{"id":182675,"date":"2023-03-10T20:08:09","date_gmt":"2023-03-10T19:08:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=182675"},"modified":"2023-03-10T20:16:07","modified_gmt":"2023-03-10T19:16:07","slug":"cours-en-ligne-equations-differentielles-terminale-d","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-equations-differentielles-terminale-d\/","title":{"rendered":"Cours \u00e9quations diff\u00e9rentielles terminale D"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Terminale D en maths<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en Terminale D<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes et g\u00e9om\u00e9trie<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivabilit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEtude des fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStatistiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles en Terminale D<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Terminale D<\/a><\/p>\n

1. G\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles terminale D<\/h2>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}^*\".<\/p>\n

On appelle\u00a0\u00e9quation diff\u00e9rentielle d’ordre<\/strong> \"n\" toute \u00e9quation<\/p>\n

– dont l’inconnue est une fonction \"y\" de la variable \"x\"<\/p>\n

– exprimant \"y ^{(n)}\" en fonction de \"y,\" \"y' , \cdots , \, y ^{(n - 1 )}\" et \u00e9ventuellement de \"x\".<\/p>\n

R\u00e9soudre une \u00e9quation diff\u00e9rentielle d’ordre \"n\"<\/strong> sur un intervalle \"I \subset \mathbb{R}\", revient \u00e0 chercher l’ensemble des fonctions \"n\" fois d\u00e9rivables sur \"I\" et v\u00e9rifiant cette \u00e9quation en tout point \"x \in I\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. \u00c9quation diff\u00e9rentielle \"y' = a \, y + b\" terminale D<\/h2>\n

\u00c9quation homog\u00e8ne<\/strong> \"y ' = a \, y\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\".<\/h3>\n

Th\u00e9or\u00e8me de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle :<\/strong><\/p>\n

Les solutions de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"y' = a \, y\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\" sont les fonctions \"\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto k \, \textrm{e} ^{a \, x}\" o\u00f9 \"k \in\mathbb{R}\".<\/p>\n

Soit \"f : x \mapsto k \, \textrm{e} ^{a \, x}\".<\/p>\n

\"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et pour tout r\u00e9el \"x\", \"f'(x) = k \, a \, \textrm{e} ^{a \, x} = a \, f(x)\",<\/p>\n

Donc \"f\" est solution de l’\u00e9quation \"y' = a \, y\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle :<\/strong><\/p>\n

Soit \"(x_0 \,,\, y_0) \in \mathbb{R}^2\", il existe une unique solution \"h\" de \"y' = a \, y\" telle que \"h(x_0) = y_0\,\".<\/p>\n

\u00c9quation compl\u00e8te \"y ' = a \, y + b\" o\u00f9 \"(a ,\, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}\".<\/h3>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/strong>
\nL’ensemble des solutions de \"y ' = a \, y + b\" o\u00f9 \"(a ,\, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}\" est l’ensemble des fonctions d\u00e9finies sur \"\mathbb{R}\" par<\/p>\n

\"f(x) = - \dfrac b a + \lambda \, \textrm{e} ^{ a\, x}\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

\u00c9quation compl\u00e8te \"y ' = a \, y + f(x)\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\" et \"f : \mathbb{I} \to \mathbb{R}\".<\/h3>\n

On suppose que l’on connait une solution \"g\" sur \"I\" de l’\u00e9quation \"\qquad \quad y' = a \, y + f(x)\",<\/p>\n

Alors l’ensemble des solutions de \"y ' = a \, y + f(x)\" est l’ensemble des fonctions<\/p>\n

\"x \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{ a\, x} + g(x)\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

De plus pour tout \"x_0 \in I\" et \"y_0 \in \mathbb{R}\", il existe une unique solution \"F\" telle que \"F(x_0) = y_0\,\".<\/p>\n

Variations et limite d’une solution de \"y' = a \, y + b\".<\/h3>\n

La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"y' = a \, y + b\" o\u00f9 \"(a,b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}\"<\/p>\n

Est \"f : x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ a \, x} - \dfrac b a\" o\u00f9 \"k \in\mathbb{R}\".<\/p>\n

Variations :<\/p>\n

Si \"x \in \mathbb{R}\", \"f'(x) = a \, k \, \textrm{e} ^{a \, x}\"<\/p>\n

– si \"a \, k > 0\", \"f\" est strictement croissan- te sur \"\mathbb{R}\"<\/p>\n

– si \"a \, k < 0\", \"f\" est strictement d\u00e9crois- sante sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Limite<\/p>\n

– Si \"a > 0\", \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \dfrac {b} a\"<\/p>\n

– Si \"a < 0\", \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = - \dfrac {b} a\".<\/p>\n

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3. M\u00e9thode d’Euler sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles terminale D<\/h2>\n

Principe de la m\u00e9thode d’Euler<\/h3>\n

Soit \"f\" une fonction d\u00e9rivable<\/strong> sur \"I\", d’apr\u00e8s l’approximation affine, pour un pas \"p\" petit :<\/p>\n

Si \"x, x+p \in I\", \"\qquad \quad f (x + p) \approx f (x) + p f ′(x)\"<\/p>\n

Si \"f\" v\u00e9rifie une \u00e9quation diff\u00e9rentielle d’ordre \"1\", on peut remplacer \"f'(x)\" par une expression en fonction de \"f(x)\" et \"x\"<\/p>\n

Donc obtenir une approximation de \"f(x + p)\" en fonction de \"f(x) ,\, x\" et \"p\"<\/p>\n

Si l’on conna\u00eet une condition initiale \"f'(x_0) = y_0\", en utilisant l’approxima- tion affine de fa\u00e7on it\u00e9rative, on peut d\u00e9terminer des valeurs approch\u00e9es de \"f(x)\" pour \"x \in I\".<\/p>\n

4. Lien avec les \u00e9quations diff\u00e9rentielles au programme de physique<\/h2>\n

Les \u00e9quations diff\u00e9rentielles rencontr\u00e9es en physique<\/h3>\n

En physique, la variable est not\u00e9e \"t\", on note \"y'\" sous la forme \"\dfrac {\textrm{d}\, y } {\textrm{d} t}\".<\/p>\n

Les 4 \u00e9quations diff\u00e9rentielles essentielles du programme de la sp\u00e9cialit\u00e9 physique sont d\u00e9finies sur \"\mathbb{R}^+\".<\/p>\n

En radioactivit\u00e9 : \"\dfrac {\textrm{d}\, N} {\textrm{d} t} + \lambda \, N = 0\"<\/p>\n

En thermodynamique<\/p>\n

\"\dfrac {\textrm{d} \, T} {\textrm{d} t } + \dfrac {h\, S} {m\, C} \, T = \dfrac {h\, S} {m\, C} \, T_{th}\"
\n(on note \"\tau = \dfrac{m\, C} {h\, S}\" )<\/p>\n

En \u00e9lectricit\u00e9 (d\u00e9charge d’un condensateur )<\/p>\n

\"\dfrac {\textrm{d} \, {u_c}} {\textrm{d} t} + \dfrac {1} {R\, C} \, u_c = 0\"<\/p>\n

En \u00e9lectricit\u00e9 (charge d’un condensateur )<\/p>\n

\"\dfrac {\textrm{d} \, {u_c} } {\textrm{d} t} + \dfrac {1} {R\, C} \, u_c = \dfrac E {R\, C}\"<\/p>\n

R\u00e9solution<\/h3>\n

Ce sont trois \u00e9quations diff\u00e9rentielles de m\u00eame type qui peuvent \u00eatre \u00e9crites sous la forme<\/p>\n

\"\dfrac {\textrm{d}\, f} {\textrm{d} t } + \dfrac {1} {\tau} \, f = 0\"<\/p>\n

ou \"\dfrac {\textrm{d}\, f} {\textrm{d} t } + \dfrac {1} {\tau} \, f = \dfrac {F_{\infty} } {\tau}\"<\/p>\n

avec \"\tau > 0\" et \"F _{\infty} \in \mathbb{R }^*\"<\/p>\n

selon que l’\u00e9quation n’a pas ou a un second membre.<\/p>\n

Pour une \u00e9quation sans second membre \"\dfrac {\textrm{d}\, f} {\textrm{d} t } + \dfrac {1} {\tau} \, f = 0\",<\/p>\n

la solution g\u00e9n\u00e9rale telle que \"f(0) = f_0\" est \"t \mapsto f_0 \, \textrm{e} ^{ - t / \tau}\".<\/p>\n

Elle a une limite nulle en \"+\infty\".<\/p>\n

Pour une \u00e9quation sans second membre \"\dfrac {\textrm{d}\, f} {\textrm{d} t } + \dfrac {1} {\tau} \, f = \dfrac {F_{\infty} } {\tau}\".<\/p>\n

La solution g\u00e9n\u00e9rale est<\/p>\n

\"t \mapsto F _{\infty} + k \, \textrm{e} ^{- t /\tau }\"<\/p>\n

et celle telle que \"f(0) = f_0\" est<\/p>\n

\"t \mapsto F _{\infty} + \left (f_0 - F_{\infty} \right ) \, \textrm{e} ^{- t /\tau }\".<\/p>\n

Cette fonction a une limite \u00e9gale \u00e0 \"F_{\infty}\" en \"+\infty\"<\/p>\n

Elle est strictement croissante si \"f_0 < F_{\infty}\" et d\u00e9croissante si \"f_0 > F_{\infty}\,\".<\/p>\n

Retrouvez d’autres chapitres \u00e0 travailler en cours de maths en terminale D :<\/p>\n