{"id":180910,"date":"2023-03-10T15:15:55","date_gmt":"2023-03-10T14:15:55","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=180910"},"modified":"2023-03-10T15:37:35","modified_gmt":"2023-03-10T14:37:35","slug":"cours-en-ligne-terminale-d-integrales","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-d-integrales\/","title":{"rendered":"Cours int\u00e9grales et primitives terminale D"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Terminale D en maths<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en Terminale D<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes et g\u00e9om\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivabilit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEtude des fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStatistiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur les int\u00e9grales et primitives en Terminale D<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Terminale D<\/a><\/p>\n

Le r\u00e9sum\u00e9 de cours suivant sur les int\u00e9grales pourra vous aider \u00e0 pr\u00e9parer le bac D. Si vous avez besoin de plus d’aide, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 faire appel \u00e0 nos professeurs particuliers en maths<\/a>.<\/p>\n

1- D\u00e9finition g\u00e9om\u00e9trique de l’int\u00e9grale en terminale D<\/h2>\n

D\u00e9finition : int\u00e9grale d’une fonction continue et positive<\/strong><\/p>\n

Soit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur l’intervalle \"[a;b]\", continue et positive sur \"[a;b]\".<\/p>\n

On appelle \"E\" le domaine du plan limit\u00e9 par la courbe \"C_{f}\" repr\u00e9sentant \"f\", l’axe des abscisses et les droites d’\u00e9quation \"x=a\" et \"x=b\".<\/p>\n

On appelle int\u00e9grale de la fonction \"f\" sur \"[a;b]\" la mesure de l’aire du domaine \"E\" en unit\u00e9s d’aire. Ce nombre est not\u00e9 :<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(x) dx\"<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Remarque :<\/strong><\/p>\n

L’aire du domaine \"E\" s’appelle aussi aire sous la courbe. On a donc : \"aire(E) = \int_{a}^{b} f(x) dx\" u.a.<\/p>\n

Le domaine \"E\" peut aussi \u00eatre d\u00e9fini par le syst\u00e8me d’in\u00e9galit\u00e9s suivant:<\/p>\n

\"M(x,y) \in E \Longleftrightarrow<\/p>\n

Le nombre \"\int_{a}^{b} f(x) dx\" se lit \u00ab\u00a0int\u00e9grale de \"a\" \u00e0 \"b\" de \"f(x) dx\"\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0somme de \"a\" \u00e0 \"b\" de \"f(x) dx\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

Les r\u00e9els \"a\" et \"b\" sont appel\u00e9s les bornes de l’int\u00e9grale.<\/p>\n

La d\u00e9finition g\u00e9om\u00e9trique de l’int\u00e9grale permet d’obtenir les premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s suivantes :<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/strong><\/h3>\n

Soit \"f\" une fonction continue et positive sur l’intervalle \"[a;b]\". Pour tout r\u00e9el \"c\" de l’intervalle \"[a;b]\",<\/p>\n

Nous avons :<\/p>\n

\"\int_{c}^{c} f(x) dx = 0\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 : positivit\u00e9 de l’int\u00e9gration<\/strong><\/h3>\n

Soit \"f\" une fonction continue et positive sur \"[a;b]\". Alors:<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 : comparaison<\/strong><\/h3>\n

Soit \"f\" et \"g\" deux fonctions continues et positives sur \"[a;b]\", telles que \"f \leq g\", c’est-\u00e0-dire telles que pour tout \"x \in [a;b]\text{, }f(x) \leq g(x)\".<\/p>\n

Alors :<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(x) dx \leq \int_{a}^{b} g(x) dx\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 : relation de Chasles<\/strong><\/h3>\n

Soit \"f\" une fonction d\u00e9finie, continue et positive sur \"[a;b]\". Soit \"c \in [a;b]\",<\/p>\n

alors :<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx\"<\/p>\n

D\u00e9finition : valeur moyenne d’une fonction<\/strong><\/p>\n

La valeur moyenne d’une fonction \"f\" continue et positive sur \"[a;b]\" (\"a \neq b\"),<\/p>\n

est \u00e9gale au nombre:<\/p>\n

\"\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 : in\u00e9galit\u00e9 de la moyenne<\/h3>\n

Soit une fonction \"f\" continue et positive sur \"[a;b]\" (\"a \neq b\"), et deux nombres \"m\" et \"M\"<\/p>\n

tels que:<\/p>\n

\"\forall x \in [a;b]\", \"m \leq f(x) \leq M\"<\/p>\n

Alors, en posant \"\mu = \displaystyle{\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx}\" la valeur moyenne de la fonction \"f\" sur \"[a;b]\",<\/p>\n

nous avons l’encadrement suivant:<\/p>\n

\"m \leq \mu \leq M\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2 – Calcul approch\u00e9 de l\u2019int\u00e9grale en terminale D<\/h2>\n

Calcul approch\u00e9 de l’int\u00e9grale d’une fonction continue monotone positive<\/p>\n

Soit \"f\" une fonction continue, monotone et positive sur l’intervalle \"[a;b]\"<\/strong>. On note \"(E)\" le domaine limit\u00e9 par la repr\u00e9sentation graphique de la fonction \"f\", l’axe des abscisses et les droites d’\u00e9quations \"x=a\" et \"x=b\".<\/p>\n

Par d\u00e9finition de l’int\u00e9grale:<\/strong><\/p>\n

\"Aire(E) = \int_{a}^{b} f(x) dx\"<\/p>\n

Afin d’approcher la valeur de cette int\u00e9grale, on partage l’intervalle \"[a;b]\" en \"n\" intervalles \"[x_{i},x_{i+1}]\" de longueur identique \"h=\dfrac{b-a}{n}\" (\"n \geq 1\"), avec \"x_{0} = a\" et \"x_{n}=b\".<\/p>\n

Ces intervalles sont appel\u00e9s subdivisions de \"[a;b]\", et \"h\" est le pas de la subdivision. Sur chaque subdivision, on construit un rectangle situ\u00e9 sous la courbe et un autre rectangle situ\u00e9 au-dessus et contenant \"(E)\", comme l’illustrent les figures ci-dessous.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

D\u00e9finition<\/strong> : d\u00e9rivabilit\u00e9 sur un intervalle<\/p>\n

Une fonction \"f\" est dite d\u00e9rivable sur un intervalle \"I\" si elle est d\u00e9rivable en tout r\u00e9el de \"I\".<\/p>\n

La fonction qui a tout r\u00e9el \"x\" de \"I\" associe son nombre d\u00e9riv\u00e9 en \"x\" est appel\u00e9e fonction d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" et est not\u00e9e \"f'\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/strong> : \u00e9quation de la tangente en un point<\/p>\n

Soit \"f\" une fonction d\u00e9rivable sur un intervalle I contenant un r\u00e9el \"a\" et \"C_{f}\" sa courbe repr\u00e9sentative.<\/p>\n

La courbe \"C_{f}\" admet au point de coordonn\u00e9es \"(a;f(a))\" une tangente d’\u00e9quation :<\/p>\n

\"{T_{a}\" : \"y=f'(a)(x-a)+f(a)\"<\/p>\n

Dans le cas o\u00f9 \"f\" est croissante sur \"[a;b]\", on note \"u_{n}\" la mesure de l’aire totale des rectangles situ\u00e9s sous la courbe et \"v_{n}\" la mesure de l’aire totale des rectangles situ\u00e9s au-dessus de la courbe et contenant le domaine \"(E)\".<\/p>\n

On obtient ainsi deux suites \"(u_{n})\" et \"(v_{n})\" encadrant la mesure \"\int_{a}^{b} f(x) dx\" de l’aire de \"(E)\" .<\/p>\n

Ainsi, pour tout \"n \geq 1\", on a :<\/p>\n

\"u_{n} \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq v_{n}\"<\/p>\n

En sommant les aires des diff\u00e9rents rectangles, nous pouvons expliciter les suites \"(u_{n})\" et \"(v_{n})\" :<\/p>\n

\"u_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} h \times f(a+kh)\"<\/p>\n

\"= \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{b-a}{n} \times f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\"<\/p>\n

\"= \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\"<\/p>\n

\"v_{n} = \sum_{k=1}^{n} h \times f(a+kh)\"<\/p>\n

\"= \sum_{k=1}^{n} \dfrac{b-a}{n} \times f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\"<\/p>\n

\"= \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/h3>\n

Soit \"f\" une fonction continue, positive et monotone<\/strong> sur un intervalle \"[a;b]\", et \"(u_{n})\" et \"(v_{n})\"<\/p>\n

les suites d\u00e9finies par:<\/p>\n

\"u_{n} = \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\" et<\/p>\n

\"v_{n} = \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\"<\/p>\n

Alors:<\/p>\n

Si \"f\" est croissante<\/strong>, nous avons pour tout entier naturel \"n\":<\/p>\n

\"u_{n} \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq v_{n}\"<\/p>\n

Si \"f\" est d\u00e9croissante<\/strong>, nous avons pour tout entier naturel \"n\":<\/p>\n

\"v_{n} \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq u_{n}\"<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(x) dx\"<\/p>\n

\"= \lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\"<\/p>\n

3 – Int\u00e9gration et d\u00e9rivation<\/h2>\n

Th\u00e9or\u00e8me fondamental<\/h3>\n

Soit \"f\" une fonction continue et positive<\/strong> sur \"[a;b]\", la fonction d\u00e9finie sur \"[a;b]\" par<\/p>\n

\"F_{a}\" : \"x \in [a;b] \longmapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\"<\/p>\n

est d\u00e9rivable<\/strong> sur \"[a;b]\" et sa fonction d\u00e9riv\u00e9e est la fonction \"f\".<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

4 – Primitives en terminale D<\/h2>\n

D\u00e9finition<\/strong><\/p>\n

Soit \"f\" une fonction continue<\/strong> sur un intervalle \"I\". On dit qu’une fonction \"F\", d\u00e9finie sur \"I\", est une primitive de la fonction \"f\" sur I si :<\/p>\n

La fonction \"F\" est d\u00e9rivable sur I;<\/p>\n

Pour tout \"x\" de I, \"F'(x)=f(x)\".<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/strong><\/p>\n

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives<\/strong> sur cet intervalle.<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/strong><\/p>\n

Soit \"f\" une fonction continue<\/strong> sur un intervalle \"I\".<\/p>\n

Soit \"F\" et \"G\" deux de ses primitives. Alors la fonction \"F-G\" est une fonction constante sur \"I\".<\/p>\n

Soit \"F\" une de ses primitives. Alors l’ensemble des primitives de \"f\" sur \"I\" est \u00e9gal \u00e0 l’ensemble des fonctions de la forme \"F+k\", o\u00f9 \"k\" est une constante.<\/p>\n

Soit \"x_{0}\" un \u00e9l\u00e9ment de \"I\" et \"y_{0}\" un nombre r\u00e9el. Alors il existe une et une seule primitive de \"f\" sur \"I\" qui prend la valeur \"y_{0}\" en \"x_{0}\".<\/p>\n

Soient \"a\" et \"b\" deux nombres r\u00e9els de \"I\". Soit \"F\" une des primitives de la fonction \"f\" sur \"I\". La diff\u00e9rence \"F(b)-F(a)\" ne d\u00e9pend pas de la primitive choisie.<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: primitive et int\u00e9grales<\/h3>\n

Soit \"f\" une fonction continue et positive<\/strong> sur \"[a;b]\" et \"F\" une de ses primitives.<\/p>\n

On a alors :<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\"<\/p>\n

Primitives des fonctions usuelles<\/h3>\n

Expression de \"f(x)\" sur \"I\" & \"I\" & Expression de \"F(x)\" sur \"I\"<\/p>\n

\"f(x) = 0\" | \"I=\mathbb{R}\" | \"F(x) = k\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = 1\" | \"I=\mathbb{R}\" | \"F(x) = x+k\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x^{2}}}\" | \"I= ]0;+\infty[\" ou \"I=]-\infty;0[\" | \"F(x) = -\displaystyle{\frac{1}{x} + k}\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}\" | \"I=]0;+\infty[\" | \"F(x) = 2\sqrt{x} + k\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = x^{n}\", \"n \in \mathbb{N}\" | \"I=\mathbb{R}\" | \"F(x) = \displaystyle{\frac{1}{n+1} x^{n+1} + k}\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x^{n}} = x^{-n}}\", \"n \geq 2\" | \"I=]0;+\infty[\" ou \"I=]-\infty;0[\" |<\/p>\n

\"F(x) = - \displaystyle{\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + k}\"<\/p>\n

=\"\displaystyle{\frac{1}{-n+1} x^{-n+1} + k}\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = cos(x)\" | \"I = \mathbb{R}\" | \"F(x) = sin(x) + k\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = sin(x)\" | \"I = \mathbb{R}\" | \"F(x) = -cos(x) + k\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = e^{x}\" | \"I = \mathbb{R}\" | \"F(x) = e^{x} + k\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"f(x) = \dfrac{1}{x}\" | \"I = ]0;+\infty[\" | \"F(x) = ln(x) + k\", \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dans le tableau suivant, \"f\", \"g\", \"u\", \"v\" sont des fonctions continues sur un intervalle \"I\", les fonctions \"F\" et \"G\" sont des primitives des fonctions \"f\" et \"g\" sur \"I\". Les notations \"\alpha, \beta\" d\u00e9signent des nombres r\u00e9els, et \"k\" d\u00e9signe une constante.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

5 – Primitives et int\u00e9grales d\u2019une fonction en terminale D<\/h2>\n

Primitives et int\u00e9grales d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle<\/h3>\n

Dans cette section, on consid\u00e9rera, sauf mention contraire, des fonctions continues et de signe quelconque sur un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\". On g\u00e9n\u00e9ralise les r\u00e9sultats pr\u00e9c\u00e9demment \u00e9nonc\u00e9s pour les fonctions continues et positives.<\/p>\n

D\u00e9finition: int\u00e9grale d’une fonction continue de signe quelconque<\/strong><\/p>\n

Soit \"f\" une fonction continue sur un intervalle \"I\" et \"a\" et \"b\" deux nombres r\u00e9els de \"I\".<\/p>\n

Soit \"F\" une des primitives de la fonction \"f\" sur \"I\".<\/p>\n

On appelle int\u00e9grale de \"a\" \u00e0 \"b\" de la fonction \"f\" le nombre \"F(b)-F(a)\" et on note<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\"<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/strong><\/p>\n

Soit \"f\" une fonction continue sur \"[a;b]\", la fonction \"G\" d\u00e9finie sur \"[a;b]\" par<\/p>\n

\"G\" : \"x \in [a;b] \longmapsto G(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt\"<\/p>\n

est la primitive de \"f\" qui s’annule en \"a\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/strong><\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(t) dt = - \int_{b}^{a} f(t) dt\"<\/p>\n

\"\int_{a}^{a} f(t) dt = 0\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale<\/h3>\n

Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions continues sur l’intervalle \"[a;b]\".<\/p>\n

\"\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}\", \"\int_{a}^{b} (\alpha f(t) + \beta g(t)) dt\"<\/p>\n

\"= \alpha \int_{a}^{b} f(t) dt + \beta \int_{a}^{b} g(t) dt\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: relation de Chasles<\/p>\n

Soit \"f\" une fonction continue sur l’intervalle \"[a;b]\".<\/p>\n

\"\forall c \in [a;b]\", \"\int_{a}^{c} f(t) dt + \int_{c}^{b} f(t) dt\"<\/p>\n

\"= \int_{a}^{b} f(t) dt\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: positivit\u00e9<\/h3>\n

On suppose ici que \"f\" une fonction continue et positive sur l’intervalle \"I\".<\/p>\n

\"\forall a,b \in I\", \"a \leq b\": \"\int_{a}^{b} f(t) dt \geq 0\"<\/p>\n

ATTENTION<\/strong>. La propri\u00e9t\u00e9 de positivit\u00e9 de l’int\u00e9grale ne se g\u00e9n\u00e9ralise pas aux fonctions continues de signe quelconque !<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: encadrement<\/h3>\n

Soit \"f\" et \"g\" deux fonctions continues sur un intervalle \"I\", telles que \"f \leq g\", c’est-\u00e0-dire telles que \"f(x) \leq g(x)\" pour tout \"x\" de \"I\". Soit \"a\" et \"b\" dans \"I\" tels que
\n\"a \leq b\", alors:<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} f(t) dt \leq \int_{a}^{b} g(t) dt\"<\/p>\n

D\u00e9finition: valeur moyenne d’une fonction continue<\/strong><\/p>\n

La valeur moyenne d’une fonction \"f\" continue sur un intervalle \"[a;b]\", avec \"a < b\", est \u00e9gale au nombre<\/p>\n

\"\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t) dt\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: in\u00e9galit\u00e9 de la moyenne<\/h3>\n

Soit une fonction \"f\" continue sur l’intervalle \"[a;b]\", avec \"a \neq b\", et deux nombres \"m\" et \"M\" tels que<\/p>\n

\"\forall x \in [a;b]\", \"m \leq f(x) \leq M\"<\/p>\n

Alors:<\/p>\n

\"m \leq \mu \leq M\"<\/p>\n

o\u00f9 \"\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)dt\" est la valeur moyenne de la fonction \"f\" sur \"[a;b]\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 : aire entre deux courbes<\/h3>\n

Soit \"f\" et \"g\" deux fonctions continues<\/strong> sur l’intervalle \"[a;b]\", telles que, pour tout \"t\" de \"[a;b]\", \"f(t) \leq g(t)\".<\/p>\n

L’aire du domaine \"E\" limit\u00e9 par la courbe repr\u00e9sentative de \"f\", celle de \"g\" et les droites d’\u00e9quation \"x=a\" et \"x=b\" mesure<\/p>\n

\"\int_{a}^{b} \left[g(t)-f(t)\right] dt\" en unit\u00e9s d’aire<\/p>\n

Retrouvez d’autres chapitres \u00e0 travailler en cours de maths en terminale D :<\/p>\n