", avec un angle de \"\frac{\pi}{2}\" dans le sens trigonom\u00e9trique (anti-horaire).<\/p>\n

Dans un tel rep\u00e8re, le point M d’affixe \"z \in \mathbb{C}\" est d\u00e9crit par le couple de r\u00e9els \"(r,\theta)\", avec \"r \geq 0\" et \"\theta \in \mathbb{R}\", tels que :<\/p>\n

\"\overrightarrow{OM} = r. \overrightarrow{u_{r}}\"<\/p>\n

Dans l’expression ci-dessus, la variable \"\theta\" n’appara\u00eet pas explicitement. Cependant, elle est bien pr\u00e9sente dans le vecteur \"\overrightarrow{u_{r}}\", dont l’expression dans la base cart\u00e9sienne \"(\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{u_{y}})\" est donn\u00e9e par:<\/p>\n

\"\overrightarrow{u_{r}} = \cos(\theta).\overrightarrow{u_{x}} + \sin(\theta).\overrightarrow{u_{y}} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \\ \end{pmatrix}\"<\/p>\n

Gr\u00e2ce aux coordonn\u00e9es polaires \"(r,\theta)\", nous pouvons \u00e9crire la forme trigonom\u00e9trique du complexe \"z\" :<\/p>\n

\"z = r \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right)\"<\/p>\n

Le nombre \"r \geq 0\" est le module de \"z\", not\u00e9 \"\vert z \vert\", et le r\u00e9el \"\theta\" est appel\u00e9 l’argument de \"z\". Nous pouvons donc \u00e9crire:<\/p>\n

\"r = \vert z \vert = \left \| \overrightarrow{OM} \right \|\"<\/p>\n

\"\theta = (\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{OM})\" \"[2\pi]\"<\/p>\n

Nous pouvons d\u00e8s lors introduire la notation exponentielle complexe, qui s\u2019av\u00e9rera tr\u00e8s utile par la suite :<\/p>\n

\"e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\"<\/p>\n

On obtient ainsi la forme exponentielle du nombre complexe \"z\" :<\/p>\n

\"z = r e^{i \theta} = \vert z \vert e^{i \theta}\"<\/p>\n

La figure ci-dessous repr\u00e9sente le cercle trigonom\u00e9trique avec les angles remarquables.<\/p>\n

\"Cours<\/p>\n

Liens entre les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes et polaires : module et argument<\/strong><\/p>\n

Il est tr\u00e8s facile de passer des coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes aux coordonn\u00e9es polaires, et vice-versa. En effet, si l’on observe la figure pr\u00e9c\u00e9dente, un th\u00e9or\u00e8me de Pythagore et les relations de trigonom\u00e9trie nous donnent :<\/p>\n

\"\left \| \overrightarrow{OM} \right \| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r = \vert z \vert\"<\/p>\n

\"\cos(\theta) = \dfrac{x}{r}\", si \"r > 0\"<\/p>\n

\"\sin(\theta) = \dfrac{y}{r}\", si \"r > 0\"<\/p>\n

\"\tan(\theta) = \dfrac{y}{x}}\", si \"x > 0\"<\/p>\n

On peut donc ais\u00e9ment passer des coordonn\u00e9es \"(x,y)\" aux coordonn\u00e9es \"(r,\theta)\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2 – Ensemble des nombres complexes en terminale D<\/h2>\n

L’ensemble des nombres complexes peut \u00eatre not\u00e9 :<\/p>\n

\"\mathbb{C} = \left \{ x + i.y\", \"(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \right\}\"<\/p>\n

L’ensemble des complexes \"\mathbb{C}\" contient donc l’ensemble des r\u00e9els \"\mathbb{R}\".<\/strong> Les lois d’addition et de multiplication sont \u00e9tendues \u00e0 \"\mathbb{C}\" de mani\u00e8re identique.<\/p>\n

ATTENTION<\/strong> : il n’y a pas de relation d’ordre sur \"\mathbb{C}\",<\/strong> autrement dit il n’est pas possible d’affirmer qu’un nombre complexe \"z_{1}\" est inf\u00e9rieur ou sup\u00e9rieur \u00e0 un nombre \"z_{2}\". On pourra seulement \u00e9crire :<\/p>\n

\"\vert z_{1} \vert \leq \vert z_{2} \vert\" ou \"\vert z_{1} \vert \geq \vert z_{2} \vert\"<\/p>\n

Le nombre \"i\"<\/strong> indiqu\u00e9 plus haut est appel\u00e9 nombre imaginaire pur<\/strong>. Il est d\u00e9fini par l’\u00e9quation : \"\boxed{i^{2} = -1}\"<\/p>\n

D\u00e9finition : Conjugu\u00e9 d’un complexe<\/strong><\/p>\n

Soit \"z \in \mathbb{C}\", dont l’\u00e9criture alg\u00e9brique est \"z = x + i.y\", avec \"(x,y) \in \mathbb{R}^{2}\".<\/p>\n

Le complexe conjugu\u00e9 de \"z\", not\u00e9 \"\overline{z}\", est d\u00e9fini par:<\/p>\n

\"\overline{z} = x - i.y\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s<\/strong> : soient \"z\" et \"z'\" deux nombres complexes :<\/p>\n

\"z\" est r\u00e9el si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, autrement dit ssi \"z = \overline{z}\";<\/p>\n

\"z\" est imaginaire pur si et seulement si sa partie r\u00e9elle est nulle, autrement dit ssi \"z = - \overline{z}\";<\/p>\n

Les points d’affixes \"z\" et \"\overline{z}\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 l’axe des r\u00e9els (abscisses);<\/p>\n

\"z + \overline{z} = 2 \Re(z)\";<\/p>\n

\"z - \overline{z} = 2i \Im(z)\";<\/p>\n

\"\overline{\overline{z}} = z\";<\/p>\n

\"\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}\";<\/p>\n

\"\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}\";<\/p>\n

Si \"z \neq 0\", alors \"\overline{\dfrac{1}{z}} = \dfrac{1}{\overline{z}}\";<\/p>\n

Si \"z' \neq 0\", alors \"\overline{\left( \dfrac{z}{z'} \right)} = \dfrac{ \overline{z} }{ \overline{z'} }\";<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^{*}\", alors \"\overline{ z^{n} } = \left( \overline{z} \right)^{n}\".<\/p>\n

Argument d’un nombre complexe non nul<\/strong><\/p>\n

Soient \"z\" et \"z'\" deux nombres complexes non nuls. On notera \"arg(z)\" l’argument de \"z\". Nous avons alors :<\/p>\n

\"z \in \mathbb{R}\" ssi \"arg(z) = 0\" \"[\pi]\";<\/p>\n

\"z\" est imaginaire pur ssi \"arg(z) = \dfrac{\pi}{2}\" \"[\pi]\";<\/p>\n

\"arg \left( z \times z' \right) = arg(z) + arg(z')\" \"[2\pi]\";<\/p>\n

\"arg \left( \dfrac{1}{z} \right) = - arg(z)\" \"[2\pi]\";<\/p>\n

\"arg \left( \dfrac{z}{z'} \right) = arg(z) - arg(z')\" \"[2\pi]\".<\/p>\n

Module d’un nombre complexe<\/strong><\/p>\n

Soit \"z \in \mathbb{C}\". On rappelle que son module est d\u00e9fini par :<\/p>\n

\"\vert z \vert = \sqrt{ \Re(z)^{2} + \Im(z)^{2} }\"<\/p>\n

Soient \"z\" et \"z'\" deux complexes :<\/p>\n

\"\vert z \vert \geq 0\";<\/p>\n

\"\vert z \vert = 0\" si et seulement si \"z = 0\";<\/p>\n

\"\vert z + z' \vert \leq \vert z \vert + \vert z' \vert\" : IMPORTANT : on parle d’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire;<\/p>\n

\"\vert z \times z' \vert = \vert z \vert \times \vert z' \vert\";<\/p>\n

Si \"z' \neq 0\", alors \"\left \vert \dfrac{z}{z'} \right \vert = \dfrac{ \vert z \vert }{ \vert z' \vert }\";<\/p>\n

\"z \times \overline{z} = \vert z \vert^{2}\";<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^{*}\", \"\left \vert z^{n} \right \vert = \vert z \vert^{n}\".<\/p>\n

Formules d’Euler : liens entre fonctions trigonom\u00e9triques et exponentielle complexe<\/strong><\/p>\n

Nous avons vu plus haut qu’un nombre complexe \"z \in \mathbb{C}\" peut s’\u00e9crire sous les formes \u00e9quivalentes:<\/p>\n

\"z = \vert z \vert \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right)\"<\/p>\n

\"z = \vert z \vert e^{i \theta}\"<\/p>\n

Ainsi, on remarque tout de suite que :<\/p>\n

\"\cos(\theta) = \Re \left( e^{i\theta} \right)\"<\/p>\n

\"\sin(\theta) = \Im \left( e^{i \theta} \right)\"<\/p>\n

Par ailleurs, en exploitant les relations \"z + \overline{z} = 2 \Re(z)\" et \"z - \overline{z} = 2i \Im(z)\", nous obtenons les formules d’Euler :<\/p>\n

\"\cos(\theta) = \displaystyle{\dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}}\"<\/p>\n

\"\sin(\theta) = \displaystyle{\dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}}\"<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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3 – Equations du second degr\u00e9 dans \"\mathbb{C}\"<\/h2>\n

La r\u00e9solution des \u00e9quations du second degr\u00e9 diff\u00e8re quelque peu lorsque l’inconnue \"z\" est complexe.<\/p>\n

Cas n\u00b01<\/strong> : \u00e9quation \"z^{2} = \alpha\", avec \"\alpha \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

Il faut ici distinguer 2 cas de figure suivant le signe de la constante \"\alpha\".<\/p>\n

cas 1.1<\/strong> : \"\alpha \geq 0\"<\/p>\n

Si \"\alpha = 0\", alors \"z^{2} = 0 \Longrightarrow \vert z \vert^{2} = 0 \Longrightarrow z = 0\";<\/p>\n

Si \"\alpha > 0\", alors \"z^{2} = \alpha \Longrightarrow \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)^{2} = 1\".<\/p>\n

Une \u00e9galit\u00e9 entre 2 nombres complexes contient toujours 2 informations : le module et l’argument. <\/strong>Nous avons ainsi :<\/p>\n

\"\left \vert \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right \vert^{2} = 1\"<\/p>\n

\"arg \left( \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)^{2} \right)= 2 arg \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)\"<\/p>\n

\"= 2 \left( arg(z) - arg \left( \sqrt{\alpha} \right) \right) = arg(1)\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit tout d’abord que \"\vert z \vert = \sqrt{\alpha}\".<\/p>\n

De plus, l’argument d’un nombre r\u00e9el strictement positif vaut 0 modulo \"2\pi\" (attention, il vaut \"\pi\" pour un nombre r\u00e9el n\u00e9gatif).<\/p>\n

Ainsi, l’\u00e9quation sur les arguments nous donne:<\/p>\n

\"2 arg(z) = 0\" \"[2\pi] = 2k \pi\", \"k \in \mathbb{Z}\"<\/p>\n

\"arg(z) = k \pi\", \"k \in \mathbb{Z}\"<\/p>\n

Finalement, le nombre \"z\" s’av\u00e8re \u00eatre un nombre r\u00e9el, dont le module vaut \"\sqrt{\alpha}\", et l’argument \"0\" ou \"\pi\" (module \"2\pi\").<\/p>\n

Autrement dit :<\/p>\n

\"z \in \left\{ -\sqrt{\alpha}, \sqrt{\alpha} \right\}\"<\/p>\n

cas 1.2 <\/strong>: \"\alpha < 0\"<\/p>\n

Dans le cas r\u00e9el, l’\u00e9quation \"x^{2} = \alpha\" n’admet aucune solution. Mais dans \"\mathbb{C}\", les choses sont diff\u00e9rentes !<\/p>\n

A nouveau, le module et l’argument nous fournissement deux \u00e9quations :<\/p>\n

\"\vert z \vert ^{2} = \vert \alpha \vert \Longrightarrow \vert z \vert = \sqrt{ \vert \alpha \vert }\"<\/p>\n

\"arg \left( z^{2} \right) = 2 arg(z) = arg (\alpha)\"<\/p>\n

=\"\pi + 2k \pi\text{, }k \in \mathbb{Z} \Longrightarrow arg(z) = \dfrac{\pi}{2} + k \pi\text{, }k \in \mathbb{Z}\"<\/p>\n

Ainsi, \"z\" est un nombre imaginaire pur, de module \"\sqrt{ \vert \alpha \vert }\", et d’argument \"\dfrac{\pi}{2}\" \"[\pi]\".<\/p>\n

Finalement :<\/p>\n

\"z \in \left \{ -i \sqrt{ \vert \alpha \vert }, i \sqrt{ \vert \alpha \vert } \right \}\"<\/p>\n

Cas n\u00b02<\/strong> : \u00e9quation \"az^{2} + bz + c = 0\", avec \"z \in \mathbb{C}, a \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

A l’instar du cas r\u00e9el, on commence par calculer le discriminant du polyn\u00f4me :<\/p>\n

\"\Delta = b^{2} - 4 ac\"<\/p>\n

Comme les coefficients \"a\", \"b\" et \"c\" sont r\u00e9els, nous pouvons \u00e9tudier le signe de \"\Delta\" :<\/p>\n

Si \"\Delta > 0\" : le polyn\u00f4me du 2nd degr\u00e9 admet deux racines r\u00e9elles distinctes :<\/p>\n

\"z_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"z_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

Si \"\Delta = 0\" : le polyn\u00f4me admet une racine r\u00e9elle double : \"z_{0} = - \frac{b}{2a}\";<\/p>\n

Si \"\Delta < 0\" : le polyn\u00f4me admet 2 racines complexes conjugu\u00e9es :<\/strong><\/p>\n

\"z_{1} = \dfrac{-b - i \sqrt{ \vert \Delta \vert }}{2a} \in \mathbb{C}\"<\/p>\n

\"z_{2} = \dfrac{-b + i \sqrt{ \vert \Delta \vert }}{2a} = \overline{z_{1}}\"<\/p>\n

Retrouvez d’autres chapitres \u00e0 travailler en cours de maths en terminale D :<\/p>\n