{"id":26015,"date":"2019-05-15T14:39:37","date_gmt":"2019-05-15T13:39:37","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26015"},"modified":"2023-09-15T13:15:34","modified_gmt":"2023-09-15T12:15:34","slug":"cours-en-ligne-fonction-logarithme-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-fonction-logarithme-terminale\/","title":{"rendered":"Fonctions logarithme : cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur les fonctions logarithmes en Terminale<\/h1>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours : les fonctions logarithmes au programme de Terminale<\/h2>\n

Avec la r\u00e9forme du bac, les programmes du lyc\u00e9e ont radicalement chang\u00e9. Notamment en ce qui concerne le programme de maths en terminale qui est encore plus difficile que les ann\u00e9es pr\u00e9c\u00e9dentes. Les notions sont plus nombreuses et les chapitres sont trait\u00e9s plus en profondeur. Pour s’assurer d’avoir de bons r\u00e9sultats au bac les \u00e9l\u00e8ves de terminale devront faire preuve de beaucoup de s\u00e9rieux et devront fournir un grand travail personnel, car les math\u00e9matiques repr\u00e9sentent un fort coefficient au bac, vous pouvez opter pour un prof de maths<\/a> pour vous assurer la r\u00e9ussite au bac.<\/p>\n

1. D\u00e9finition de la fonction logarithme en Terminale<\/h2>\n

\"\bullet\" Pour tout r\u00e9el \"x > 0\", il existe un unique r\u00e9el \"y\" tel que \"x = \textrm{e} ^x\".
\nOn note \"y = \ln(x)\".<\/p>\n

On d\u00e9finit ainsi une fonction appel\u00e9e fonction logarithme (n\u00e9p\u00e9rien)<\/strong> et not\u00e9e
\n\"\ln : \mathbb{R} ^{+*} \to \mathbb{R}\".
\n\"\quad y = \ln(x)\" et \"x > 0\" ssi \"x = \textrm{e} ^y\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout \"x > 0\", \"\textrm{e} ^{\ln(x)} = x\".
\n\"\;\;\" Pour tout r\u00e9el \"x\", \"\ln (\textrm{e} ^x) = x\".
\nOn dit que les fonctions exponentielle<\/a> et logarithme sont r\u00e9ciproques l’une de l’autre.<\/p>\n

\"\bullet\" Les graphes<\/a> des fonctions exponentielle et logarithme sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 la droite d’\u00e9quation \"y = x\".<\/p>\n

\"\ln(1) = 0\" (car \"\textrm{e} ^0 = 1\") et \"\ln(\textrm{e}) = 1\" (car \"\textrm{e} ^1 = \textrm{e}\")<\/p>\n

On en d\u00e9duit que la fonction \"\ln\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}^{+*}\"
\ncar si \"0 < a < b\", \"\textrm{e} ^{\ln(a)} < \textrm{e} ^{\ln(b)}\" et par stricte croissance de la fonction exponentielle : \"\ln(a) < \ln(b)\".<\/p>\n

Si \"a> 0\" et \"b > 0\",
\n\"a = b\" ssi \"\ln(a) = \ln(b)\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. Propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques de la fonction logarithme en Terminale<\/b><\/h2>\n

Soient \"a\" et \"b\" des r\u00e9els strictement positifs.
\n\"\bullet\" \"\ln(a \, b) = \ln(a) + \ln(b)\"
\n\"\bullet\" \"\displaystyle \ln \left (\frac 1 a \right ) = - \ln (a)\"
\n\"\bullet\" \"\displaystyle \ln \left (\frac a b \right ) = \ln(a) - \ln (b)\"
\n\"\bullet\" si \"n \in \mathbb{Z}\,\", \"\ln(a ^ n) = n\; \ln(a)\".
\n\"\bullet\" \"\displaystyle \ln \left ( \sqrt{a} \right ) = \frac 1 2 \, \ln(a)\"<\/p>\n

Avant d’\u00e9crire \"\qquad \ln(a \, b) = \ln(a) + \ln(b)\",
\nv\u00e9rifier que \"a > 0\" et \"b > 0\".
\nSinon, il faut \u00e9crire \"\qquad \ln(a \, b) = \ln(\vert a \vert) + \ln(\vert b \vert)\".
\nM\u00eame remarque pour la transformation de \"\displaystyle \ln \left (\frac a b \right )\" que vous \u00e9crirez bien s\u00fbr \"\ln(\vert a \vert ) - \ln(\vert b \vert )\" si vous n’avez pas \"a > 0\" et \"b > 0\".<\/p>\n

Si \"a > 0\", \"\textrm{e} ^ {- \ln(a)} = \displaystyle \frac 1 a\"
\ncar \"- \ln(a) = \ln(1/a)\" !<\/p>\n

3. D\u00e9riv\u00e9e de logarithme en Terminale<\/h2>\n

\"\bullet\" La fonction \"\ln\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^{+^*}\" et si \"x > 0\", \"(\ln)'(x) = \displaystyle \frac 1 x\".<\/p>\n

Cons\u00e9quence<\/em> : la fonction \"\ln\" est continue<\/a> sur \"\mathbb{R} ^{+*}\".<\/p>\n

La d\u00e9monstration \u00e0 conna\u00eetre :
\n<\/strong>On admet que la fonction \"\ln\" est d\u00e9rivable.
\nLa fonction \"u : x \mapsto \textrm{e} ^{\ln(x)}\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}^{+*}\" par composition
\net si \"x > 0\", \"u'(x) = (\ln)'(x)\, \textrm{e} ^{\ln(x)}\"
\nMais comme \"u : x \mapsto x\", on a aussi \"u'(x) = 1\"
\ndonc \"1 = (\ln)'(x)\, \textrm{e} ^{\ln(x)} = (\ln)'(x)\; x\" soit \"\boxed{\displaystyle (\ln)'(x) = \frac 1 x}\".<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction \"f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} , x \mapsto \ln ( \vert x \vert )\"
\nest d\u00e9rivable et pour tout \"x \neq 0\", \"\qquad \qquad \qquad f'(x) = \displaystyle \frac 1 x\".<\/p>\n

Pas de valeur absolue dans la d\u00e9riv\u00e9e !<\/p>\n

D\u00e9monstration :
\n<\/strong>Sur \"\mathbb{R} ^{-*}\", \"f(x) = \ln(- x)\", donc \"f'(x) = \displaystyle \frac {- 1} {- x} = \frac 1 x\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si la fonction \"u\" est d\u00e9rivable sur l’intervalle<\/a> \"I\" et ne s’annule pas, on peut d\u00e9finir \"f : I \to \mathbb{R}, x \mapsto \ln ( \vert u(x) \vert )\".
\n\"f\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et pour tout \"x \in I\", \"f'(x) = \displaystyle \frac {u'(x)} {u(x)}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0 La fonction \"\ln\" est concave sur \"\mathbb{R}^{+*}\" et pour tout \"x > 0\", \"\ln(x) \leqslant x - 1\".
\nCe qui peut aussi s’\u00e9crire, pour tout \"x > - 1, \, \ln(x + 1) \leqslant x\".<\/p>\n

D\u00e9monstration :
\n<\/strong>\"\bullet\" Une \u00e9quation de la tangente en \"(1 ,\, \ln(1))\" est puisque \"f'(1) = 1\", \"y = f(1) + f'(1) (x - 1)\" soit \"y = x - 1\".
\nLe graphe d’une fonction concave<\/a> est situ\u00e9 sous toutes les tangentes,
\nDonc \"\ln(x) \leqslant x - 1\".<\/p>\n

On obtient l’autre in\u00e9galit\u00e9 en rempla\u00e7ant \"x\" par \"x + 1\".<\/p>\n

\"graphique<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

4. Les limites de fonctions logarithmes en Terminale<\/h2>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} \ln(x) = - \infty\".<\/p>\n

D\u00e9monstrations :
\n<\/strong>\"\bullet\" Limite en \"+\infty\".
\nPar stricte croissance de la fonction \"\ln\", \"\ln(2) > \ln(1)\" donc \"\ln(2) > 0\".
\nSoit \"A > 0\" et \"N \in \mathbb{N}^*\" tel que \"N \, \ln(2) > A\" ssi \"N > \displaystyle \frac {A} {\ln(2)}\".
\nOn note \"B = 2 ^N\".
\nSi \"x \geqslant B\", \"\ln(x) \geqslant \ln(B)\"
\nsoit \"\ln(x) \geqslant N \ln(2)\" donc \"\ln(x) >A\".
\nOn a prouv\u00e9 que l’intervalle \"]A , + \infty[\" contient tous les \"\ln(x)\" pour \"x\" assez grand, donc on a prouv\u00e9 que \"\qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Limite \u00e0 droite en \"0\".
\nOn pose \"t = \displaystyle \frac 1 x\" , si \"x \to 0^+\", \"t \to + \infty\"
\net \"\displaystyle \ln(x) = - \ln(t)\" donc
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} \ln(x)= \displaystyle \lim_{t \to + \infty} (- \ln(t)) = - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} x = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} x \ln(x) = 0\" .<\/p>\n

D\u00e9monstrations :<\/strong>
\n\"\bullet\" Premi\u00e8re limite
\n\"\ast\" En utilisant le cours sur la fonction exponentielle.
\nOn note \"t = \ln(x)\" soit \"x = \textrm{e}^t\".
\nSi \"x \to + \infty\", \"t \to + \infty\".
\n\"\qquad \qquad \displaystyle \frac {\ln(x)} x = \frac {t} {\textrm{e} ^t} = t \, \textrm{e} ^{-t}\".
\nOn sait que \"\displaystyle \lim_{t \to + \infty} t \, \textrm{€} ^{ - t} = 0\" donc \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} x = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Sans utiliser le cours au programme de Premi\u00e8re.
\nOn note si \"t \geqslant 1\", \"u(t) = t - \ln(t)\".
\n\"u\" est d\u00e9rivable et si \"t \geqslant 1\", \"\qquad u'(t) = \displaystyle 1 - \frac 1 t = \frac {t - 1} t \geqslant 0\".<\/p>\n

\"u\" est croissante sur \"[1 , + \infty[\" avec \"u(1) = 1 > 0\"
\ndonc si \"t \geqslant 1, t - \ln(t) > 0\".
\nOn applique cette in\u00e9galit\u00e9 en \"t = \sqrt{x}\" avec \"x \geqslant 1\" : \"\displaystyle \ln( \sqrt{x} ) \leqslant \sqrt{x}\"
\net en divisant par \"x \geqslant 1\" :
\n\"\displaystyle \frac {\ln(x)} {2 \, x} \leqslant \frac {1} {\sqrt{x} }\" donc \"\displaystyle 0 \leqslant \frac {\ln(x)} { x} \leqslant \frac {2} {\sqrt{x} }\".<\/p>\n

Par encadrement par deux fonctions de limite nulle en \"+ \infty\", on d\u00e9duit que
\n\"\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} { x} = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Deuxi\u00e8me limite
\nOn pose \"t = \displaystyle \frac 1 x\", si \"x \to 0^+\", \"t \to + \infty\"
\net \"\displaystyle x \, \ln(x) = \frac { - \ln(t)} t\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} x \, \ln(x) = \lim_{t \to + \infty} \frac { - \ln(t)} t = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} {x^n} = 0\"
\net \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} {\sqrt{x} } = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"n \in \mathbb{N }^*\", \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} x ^n \ln(x) = 0\"
\net \"\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} \sqrt {x}\; \ln(x) = 0\".<\/p>\n

D\u00e9monstrations :
\n<\/strong>\"\bullet\" Les limites<\/a> en \"+\infty\".
\n\"\ast\" Si \"n \geqslant 2\", il suffit d’\u00e9crire \"\qquad \displaystyle \frac {\ln(x)} {x^n} = \frac {\ln(x)} {x}\times \frac {1} {x^{n - 1}}\",
\non obtient un produit de deux fonctions de limite nulle.<\/p>\n

\"\ast\" En posant \"t = \sqrt{x}\", \"\qquad \displaystyle \frac {\ln(x)} {\sqrt{x} } = \frac {\ln(t^2 )} {t } = \frac {2\, \ln(t)} {t }\",
\non termine avec si \"x \to + \infty\" , \"t \to + \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Les limites en \"0\".
\n\"\ast\" Si \"n \geqslant 2\", on \u00e9crit \"\qquad \quad x ^n \ln(x) = x ^{n - 1} \, \left (x \, \ln(x) \right)\"
\net on a un produit de deux fonctions qui tendent vers 0.<\/p>\n

\"\ast\" On pose \"t = \sqrt{x}\" (donc \"x = t ^2\"). Si \"x \to 0 ^{+ }\", il en est de m\u00eame de \"t\".
\n\"\sqrt{x} \, \ln(x) = \displaystyle 2\, {t}\, \ln(t)\" admet \"0\" pour limite \u00e0 droite en \"0\".<\/p>\n

Un r\u00e9sultat utile \u00e0 savoir d\u00e9montrer
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x) } x = 1\".<\/p>\n

D\u00e9monstration :
\n<\/strong>On introduit \"f : x \mapsto \ln(1 + x)\".
\n\"f\" est d\u00e9rivable sur \"]0 \,,\, + \infty [\" et en reconnaissant un taux d’accroissement
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x) } x = \lim_{x \to 0} \frac {f(x) - f(0) } x\"
\n\"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x) } x = f'(0) = 1\"
\ncar \"f'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x}\".<\/p>\n

Profitez-en \u00e9galement pour consulter et vous exercer sur les annales de maths au bac, plus vous commencerez votre pr\u00e9paration au bac t\u00f4t, moins vous aurez \u00e0 r\u00e9viser la semaine pr\u00e9c\u00e9dant l’examen. Vous pourrez ainsi en profiter pour cibler vos r\u00e9visions sur les notions qui vous posent des difficult\u00e9s, notamment \u00e0 l’aide des divers cours en ligne de maths au programme de terminale g\u00e9n\u00e9rale, comme :<\/p>\n