{"id":183224,"date":"2023-03-10T14:50:52","date_gmt":"2023-03-10T13:50:52","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=183224"},"modified":"2023-03-12T17:47:38","modified_gmt":"2023-03-12T16:47:38","slug":"cours-en-ligne-terminale-s2-complexes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-terminale-s2-complexes\/","title":{"rendered":"Cours nombres complexes terminale S2"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Terminale S2 en maths<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres de maths en Terminale S2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie plane et dans l'espace<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions : limites et d\u00e9riv\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction logarithme n\u00e9p\u00e9rien<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonction exponentielle<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStatistiques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur les nombres complexes en Terminale S2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de maths en Terminale S2<\/a><\/p>\n

Ce r\u00e9sum\u00e9 de cours propos\u00e9 aux \u00e9l\u00e8ves qui pr\u00e9parent le bac S2 vous permettra de r\u00e9viser toutes les notions n\u00e9cessaires sur les nombres complexes.<\/p>\n

1. Notation et d\u00e9finition des complexes en terminale S2<\/h2>\n

Tout nombre complexe poss\u00e8de un affixe not\u00e9 \"z\" et poss\u00e8de une repr\u00e9sentation dans une base orthonormale. Ce nombre poss\u00e8de alors des coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes et des coordonn\u00e9es polaires.<\/p>\n

Coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes d’un nombre complexe<\/strong><\/p>\n

Soit \"(O,\overrightarrow{v_{x}},\overrightarrow{v_{y}})\" un rep\u00e8re cart\u00e9sien (vecteurs fixes) du plan. Alors, tout point \"A\" d’affixe \"z \in \mathbb{C}\" est d\u00e9termin\u00e9 par le couple \"(x,y)\" tels que :<\/p>\n

\"\overrightarrow{OA}=x.\overrightarrow{v_{x}}+y.\overrightarrow{v_{y}} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}\"<\/p>\n

Les r\u00e9els \"(x,y)\" sont les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes du point \"A\" dans la base \"(\overrightarrow{v_{x}},\overrightarrow{v_{y}})\".<\/p>\n

Nous adopterons les appellations suivantes : \"x\" est appel\u00e9 partie r\u00e9elle et \"y\" partie imaginaire.<\/p>\n

Voici l’\u00e9criture alg\u00e9brique du nombre complexe \"z\" :<\/p>\n

\"z = x + i.y = \Re(z) + i. \Im(z)\"<\/p>\n

Coordonn\u00e9es polaires des nombres complexes<\/strong><\/p>\n

Soit un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\overrightarrow{u_{r}},\overrightarrow{u_{\theta}})\" :<\/p>\n

\"Cours<\/p>\n

 <\/p>\n

– le vecteur \"\overrightarrow{u_{r}}\" est un vecteur unitaire dirig\u00e9 vers le vecteur \"\overrightarrow{OA}\";<\/p>\n

– le vecteur orthoradial \"\overrightarrow{u_{\theta}}\" est un vecteur unitaire orthogonal au vecteur \"\overrightarrow{u_{r}}\", avec un angle de \"\dfrac{\pi}{2}\" dans le sens anti-horaire.<\/p>\n

Dans ce rep\u00e8re, le point A d’affixe \"z \in \mathbb{C}\" est d\u00e9crit par \"(r,\theta)\", avec \"r \geq 0\" et \"\theta \in \mathbb{R}\", tels que :<\/p>\n

\"\overrightarrow{OA} = r. \overrightarrow{u_{r}}\"<\/p>\n

Nous pouvons alors \u00e9crire la forme trigonom\u00e9trique du complexe \"z\" :<\/p>\n

\"z = r \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right)\"<\/p>\n

Le nombre \"r \geq 0\" est le module de \"z\", not\u00e9 \"\vert z \vert\", et le r\u00e9el \"\theta\" est appel\u00e9 l’argument de \"z\".<\/p>\n

Nous pouvons alors \u00e9crire :<\/p>\n

\"r = \vert z \vert = \left \| \overrightarrow{OA} \right \|\"<\/p>\n

\"\theta = (\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{OA})\" \"[2\pi]\"<\/p>\n

Voici la notation exponentielle du complexe :<\/p>\n

\"e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\"<\/p>\n

\"z = r e^{i \theta} = \vert z \vert e^{i \theta}\"<\/p>\n

Liens entre les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes et polaires : module et argument<\/strong><\/p>\n

Il est possible de passer des coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes aux coordonn\u00e9es polaires.<\/p>\n

\"\left \| \overrightarrow{OM} \right \| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r = \vert z \vert\"<\/p>\n

\"\cos(\theta) = \dfrac{x}{r}\", si \"r > 0\"<\/p>\n

\"\sin(\theta) = \dfrac{y}{r}\", si \"r > 0\"<\/p>\n

\"\tan(\theta) = \dfrac{y}{x}}\", si \"x > 0\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2 – Conjugu\u00e9, argument et module d’un nombre complexe en terminale S2<\/h2>\n

L’ensemble des complexes \"\mathbb{C}\" contient donc l’ensemble des r\u00e9els \"\mathbb{R}\".<\/strong> Les lois d’addition et de multiplication s’appliquent dans \"\mathbb{C}\".<\/p>\n

Conjugu\u00e9 d’un nombre complexe<\/strong><\/p>\n

Soit \"z \in \mathbb{C}\", dont l’\u00e9criture alg\u00e9brique est \"z = a + i.b\", avec \"(x,y) \in \mathbb{R}^{2}\".<\/p>\n

Le complexe conjugu\u00e9 de \"z\", not\u00e9 \"\overline{z}\", est d\u00e9fini par:<\/p>\n

\"\overline{z} = a - i.b\"<\/p>\n

Soient \"z\" et \"z'\" deux complexes :<\/p>\n

\"z\" est un nombre r\u00e9el si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, donc si et seulement si \"z = \overline{z}\";<\/p>\n

\"z\" est imaginaire pur si et seulement si sa partie r\u00e9elle est nulle, donc si et seulement si \"z = - \overline{z}\";<\/p>\n

Les points d’affixes \"z\" et \"\overline{z}\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 l’axe des abscisses :<\/p>\n

\"z + \overline{z} = 2 \Re(z)\";<\/p>\n

\"z - \overline{z} = 2i \Im(z)\";<\/p>\n

\"\overline{\overline{z}} = z\";<\/p>\n

\"\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}\";<\/p>\n

\"\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}\";<\/p>\n

Si \"z \neq 0\", alors \"\overline{\dfrac{1}{z}} = \dfrac{1}{\overline{z}}\";<\/p>\n

Si \"z' \neq 0\", alors \"\overline{\left( \dfrac{z}{z'} \right)} = \dfrac{ \overline{z} }{ \overline{z'} }\";<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^{*}\", alors \"\overline{ z^{n} } = \left( \overline{z} \right)^{n}\".<\/p>\n

Argument d’un complexe<\/strong><\/p>\n

Soient \"z\" et \"z'\" deux nombres complexes non nuls. On note \"arg(z)\" l’argument de \"z\".<\/p>\n

\"z \in \mathbb{R}\" ssi \"arg(z) = 0\" \"[\pi]\";<\/p>\n

\"z\" est imaginaire pur si et seulement si \"arg(z) = \dfrac{\pi}{2}\" \"[\pi]\";<\/p>\n

\"arg \left( z \times z' \right) = arg(z) + arg(z')\" \"[2\pi]\";<\/p>\n

\"arg \left( \dfrac{1}{z} \right) = - arg(z)\" \"[2\pi]\";<\/p>\n

\"arg \left( \dfrac{z}{z'} \right) = arg(z) - arg(z')\" \"[2\pi]\".<\/p>\n

Module d’un complexe en terminale S2<\/strong><\/p>\n

Soit \"z \in \mathbb{C}\". Le module de ce nombre est :<\/p>\n

\"\vert z \vert = \sqrt{ \Re(z)^{2} + \Im(z)^{2} }\"<\/p>\n

Soient \"z\" et \"z'\" deux complexes :<\/p>\n

\"\vert z \vert \geq 0\";<\/p>\n

\"\vert z \vert = 0\" si et seulement si \"z = 0\";<\/p>\n

\"\vert z + z' \vert \leq \vert z \vert + \vert z' \vert\"<\/p>\n

\"\vert z \times z' \vert = \vert z \vert \times \vert z' \vert\";<\/p>\n

Si \"z' \neq 0\", alors \"\left \vert \dfrac{z}{z'} \right \vert = \dfrac{ \vert z \vert }{ \vert z' \vert }\";<\/p>\n

\"z \times \overline{z} = \vert z \vert^{2}\";<\/p>\n

Si \"n \in \mathbb{N}^{*}\", \"\left \vert z^{n} \right \vert = \vert z \vert^{n}\".<\/p>\n

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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3 – Complexes et \u00e9quations du second degr\u00e9 en terminale S2<\/h2>\n

Nous avons plusieurs cas \u00e0 distinguer dans la r\u00e9solution des \u00e9quations du second degr\u00e9<\/p>\n

Cas n\u00b01<\/strong> : \u00e9quation \"z^{2} = \alpha\", avec \"\alpha \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

2 cas se pr\u00e9sentent \u00e0 nouveau selon le signe de \"\alpha\".<\/p>\n

1.1<\/strong> : \"\alpha \geq 0\"<\/p>\n

Si \"\alpha = 0\", alors \"z^{2} = 0 \Longrightarrow \vert z \vert^{2} = 0 \Longrightarrow z = 0\";<\/p>\n

Si \"\alpha > 0\", alors \"z^{2} = \alpha \Longrightarrow \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)^{2} = 1\".<\/p>\n

Nous avons alors :<\/p>\n

\"\left \vert \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right \vert^{2} = 1\"<\/p>\n

\"arg \left( \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)^{2} \right)= 2 arg \left( \dfrac{z}{\sqrt{\alpha}} \right)\"<\/p>\n

\"= 2 \left( arg(z) - arg \left( \sqrt{\alpha} \right) \right) = arg(1)\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit que \"\vert z \vert = \sqrt{\alpha}\".<\/p>\n

L’\u00e9quation sur les arguments nous permet de d\u00e9duire :<\/p>\n

\"2 arg(z) = 0\" \"[2\pi] = 2k \pi\", \"k \in \mathbb{Z}\"<\/p>\n

\"arg(z) = k \pi\", \"k \in \mathbb{Z}\"<\/p>\n

Le nombre \"z\" est donc un nombre r\u00e9el, dont le module vaut \"\sqrt{\alpha}\", et l’argument \"0\" ou \"\pi\" (module \"2\pi\").<\/p>\n

1.2 <\/strong>: \"\alpha < 0\"<\/p>\n

Dans \"\mathbb{C}\",<\/p>\n

\"\vert z \vert ^{2} = \vert \alpha \vert \Longrightarrow \vert z \vert = \sqrt{ \vert \alpha \vert }\"<\/p>\n

\"arg \left( z^{2} \right) = 2 arg(z) = arg (\alpha)\"<\/p>\n

=\"\pi + 2k \pi\text{, }k \in \mathbb{Z} \Longrightarrow arg(z) = \dfrac{\pi}{2} + k \pi\text{, }k \in \mathbb{Z}\"<\/p>\n

On a donc, \"z\" qui est un nombre imaginaire pur, de module \"\sqrt{ \vert \alpha \vert }\", et d’argument \"\dfrac{\pi}{2}\" \"[\pi]\".<\/p>\n

Cas n\u00b02<\/strong> : \u00e9quation \"az^{2} + bz + c = 0\", avec \"z \in \mathbb{C}, a \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

Calculons le discriminant du polyn\u00f4me : \"\Delta = b^{2} - 4 ac\"<\/p>\n

Les coefficients \"a\", \"b\" et \"c\" sont r\u00e9els, nous pouvons donc \u00e9tudier le signe de \"\Delta\" :<\/p>\n

Si \"\Delta > 0\" : le polyn\u00f4me du 2nd degr\u00e9 admet deux racines r\u00e9elles diff\u00e9rentes :<\/p>\n

\"z_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"z_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

Si \"\Delta = 0\" : le polyn\u00f4me admet une racine r\u00e9elle double : \"z_{0} = - \frac{b}{2a}\";<\/p>\n

Si \"\Delta < 0\" : le polyn\u00f4me admet 2 racines complexes conjugu\u00e9es :<\/strong><\/p>\n

\"z_{1} = \dfrac{-b - i \sqrt{ \vert \Delta \vert }}{2a} \in \mathbb{C}\"<\/p>\n

\"z_{2} = \dfrac{-b + i \sqrt{ \vert \Delta \vert }}{2a} = \overline{z_{1}}\"<\/p>\n

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