{"id":202308,"date":"2024-02-20T19:16:09","date_gmt":"2024-02-20T18:16:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?page_id=202308"},"modified":"2024-03-01T21:01:06","modified_gmt":"2024-03-01T20:01:06","slug":"cours-en-ligne-maths-equations-droites-seconde","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-maths-equations-droites-seconde\/","title":{"rendered":"Cours maths seconde : \u00e9quations de droites"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJ'aprends le cours par coeur\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe travaille avec un prof de maths\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe travaille entre chaque s\u00e9ance\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n

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Cours de maths sur les \u00e9quations de droites en seconde g\u00e9n\u00e9rale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a>\u00a0Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Seconde g\u00e9n\u00e9rale<\/a><\/p>\n

Notre cours sur les \u00e9quations de droites offre aux \u00e9l\u00e8ves de seconde une compr\u00e9hension approfondie de ces \u00e9l\u00e9ments cl\u00e9s des math\u00e9matiques. Vous apprendrez \u00e0 travailler avec les \u00e9quations cart\u00e9siennes, \u00e0 comprendre la colin\u00e9arit\u00e9 et plus encore. Pour une parfaite ma\u00eetrise de ces concepts essentiels en math\u00e9matique, un prof de maths<\/a> peut vous aider et vous \u00e9clairer sur zones qui restent encore floues.<\/p>\n

Droites et vecteurs directeurs en seconde<\/h2>\n

D\u00e9finition : Vecteur directeur d’une droite<\/strong><\/p>\n

On appelle vecteur directeur d’une droite \"d\" tout vecteur \"\overrightarrow{AB}\" o\u00f9 \"A\" et \"B\" sont deux points distincts de \"d\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 :<\/strong> Un vecteur \"\overrightarrow{u}\" est un vecteur directeur d’une droite \"d\" s’il existe deux points distincts \"A\" et \"B\" de \"d\" tels que<\/p>\n

\"\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\".<\/p>\n

\"Cours<\/p>\n

Remarque :<\/strong> Un vecteur directeur d’une droite ne peut pas \u00eatre nul car les points \"A\" et \"B\" sont distincts.<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 :<\/strong> Si \"\overrightarrow{u}\" est un vecteur directeur de la droite \"d\",<\/p>\n

Alors tout vecteur non nul colin\u00e9aire \u00e0 \"\overrightarrow{u}\" est aussi vecteur directeur de \"d\".<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Dans un rep\u00e8re du plan, on donne les points \"A(2;-5)\", \"B(-4;10)\" et le vecteur \"\overrightarrow{u}(-2;6)\".<\/p>\n

Le vecteur \"\overrightarrow{u}\" est-il un vecteur directeur de la droite \"(AB)\" ?<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 :<\/strong> Soient \"d\" une droite du plan, le point \"A\" appartient \u00e0 \"d\" et \"\overrightarrow{u}\" est un vecteur directeur de \"d\".<\/p>\n

Un point \"M\" du plan appartient \u00e0 \"d\" si et seulement si les vecteurs \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{AM}\" sont colin\u00e9aires,<\/p>\n

C’est-\u00e0-dire \"det(\vect{u};\vect{AM})=0\".<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Soit \"d\" la droite de vecteur directeur \"\overrightarrow{u}(4;2)\" passant par le point \"A(-3;-3)\".<\/p>\n

Montrer que le point \"M(11;4)\" appartient \u00e0 la droite \"d\".<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Droites parall\u00e8les et droites s\u00e9cantes<\/h2>\n

Propri\u00e9t\u00e9 :<\/strong> Soient \"d\" une droite de vecteur directeur \"\overrightarrow{u}\" et \"d'\" une droite de vecteur directeur \"\overrightarrow{v}\".<\/p>\n

Les droites \"d\" et \"d'\" sont parall\u00e8les<\/strong> si et seulement si les vecteurs \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" sont colin\u00e9aires,<\/p>\n

C’est-\u00e0-dire \"det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=0\".<\/p>\n

Les droites \"d\" et \"d'\" sont s\u00e9cantes<\/strong> si et seulement si les vecteurs \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{v}\" ne sont pas colin\u00e9aires,<\/p>\n

C’est-\u00e0-dire \"det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}) \neq 0\".<\/p>\n

Exemple<\/strong> : Soit \"d\" la droite de vecteur directeur \"\overrightarrow{u}(8;2)\" et les points \"A(2;-3)\", \"B(-2;-4)\".<\/p>\n

Montrer que les droites \"d\" et \"(AB)\" sont parall\u00e8les.<\/p>\n

\u00c9quation cart\u00e9sienne d’une droite<\/h2>\n

D\u00e9finition : \u00c9quation cart\u00e9sienne<\/strong><\/p>\n

Dans un rep\u00e8re du plan, toute droite \"d\" admet une \u00e9quation de la forme : \"ax+by+c=0\" avec \"(a;b) \neq (0;0)\".<\/p>\n

Cette \u00e9quation est appel\u00e9e \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/strong> de \"d\".<\/p>\n

Remarque :<\/strong> Une droite admet une infinit\u00e9 d’\u00e9quations cart\u00e9siennes.<\/p>\n

Ainsi, la droite \"d\" d’\u00e9quation \"3x-y+1=0\" a aussi pour \u00e9quation \"6x-2y+2=0\" ou toute \u00e9quation \u00e9quivalente.<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 :<\/strong> \"a\", \"b\" et \"c\" sont des nombres r\u00e9els avec \"(a;b) \neq (0;0)\".<\/p>\n

Dire que \"d\" admet pour \u00e9quation \"ax+by+c=0\" signifie qu’un point \"M(x_M;y_M)\" appartient \u00e0 la droite \"d\" si, est seulement si, ses coordonn\u00e9es v\u00e9rifient cette \u00e9quation (\"ax_M+by_M+c=0\").<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Soit \"d\" la droite du plan d’\u00e9quation \"d:-5x+3y-8=0\".<\/p>\n

Le point \"A(2;6)\" appartient-il \u00e0 \"d\" ? M\u00eame question pour le point \"B(-2;-1)\" ?<\/p>\n

Prorpi\u00e9t\u00e9 :<\/strong> Dans un rep\u00e8re du plan, toute droite admettant une \u00e9quation de la forme : \"ax+by+c=0\" avec \"(a;b) \neq (0;0)\" admet \"\vec{u}(-b;a)\" comme vecteur directeur<\/strong>.<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Dans un rep\u00e8re du plan, on donne le point \"A(2;-5)\" et le vecteur \"\overrightarrow{u}(-2;6)\".<\/p>\n

D\u00e9terminer une \u00e9quation cart\u00e9sienne de la droite \"d\" passant par \"A\" et de vecteur directeur \"\overrightarrow{u}\".<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Dans un rep\u00e8re du plan, d\u00e9terminer une \u00e9quation cart\u00e9sienne de la droite \"d\" passant par les points \"C\left(-2;\dfrac{1}{2}\right)\" et \"D(4;-3)\".<\/p>\n

\u00c9quation r\u00e9duite d’une droite<\/h2>\n

D\u00e9finition : \u00c9quation r\u00e9duite<\/strong><\/p>\n

Toute droite \"d\" non parall\u00e8le \u00e0 l’axe des ordonn\u00e9es admet une unique \u00e9quation de la forme \"y=mx+p\" o\u00f9 \"m\" et \"p\" sont des nombres r\u00e9els.<\/p>\n

Cette \u00e9quation est l’\u00e9quation r\u00e9duite <\/strong>de la droite \"d\".<\/p>\n

Remarque :<\/strong> Toute droite parall\u00e8le \u00e0 l’axe des ordonn\u00e9es \u00e0 une unique \u00e9quation de la forme \"x = k\" (o\u00f9 \"k\" un nombre r\u00e9el).<\/p>\n

Elle n’a ni pente, ni ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine.<\/p>\n

\"R\u00e9sum\u00e9<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Soit \"d\" la droite d’\u00e9quation cart\u00e9sienne \"-2x+4y+8=0\". Donner l’\u00e9quation r\u00e9duite de \"d\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 :<\/strong> Dans un plan muni d’un rep\u00e8re, le vecteur \"\overrightarrow{u}(1;m)\" est un vecteur directeur<\/strong> de la droite d’\u00e9quation r\u00e9duite \"y=mx+p\".<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Soit \"d\" la droite d’\u00e9quation r\u00e9duite \"y=-\dfrac{1}{3}x-2\".<\/p>\n

Donner deux vecteurs directeurs de la droite \"d\".<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Soient \"d\" la droite d’\u00e9quation cart\u00e9sienne \"6x-4y+3=0\" et \"d'\" la droite d’\u00e9quation r\u00e9duite \"y=\dfrac{3}{2}x-5\".<\/p>\n

Montrer que \"d\" et \"d'\" sont parall\u00e8les.<\/p>\n

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PARTICIPER \u00c0 UN STAGE INTENSIF EN 2nde<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C\u2019est gagner des points sur ta moyenne !<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tStage seconde lyc\u00e9e<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Syst\u00e8mes lin\u00e9aires de deux \u00e9quations \u00e0 deux inconnues<\/h2>\n

D\u00e9finition : Equation \u00e0 deux inconnues<\/strong><\/p>\n

Un syst\u00e8me lin\u00e9aire de deux \u00e9quations \u00e0 deux inconnues<\/strong> est la donn\u00e9e de deux \u00e9quations d’inconnues \"x\" et \"y\" de la forme :<\/p>\n

\"\ds(S):\ds\left\{\begin{array}{l} ax+by+c=0 \quad (E_1)\\ a'x+b'y+c'=0 \quad (E_2)\end{array}\right.\"<\/p>\n

O\u00f9 \"a\", \"b\", \"c\", \"a'\", \"b'\" et \"c'\" sont des nombres r\u00e9els donn\u00e9s.<\/p>\n

Une solution de ce syst\u00e8me est le couple de valeurs \"(x;y)\" qui v\u00e9rifie simultan\u00e9ment ces deux \u00e9quations.<\/p>\n

R\u00e9soudre ce syst\u00e8me, c’est trouver tous ses couples de solutions.<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Le couple \"(-5;7)\" est-il solution du syst\u00e8me<\/p>\n

\"\ds(S_1):\ds\left\{\begin{array}{l}2x+3y=11\\-x-3y=-16\end{array}\right.\"<\/p>\n

Interpr\u00e9tation graphique et nombre de couples de solutions<\/h2>\n

Soient les droites \"d\" d’\u00e9quation \"ax+by+c=0\" et \"d'\" d’\u00e9quation \"a'x+b'y+c'=0\".<\/p>\n

Soit le syst\u00e8me : \"\ds(S):\ds\left\{\begin{array}{l} ax+by+c=0 \quad (E_1)\\ a'x+b'y+c'=0 \quad (E_2)\end{array}\right.\"<\/p>\n

R\u00e9soudre le syst\u00e8me \"(S)\", c’est d\u00e9terminer les coordonn\u00e9es des points d’intersection \u00e9ventuels des droites \"d\" et \"d'\".<\/p>\n

Soient \"\vec{u}(-b;a)\" et \"\vec{v}(-b';a')\" les vecteurs directeurs respectifs de \"d\" et \"d'\".<\/p>\n

On a donc \"det(\vec{u};\vec{v})=-b \times a'-a \times (-b')=ab'-a'b\"<\/p>\n

On distingue 3 possibilit\u00e9s pour l’ensemble des couples solutions \"\mathscr{S}\" du syst\u00e8me \"(S)\" :<\/p>\n

\"Cours<\/p>\n

Exemple :<\/strong> Pour chaque syst\u00e8me, discuter de l’existence des solutions.<\/p>\n

\"\ds(S_1):\ds\left\{\begin{array}{l}6x-5y=38\\3x-y=13\end{array}\right.\"<\/p>\n

\"(S_2):\ds\left\{\begin{array}{l}8x-6y=1 \\ -4x+3y=-3 \end{array}\right.\"<\/p>\n

\"(S_3):\ds\left\{\begin{array}{l} -8x+12y-4=0 \\2x+-3y+1=0 \end{array}\right.\"<\/p>\n

M\u00e9thodes de r\u00e9solution alg\u00e9briques d’un syst\u00e8me par substitution<\/h2>\n

Exemple :<\/strong><\/p>\n

On isole une inconnue dans une \u00e9quation. Par exemple, \"x\" dans la seconde \u00e9quation :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x-2y=0\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x= \fbox{$2y$}\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

On remplace (ou substitue) \"x\" par son expression en fonction de \"y\" (ici, \"2y\") dans la premi\u00e8re \u00e9quation, afin de faire dispara\u00eetre la variable \"x\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3\times\fbox{$2y$}-2y=2\\x=2y\end{array}\right. \]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}6y-2y=2\\x=2y\end{array}\right. \]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4y=2\\x=2y\end{array}\right. \]\"<\/p>\n

On r\u00e9sout l’\u00e9quation avec une seule inconnue et on remplace le r\u00e9sultat dans l’autre :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 24=\frac 12\\x=2y\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 12\\x= 2\times \left(\frac 12\right)\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 12\\x=1\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

Conclusion.<\/strong> Le syst\u00e8me \"(S)\" admet pour unique solution le couple \"\left(1;\dfrac 12\right)\" o\u00f9 \"\mathscr{S}=\left(1;\dfrac 12\right)\".<\/p>\n

M\u00e9thodes de r\u00e9solution alg\u00e9briques d’un syst\u00e8me par combinaison<\/h2>\n

Exemple :<\/strong><\/p>\n

On multiplie par exemple la premi\u00e8re \u00e9quation par le coefficient de \"x\" dans la seconde et on multiplie la seconde \u00e9quation par le coefficient de \"x\" dans la premi\u00e8re :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\darkgray3}x-2y=2\\{\darkgray 1}x-2y=0\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{\darkgray 1}\times 3x-{\darkgray 1}\times 2y={\darkgray 1}\times 2 \\ {\darkgray 3}\times \phantom{3}x-{\darkgray 3}\times 2y={\darkgray 3}\times 0\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\3x-6y=0\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

Les coefficients de \"x\" sont identiques, on remplace une \u00e9quation par la diff\u00e9rence des deux :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\{\darkgray 3x-6y=0}\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y-{\darkgray(3x-6y)}=2-{\darkgray (0)}\\ 3x-6y=0\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

On r\u00e9sout l’\u00e9quation avec une seule inconnue et on remplace le r\u00e9sultat dans l’autre :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4y=2\\3x-6y=0\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 24=\dfrac 12\\3x-6\times \left(\dfrac 12\right)=0\end{array}\right. \]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 12\\3x-3=0\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 12\\x=\dfrac 33=1\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

Conclusion.<\/strong> Le syst\u00e8me \"(S)\" admet pour unique solution le couple \"\left(1;\dfrac 12\right)\" o\u00f9 \"\mathscr{S}=\left(1;\dfrac 12\right)\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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