{"id":196542,"date":"2024-02-06T12:29:19","date_gmt":"2024-02-06T11:29:19","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=196542"},"modified":"2024-02-06T12:29:36","modified_gmt":"2024-02-06T11:29:36","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-physique-quantique-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-physique-quantique-maths-spe\/","title":{"rendered":"Exercices corrig\u00e9s : physique quantique en maths sp\u00e9"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tDiffusion thermique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConducteurs ohmiques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tThermochimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9f\u00e9rentiels non galil\u00e9ens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectrostatique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMagn\u00e9tostatique et induction<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOndes dans le vide<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOndes dans les milieux<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPhysique quantique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOptique physique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPhysique statistique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectronique et signal<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectrochimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s sur la\u00a0physique quantique\u00a0en maths sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

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Ces exercices corrig\u00e9s pour la maths sp\u00e9 en physique chimie sur la physique quantique pourront vous aider \u00e0 mieux comprendre les notions sur Pseudo-OPPH, Vitesse de groupe, vitesse de phase. En plus de ces exercices et corrig\u00e9s que vous pouvez faire en autonomie, Groupe R\u00e9ussite propose si vous souhaitez cibler des concours comme X\/ENS, Centrale Supelec ou encore Mines Ponts l’aide d’un prof de physique chimie<\/a>. Au quotidien, l’enseignant \u00e0 domicile ou en ligne vous proposera des r\u00e9sum\u00e9s de cours et des s\u00e9ries d’exercices ou d’annales cibl\u00e9es pour r\u00e9pondre \u00e0 vos probl\u00e9matiques et vous faire gagner des points aux diff\u00e9rentes \u00e9preuves.<\/p>\n

QCM sur la physique quantique\u00a0en maths sp\u00e9<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

Le terme spatial \"\varphi(x)\" de la solution stationnaire est<\/p>\n

a. toujours une exponentielle complexe ou r\u00e9elle<\/p>\n

b. toujours une exponentielle complexe<\/p>\n

c. toujours une exponentielle r\u00e9elle<\/p>\n

d. parfois une fonction qui n’est ni exponentielle complexe ni exponentielle r\u00e9elle.<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

Une onde progressive harmonique d\u00e9finie sur \"]-\infty,+\infty[\" solution de l’EDS<\/p>\n

a. est non normalisable et de largeur spectrale non nulle<\/p>\n

b. est non normalisable et de largeur spectrale nulle<\/p>\n

c. est normalisable et de largeur spectrale non nulle<\/p>\n

d. est normalisable et de largeur spectrale nulle<\/p>\n

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\n\t\t\t\t\tTu veux r\u00e9ussir en<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tphysique chimie ?<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/h3>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tAcc\u00e8de aux meilleurs exercices et r\u00e9sum\u00e9s de cours\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tTravaille sur les annales en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tFais toi accompagner en cours \u00e0 domicile\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les \u00e9l\u00e8ves que nous aidons en cours de physique -chimie \u00e0 domicile recommandent \u00e0 98%<\/strong> nos profs<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProf de physique chimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

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Corrig\u00e9 du QCM de maths sp\u00e9 sur la physique quantique<\/h2>\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\n

La bonne r\u00e9ponse est la d.<\/p>\n

\"\varphi(x)\" est exponentielle r\u00e9elle ou complexe quand \"V(x)\" est constante sur un intervalle, mais peut \u00eatre une autre fonction si \"V(x)\" n’est pas une fonction en escaliers.<\/p>\n

Question 2 :<\/strong><\/p>\n

La bonne r\u00e9ponse est b.<\/p>\n

Exercices sur la physique quantique\u00a0en maths sp\u00e9<\/h2>\n

Exercice sur le paquet d’ondes.<\/h3>\n

Un paquet d’ondes poss\u00e8de un spectre continu dont la densit\u00e9 spectrale est<\/p>\n

\"\displaystyle{\alpha(k)=\frac{d\psi_0}{dk}}\"<\/p>\n

o\u00f9 \"\psi_0\" est l’amplitude de la solution stationnaire de l’EDS, et dont la fonction d’onde est une somme int\u00e9grale<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\int_{k=-\infty}^{+\infty}d\psi(x,t)}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\int_{k=-\infty}^{+\infty}d\psi_0(k)e^{-i(\omega t-kx)}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\int_{k=-\infty}^{+\infty}\alpha(k)e^{-i(\omega t-kx)}dk}\"<\/p>\n

Un paquet d’ondes poss\u00e8de un profil spectral rectangulaire<\/p>\n

\"\alpha(k)=\alpha_0\" pour \"k\in\left[k_0-\frac{\Delta k}{2},k_0+\frac{\Delta k}{2}\right]\"<\/p>\n

et nulle partout ailleurs.<\/p>\n

1. Pour \"k=k_0\", donner l’expression de la pulsation<\/p>\n

\"\omega(k=k_0)=\omega_0\" et de sa d\u00e9riv\u00e9e<\/p>\n

\"\displaystyle{v_g=\frac{d\omega}{dk}(k=k_0)}\"<\/p>\n

En fonction de \"k_0\" et de la masse \"m\" de la particule.<\/p>\n

2. On fait le d\u00e9veloppement limit\u00e9 au premier ordre<\/p>\n

\"\displaystyle{\omega(k)\simeq\omega_0+\frac{d\omega}{dk}\cdot (k-k_0)}\"<\/p>\n

Soit \"\displaystyle{\omega(k)\simeq\omega_0+v_g(k-k_0)}\"<\/p>\n

On pose \"x=X+v_gt\" et \"K=k-k_0\".<\/p>\n

\u00c9crire la fonction d’onde sous la forme<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0e^{-i\beta}\int_{-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}e^{iKX}dK}\"<\/p>\n

O\u00f9 on donnera l’expression de \"\beta\" en fonction de \"X\" et de \"t\".<\/p>\n

3. En calculant explicitement l’int\u00e9grale, montrer que<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0e^{-i\beta}\Delta k\mathrm{~sinc~}\frac{X\Delta k}{2}}\"<\/p>\n

Avec \"\displaystyle{\mathrm{sinc~}u=\frac{\sin u}{u}}\"<\/p>\n

Et en d\u00e9duire l’expression de la densit\u00e9 lin\u00e9\u00efque de probabilit\u00e9 \"\rho(X)\".<\/p>\n

4. La fonction \"\mathrm{sinc}^2u\" passe par un maximum absolu \u00e9gal \u00e0 1 pour \"u=0\". Expliquer pourquoi \"v_g\" est la vitesse de groupe.<\/p>\n

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\n\t\t\t\t\tTu veux r\u00e9ussir en<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tphysique ?<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/h3>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tUn suivi assidu et des tarifs justes\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tDes enseignants certifi\u00e9s et \u00e9toil\u00e9s\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tUn environnement favorable \u00e0 la concentration\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/h4>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des milliers de parents et d\u2019\u00e9l\u00e8ves sont satisfaits de leur accompagnement<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProf de physique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

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Exercice sur la marche de potentiel de hauteur inf\u00e9rieure \u00e0 l’\u00e9nergie.<\/h3>\n

Une particule de masse \"m\", d’\u00e9nergie \"E\", est soumise \u00e0 un champ de forces qui d\u00e9rive de l’\u00e9nergie potentielle<\/p>\n

\"V(x)=0\" pour \"x<0\"<\/p>\n

\"V(x)=V_0<E\" pour \"x>0\"<\/p>\n

1. Donner l’expression des solutions stationnaires en notant \"A_1\" et \"A_2\" les amplitudes des ondes se propageant dans le sens des \"x\" croissants et \"B_1\" et \"B_2\" l’amplitude de celles se propageant dans l’autre sens.<\/p>\n

On posera<\/p>\n

\"\displaystyle{k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}\" et \"\displaystyle{k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}}\"<\/p>\n

2. On consid\u00e8re un faisceau de particules venant de \"-\infty\"<\/p>\n

D\u00e9terminer les coefficients \"\displaystyle{r=\frac{B_1}{A_1}}\" et \"\displaystyle{t=\frac{A_2}{A_1}}\"<\/p>\n

3. En d\u00e9duire les coefficients de r\u00e9flexion \"R\" et de transmission \"T\" en courant de probabilit\u00e9s.<\/p>\n

4. Application : un faisceau de particules homocin\u00e9tiques est form\u00e9 de 98,000 pourcents d’ions X de masse \"m\" et d’\u00e9nergie \"E\" et de 2,000 pourcents d’ions de masse \"m'=1,01m\" et d’\u00e9nergie \"E'\". On prend \"V_0=E/2\".<\/p>\n

Quel est le pourcentage des ions formant le faisceau transmis ?<\/p>\n

Corrig\u00e9 des exercices la physique quantique\u00a0en maths sp\u00e9<\/h2>\n

Corrig\u00e9 sur le paquet d’ondes.<\/h3>\n

1. La relation de dispersion s’\u00e9crit<\/p>\n

\"\displaystyle{\omega=\frac{\hbar}{2m}k^2}\"<\/p>\n

Donc<\/p>\n

\"\displaystyle{\omega_0=\frac{\hbar k_0^2}{2m}}\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit la vitesse de groupe<\/p>\n

\"\displaystyle{\frac{d\omega}{dk}=\frac{\hbar}{m}k}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{v_g=\frac{\hbar k_0}{m}}\"<\/p>\n

2. On calcule l’int\u00e9grale dans l’intervalle de non nullit\u00e9, en rempla\u00e7ant \"k\" et \"x\" par les expressions fournies<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\int_{k=k_0-\frac{\Delta k}{2}}^{k_0+\frac{\Delta k}{2}}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\alpha_0e^{-i\left(\omega_0t+v_gkt-v_gk_0t-kX-kv_gt\right)}dk}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0\int_{k=k_0-\frac{\Delta k}{2}}^{k_0+\frac{\Delta k}{2}}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{e^{-i\left(\omega_0t-v_gk_0t-kX\right)}dk}\"<\/p>\n

Effectuons le changement de variable d’int\u00e9gration propos\u00e9 par l’\u00e9nonc\u00e9<\/p>\n

\"K=k-k_0\" donc \"k=K+k_0\" et \"dk=dK\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0\int_{K=-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{e^{-i\left(\omega_0t-v_gk_0t-KX-k_0X\right)}dK}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0e^{-i\left((\omega_0-v_gk_0)t-k_0X\right)}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\int_{K=-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}e^{iKX}dK}\"<\/p>\n

On retrouve donc bien la formule donn\u00e9e par l’\u00e9nonc\u00e9 avec<\/p>\n

\"\beta=(\omega_0t-v_gk_0)t-k_0X\".<\/p>\n

3. Le calcul de l’int\u00e9grale est simple :<\/p>\n

\"\displaystyle{I=\int_{K=-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}e^{iKX}dK}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{I=\left[\frac1{iK}e^{iKX}\right]_{-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{I=\frac{e^{iX\frac{\Delta k}{2}}-e^{-iX\frac{\Delta k}{2}}}{iX}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{I=\frac{2i\sin\frac{X\Delta k}{2}}{2i\frac{X\Delta k}{2}}\cdot\Delta k}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{I=\Delta k\cdot \mathrm{sinc~}\frac{X\Delta k}{2}}\"<\/p>\n

Donc<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0e^{-i\beta}\Delta k\mathrm{~sinc~}\frac{X\Delta k}{2}}\"<\/p>\n

Qui est bien la forme attendue. La densit\u00e9 lin\u00e9\u00efque de probabilit\u00e9 est, par d\u00e9finition :<\/p>\n

\"\displaystyle{\rho(x)=\psi(x,t)\cdot\psi^*(x,t)}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\rho(x)=\alpha_0^2\Delta k^2\mathrm{~sinc^2~}\frac{X\Delta k}{2}}\"<\/p>\n

4. Le pic de probabilit\u00e9 correspond au maximum de \"\rho(x,t)\", et est donc atteint, \u00e0 la date \"t\", lorsque \"X=0\" (maximum de la fonction sinus cardinal carr\u00e9), soit<\/p>\n

\"x-v_gt=0\" soit \"x=v_gt\"<\/p>\n

\"v_g\" est donc la vitesse de d\u00e9placement du maximum de la fonction \"\rho\", c’est donc celle de d\u00e9placement du paquet d’onde, ce qui est bien la d\u00e9finition de la vitesse de groupe.<\/p>\n

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STAGE EN MATHS SP\u00c9<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9 sur la <\/b>marche de potentiel de hauteur inf\u00e9rieure \u00e0 l’\u00e9nergie.<\/h3>\n

1. Les solutions s’\u00e9crivent<\/p>\n

* pour \"x<0\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi_1(x,t)=A_1\exp(-i(\omega t-k_1x))}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{+B_1\exp(-i(\omega t+k_1x))}\"<\/p>\n

* pour \"x>0\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi_2(x,t)=A_2\exp(-i(\omega t-k_2x))}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{+B_2\exp(-i(\omega t+k_2x))}\"<\/p>\n

2. Les particules venant de \"-\infty\", on prend \"B_2=0\". On \u00e9crit, en \"x=0\", les relations de continuit\u00e9 de \"\varphi\" et de sa d\u00e9riv\u00e9e car la marche de potentiel est de hauteur finie<\/p>\n

\"\displaystyle{A_1+B_1=A_2}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{ik_1A_1-ik_1B_1=-ik_2A_2}\"<\/p>\n

En divisant la premi\u00e8re relation par \"A_1\" et la seconde par \"ik_1A_1\" il vient<\/p>\n

\"1+r=t\" et \"\displaystyle{1-r=\frac{k_2}{k_1}t}\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit<\/p>\n

\"\displaystyle{r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{t=\frac{2k_1}{k_1+k_2}}\"<\/p>\n

3. Par d\u00e9finition<\/p>\n

\"\displaystyle{R=\frac{k_1B_1B_1^*}{k_1A_1A_1^*}=r^2=\frac{(k_1-k_2)^2}{(k_1+k_2)^2}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{T=\frac{k_2A_2A_2^*}{k_1A_1A_1^*}=\frac{k_2}{k_1}t^2=\frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}}\"<\/p>\n

On v\u00e9rifie \"R+T=1\"<\/p>\n

4. L’\u00e9nergie des deux types de particules diff\u00e8re. Comme elles viennent de \"-\infty\", o\u00f9 l’\u00e9nergie potentielle est nulle, leur \u00e9nergie est donc purement cin\u00e9tique donc, en notant \"v\" leur vitesse commune<\/p>\n

\"E=\frac12mv^2\" et \"E'=\frac12m'v^2=1,01E\"<\/p>\n

Les coefficients de transmission sont donc distincts<\/p>\n

\"\displaystyle{T=\frac{4\sqrt{E(E-V_0)}}{(\sqrt{E}+\sqrt{E-V_0})^2}=0,9706}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{T'=\frac{4\sqrt{E'(E'-V_0)}}{(\sqrt{E'}+\sqrt{E'-V_0})^2}=0,9714}\"<\/p>\n

Sur 1 000 000 particules incidentes, 980 000 sont de masse \"m\" et 20 000 de masse \"1,01m\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit que dans le faisceau transmis, on en a pour celles de masse \"m\" on en a<\/p>\n

\"0,9706\times 980000=951 188\" de masse \"m\"<\/p>\n

\"0,9714\times 20000=19 428\" de masse \"1,01m\"<\/p>\n

soient des pourcentages respectifs<\/p>\n

97,998 de \"m\" et 2,002 de \"m'\"<\/p>\n

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