{"id":182685,"date":"2023-03-11T18:10:14","date_gmt":"2023-03-11T17:10:14","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=182685"},"modified":"2023-03-11T18:10:14","modified_gmt":"2023-03-11T17:10:14","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-equations-differentielles-terminale-s2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-equations-differentielles-terminale-s2\/","title":{"rendered":"Exercices et corrig\u00e9s \u00e9quations diff\u00e9rentielles terminale S2"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Terminale S2 en maths<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en Terminale S2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie plane et dans l'espace<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions : limites et d\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStatistiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles en Terminale S2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Terminale S2<\/a><\/p>\n

Beaucoup d\u2019exercices sont classiques et permettent de progresser sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles en terminale S2. Retrouvez ci-dessous quelques exercices corrig\u00e9s qui vous seront utiles dans votre pr\u00e9paration du bac S2.<\/p>\n

Questions \u00e9quations diff\u00e9rentielles en terminale S2<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre l’\u00e9quation \"y' + y = \textrm{e} ^{2\, x}\"<\/p>\n

En cherchant une solution particuli\u00e8re sous la forme \"x \mapsto a \, \textrm{e}^{2\, x}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre \"y' + y = (x+1) \, \textrm{e} ^{- x}\"<\/p>\n

En cherchant une solution particuli\u00e8re sous la forme \"x \mapsto (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre l’\u00e9quation<\/p>\n

\"\quad 7\, y' + 2\, y = 2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1\"<\/p>\n

En cherchant une solution particuli\u00e8re sous forme d’une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 3.<\/p>\n

Exercices terminale S2: o\u00f9 il faut passer par une \u00e9quation diff\u00e9rentielle.<\/h2>\n

On se propose de d\u00e9terminer toutes les fonctions \"f\" d\u00e9finies et d\u00e9rivables sur l’intervalle<\/p>\n

\"I =\; ]0 ,\, +\infty[\" v\u00e9rifiant l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/p>\n

\"(E) : x f '(x)-(2\, x +1) f (x) = 8\, x^2\".<\/p>\n

Question 1<\/strong><\/p>\n

Si \"f\" est solution de \"(E)\", alors la fonction g d\u00e9finie sur l’intervalle \"]0 ,\, + \infty[\" par \"g (x) =\dfrac {f(x)} x\" est solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"\qquad \quad (E') : y' = 2\,y +8\".<\/p>\n

Question 2<\/strong><\/p>\n

R\u00e9soudre \"(E')\" et en d\u00e9duire toutes les solutions de \"(E)\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Corrig\u00e9 des questions sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles terminale S2<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation \"y' + y = 0\" est \"x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ - x}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Soit \"f : x \mapsto a \, \textrm{e}^{2\, x}\"<\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\", \"f'(x) = 2\, a \, \textrm{e}^{2\, x}\"<\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\", \"f'(x) + f(x) = \textrm{e} ^{2\, x}\"<\/p>\n

ssi \"3\, a \, \textrm{e} ^{2\, x} = \textrm{e} ^{2\, x}\" ssi \"a = \dfrac 1 3\".<\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions<\/p>\n

\"\qquad x \mapsto \dfrac 1 3 \, \textrm{e} ^{2\, x} + k \, \textrm{e} ^{-x}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation \"y' + y = 0\" est \"x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ - x}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Soit pour \"x \in \mathbb{R}\", \"f(x) = (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}\"<\/p>\n

\"f'(x) = - (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}\" \"\qquad \qquad +\, (2\, a \, x + b \, ) \, \textrm{e}^{- x}\"<\/p>\n

\"f'(x) = \left (- a\, x^2 + ( 2\, a - b) \, x + b \right ) \,\textrm{e}^{- x}\"<\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\",<\/p>\n

\"\qquad f'(x) + f(x) = (x+1) \, \textrm{e}^{- x}\"<\/p>\n

ssi pour tout r\u00e9el \"x\",<\/p>\n

\"\left ( (a - a) \, x ^3 + (b + 2\, a - b) \, x + b \right ) \,\textrm{e}^{- x}\" \"\qquad \qquad \qquad = (x + 1) \,\textrm{e}^{- x}\"<\/p>\n

ssi \"2\, a\, x + b = x + 1\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} 2\, a = 1\\ b = 1\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"a = \dfrac 1 2\", \"b = 1\"<\/p>\n

Donc \"x \mapsto \left ( \dfrac 1 2 \, x ^2 + x \right ) \, \textrm{e} ^{ - x}\" est une solution pariculi\u00e8re de l’\u00e9quation.<\/p>\n

La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation \"y' + y = (x + 1) \, \textrm{e} ^{ - x}\" est \"x \mapsto \left ( \dfrac 1 2 \, x ^2 + x + k \right ) \, \textrm{e} ^{ - x}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 3 :<\/strong><\/p>\n

\"\bullet\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation homog\u00e8ne \"7\, y' + 2\, y = 0\" soit \"y' = - \dfrac 2 7 \, y = 0\" est \"x \mapsto k \, \textrm{e} ^{- 2\, x / 7}\" o\u00f9 \"k\in\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit si \"x \in \mathbb{R}\", \"P(x) = a\, x ^3 + b \, x ^2 + c\, x + d\"<\/p>\n

\"P'(x) = 3\, a \, x^2 + 2\, b \, x + c\"<\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"x\",<\/p>\n

\"7\, P'(x) + 2\, P(x) = 2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1\"<\/p>\n

ssi pour tout r\u00e9el \"x\"<\/p>\n

\"2\, a \, x^3 + (2\, b + 21\, a)\, x ^2 + (2\, c + 14 \, b)\, x\" \"\qquad \quad + \, 2\, d + 7 \, c =2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} 2\, a = 2\\ 2\, b + 21\, a = - 5\\ 2\, c + 14\, b = 4\\ 2\, d + 7\, c = - 1\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

ssi \"\left \{ \begin{matrix} a = 1\\ 2\, b = - 26\\ 2\, c = 4 + 14 \times 13 \\ 2\, d = - 1 - 7\times 93\end{matrix} \right.\"<\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions<\/p>\n

\"x \mapsto k \, \textrm{e} ^{- 2\, x / 7} + x^3 - 13 \, x ^2 + 93\, x - 326\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Corrig\u00e9 des exercices sur foncions sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/h2>\n

Corrig\u00e9 question 1<\/h3>\n

\"g\" est d\u00e9rivable comme quotient de deux fonctions d\u00e9rivables sur \"]0 ,\, +\infty[\".<\/p>\n

Si \"x > 0\", \"g'(x) = \dfrac {x \, f'(x) - f(x)} {x ^ 2}\"<\/p>\n

donc \"g'(x) - 2\, g(x) = \dfrac {x \, f'(x) - f(x)} {x ^ 2} - 2\, \dfrac {f(x)} x\"<\/p>\n

\"g'(x) - 2\, g(x) = \dfrac {x \, f'(x) - (2\, x + 1) \, f'(x)} {x ^2} = \dfrac {8\, x ^2} {x ^2}\"<\/p>\n

soit \"g'(x) - 2\, g(x) = 8\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 question 2 en terminale S2<\/h3>\n

La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(E')\" est la fonction \"h : x \mapsto k \, \textrm{e} ^{2\, x} - 4\"<\/p>\n

Gr\u00e2ce aux deux premi\u00e8res questions, \"f\" est solution de \"(E)\" ssi \"h : x \mapsto \dfrac {f(x)} x\" est solution de \"(E')\".<\/p>\n

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions d\u00e9finies sur<\/p>\n

\"]0 , + \infty[\", \"\qquad \quad x \mapsto \dfrac { k \, \textrm{e} ^{2\, x} - 4} x\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Retrouvez d’autres exercices et corrig\u00e9s des cours de maths niveau terminale S2 :<\/p>\n