{"id":201980,"date":"2024-02-20T15:17:43","date_gmt":"2024-02-20T14:17:43","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=201980"},"modified":"2024-02-20T15:17:43","modified_gmt":"2024-02-20T14:17:43","slug":"cours-en-ligne-exercices-corriges-maths-probabilites-seconde","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-corriges-maths-probabilites-seconde\/","title":{"rendered":"Exercices sur les probabilit\u00e9s en seconde"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJ'aprends le cours par coeur\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe travaille avec un prof de maths\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe travaille entre chaque s\u00e9ance\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n

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Exercices corrig\u00e9s sur les probabilit\u00e9s en seconde<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Seconde G\u00e9n\u00e9rale<\/a><\/p>\n

Les exercices sur les probabilit\u00e9s<\/strong> en seconde constituent une ressource p\u00e9dagogique pr\u00e9cieuse, vous permettant d’appr\u00e9hender ce chapitre tr\u00e8s important pour l’ann\u00e9e de seconde g\u00e9n\u00e9rale mais \u00e9galement en classe de premi\u00e8re et terminale ou m\u00eame en CPGE d’explorer de mani\u00e8re interactive et stimulante les fondements de la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s. Ces activit\u00e9s sont essentielles pour ceux qui aspirent \u00e0 exceller en maths et pour le bac, car elles fournissent une compr\u00e9hension solide des principes de hasard et d’incertitude. Pour renforcer encore plus ces notions, envisager le recours de cours particuliers maths<\/a> peut \u00eatre extr\u00eamement b\u00e9n\u00e9fique. Un tel soutien, adapt\u00e9 au niveau de seconde, aide \u00e0 identifier et \u00e0 surmonter les obstacles sp\u00e9cifiques, et incite \u00e0 une compr\u00e9hension plus profonde et plus nuanc\u00e9e des probabilit\u00e9s, une comp\u00e9tence essentielle pour une ma\u00eetrise compl\u00e8te des math\u00e9matiques et pour la vie quotidienne.<\/p>\n

Exercice 1 :\u00a0Analyse probabiliste d’un tirage de boules de couleurs niveau seconde<\/h2>\n

Une urne contient trois boules rouges not\u00e9es \"R1,R2\" et \"R3\", deux boules blanches not\u00e9es \"B1\" et \"B2\" et une boule noire not\u00e9e \"N\".<\/p>\n

On tire simultan\u00e9ment deux boules dans l’urne.<\/p>\n

On note \"A\" l’\u00e9v\u00e9nement : les deux boules ont la m\u00eame couleur <\/em>; et \"B\" l’\u00e9v\u00e9nement : les deux boules ont des couleurs diff\u00e9rentes.<\/em><\/p>\n

1. Donner l’univers not\u00e9 \"\Omega\" de cette exp\u00e9rience al\u00e9atoire.<\/p>\n

2. D\u00e9terminer les ensembles correspondants aux \u00e9v\u00e9nements \"A,B\", \"A\cap B\", \"A\cup B\", \"\overline{A}\" et \"\overline{B}\".<\/p>\n

3. D\u00e9terminer les cardinaux (nombre d’\u00e9l\u00e9ments) de ces ensembles d’\u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

4. Calculer les probabilit\u00e9s de ces \u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 2 de maths : \u00c9v\u00e9nements dans un lancer de d\u00e9s en 2nde<\/h2>\n

On lance deux d\u00e9s r\u00e9guliers \u00e0 quatre faces num\u00e9rot\u00e9es \"1, 2,3\" et \"4\".<\/p>\n

Donner l’ensemble des \u00e9v\u00e9nements :<\/p>\n

(a) \"E\" : les deux nombres obtenus sont \u00e9gaux.<\/p>\n

(b) \"F\" : la somme des nombres obtenus est un nombre pair.<\/p>\n

(c) \"G\" : on a au moins un \"4\".<\/p>\n

(d) \"E\cap F\", \"E\cap G\", \"E\setminus G\" et \"(E\cup G)\cap \overline{G}\".<\/p>\n

Prouver que pour deux \u00e9v\u00e9nements \"A\" et \"B\" :<\/p>\n

\"P(A\setminus B)=&P(A)-P(A\cap B)\cr\"<\/p>\n

\"P(\overline{A}\cap \overline{B})=&P(\overline{A})+P(A\cap B)-P(B)\"<\/p>\n

Calculer les probabilit\u00e9s : \"P(E)\", \"P(G)\" et \"P(E\cap G)\".<\/p>\n

En d\u00e9duire \"P(\overline{E\cup G})\".<\/p>\n

Quiz 3 de maths : Vrai ou faux sur les probabilit\u00e9s en seconde<\/h2>\n

On consid\u00e8re une exp\u00e9rience al\u00e9atoire d’univers \"\Omega\". On consid\u00e8re deux \u00e9v\u00e9nements \"A\" et \"B\", deux sous-ensembles de \"\Omega\".<\/p>\n

Dire si l’affirmation est vraie ou fausse. D\u00e9montrer votre r\u00e9ponse.<\/p>\n

1. Si \"A\subset B\" alors \"\overline{B}\subset \overline{A}\".<\/p>\n

2. \"P(A)+P(B)>1\" si et seulement si \"A\cap B\neq \emptyset\".<\/p>\n

3. \"P(A)<P(B)\" si et seulement si \"\overline{B}\subset \overline{A}\".<\/p>\n

4. \"P(A\cup B) \geq P(A\cap B)\".<\/p>\n

5. Si \"\overline{A}=\emptyset\", alors \"P(A)=1\".<\/p>\n

6. Si \"P(A\cap B)=P(A\cup B)\", alors \"A=B\".<\/p>\n

7. Si \"A\subset \overline{B}\", alors \"P(A\cap B)=0\"<\/p>\n

Exercice 4 : QCM sur les probabilit\u00e9s pour la seconde<\/h2>\n

On lance 200 fois une pi\u00e8ce \u00e0 deux faces. L’intervalle de confiance est de \"[0,51;0,54]\".<\/p>\n

1. La pi\u00e8ce est \u00e9quilibr\u00e9e.<\/p>\n

2. La probabilit\u00e9 d’obtenir face est inf\u00e9rieure \u00e0 \"0,56\".<\/p>\n

3. Si on lance deux fois cette pi\u00e8ce, la probabilit\u00e9 d’obtenir pile puis face est inf\u00e9rieure \u00e0 \"\dfrac{1}{4}\".<\/p>\n

4. Si on lance une fois cette pi\u00e8ce, la probabilit\u00e9 d’obtenir pile est \"0,5\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Corrig\u00e9 de l’exercice 1 : Analyse probabiliste d’un tirage de boules de couleurs<\/h2>\n

En piochant deux boules dans l’urne, les issues possibles sont<\/p>\n

\"R1R2\", \"R1R3\", \"R2R3\", \"R1B1\", \"R1B2\", \"R2B1\", \"R2B2\", \"R3B1\", \"R3B2\", \"R1N\", \"R2N\", \"R3N\", \"B1B2\", \"B1N\" et \"B2N\".<\/p>\n

En tout, il y a 15 issues. Donc :<\/p>\n

\"\Omega=\{R1R2, R1R3, R2R3, & R1B1, R1B2, R2B1, R2B2, R3B1,\cr & R3B2,R1N, R2N, R3N, B1B2, B1N,B2N\}\"<\/p>\n

On a :<\/p>\n

L’\u00e9v\u00e9nement \"A\", obtenir deux boules qui ont la m\u00eame couleur<\/em>, se r\u00e9alise si et seulement si les deux boules sont rouges ou les deux boules sont blanches. Avoir deux boules noires est impossible.Donc, \"A=\left\lbrace R1R2,R1R3,R2R3,B1B2\right\rbrace\".<\/p>\n

L’\u00e9v\u00e9nement \"B\", obtenir deux boules de couleurs diff\u00e9rentes<\/em>, se r\u00e9alise si et seulement si on a une boule rouge avec une boule blanche, une boule rouge avec une boule noire ou une boule blanche avec une boule noire.Donc, \"B=\overline{A}\".<\/p>\n

L’\u00e9v\u00e9nement \"A\cap B\" correspond \u00e0 obtenir deux boules \u00e0 la fois de m\u00eame couleur et de couleur diff\u00e9rente. Donc, \"A\cap B=\emptyset\". Math\u00e9matiquement, \"A\cap B=A\cap\overline{A}=\emptyset\".<\/p>\n

L’\u00e9v\u00e9nement \"A\cup B\" correspond \u00e0 {\\em obtenir deux boules de m\u00eame couleur ou de couleurs diff\u00e9rentes}. Donc, \"A\cup B=\Omega\". Math\u00e9matiquement, \"A\cup B=A\cup\overline{A}=\Omega\".<\/p>\n

\"\overline{A}=B\" et \"\overline{B}=\overline{\overline {A}}=A\".<\/p>\n

On a :<\/p>\n

Le cardinal de \"A\" est \u00e9gal \u00e0 4.<\/p>\n

Le cardinal de \"B\" est \u00e9gal \u00e0 11.<\/p>\n

Le cardinal de \"A\cap B\" est \u00e9gal \u00e0 0.<\/p>\n

Le cardinal de \"A\cup B\" est \u00e9gal \u00e0 15.<\/p>\n

Le cardinal de \"\overline{A}\" est \u00e9gal \u00e0 11.<\/p>\n

Le cardinal de \"\overline{B}\" est \u00e9gal \u00e0 4.<\/p>\n

D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, on obtient :<\/p>\n

\"P(A)=\dfrac{4}{15}\"<\/p>\n

\"P(B)=\dfrac{11}{15}\"<\/p>\n

\"P(A\cap B)=\dfrac{0}{15}=0\"<\/p>\n

\"P(A\cup B)=\dfrac{15}{15}=1\"<\/p>\n

\"P(\overline{A})=\dfrac{11}{15}\"<\/p>\n

\"P(\overline{B})=\dfrac{4}{15}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse \u00e0 l’exercice 2 : \u00c9v\u00e9nements dans un lancer de d\u00e9s en 2nde<\/h2>\n

On lance deux d\u00e9s r\u00e9guliers \u00e0 quatre faces num\u00e9rot\u00e9es \"1,2,3,4\".On s’int\u00e9resse au couple de num\u00e9ros des faces obtenues.<\/p>\n

Alors, l’univers associ\u00e9 \u00e0 cette exp\u00e9rience est \"\Omega=\left\lbrace\{i,j\}\right\rbrace\" avec \"i,j\in \left\lbrace 1,\dots,4\right\rbrace\".<\/p>\n

On note :<\/p>\n

\"E\" : les deux nombres obtenus sont \u00e9gaux.<\/p>\n

\"F\" : la somme des nombres obtenus est un nombre pair.<\/p>\n

\"G\" : on a au moins un \"4\".<\/p>\n

1. Les \u00e9v\u00e9nements \u00e9l\u00e9mentaires sont de la forme de couple \"(i;j)\" o\u00f9 \"i\" correspond au r\u00e9sultat du premier d\u00e9 alors que \"j\" correspond au r\u00e9sultat du deuxi\u00e8me d\u00e9. Ainsi, sous forme ensembliste, on obtient :<\/p>\n

(a) \"E=\left\lbrace (1;1), (2;2), (3,3), (4,4)\right\rbrace\"<\/p>\n

(b) \"F=\left\lbrace (1;1), (1;3), (3;1), (2;2), (2;4), (4;2), (3,3), (4,4)\right\rbrace\"<\/p>\n

(c) \"G=\left\lbrace (1;4), (2;4), (3;4), (4;4), (4;1), (4;2), (4;3)\right\rbrace\"<\/p>\n

(d) \"E\cap F=E\"<\/p>\n

\"E\cap G=\left\lbrace(4;4)\right\rbrace\"<\/p>\n

\"E\backslash G=E\cap \overline{G}=\left\lbrace (1;1), (2;2), (3;3) \right\rbrace\"<\/p>\n

\"(E\cup G\}\cap \overline{G}=(E\cap \overline{G})\cup (G\cap \overline{G})=E\cap \overline{G}=\left\lbrace(1;1), (2;2), (3;3)\right\rbrace\"<\/p>\n

2. Soient \"A\" et \"B\" deux \u00e9v\u00e9nements :<\/p>\n

Par un raisonnement direct.<\/p>\n

On rappelle que\u00a0 \"P(A\backslash B)=P(A\cap \overline{B})\" et \"A=A\cap \Omega=A\cap (B\cup \overline{B})\".<\/p>\n

Alors,\u00a0 \"A=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap \overline{B} \right)\".<\/p>\n

Sachant que \"\left(A\cap B\right)\cap \left(A\cap \overline{B} \right)=\emptyset\", \"P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})\".<\/p>\n

Donc, \"P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)\".<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, \"P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)\".<\/p>\n

Par un raisonnement direct.<\/p>\n

Sachant que \"P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A \cup B})\" et que \"P(\overline{A \cup B})=1-P(A \cup B)\" alors:<\/p>\n

\"P(\overline{A}\cap\overline{B})\" \"& =1-P(A \cup B)\"<\/p>\n

\"P(\overline{A}\cap\overline{B})\" \"& =1-P(A)-P(B)+P(A \cap B)\"<\/p>\n

\"P(\overline{A}\cap\overline{B})\" \"& =P(\overline A)-P(B)+P(A \cap B)\"<\/p>\n

Ce qui ach\u00e8ve la d\u00e9monstration.<\/p>\n

3. Chaque \u00e9v\u00e9nement \u00e9l\u00e9mentaire a la m\u00eame probabilit\u00e9, alors :<\/p>\n

\"P(E)=\dfrac{7}{16}\".<\/p>\n

\"P(G)=\dfrac{7}{16}\".<\/p>\n

\"P(E\cap G)=\dfrac{1}{16}\".<\/p>\n

\"P(\overline{E \cup G})=& 1-P(E\cup G)\cr\"<\/p>\n

\"P(\overline{E \cup G})=& 1-P(E)-P(G)+P(E\cap G)\cr\"<\/p>\n

\"P(\overline{E \cup G})=& 1-\dfrac{4}{16}-\dfrac{7}{16}+\dfrac{1}{16}\cr\"<\/p>\n

\"P(\overline{E \cup G})=& \dfrac{6}{16}\"<\/p>\n

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STAGE INTENSIF EN 2NDE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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R\u00e9ussir la 2nde avec les stages de vacances en maths, physique-chimie et fran\u00e7ais<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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–><\/span><\/strong> Les enseignants bienveillants et p\u00e9dagogues
–><\/strong><\/span> Des progr\u00e8s assur\u00e9s avec les stages de vacances<\/span>
–><\/span><\/strong> Format classe invers\u00e9e et diff\u00e9renciation<\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

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Correction exercice 3 : Vrai ou faux sur les probabilit\u00e9s en seconde<\/h2>\n

On consid\u00e8re une exp\u00e9rience al\u00e9atoire d’univers \"\Omega\" et deux \u00e9v\u00e9nements \"A\" et \"B\" deux sous ensembles de \"\Omega\".<\/p>\n

1.Vrai. Par un raisonnement direct.<\/p>\n

On rappelle que pour deux ensembles \"A\" et \"B\", \"A\subset B\" si et seulement si \"A=A\cap B\", et si et seulement si \"B=A\cup B\".<\/p>\n

Soient \"A\" et \"B\" deux sous-ensembles de \"\Omega\" tels que \"A\subset B\". Alors \"B=A\cup B\", donc \"\overline{B}=\overline{A \cup B}\".<\/p>\n

Ce qui, par la loi de Morgane, donne \"\overline{B}=\overline{A} \cap \overline{B}\". Ce qui permet de conclure que \"\overline{B}\subset \overline{A}\". D’o\u00f9 le r\u00e9sultat.<\/p>\n

2. Faux.<\/p>\n

Cette propri\u00e9t\u00e9 est une relation d’\u00e9quivalence entre deux propositions que l’on note<\/p>\n

\"{\bf P}\" et \"{\bf Q}\" avec \"{\bf P}\" : \"P(A)+P(B)>1\" et \"{\bf Q}\" : \"A\cap B\neq \emptyset\".<\/p>\n

On a l’implication \"{\bf P}\" \"\Rightarrow\" \"{\bf Q}\", si \"{\bf P}\" est vraie alors \"{\bf Q}\" sera forc\u00e9ment vraie; mais la r\u00e9ciproque est fausse.<\/p>\n

On veut montrer par contraposition que \"{\bf P}\" \"\Rightarrow\" \"{\bf Q}.}\"<\/p>\n

Soient alors \"A\" et \"B\" deux \u00e9v\u00e9nements tels que \"P(A)+P(B)>1\".<\/p>\n

Si \"A\cap B=\emptyset\", c’est-\u00e0-dire que la proposition \"{\bf Q}\" n’est pas vraie, alors \"P(A\cup B)=P(A)+P(B)\".<\/p>\n

Comme \"A\cup B\subset \Omega\" alors \"P(A\cup B)\leq P(\Omega)=1\".<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, \"P(A)+P(B)\leq 1\". Ce qui montre que la proposition \"{\bf P}\" n’est pas vraie. Par passage \u00e0 la contraposition, la proposition \"{\bf P}\" implique la proposition \"{\bf Q}\".<\/p>\n

On veut montrer par un contre-exemple que \"{\bf Q} \nRightarrow\" \"{\bf P}.}\"<\/p>\n

On consid\u00e8re \"\Omega=\{a,b,c,d,e\}\", \"A=${a,b\}\" et \"B=\{b,c\}\" alors \"A\cap B\neq \emptyset\" alors que \"P(A)+P(B)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}<1\".<\/p>\n

En conclusion, l’\u00e9quivalence \"P(A)+P(B)>1\" si et seulement si \"A\cap B\neq \emptyset\" n’est pas vraie.<\/p>\n

3. Faux.<\/p>\n

Comme dans la question pr\u00e9c\u00e9dente, cette affirmation est une relation d’\u00e9quivalence entre deux propositions not\u00e9es<\/p>\n

\"{\bf P}\" et \"{\bf Q}\" avec \"{\bf P}\": \"P(A)<P(B)\" et \"{\bf Q}\" : \"\overline{B}\subset \overline{A}\".<\/p>\n

On veut montrer par un contre-exemple que la proposition \"{\bf P}\" n’entra\u00eene pas la proposition \"{\bf Q}.}\"<\/p>\n

On consid\u00e8re l’exp\u00e9rience al\u00e9atoire qui consiste \u00e0 lancer un d\u00e9 \u00e9quilibr\u00e9 \u00e0 six faces num\u00e9rot\u00e9es \"1,1,1,2,2,3\".<\/p>\n

On s’int\u00e9resse au num\u00e9ro de la face affich\u00e9e.<\/p>\n

En notant \"A\" l’\u00e9v\u00e9nement \\emph{obtenir la face \"\no 3\"} et \"B\" l’\u00e9v\u00e9nement \\emph{obtenir la face \"\no 1\"},<\/p>\n

On obtient \"P(A)=\dfrac{1}{6}\" et \"P(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\".<\/p>\n

Ce qui donne \"P(A)<P(B)\".<\/p>\n

En outre, \"\overline{B}=\{2,3\}\" et \"\overline{A}=\{1,2\}\".<\/p>\n

Donc, \"\overline{B} \not\subset \overline{A}\".<\/p>\n

Ainsi, on a une proposition de la forme \"{P}\" et \"\textbf{non-Q}\".<\/p>\n

On veut montrer par un raisonnement direct que la proposition \"{\bf Q}\" entra\u00eene la proposition \"{\bf P}.}\"<\/p>\n

Soient \"A\" et \"B\" deux ensembles tels que \"\overline{B}\subset \overline{A}\". Alors, \"A\subset B\".<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, \"P(A)\leq P(B)\". Car, la probabilit\u00e9 est une fonction croissante des \u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

Remarque :\u00a0Pour montrer qu’une relation d’\u00e9quivalence est fausse, il suffit de montrer que l’une des deux implications est fausse. Dans les deux cas pr\u00e9c\u00e9dents, on a d\u00e9montr\u00e9 que l’une des implications est vraie alors que l’une est fausse. Ces d\u00e9monstrations sont \u00e0 but p\u00e9dagogique; mais il n’est pas n\u00e9cessaire que l’une des implications soit vraie.<\/p>\n

4. Vrai. Par un raisonnement direct<\/p>\n

Soient \"A\" et \"B\" deux ensembles. Alors \"A\cap B\subset A\cup B\". Par la croissance de la probabilit\u00e9, \"P(A\cap B)\leq P(A\cup B)\".<\/p>\n

5. Vrai. Par un raisonnement direct.<\/p>\n

Si \"\overline{A}=\emptyset\" alors \"P(\overline{A})=0\". En outre, \"P(\overline{A})=1-P(A)\". Ce qui donne \"P(A)=1-0\". Donc, \"P(A)=1\".<\/p>\n

6. Vrai. Raisonnement par contraposition.<\/p>\n

Soient \"A\" et \"B\" deux \u00e9v\u00e9nements tels que \"A\neq B\".<\/p>\n

Donc, il existe \"x\in A\" mais \"x\notin B\" ou bien \"x\in B\" mais \"x\notin A\".<\/p>\n

Dans les deux cas, il existe \"x\in A\cup B\" mais \"x\notin A\cap B\".<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, l’\u00e9v\u00e9nement \"(A\cap B)\cup\{x\}\" est sous-ensemble de l’\u00e9v\u00e9nement \"A\cup B\".<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, \"P((A\cap B)\cup\{x\})=P(A\cap B)+P(\{x\})\leq P(A\cup B)\".<\/p>\n

Comme \"P(\{x\})>0\", car \"\{x\}\" n’est pas un \u00e9v\u00e9nement impossible alors \"P(A\cap B)<P(A\cup B)\".<\/p>\n

Ainsi, \"A\neq B\" entra\u00eene \"P(A\cap B)\neq P(A\cup B)\".<\/p>\n

Par passage \u00e0 la contraposition, on obtient \"P(A\cup B)=P(A\cap B)\" entra\u00eene \"A=B\".<\/p>\n

7. \"\textbf{Vrai. Par raisonnement direct.}\"<\/p>\n

Si \"A\subset \overline{B}\" alors \"A=A\cap \overline{B}\".<\/p>\n

Ce qui donne \"A\cap B= A\cap \overline{B}\cap B=A \cap \emptyset\".<\/p>\n

Donc, \"A\cap B= \emptyset\". Ce qui implique \"P(A\cap B)=0\".<\/p>\n

Corrig\u00e9 du QCM de maths sur les probabilit\u00e9s pour la seconde<\/h2>\n

La bonne r\u00e9ponse est la r\u00e9ponse 2.<\/p>\n

Consultez nos exercices en ligne de maths en seconde g\u00e9n\u00e9rale :<\/p>\n