{"id":182681,"date":"2023-03-10T20:15:14","date_gmt":"2023-03-10T19:15:14","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=182681"},"modified":"2023-03-10T20:15:14","modified_gmt":"2023-03-10T19:15:14","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-equations-differentielles-terminale-d","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-equations-differentielles-terminale-d\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s \u00e9quations diff\u00e9rentielles terminale D"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Terminale D en maths<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en Terminale D<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes et g\u00e9om\u00e9trie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLimites et continuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivabilit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEtude des fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tStatistiques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles en Terminale D<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Terminale D<\/a><\/p>\n

Vous trouverez ci-dessous des exercices corrig\u00e9s gratuits sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles pour les \u00e9l\u00e8ves pr\u00e9parant le bac D.<\/p>\n

Application directe du cours sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

La solution \"f\" de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"y'+2\, y = 6\" qui v\u00e9rifie la condition initiale \"f (0) = 1\" est d\u00e9finie sur l’ensemble \"\mathbb{R}\" des nombres r\u00e9els par :<\/p>\n

a. \"f (x) = -2\, \textrm{e} ^{ -2\, x} +3\"<\/p>\n

b. \"f (x) = -2\, \textrm{e} ^{2\, x} +3\"<\/p>\n

c. \"f (x) = -2\, \textrm{e} ^{ -2x} -3\"<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

Soit \"f\" la fonction solution sur \"\mathbb{R}\" de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"y' = -y +2\" telle que \"f (\ln2) = 1\".<\/p>\n

La courbe repr\u00e9sentative de \"f\" admet au point d’abscisse 0, une tangente d’\u00e9quation \"y = 2\,x\"<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\"y' = 3\, y\" et \"y(0) = 1\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9 des applications sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

En utilisant le r\u00e9sultats de cours avec \"a = - 2\" et \"b = 6\", la solution g\u00e9n\u00e9rale est \"x \mapsto k \,\textrm{e} ^{a\, x} - \dfrac {b} a\" o\u00f9 \"k\in \mathbb{R}\"<\/p>\n

soit \"f : x \mapsto k \,\textrm{e} ^{ - 2\, x} + \dfrac 6 2\".<\/p>\n

\"f(0) = 1\" ssi \"k + 3 = 1\" ssi \"k = - 2\".<\/p>\n

La fonction solution est<\/p>\n

\"\boxed{\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \mapsto - 2\,\textrm{e} ^{ - 2\, x } + 3}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"y' = -y +2\" est \"x \mapsto k\, \textrm{e} ^{- x} + 2\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

\"y(\ln(2)) = 1\" ssi \"k \,\textrm{e} ^{ - \ln(2)} + 2 = 1\"<\/p>\n

ssi \"\displaystyle \dfrac k 2 = - 1\" ssi \"k = - 2\"<\/p>\n

Alors \"f : x \mapsto - 2\, \textrm{e} ^{ - x} + 2\".<\/p>\n

\"f(0) = 0\" et \"f'(0) = - f(0) + 2 = 2\".<\/p>\n

La tangente en \"(0 , 2)\" a pour \u00e9quation<\/p>\n

\"y = f'(0)(x - 0) + f(0)\" soit \"\boxed{y = 2 \, x }\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions \"x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ 3\, x}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

\"f : x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ 3\, x}\" v\u00e9rifie \"f(0) = 1\" ssi \"k = 1\".<\/p>\n

La solution est \"\boxed{f : x \mapsto \textrm{e} ^{ 3\, x} }\".<\/p>\n

Exercices terminale D : \u00e9quations diff\u00e9rentielles plus compliqu\u00e9es<\/h2>\n

Exercice 1\u00a0<\/strong><\/h3>\n

Question 1<\/p>\n

D\u00e9terminer les solutions de \"\quad y'' - 6 \, y' + 3\, y = \dfrac {1 - x} { x ^3} \textrm{e}^{ 3\,x}\"<\/p>\n

sur \"I =\; ]0 , + \infty[\".<\/p>\n

Exercice 1 (fin)<\/h3>\n

Question 2<\/p>\n

D\u00e9montrer et d\u00e9terminer qu’il existe une seule solution \"f\" telle que \"f(1) = 0\" et \"f'(1) = 0\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 des exercices sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/h2>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice sur la question 1<\/h3>\n

Comme la fonction \"x \mapsto \textrm{e}^{ 3\,x}\" ne s’annule pas, la fonction \"f\" est deux fois d\u00e9rivable ssi la fonction \"u\" d\u00e9finie par<\/p>\n

\"\qquad \qquad u : x \mapsto \textrm{e}^{ - 3\,x} \, f(x)\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"I\".<\/p>\n

En notant donc pour \"x \in I\", \"f(x) = u(x)\, \textrm{e}^{ 3\,x}\"<\/p>\n

\"f'(x) = u'(x) \, \textrm{e}^{ 3\,x} + 3 \, u(x) \, \textrm{e}^{ 3\,x}\"<\/p>\n

\"f'(x) = (u'(x) + 3\, u(x)) \, \textrm{e}^{ 3\,x}\"<\/p>\n

et \"f''(x) = (u''(x) + 3\, u'(x)) \, \textrm{e}^{ 3\,x}\" \"\qquad \qquad\quad + \, 3\, (u'(x) + 3\, u(x)) \, \textrm{e}^{ 3\,x}\"<\/p>\n

\"f''(x) = (u''(x) + 6\, u'(x) + 9\, u(x) ) \, \textrm{e}^{ 3\,x}\"<\/p>\n

\"f\" est solution sur \"I\" ssi pour tout \"x \in I\",<\/p>\n

\"\left ( \, u''(x) + (6 - 6) \, u'(x)\right.\"<\/p>\n

\"\qquad \qquad \left. + \, (9 -18 + 9) \, u(x) \, \right ) \, \textrm{e}^{ 3\,x}\" \"\qquad \qquad \qquad = \dfrac {1 - x} { x ^3} \textrm{e}^{ 3\,x}\"<\/p>\n

ssi pour tout \"x \in I\", \"\qquad u''(x) = \dfrac {1 - x} { x ^3} = \dfrac 1 {x ^3} - \dfrac 1 {x ^2}\"<\/p>\n

ssi il existe \"a \in \mathbb{R}\" tel que pour tout \"x \in I\", \"\qquad \quad u'(x) = \dfrac { - 1} {2\, x ^2} + \dfrac 1 {x} + a\"<\/p>\n

ssi il existe deux r\u00e9els \"a\" et \"b\" tels que pour tout \"x \in I\", \"\qquad \quad u(x) = \dfrac 1 {2\, x} + \ln(x) + a \, x + b\".<\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions<\/p>\n

\"\quad x \mapsto \left ( \dfrac 1 {2\, x} + \ln(x) + a \, x + b \right ) \, \textrm{e}^{ 3\,x}\"<\/p>\n

o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont r\u00e9els.<\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice sur la question 2 en terminale D<\/h3>\n

On cherche \"a\" et \"b\" tels que \"f(1) = 0\" et \"f'(1) = 0\" .<\/p>\n

En utilisant \"f(x) = u(x) \, \textrm{e} ^{3\, x}\"<\/p>\n

et \"f'(x) = (3\, u(x) + u'(x)) \, \textrm{e} ^{3\, x}\"<\/p>\n

on obtient les conditions \u00e9quivalentes<\/p>\n

\"u(1) = 0\" et \"3\, u(1) + u'(1) = 0\"<\/p>\n

ssi \"u(1) = u'(1) = 0\"<\/p>\n

ssi \"\dfrac 1 2 + a + b = 0\" et \"\dfrac {-1} 2 + \dfrac 1 1 + a = 0\"<\/p>\n

ssi \"a = - \dfrac 1 2\" et \"b = - \dfrac 1 2 - a = 0\"<\/p>\n

Le probl\u00e8me admet une unique solution d\u00e9finie par<\/p>\n

\"\boxed{f : x \mapsto \left ( \dfrac 1 {2\, x} + \ln(x) - \dfrac 1 2 x \right ) \, \textrm{e}^{ 3\,x}}\".<\/p>\n

Retrouvez d’autres exercices et corrig\u00e9s des cours de maths niveau terminale D :<\/p>\n