{"id":201753,"date":"2024-02-20T21:18:00","date_gmt":"2024-02-20T20:18:00","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=201753"},"modified":"2024-02-20T21:18:00","modified_gmt":"2024-02-20T20:18:00","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-maths-pourcentages-seconde","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-maths-pourcentages-seconde\/","title":{"rendered":"Exercices sur les pourcentages en seconde"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJ'aprends le cours par coeur\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe travaille avec un prof de maths\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe travaille entre chaque s\u00e9ance\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n

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Exercices corrig\u00e9s sur les pourcentages en seconde<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Seconde G\u00e9n\u00e9rale<\/a><\/p>\n

Les exercices sur les pourcentages<\/strong> et les informations chiffr\u00e9es<\/strong> sont un chapitre essentiel en seconde et en premi\u00e8re en maths sp\u00e9cialit\u00e9. Ils vous permettentt d’approfondir votre compr\u00e9hension des math\u00e9matiques de mani\u00e8re concr\u00e8te et pratique. Dans un monde de plus en plus ax\u00e9 sur les donn\u00e9es, ma\u00eetriser ces notions est non seulement avantageux pour exceller dans les cours de math\u00e9matiques, mais aussi important pour la vie quotidienne et les carri\u00e8res futures. Pour renforcer davantage vos acquis, envisager le soutien d’un professeur de maths<\/a> peut \u00eatre une option judicieuse. Ce type d’accompagnement personnalis\u00e9, adapt\u00e9 \u00e0 votre niveau, cible sp\u00e9cifiquement les domaines d’am\u00e9lioration, surmonte les difficult\u00e9s et encourage une compr\u00e9hension approfondie des notions fondamentale au lyc\u00e9e.<\/p>\n

Exercice 1 de conversion entre pourcentages, fractions et nombres en seconde<\/h2>\n

\u00c9crire les nombres suivants sous forme de pourcentage, arrondi \u00e0 \"0,01\,\%\":<\/p>\n

\"\dfrac{36}{4156}\", \"\dfrac{3776}{8312}\", \"\dfrac{774}{1000}\",\u00a0 \u00a0\"\dfrac{1000}{774}\",\u00a0 \u00a0\"0,05744\".<\/p>\n

D\u00e9terminer sous forme de fraction les quantit\u00e9s suivantes:<\/p>\n

\"40\,\%\" de \"25\,\%\" de 70 000 000;<\/p>\n

\"\dfrac{1}{3}\" de \"\dfrac{2}{3}\" de 9 000;<\/p>\n

\"50\,\%\" du tiers de 150;<\/p>\n

\"80\,\%\" de \"\dfrac{1}{10}\" des 1 000 000 000 d’euros;<\/p>\n

\"25\,\%\" du quart des 365 jours.<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 de maths : Analyse de l’\u00e9volution des effectifs en 2nde<\/h2>\n

Le tableau ci-apr\u00e8s montre l’\u00e9volution annuelle des effectifs des animaux dans un Zoo.<\/p>\n

Initialement, on compte 200 animaux.<\/p>\n

On note :<\/p>\n

\"T_i\" pour \"i\" allant de \"1\" \u00e0 \"4\", le taux d’\u00e9volution entre les p\u00e9riodes \"(i-1)\" et \"i\".<\/p>\n

Par exemple, \"T_1=\dfrac{375-200}{200}= \dfrac{\hbox{Valeur Finale - Valeur Initiale}}{\hbox{Valeur Initiale}}\";<\/p>\n

\"CM_i\" le coefficient multiplicateur entre les p\u00e9riodes \"(i-1)\" et \"i\" pour \"i\" allant de \"1\" \u00e0 \"4\".<\/p>\n

Par exemple, \"CM_1=1+T_1\"<\/p>\n

\"Exercices<\/p>\n

D\u00e9terminer les taux d’\u00e9volution successifs \"T_1, T_2, T_3\" et \"T_4\".<\/p>\n

D\u00e9terminer les coefficients multiplicateurs \"CM_1, CM_2, CM_3\" et \"CM_4\".<\/p>\n

En d\u00e9duire le coefficient multiplicateur global not\u00e9 \"CM\" et le taux d’\u00e9volution global not\u00e9 \"T\".<\/p>\n

Exercice 3 : \u00c9tude de l’\u00e9volution des salaires et du pouvoir d’achat en seconde<\/h2>\n

Le premier janvier \"2021\", la direction d’une entreprise a annonc\u00e9 une augmentation des salaires de \"1\%\" \u00e0 partir de cette date.<\/p>\n

Fin mai \"2021\", suite \u00e0 des bonnes nouvelles favorables aux activit\u00e9s de l’entreprise, la direction a encore augment\u00e9 les salaires de \"0,5\%\".<\/p>\n

A- Evolution des salaires<\/strong><\/p>\n

Pour un salari\u00e9 qui per\u00e7oit 1 750 \u20ac par mois en d\u00e9cembre 2020 :<\/p>\n

A-1) Calculer le montant de son salaire en fin janvier 2021.<\/p>\n

A-2) Calculer le montant de son salaire en fin mai 2021.<\/p>\n

A-3) Calculer le montant de son salaire en fin juin 2021.<\/p>\n

A-4) Calculer le montant de son salaire en fin d\u00e9cembre 2021.<\/p>\n

A-5) Calculer le taux d’augmentation global de son salaire durant l’ann\u00e9e 2021.<\/p>\n

B- Evolution du pouvoir d’achat<\/strong><\/p>\n

Durant l’ann\u00e9e \"2021\", le niveau g\u00e9n\u00e9ral des prix a augment\u00e9 de \"4\%\".<\/p>\n

Le coefficient multiplicateur du pouvoir d’achat est d\u00e9termin\u00e9 par la formule:<\/p>\n

CM du Pouvoir d’Achat = \"\dfrac{\hbox{CM des Salaires}}{\hbox{CM des Prix}}\"<\/p>\n

B-1) Calculer le taux d’augmentation mensuel moyen du niveau des prix.<\/p>\n

B-2) En d\u00e9cembre 2021, le pouvoir d’achat d’un salari\u00e9 a-t-il r\u00e9ellement augment\u00e9? Justifier.<\/p>\n

Exercice 4 en 2nde : Vrai ou faux sur la logique et le raisonnement en maths<\/h2>\n

Dire si l’affirmation est vraie ou fausse. D\u00e9montrer votre r\u00e9ponse.<\/p>\n

1. On peut avoir un coefficient multiplicateur nul.<\/p>\n

2. Le pourcentage d’un pourcentage est un pourcentage.<\/p>\n

3. Le coefficient multiplicateur peut prendre toutes les valeurs r\u00e9elles.<\/p>\n

4. Le coefficient multiplicateur global est toujours sup\u00e9rieur \u00e0 la somme des coefficients multiplicateurs successifs.<\/p>\n

5. Le taux d’\u00e9volution global est sup\u00e9rieur \u00e0 la somme des taux d’\u00e9volution successifs divis\u00e9e par le nombre de p\u00e9riodes.<\/p>\n

6. Il existe un taux d’\u00e9volution \"t\" tel que si \"t'\" est son taux r\u00e9ciproque, \"t+t'=0\".<\/p>\n

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STAGE INTENSIF SECONDE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Travailler les maths en seconde g\u00e9n\u00e9rale en stage de vacances<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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–><\/span><\/strong> Stage de perfectionnement ou de remise \u00e0 niveau
–><\/strong><\/span> Pr\u00e9parer la sp\u00e9cialit\u00e9 maths d\u00e8s la 2nde<\/span>
–><\/span><\/strong> Petits groupes en stage de maths en seconde<\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStage intensif maths seconde<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 :conversion entre pourcentages, fractions et nombres<\/h2>\n

1. Le pourcentage est obtenu par la multiplication par 100<\/strong><\/p>\n

\"\dfrac{36}{4156}\approx 0,00866\" soit environ \"0,87\,\%\";<\/p>\n

\"\dfrac{3776}{8312}\approx 0,45428\" soit environ \"45,43\,\%\";<\/p>\n

\"\dfrac{774}{1000}=0,774\" soit \"77,40\,\%\";<\/p>\n

\"\dfrac{1000}{774}\approx 1,29198\" soit environ \"129,20\,\%\";<\/p>\n

\"0,05744\approx 5,74 \,\%\".<\/p>\n

2. On a :<\/strong><\/p>\n

a) \"40\,\%\" de \"25\,\%\" de 70 000 000.<\/strong><\/p>\n

\"40\,\% \hbox{ de } 25\,\% \hbox{ de } 70\ 000\ 000 & \hbox{vaut} \dfrac{40}{100} \times \left(\dfrac{25}{100} \times 70\ 000\ 000\right) \\<\/p>\n

Donc, \"40\,\%\" de \"25\,\%\" de 70 000 000 donne 7 000 000, soit \"\dfrac{7 000 000}{1}\" sous forme de fraction.<\/p>\n

b) \"\dfrac{1}{3}\" de \"\dfrac{2}{3}\" de 9 000.<\/strong><\/p>\n

\"\dfrac{1}{3} \hbox{ de } \dfrac{2}{3} \hbox{ de } 9\ 000 & \hbox{vaut} \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \times 9\ 000\right) \\<\/p>\n

Donc, \"\dfrac{1}{3}\" de \"\dfrac{2}{3}\" donne 9 000, soit \"\dfrac{2\ 000}{1}\" sous forme de fraction.<\/p>\n

c) \"50\,\%\" du tiers de 150.<\/strong><\/p>\n

\"50\,\% \hbox{ du tiers de } 150 & \hbox{vaut} \dfrac{50}{100} \times \left(\dfrac{1}{3} \times 150\right) \\<\/p>\n

Donc, \"50\,\%\" donne 150, \"\dfrac{25}{1}\" sous forme de fraction.<\/p>\n

d) \"80\,\%\" de \"\dfrac{1}{10}\" des 1 000 000 000 d’euros.<\/strong><\/p>\n

\"80\,\% \hbox{ de } \dfrac{1}{10} \hbox{ de } 1\ 000\ 000\ 000 & \hbox{vaut} \dfrac{80}{100} \times \left(\dfrac{1}{10} \times 1\ 000\ 000\ 000\right) \\<\/p>\n

Donc, \"80\,\%\" de \"\dfrac{1}{10}\" donne 1 000 000 000 d’euros, soit \"80\ 000\ 000\" sous forme de fraction.<\/p>\n

e) \"25\,\%\" du quart des 365 jours.<\/strong><\/p>\n

\"25\,\% \hbox{ du quart des } 365 \hbox{ jours } & \hbox{vaut} \dfrac{25}{100} \times \left(\dfrac{1}{4} \times 365\right) \hbox{ jours} \\<\/p>\n

Donc, \"25\,\%\" du quart des 365 vaut \"\dfrac{1625}{400}\" jours ce qui est \u00e9quivalent \u00e0 4 jours 1 heure et 30 minutes.<\/p>\n

R\u00e9ponse \u00e0 l’exercice 2 sur l’analyse de l’\u00e9volution des effectifs en 2nde<\/h2>\n

On a un tableau de l’\u00e9volution annuelle des effectifs des animaux dans un Zoo.<\/p>\n

En appliquant la formule \"\dfrac{\hbox{Valeur Finale - Valeur Initiale}}{\hbox{Valeur Initiale}}\" pour calculer les taux d’\u00e9volution \"T_i\",<\/p>\n

on a :<\/strong><\/p>\n

\"T_1=\dfrac{375-200}{200}=0,875\" soit +87,5 %;<\/p>\n

\"T_2=\dfrac{400-375}{375}= 0,0625\" soit +6,25 %;<\/p>\n

\"T_3=\dfrac{200-400}{400}=-0,5\" soit -50 %;<\/p>\n

\"T_4=\dfrac{600-200}{200}=2\" soit +200 %.<\/p>\n

Par la formule \"CM_i=1+T_i\", on a :<\/strong><\/p>\n

\"CM_1=1+T_1=1+0,875\" soit 1,875;<\/p>\n

\"CM_2=1+T_2= 1+0,0625\" soit 1,0625;<\/p>\n

\"CM_3=1+T_3=1-0,5\" soit 0,5;<\/p>\n

\"CM_4=1+T_4=1+2\" soit 3.<\/p>\n

Sachant que le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs successives et que le taux d’\u00e9volution global \"t = CM-1\",<\/p>\n

On d\u00e9duit que :<\/strong><\/p>\n

\"CM= 1,875 \times 1,0625 \times 0,5 \times 3\"<\/p>\n

\"CM=2,98828125\approx 2,99\"<\/p>\n

\"t=2,98828125-1\"<\/p>\n

\"t=1,98828125 \approx 1,99\"<\/p>\n

En r\u00e9sum\u00e9, on obtient le tableau suivant :<\/strong><\/p>\n

\"Exercices<\/p>\n

Correction exercice 3 : \u00c9tude de l’evolution des salaires et du pouvoir d’achat<\/h2>\n

Le premier janvier \"2021\", la direction d’une entreprise a annonc\u00e9 une augmentation des salaires de \"1\%\" \u00e0 partir de cette date.<\/p>\n

Fin mai \"2021\", suite \u00e0 des bonnes nouvelles favorables aux activit\u00e9s de l’entreprise, la direction a encore augment\u00e9 les salaires de \"0,5\%\".<\/p>\n

A- Evolution des salaires<\/strong><\/p>\n

Pour un salaire de valeur initiale \"S_I\", apr\u00e8s augmentation de \"t\%\", le salaire devient :<\/p>\n

\"\text{Nouveau salaire} & = \text{Ancien salaire} + \text{Augmentation} \\<\/p>\n

Pour un salari\u00e9 qui per\u00e7oit 1 750 \\euro{} par mois en d\u00e9cembre 2020:<\/p>\n

A-1) A la fin du mois de janvier, son salaire a augment\u00e9 de \"1\%\".<\/p>\n

Donc, le montant de son salaire le trente et un janvier \"2021\" est de \"1\ 750 \times 1, 01\" soit \"1 767,5\" \\euro.<\/p>\n

A-2) Fin mai 2021, le montant de son salaire est le m\u00eame qu’en janvier 2021.<\/p>\n

A-3) Fin juin 2021, apr\u00e8s l’augmentation de \"0,5\%\", son salaire devient \"1 767,5 \times 1,005\" soit 1 776,3375 \\euro.<\/p>\n

A-4) Fin d\u00e9cembre 2021, c’est identique \u00e0 son salaire \u00e0 la fin du mois de 2021.<\/p>\n

A-5) Apr\u00e8s ces deux augmentations ayant pour coefficients multiplicateurs respectifs 1,01 et 1,005, le coefficient multiplicateur global de son salaire vaut \"1,01 \times 1,005=1,01505\".<\/p>\n

Donc, le taux d’augmentation global de son salaire durant l’ann\u00e9e 2021 est \"1,01505-1=0,01505\" soit 1,505 %.<\/p>\n

B- Evolution du pouvoir d’achat<\/strong><\/p>\n

Durant l’ann\u00e9e \"2021\", le niveau g\u00e9n\u00e9ral des prix a augment\u00e9 de \"4\%\".<\/p>\n

B-1) Le taux mensuel moyen est l’\u00e9quivalent d’une augmentation mensuelle au m\u00eame taux durant les douze mois de l’ann\u00e9e.<\/p>\n

On note \"T_m\" le taux mensuel moyen, \"T\" le taux d’augmentation de l’ann\u00e9e, CM le coefficient multiplicateur global et CM\"_m\" le coefficient multiplicateur moyen.<\/p>\n

Alors :<\/strong><\/p>\n

\"CM & = \underbrace{(CM_m)}_{\text{Premier mois}} \times \underbrace{(CM_m)}_{\text{Deuxième mois}} \times \dots \times \underbrace{(CM_m)}_{\text{Douzième mois}} \\<\/p>\n

Donc, le taux moyen mensuel \"T_m\" est la solution de l’\u00e9quation<\/p>\n

\"1,04=(1+T_m)^{12}\"<\/p>\n

\"1,04=(1+T_m)^{12} \Longleftrightarrow & \left[(1+T_m)^{12}\right]^{\frac{1}{12}}=(1,04)^{\frac{1}{12}} \\<\/p>\n

Alors, le taux d’augmentation mensuel moyen du niveau des prix est approximativement \u00e9gal \u00e0 0,0033 soit une augmentation moyenne de 0,33 %.<\/p>\n

B-2) A partir de la formule :<\/strong><\/p>\n

CM du Pouvoir d’Achat = \"\dfrac{\hbox{CM des Salaires}}{\hbox{CM des Prix}}\"<\/p>\n

On obtient:<\/strong><\/p>\n

CM du Pouvoir d’Achat = \"\dfrac{1,01505}{1.04}\"<\/p>\n

CM du Pouvoir d’Achat \"\approx 0,9760\"<\/p>\n

Vu que CM du pouvoir d’achat est plus petit que \"1\", alors l’augmentation des salaires n’a pas compens\u00e9 l’augmentation des prix.<\/p>\n

Le salaire a perdu en pouvoir d’achat. D’une autre mani\u00e8re, le salaire a augment\u00e9 mais il s’est appauvri !<\/p>\n

Remarque<\/strong><\/p>\n

Si \"x>0\" est une inconnue d’une \u00e9quation de la forme \"x^n=a\",<\/p>\n

\"n\in \mathbb{N}\" et \"a>0\" alors \"x=a^{\frac{1}{n}}\".<\/p>\n

Ce qui se lit, \"x\" est la racine \"n-\"i\u00e8me de \"a\".<\/p>\n

Par exemple, pour \"n=2\", \"x=a^{\frac{1}{2}}\" est la racine carr\u00e9e positive de \"a\".<\/p>\n

Si \"n=3\", \"x\" est la racine cubique de \"a\" etc.<\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

Corrig\u00e9 exercice 4 en 2nde: Vrai ou faux sur la logique et le raisonnement en maths<\/h2>\n

1. Non. Par l’absurde<\/strong><\/p>\n

Cette affirmation est une affirmation existentielle – affirme l’existence de quelque chose – alors il suffit de trouver un objet satisfaisant les conditions impos\u00e9es.<\/p>\n

Par exemple avec une valeur initiale \"V_I>0\" et une valeur finale \"V_F=0\",<\/p>\n

On obtient :<\/p>\n

\"\hbox{Coefficient Multiplicateur}&=\dfrac{V_F}{V_I}\cr<\/p>\n

C’est l’\u00e9quivalent d’une baisse de \"100\%\".<\/p>\n

2. Faux. Un contre-exemple<\/strong><\/p>\n

Le pourcentage est d\u00e9fini par :<\/p>\n

Pourcentage=\"\dfrac{\hbox{Effectif}}{\hbox{Effectif Total}}\times 100\"<\/p>\n

Avec les deux pourcentages comme \"50\%\" et \"50\%\", le produit des nombres vaut \"2500\" mais le produit \"\%\times \%\" n’a pas de sens.<\/p>\n

3. Faux.<\/strong><\/p>\n

Si \"x\" est un r\u00e9el n\u00e9gatif, on ne peut pas le d\u00e9finir comme un coefficient multiplicateur qui est un rapport de deux nombres positifs.<\/p>\n

4. Faux. Un contre exemple.<\/strong><\/p>\n

On consid\u00e8re quatre p\u00e9riodes not\u00e9es \"0,1,2\" et 3.<\/p>\n

On prend les coefficients multiplicateurs \"CM_1=0,5, CM_2=1\" et \"CM_3=2\".<\/p>\n

Le coefficient multiplicateur est multiplicatif alors le coefficient multiplicateur global<\/p>\n

\"CM=CM_1\times CM_2 \times CM_3=0,5\times 1 \times 2=1\".<\/p>\n

Or, \"CM_1+CM_2+CM_3= 0,5 + 1 + 2=3,5\".<\/p>\n

Donc, la somme des multiplicateurs successifs est sup\u00e9rieure au coefficient multiplicateur global. Ce qui contredit l’assertion de l’\u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n

5. Faux. Par un contre-exemple.<\/strong><\/p>\n

On consid\u00e8re trois p\u00e9riodes not\u00e9es \"0,1\" et \"2\".<\/p>\n

Soient \"t\" le taux d’\u00e9volution global et \"t_1\" et \"t_2\" les taux d’\u00e9volution entre les p\u00e9riodes \"0\" et \"1\" et les p\u00e9riodes \"1\" et \"2\".<\/p>\n

Le coefficient multiplicateur est multiplicatif, alors :<\/p>\n

\"1 + t &= (1 + t_1) \times (1 + t_2) \\<\/p>\n

Maintenant, on suppose que l’assertion est vraie. Donc \"t> \dfrac{t_1+t_2}{3}\".<\/p>\n

Ce qui donne \"t_1+t_2+t_1t_2 > \dfrac{t_1+t_2}{3}\".<\/p>\n

Ce qui est \u00e9quivalent \u00e0 \"3t_1+3t_2+3t_1t_2>t_1+t_2\".<\/p>\n

C’est-\u00e0-dire, \"2t_1+2t_2+3t_1t_2>0\".<\/p>\n

Ainsi, il suffit de prendre \"t_1=1\" et \"t_2=-1\" pour conclure.<\/p>\n

C’est une hausse de \"100\%\" et une baisse de \"100\%\".<\/p>\n

6. Vrai. Raisonnement direct.<\/strong><\/p>\n

Soit \"t\" un taux d’\u00e9volution associ\u00e9 \u00e0 un coefficient multiplicateur \"CM=1+t\".<\/p>\n

Alors, le coefficient multiplicateur r\u00e9ciproque est \"\dfrac{1}{1+t}\".<\/p>\n

Donc, le taux r\u00e9ciproque de \"t\" est \"t'=\dfrac{1}{1+t}-1=-\dfrac{t}{1+t}\".<\/p>\n

Ce qui donne \"t+t'=t-\dfrac{t}{1+t}=\dfrac{t^2}{t+1}\".<\/p>\n

Donc :<\/p>\n

\"t+t'=0 \Longleftrightarrow & \dfrac{t^2}{t+1}=0\\<\/p>\n

Ainsi, il existe un taux d’\u00e9volution \"t=0\" tel que si \"t'\" est son taux d’\u00e9volution r\u00e9ciproque, \"t+t'=0\".<\/p>\n

Consultez nos exercices en ligne de maths en seconde g\u00e9n\u00e9rale :<\/p>\n