{"id":26053,"date":"2019-05-15T14:47:47","date_gmt":"2019-05-15T13:47:47","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26053"},"modified":"2023-09-15T13:25:20","modified_gmt":"2023-09-15T12:25:20","slug":"cours-en-ligne-nombres-complexes-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-nombres-complexes-terminale\/","title":{"rendered":"Cours sur les nombres complexes en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur les nombres complexes en terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

Suite \u00e0 la r\u00e9forme du bac, le programme de maths en terminale a \u00e9t\u00e9 revu \u00e0 la hausse, ainsi, le niveau exig\u00e9 en maths en classe de terminale est plus \u00e9lev\u00e9 qu’auparavant. Les \u00e9l\u00e8ves qui choisissent l’option maths expertes<\/strong> devront alors, fournir davantage d’efforts. Il est conseill\u00e9 de prendre des cours particuliers de maths<\/a> pour exceller durant votre ann\u00e9e de terminale en maths. Cependant, cette sp\u00e9cialit\u00e9 permettra de pr\u00e9parer au mieux les \u00e9l\u00e8ves aux meilleures prepa scientifiques, comme les meilleures prepa MP ou les meilleures prepa PC.<\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours : les nombres complexes en Terminale en Maths Expertes<\/h2>\n

Ce cours en ligne sur les nombres complexes<\/strong> au programme de terminale permet de revoir les notions importantes du cours pour r\u00e9ussir en terminale et obtenir de bons r\u00e9sultats au bac.<\/p>\n

1. Calculs dans \"\mathbb{C}\" en Terminale<\/h2>\n

1.1. Complexes, partie r\u00e9elle et imaginaire<\/h3>\n

\"\bullet\" On admet l’existence d’un ensemble appel\u00e9 ensemble des nombres complexes et not\u00e9 \"\mathbb{C}\" v\u00e9rifiant les propri\u00e9t\u00e9s :
\n\"\ast\" \"\mathbb{C}\" est un ensemble contenant \"\mathbb{R}\" et un \u00e9l\u00e9ment not\u00e9 \"\textrm{i}\" tel que \"\textrm{i} ^2 = - 1\".<\/p>\n

\"\ast\" Tout \u00e9l\u00e9ment \"z \in \mathbb{C}\" s’\u00e9crit sous la forme \"z = a + \textrm{i} \, b\" o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont des r\u00e9els. Cette \u00e9criture, appel\u00e9e \u00e9criture cart\u00e9sienne de \"z\", est unique.
\n\"a\" est la partie r\u00e9elle de \"z\" et est not\u00e9e \"\mathcal{R}e (z)\"
\n\"b\" est la partie imaginaire de \"z\" et est not\u00e9e \"\mathcal{I}m (z)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"z = a + \textrm{i} \, b\" o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont r\u00e9els, \"z = 0\" ssi \"a = b = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"(z , z') \in \mathbb{C}^2\" sont \u00e9crits \"z = a +\textrm{i} \, b\" et \"z' = a' + \textrm{i} \,\, b'\" o\u00f9 \"a,b,a'\" et \"b'\" sont r\u00e9els,
\n\"\;\;\; z + z' = (a + a') + \textrm{i} \,(b + b')\"
\n\"\;\;\; z \, . \, z' = (a \, a' - b \, b') + \textrm{i} \,(a \, b+ a \, b')\".<\/p>\n

\"\bullet\" si \"(z , z') \in \mathbb{C}^2\" et si \"k \in \mathbb{R}\",
\n\"\qquad \mathcal{R}e(z + z') = \mathcal{R}e (z) + \mathcal{R}e(z')\"
\n\"\qquad \mathcal{R}e(k \, z) = k \, \mathcal{R}e (z)\"
\n\"\qquad \mathcal{I}m(k \, z) = k \, \mathcal{I}m (z)\".<\/p>\n

1.2. Conjugu\u00e9 d’un nombre complexe<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"z = a + \textrm{i} \, b\" o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont r\u00e9els, le conjugu\u00e9 de \"z\" est not\u00e9 \"\overline{z}\" et d\u00e9fini par \"\overline{z} = a - \textrm{i} \, b\".<\/p>\n

\"\bullet\" Propri\u00e9t\u00e9s :
\nSi \"z\" et \"z'\" sont des complexes
\n\"\ast\" \"\overline {\left ( \overline{z} \right ) } = z\"
\n\"\ast\" \"\overline{z + z'} = \overline{\mathstrut z} + \overline{ \mathstrut z'}\"
\n\"\ast\" \"\overline{\mathstrut z . z'} = \overline{\mathstrut z} . \overline{\mathstrut z'}\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \overline{\left ( \frac {1} {z} \right ) } = \frac 1 {\overline{z} }\"
\n\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N},\, \overline {z ^n} = \left ( \overline{z} \right ) ^n\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"z \in \mathbb{C}\",
\n\"\quad \mathcal{R} e(z) = \displaystyle \frac {z + \overline{z}} 2\" et \"\mathcal{I}m(z) = \displaystyle \frac {z - \overline{z}} {2\, \textrm{i}}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"z \in \mathbb{C}\"
\n\"\ast\" \"z\" est r\u00e9el ssi \"\mathcal{I}m(z) = 0\" ssi \"z = \overline{z}\"
\n\"\ast\" \"z\" est un imaginaire pur ssi \"\mathcal{R}e(z) = 0\" ssi \"z = - \overline{z}\".<\/p>\n

1.3. Module d’un nombre complexe<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"z\" est un complexe, \"z \, \overline{z}\" est un r\u00e9el positif ou nul.
\nLe module de \"z\" est d\u00e9fini par :
\n\"\qquad \vert z \vert = \sqrt{z \, \overline {z} } = \sqrt{a ^2 + b ^2}\"
\nen \u00e9crivant \"z = a + \textrm{i} \, b\" o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont r\u00e9els.<\/p>\n

\"\bullet\" Propri\u00e9t\u00e9s :
\nSi \"z\" et \"z'\" sont des complexes<\/a> :
\n\"\ast\" \"\vert z \, . \, z'\vert = \vert z \vert \, . \, \vert z' \vert\".
\n\"\ast\" si \"z = a + \textrm{i} \, b\" est un complexe non nul, \"\displaystyle \frac 1 z = \frac {\overline {z} } {z \,. \, \overline{z} } =\frac{ \overline {z} }{\vert z \vert ^2} = \frac {a - \textrm{i} \, b} {a ^2 + b ^2}\" .
\n\"\ast\" si \"z\" est un complexe non nul,
\n\"\qquad \qquad \qquad \displaystyle \left \vert \frac 1 z \right \vert = \frac 1 {\vert z \vert }\"
\n\"\ast\" si \"z' \neq 0\", \"\displaystyle \left \vert \frac z {z'} \right \vert = \frac {\vert z \vert } {\vert z' \vert }\"
\n\"\ast\" si \"n\in \mathbb{N},\, \overline{z ^n} = \left ( \overline{z} \right ) ^n\".<\/p>\n

1.4. Ensemble des nombres complexes de module 1<\/h3>\n

On note \"\mathbb{U}\" l’ensemble des nombres complexes de module 1.
\n\"\ast\" \"1 \in \mathbb{U}\", \"\textrm{i} \in \mathbb{U}\".
\n\"\ast\" Si \"(z , z') \in \mathbb{U} ^2\",
\n\"\qquad z \, z' \in \mathbb{U}\", \"\displaystyle \frac 1 z \in \mathbb{U}\" et \"\displaystyle \frac z {z'} \in \mathbb{U}\".
\n\"\ast\" Si \"z \in \mathbb{U}, - z \in \mathbb{U}\" et \"\overline{z} \in \mathbb{U}\".
\n\"\ast\" Si \"z \in \mathbb{U}\", pour tout \"n \in \mathbb{N}, \, z^n \in \mathbb{U}\".
\n\"\ast\" \"z \in \mathbb{U}\" ssi \"\displaystyle \frac 1 z \in \mathbb{U}\".<\/p>\n

Pour tout complexe \"z\", , \"\overline{z}\" , \"- z\" ont m\u00eame module que \"z\".<\/p>\n

1.5. Formule du bin\u00f4me de Newton<\/h3>\n

Si \"z\" et \"z'\" sont des complexes et \"n \in \mathbb{N}^*\"
\n\"\qquad (z + z') ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k z ^k \, {z'\,} ^{n - k}\"
\navec \"\displaystyle \binom n k = \frac {n!}{k! \, (n - k)!}\"
\no\u00f9 \"0! = 1\"
\net si \"k \in \mathbb{N}^*, \, k! = 1 \times 2\times \cdots \times \, k\".<\/p>\n

D\u00e9monstration :
\n<\/strong>Si \"n \in \mathbb{N}^*\", on note
\n\"\quad \mathcal{P}(n)\" : \"(z + z') ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k z ^k \, {z'\, } ^{n - k}\"<\/p>\n

Initialisation :<\/em><\/span> Pour \"n = 1\", \"\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k \, z ^k \, {z'\,} ^{n - k} =\" \"\qquad \displaystyle \binom 1 0 \, z ^0 \, {z'} ^{1 - 0} + \binom 1 1 \, z ^1 \, {z'} ^{1 - 1}\"
\n\"z + z' = (z + z') ^1\"
\nOn a donc prouv\u00e9 \"\mathcal{P}(1)\".<\/p>\n

H\u00e9r\u00e9dit\u00e9 :<\/em><\/span> On suppose que \"\mathcal {P}(n)\" est vraie.
\nOn multiplie l’\u00e9galit\u00e9 de \"\mathcal {P}(n)\" par \"z + z'\"
\n\"(z + z') ^{n + 1} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k z ^{k + 1} \, {z'\, } ^{n - k}\" \"\qquad \qquad \displaystyle +\, \sum _ {k = 0} ^n \binom n k z ^{k + 1} \, {z'\, } ^{n - k + 1 }\"
\non pose \"i = k + 1\" dans la premi\u00e8re somme :
\n\"(z + z') ^{n + 1} = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n + 1} \binom n {i - 1} z ^{i} \, {z'\, } ^{n - i + 1 }\" \"\displaystyle \qquad \qquad + \, \sum _ {k = 0} ^n \binom n k z ^{k + 1} \, {z'\, } ^{n - k + 1 }\"<\/p>\n

On additionne donc deux expressions :
\n\"\qquad \qquad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n + 1} a_ i + \sum _ {i = 0} ^{n} b_ i\"
\nen notant \"a_ i = \displaystyle \binom n {i - 1} z ^{i} \, {z'\, } ^{n - i + 1 }\" et \"\displaystyle b_ i = \binom n {i} z ^{i} \, {z'\,} ^{n - i + 1 }\".<\/p>\n

\"\ast\" on a un seul indice \"i = 0\" avec
\n\"b _ 0 = \displaystyle \binom n {0} z ^{0} \, {z'\,} ^{n - 0 + 1 }\" \"b_0 \displaystyle = \binom {n + 1} {0} z ^{0} \, {z'\,} ^{n - 0 + 1 }\" car \"\displaystyle \binom {n} 0 = \binom {n + 1} 0 = 1\".<\/p>\n

\"\ast\" on a un seul indice \"i = n + 1\", avec
\n\"a_{n + 1} =\displaystyle \binom n {n} z ^{n + 1 } \, {z'\,} ^{0}\" \"a_{n + 1} \displaystyle = \binom {n + 1} {n +1} z ^{n + 1 } \, {z'\,} ^{0}\"
\ncar \"\displaystyle \binom {n} n = \binom {n + 1} {n + 1} = 1\".<\/p>\n

\"\ast\" Lorsque \"1 \leqslant i \leqslant n\"
\n\"\displaystyle a_ i + b _ i = \left ( \binom n {i - 1} + \binom n {i} \right ) z ^{i} \, {z'\, } ^{n - i + 1 }\"
\n\"\gamma_ i = \displaystyle \binom n {i - 1} + \binom n {i}\" \"\displaystyle \gamma_ i = \frac {n!} {(i - 1)!\, (n - i + 1)!} + \frac {n!} {i!\, (n - i)!}\"
\ndont le d\u00e9nominateur commun est \"i! \, (n - i + 1)!\"
\n\"\gamma_ i \displaystyle = \frac {n!} {i! \, (n - i + 1)!} \left ( i + n - i + 1\right )\"
\n\"\gamma_ i \displaystyle = \frac {n! (n + 1) } {i! \, (n - i + 1)!} = \frac {(n + 1)!} {i ! \, (n + 1 - i)!}\"
\n\"\displaystyle \gamma _ i = \binom {n + 1} i\"
\net \"a _ i + b _ i = \displaystyle \binom {n + 1} i \, z^i {z'\, } ^{n + 1 - i}\"<\/p>\n

ce qui permet d’\u00e9crire
\n\"\displaystyle (z + z') ^{n + 1} = \sum _ {i = 0} ^{n + 1} \binom {n + 1} i \, z^i {z'\, } ^{n + 1 - i}\"
\nOn a prouv\u00e9 \"\mathcal{P}(n + 1)\"<\/p>\n

Conclusion :<\/em><\/span> la propri\u00e9t\u00e9 est vraie par r\u00e9currence<\/a>.<\/p>\n

1.6. Suite g\u00e9om\u00e9trique complexe en maths expertes<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"(u_n)_{n \geqslant 0}\" une suite complexe. C’est une suite g\u00e9om\u00e9trique s’il existe \"q \in \mathbb{C}\" (appel\u00e9 raison)tel que pour tout entier \"n\", \"u_{n + 1} = q \, u_n\,\".<\/p>\n

Les propri\u00e9t\u00e9s suivantes des suites<\/a> g\u00e9om\u00e9triques r\u00e9elles sont encore valables :<\/p>\n

\"\bullet\" La suite g\u00e9om\u00e9trique \"(u_n)_{n \geqslant 0}\" de raison \"q\" v\u00e9rifie \"\quad\" pour tout entier \"n\", \"u_n = u_0 \, q^n\"<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"k \in \mathbb{N}^*\" . La suite g\u00e9om\u00e9trique \"(u_n)_{n \geqslant k}\" de raison \"q\" v\u00e9rifie \"\quad\" pour tout entier \"n \geqslant k\", \"u_n = u_k \, q^{n - k}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"q \in \mathbb{C}\" et \"q \neq 1\",
\n\"\quad 1 + q + \cdots \, + q^n = \displaystyle \frac {1 - q ^{n + 1}} {1 - q}\"
\nce qui s’\u00e9crit aussi
\n\"\qquad \quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n q ^k = \frac {1 - q ^{n + 1}} {1 - q}\".<\/p>\n

1.7. R\u00e9solution de deux \u00e9quations d’ordre 1.<\/h3>\n

\"\bullet\" Pour r\u00e9soudre une \u00e9quation de la forme \"a \, z + b = 0\" dans \"\mathbb{C}\", lorsque \"a \neq 0\", il suffit d’\u00e9crire :
\n\"\qquad \qquad z = \displaystyle \frac {- b} {a} = \frac {- b \; \overline {a} } {\vert a \vert ^2}\".
\nIl vaut mieux \u00e9viter d’introduire la partie r\u00e9elle et imaginaire de \"z\", ce qui alourdit la d\u00e9monstration<\/p>\n

\"\bullet\" Pour r\u00e9soudre une \u00e9quation de la forme \"a \, z + b \, \overline {z}= c\" dans \"\mathbb{C}\",
\nIl faut dans ce cas introduire \"\qquad z = x + \textrm{i} \, y\" o\u00f9 \"x\" et \"y\" sont r\u00e9els, et en \u00e9galant les parties r\u00e9elles et imaginaires, on obtient un syst\u00e8me de deux \u00e9quations \u00e0 deux inconnues.<\/p>\n

 <\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Plan complexe sur les nombres complexes en terminale<\/h2>\n

Dans toute la suite, on suppose le plan rapport\u00e9 \u00e0 un rep\u00e8re orthonormal direct \"\left (O, \, \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v} \right )\".
\nOn dit que l’on se place dans le plan complexe.<\/p>\n

2.1. Affixe d’un point<\/h3>\n

\"\bullet\" \u00c0 tout complexe \"z = x +\textrm{i} \, y\", on associe le point \"M(x , y)\" .
\nOn dit que \"z\" est l’affixe du point \"M\" et que \"M\" est l’image du complexe \"z\".<\/p>\n

\"\bullet\" \u00c0 tout point \"M\" de coordonn\u00e9es \"(x , y)\" on associe le complexe \"z = x + \textrm{i}\, y\" .<\/p>\n

\"\bullet\" Cas particuliers<\/em>
\n\"\ast\" Un point \"M\" a une affixe r\u00e9elle ssi il appartient \u00e0 l’axe des abscisses appel\u00e9 axe des r\u00e9els.
\n\"\ast\" Un point \"M\" a une affixe imaginaire pure ssi il appartient \u00e0 l’axe des ordonn\u00e9es appel\u00e9 axe des imaginaires purs.
\n\"\ast\" Deux points sont \u00e9gaux ssi ils ont m\u00eame affixe.<\/p>\n

\"\bullet\" Propri\u00e9t\u00e9s :<\/strong>
\n\"\ast\" les images \"M\" et \"M'\" de \"z\" et \"-z\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 \"O\".
\n\"\ast\" Les images \"M\" et \"M''\" de \"z\" et de \"\overline{z}\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 l’axe des r\u00e9els.
\n\"\ast\" Les images \"M\" et \"M_1\" de \"z\" et \"- \overline{z}\" sont sym\u00e9triques par rapport \u00e0 l’axe des ordonn\u00e9es.
\n\"\ast\" si \"M\" est l’image du complexe \"z\", \"\vert z \vert = OM\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"A\" et \"B\" ont pour affixes \"z_A\" et \"z_B\,\", le milieu \"C\" du segment \"[A\,B]\" a pour affixe \"\displaystyle \frac {z_A + z_B} 2\,\".<\/p>\n

2.2. Affixe d’un vecteur<\/h3>\n

\"\bullet\" A tout complexe \"z = x + \textrm{i} \, y\" , on associe le vecteur \"\overrightarrow{w}\" de coordonn\u00e9es \"\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\" , on dit que \"z = x + \textrm{i} \, y\" est l’affixe du vecteur \"\overrightarrow{w}\"<\/p>\n

\"\bullet\" R\u00e9ciproquement, \u00e0 tout vecteur \"\overrightarrow{w}\" de coordonn\u00e9es \"\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\", on associe le complexe \"z = x + \textrm{i}\, y\" .<\/p>\n

\"\bullet\" \"z\" est l’affixe du point \"M\" ssi \"z\" est l’affixe du vecteur \"\overrightarrow{OM}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"z_A\" est l’affixe de \"A\" et \"z_B\" est l’affixe de \"B\", \"z_B - z_A\" est l’affixe du vecteur \"\overrightarrow{AB}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"z_A\" est l’affixe de \"A\" et \"z_B\" est l’affixe de \"B\", \"z_A + z_B\" est l’affixe du point \"C\" tel que \"\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OA }+ \overrightarrow{OB}\" .
\n\"OC\" est une diagonale du parall\u00e9logramme<\/a> construit sur \"\overrightarrow{OA }\" et \"\overrightarrow{OB}\" .
\n\"z_B - z_A\" est l’affixe du quatri\u00e8me som- met \"D\" du parall\u00e9logramme construit sur \"\overrightarrow{OA }\" et \"\overrightarrow{AB}\" .
\n(voir le dessin ci-dessous)<\/p>\n

\"affixe<\/p>\n

3. Forme trigonom\u00e9trique d’un complexe non nul<\/h2>\n

Dans toute la suite, on suppose le plan rapport\u00e9 \u00e0 un rep\u00e8re orthonormal direct \"\left (O, \, \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v} \right )\".<\/p>\n

3.1. D\u00e9finition de l’argument d’un complexe non nul<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"z = x + \textrm{i} \, y\" un complexe non nul.
\nIl existe un r\u00e9el \"\theta\" tel que
\n\"\qquad \cos \theta = \displaystyle \frac {x} {\vert z \vert}\" et \"\sin \theta = \displaystyle \frac {y} {\vert z \vert}\".
\nEt si \"\theta\" est solution, toute autre solution est de la forme \"\theta + 2\, k \, \pi\" o\u00f9 \"k\in \mathbb{Z}\" .
\nOn dit que \"\theta\" est un argument du complexe \"z\" et on \u00e9crit
\n\"\qquad \qquad \arg(z) = \theta \quad (2 \pi)\"
\net on lit que l’argument de \"z\" est \u00e9gal \u00e0 \"\theta\" modulo \"2\, \pi\".<\/p>\n

\"0\" n’a pas d’argument !<\/p>\n

3.2. Interpr\u00e9tation de l’argument d’un complexe non nul<\/h3>\n

\"\bullet\" Soit \"z\" un complexe non nul et \"M\" son image.
\n\"\ast\" \"\arg(z)\" est une mesure en radian de l’angle orient\u00e9 entre \"\overrightarrow{u}\" et \"\overrightarrow{OM}\",
\non note \"\left ( \overrightarrow{u}\,,\, \overrightarrow{OM} \right ) = \arg(z) \quad (2\, \pi)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\overrightarrow{w}\" est le vecteur image du complexe \"z\", \"\arg(z)\" est une mesure de l’angle de vecteurs \"\left ( \overrightarrow{u}\,,\, \overrightarrow{w }\right )\".<\/p>\n

\"interpr\u00e9tation<\/p>\n

3.3. Propri\u00e9t\u00e9s de l’argument d’un complexe non nul<\/h3>\n

\"\bullet\" propri\u00e9t\u00e9s simples \u00e0 conna\u00eetre :
\n\"\ast\" \"\arg(z) = 0 \quad (2 \pi)\" ssi \"z \in \mathbb{R}^{+ *}\"
\n\"\ast\" \"\arg(z) = \pi \quad (2 \pi)\" ssi \"z \in \mathbb{R}^{-*}\"
\n\"\ast\" \"\arg(z) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \quad (2 \pi)\" ssi \"z\" est un imaginaire pur \u00e0 partie imaginaire strictement positive.
\n\"\ast\" \"\arg(z) = \displaystyle \frac {- \pi} 2 \quad (2 \pi)\" ssi \"z\" est un imaginaire pur \u00e0 partie imaginaire strictement n\u00e9gative.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"z\" est un complexe non nul
\n\"\ast\" \"\arg (-z) = \arg(z) + \pi \quad (2\, \pi)\"
\n\"\ast\" \"\arg (\overline {z}) = - \arg(z) \quad (2\, \pi)\"
\n\"\ast\" \"\arg (-\overline{z} ) = \pi - \arg(z) \quad (2\, \pi)\"<\/p>\n

\"\bullet\" si \"z\" et \"z'\" sont deux complexes non nuls
\n\"\ast\" \"\arg(z \, z') = \arg(z) + \arg(z')\quad (2\, \pi)\"
\n\"\ast\" si \"n \in \mathbb{N}^*\",\"\qquad \qquad \arg(z ^n ) = n \, \arg(z) \quad (2\, \pi)\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \arg \left ( \frac 1 z \right ) = - \arg(z)\quad (2\, \pi)\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \arg \left ( \frac z {z'} \right ) = \arg(z) - \arg(z')\quad (2\, \pi)\"<\/p>\n

3.4. Forme trigonom\u00e9trique<\/h3>\n

Soit \"z\" un complexe non nul, on note \"r = \vert z \vert\" et \"\theta = \arg(z) \quad (2\, \pi]\"
\nAlors \"z = r \left ( \cos (\theta) + \textrm{i} \, \sin(\theta) \right )\".
\nUne telle \u00e9criture est appel\u00e9e la forme trigonom\u00e9trique<\/a> du complexe \"z\".<\/p>\n

\"\bullet\" Propri\u00e9t\u00e9<\/em>
\nDeux complexes \"z\" et \"z'\" non nuls v\u00e9rifient
\n\"z = z'\" ssi \"\left \{ \begin{matrix} \vert z \vert = \vert z' \vert \\ \arg(z) = \arg(z') \quad (2\, \pi) \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

3.5. Pour trouver la forme trigonom\u00e9trique d’un complexe (premi\u00e8re partie)<\/h3>\n

\"\bullet\" M1<\/strong>. Lorsque l’on a obtenu \"\qquad Z = r \, \left ( \cos(t) + \textrm{i } \sin(t) \right )\",
\nne pas conclure h\u00e2tivement:
\n\"\ast\" si \"r\" = 0, \"Z\" = 0, module nul, pas d’argument,
\n\"\ast\" si \"r > 0\", \"\vert Z \vert = r\" et \"\arg (Z) = t \quad {(2 \pi})\"
\n\"\ast\" si \"r < 0\",
\n\"\quad \vert Z \vert = - r\" et \"\arg (Z ) = \pi + t \quad {(2 \pi)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" M2.<\/strong> On peut faire le calcul de \"\vert Z \vert = \sqrt{Z \, \overline{Z} }\", puis \u00e9crire
\n\"\qquad \quad Z = \vert Z \vert \, (u + \textrm{i} \, v)\",
\nalors il reste \u00e0 trouver un r\u00e9el \"t\" tel que
\n\"u + \textrm{i } v = \cos(t) + \textrm{i } \sin(t)\", c’est \u00e0 dire \u00e0 trouver un r\u00e9el \"t\" tel que \"\cos (t) = u\" et \"\sin (t) = v\".<\/p>\n

Les cas particuliers<\/strong>
\n\"\begin{vmatrix} ---&-&---&-&----\\ z = &\vert & \textrm{tel que}&\vert & \arg(z) \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ x&\Big | & x > 0 &\Big | & 0 \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ x &\Big | & x < 0&\Big |& \pi \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \textrm{i} \, y &\Big |& y > 0&\Big | & \displaystyle \frac {\pi} 2\\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \textrm{i} \, y&\Big | & y < 0&\Big | & \displaystyle - \frac {\pi } 2 \\ ---&-&---&-&----\end{vmatrix}\"<\/p>\n

On rappelle en particulier les formules \u00e0 apprendre par c\u0153ur :
\n\"\begin{vmatrix} ---&-&---&-&----\\ t&\big |& \cos(t)&\big | & \sin(t) \\ ---&\vert&---&\vert&----\\ 0&\big |& 1&\big | & 0 \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \displaystyle \frac {\pi} 6 &\Big | & \displaystyle \frac {\sqrt{3}} 2&\Big |& \displaystyle \frac {1} 2 \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \displaystyle \frac {\pi}4 &\Big |& \displaystyle \frac {\sqrt{2}} 2&\Big | & \displaystyle \frac {\sqrt{2}} 2\\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \displaystyle \frac {\pi} 3 &\Big | & \displaystyle \frac {1} 2&\Big | & \displaystyle \frac {\sqrt{3}} 2 \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \displaystyle \frac {\pi} 2 &\Big | & 0&\Big | & 1\\ ---&-&---&-&----\\\end{vmatrix}\"<\/p>\n

\"\bullet\" M3.<\/strong> Lorsque \"Z\" est un produit ou un quotient de deux complexes, il est souvent plus simple de calculer module et argument des deux facteurs du produit ou du quotient et d’appliquer les r\u00e8gles sur les modules et arguments des produits ou des quotients.<\/p>\n

 <\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

4. Formules de trigonom\u00e9trie programme de maths expertes en terminale<\/h2>\n

4.1. Formule de trigonom\u00e9trie pour la fonction cosinus<\/h3>\n

Pour tous r\u00e9els \"a\" et \"b\",
\n\"\ast\" \"\cos(a + b) =\" \"\qquad \cos(a) \, \cos(b) - \sin(a) \, \sin(b)\"
\n\"\ast\" \"\cos(a - b) =\" \"\qquad \cos(a) \, \cos(b) + \sin(a) \, \sin(b)\"<\/p>\n

D\u00e9monstration :\u00a0<\/strong>
\nOn se place dans le plan complexe muni du rep\u00e8re orthonorm\u00e9 direct \"\left (O, \, \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v} \right )\"<\/p>\n

On note \"\Gamma\" le cercle de centre \"O\" et de rayon 1.
\nOn introduit les points \"A\" et \"B\" de \"\Gamma\" tels que \"\left ( \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{OA} \right ) = a \quad (2\,\pi)\"
\net \"\left ( \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{OB} \right ) = b \quad (2\,\pi)\"
\nalors \"\left ( \overrightarrow{OA}, \, \overrightarrow{OB} \right ) =
\n\"\left ( \overrightarrow{OA}, \, \overrightarrow{OB} \right ) = b - a \quad (2\,\pi)\"
\nalors \"\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = OA . OB \, \cos \left ( \overrightarrow{OA}, \, \overrightarrow{OB} \right )\"
\n\"\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = \cos(b - a)\".<\/p>\n

Les coordonn\u00e9es de \"\overrightarrow{OA}\" sont \"\begin{pmatrix} \cos(a) \\ \sin(a) \end{pmatrix}\" celles de \"\overrightarrow{OB}\" sont \"\begin{pmatrix} \cos(b) \\ \sin(b) \end{pmatrix}\"
\nOn calcule le produit scalaire :
\n\"\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = \cos(a) \,\cos(b) + \sin(b) \, \sin(a)\".<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"\cos(b - a) = \cos(a) \, \cos(b) + \sin(a) \, \sin(b)\"
\net on termine par parit\u00e9 de la fonction \"\cos\" :
\n\"\cos(a - b) = \cos(a) \, \cos(b) + \sin(a) \, \sin(b)\"<\/p>\n

Puis en rempla\u00e7ant \"b\" par \"-b\" et comme \"\cos(-b) = \cos(b)\" et \"\sin(- b) = - \sin(b)\",
\n\"\cos(a + b) = \cos(a) \, \cos(b) - \sin(a) \, \sin(b)\"<\/p>\n

4.2. Formule de trigonom\u00e9trie pour la fonction sinus<\/h3>\n

Pour tous r\u00e9els \"a\" et \"b\",
\n\"\ast\" \"\sin(a + b) =\" \"\qquad \sin(a) \, \cos(b) + \sin(b) \, \cos(b)\"
\n\"\ast\" \"\sin(a -( b) =\" \"\qquad \sin(a) \, \cos(b) - \sin(b) \, \cos(b)\"<\/p>\n

D\u00e9monstration :\u00a0<\/strong>
\nOn rappelle que pour tout r\u00e9el \"t\"
\n\"\qquad \displaystyle \sin(t) = \cos \left ( \frac {\pi} 2 -t \right )\", \"\qquad \displaystyle \cos(t) = \sin \left ( \frac {\pi} 2 -t \right )\".<\/p>\n

\"\sin(a + b) = \displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 2 -(a + b) \right )\".
\n\"\sin(a + b) = \displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 2 -a - b \right )\".<\/p>\n

On utilise la formule donnant \"\cos(a' - b)\" pour \"a' = \displaystyle \frac {\pi} 2 -a\"
\n\"\sin(a + b) =\" \"\quad \displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 2 -a \right )\, \cos(b) + \sin(b) \, \sin \left ( \frac {\pi} 2 -a \right )\"
\n\"\sin(a + b) = \displaystyle \sin ( a )\, \cos(b) + \sin(b) \, \cos ( a )\".<\/p>\n

En rempla\u00e7ant \"b\" par \"-b\" et en utilisant \"\sin(-b) = - \sin(b)\" et \"\cos(-b) = \cos(b)\"
\n\"\sin(a - b) = \displaystyle \sin ( a )\, \cos(b) - \sin(b) \, \cos ( a )\".<\/p>\n

4.3. Formule de trigonom\u00e9trie pour l’angle double<\/h3>\n

\"\bullet\" Pour tout r\u00e9el \"t\",
\n\"\ast\" \"\cos(2\, t) = \cos^2(t) - \sin^2(t)\"
\n\"\cos(2\, t) = 2\, \cos^2(t) - 1 = 1 - 2\, \sin^2(t)\"
\n\"\ast\" \"\sin(2\, t) = 2\, \sin(t) \, \cos(t)\"<\/p>\n

D\u00e9monstration :\u00a0<\/strong>
\nOn utilise les formules du d\u00e9but du paragraphe avec \"a = b = t\"
\npuis la formule \"\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1\".<\/p>\n

5. Fonction exponentielle complexe en maths expertes<\/h2>\n

5.1. D\u00e9finition et propri\u00e9t\u00e9s de la fonction exponentielle complexe<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"x \in \mathbb{R}\", on note
\n\"\qquad \quad \textrm {e}^{\textrm{i } x} = \cos(x) + \textrm{i } \sin(x)\".<\/p>\n

Cas particuliers<\/em>
\n\"\ast\" \"\textrm {e}^{\textrm{i } (2\, k \, \pi)} = 1\" pour tout \"k \in \mathbb{Z}\"
\n\"\ast\" \"\textrm {e}^{\textrm{i } \pi } = - 1\"
\n\"\ast\" \"\textrm{i} = \textrm {e}^{\textrm{i } \pi/2}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Propri\u00e9t\u00e9s<\/strong> si \"x\" et \"y\" sont r\u00e9els
\n\"\ast\" \"\textrm {e}^{\textrm{i } x} = \textrm {e}^{\textrm{i } y}\" ssi il existe \"k \in \mathbb{Z}\" tel que\"\, x - y = 2\, k\, \pi\"
\n\"\ast\" \"\left \vert \textrm {e}^{\textrm{i } x} \right \vert = 1\"
\n\"\ast\" \"\arg \left ( \textrm {e}^{\textrm{i } x} \right ) = x \quad (2\,\pi)\"
\n\"\ast\" \"\textrm {e}^{\textrm{i } x} \times \textrm {e}^{\textrm{i } y} = \textrm {e}^{\textrm{i } (x + y)}\"
\n\"\ast\" \"\overline {\textrm {e}^{\textrm{i } x}} = \textrm {e}^{- \textrm{i } x}\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \frac {\textrm {e}^{\textrm{i } x}} {\textrm {e}^{\textrm{i } y}} = \textrm {e}^{\textrm{i } (x - y)}\"
\n\"\ast\" Si \"n \in \mathbb{N}\", \"\left ( \textrm {e}^{\textrm{i } x}\right ) ^n = \textrm {e}^{\textrm{i } n\, x}\".<\/p>\n

5.2. Formules d’Euler<\/h3>\n

\"\bullet\" Pour tout r\u00e9el \"t\",
\n\"\qquad \cos(t) = \displaystyle \frac {\textrm {e}^{\textrm{i } t} + \textrm {e}^{- \textrm{i } t}} 2\"
\n\"\qquad \sin(t) = \displaystyle \frac {\textrm {e}^{\textrm{i } t} - \textrm {e}^{- \textrm{i } t}} {2 \textrm{ i }}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Utilisation pour lin\u00e9ariser (c’est-\u00e0-dire transformer un produit en une somme)
\nPour lin\u00e9ariser une expression de la forme \"\cos^p(t) \, \sin^q(t)\" o\u00f9 \"p\" et \"q\" sont dans \"\mathbb{N}\", remplacer \"\cos(t)\" et \"\sin(t)\" par les formules d’Euler, utiliser le bin\u00f4me de Newton, d\u00e9velopper, regrouper les termes en \"\textrm {e}^{\textrm{i }k\, t}\" et \"\textrm {e}^{-\textrm{i }k\, t}\" pour transformer selon le signe en \"\cos(k\, t)\" ou \"\sin(k\, t)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Transformer une expression de la forme \"\cos(x)\, \cos(y)\", \"\cos(x) \,\sin(y)\" ou \"\sin(x)\, \sin(y)\" :
\nremplacer par les formules d’Euler, simplifier et regrouper les termes de la forme \"\textrm {e}^{\textrm{i } t}\" et \"\textrm {e}^{-\textrm{i } t}\" pour transformer selon le signe en \"\cos( t)\" ou \"\sin(\, t)\".<\/p>\n

5.3. Simplification de fonction exponentielle<\/h3>\n

\"\bullet\" M1.<\/strong> Pour simplifier lorsque \"t\" et \"t'\" sont r\u00e9els, \"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } + \textrm{e} ^{\textrm{i } t' }\" ou \"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } - \textrm{e} ^{\textrm{i } t' }\", on met en facteur \u00ab\u00a0e puissance la demi-somme des exposants\u00a0\u00bb ,
\nce qui donne :
\n\"\ast\" \"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } +\textrm{e} ^{\textrm{i } t' } =\" \"\qquad \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2} \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t - t')/2} +\textrm{e} ^{- \textrm{i} \, (t - t')/2} \right )\"
\n\"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } + \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } = \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac {t - t'} 2 \right ) \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } -\textrm{e} ^{\textrm{i } t' } =\" \"\qquad \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2} \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t - t')/2} -\textrm{e} ^{- \textrm{i} \, (t - t')/2} \right )\"
\n\"\textrm{e} ^{\textrm{i } t } - \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } = \displaystyle 2\, \textrm{i}\, \sin \left ( \frac {t - t'} 2 \right ) \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2}\".<\/p>\n

\"\bullet\" M2.<\/strong> En particulier, il est conseill\u00e9 de savoir retrouver tr\u00e8s rapidement les formules tr\u00e8s utilis\u00e9es
\n\"\qquad 1 + \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac t 2 \right ) \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t /2}\"
\n\"\qquad 1 - \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = \displaystyle - 2 \, \textrm{i} \sin \left ( \frac t 2 \right ) \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t /2}\"<\/p>\n

Pour cela, on pose \"1 = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, 0}\".<\/p>\n

5.4. Formule de Moivre<\/h3>\n

Si \"n \in \mathbb{N}\" et si \"t \in \mathbb{R}\"
\n\"\displaystyle \left ( \cos(t) + \textrm{i } \sin(t) \right ) ^n =\" \"\qquad \qquad \quad \cos(n\,t) + \textrm{i } \sin(n\,t)\".<\/p>\n

En utilisant le bin\u00f4me de Newton avec \"a = \cos(t)\" et \"b = \textrm{i } \sin(t)\",
\non d\u00e9veloppe et en \u00e9galant suivant le cas, les parties r\u00e9elles ou imaginaires, on peut calculer \"\cos(n\, t)\" ou \"\sin(n\, t)\".<\/p>\n

5.5. Forme exponentielle d’un complexe non nul<\/h3>\n

\"\bullet\" Tout complexe \"z\" non nul peut \u00eatre \u00e9crit sous la forme \"z = r \, \textrm{e} ^{\textrm{i } \theta}\" o\u00f9
\n\"r > 0\" et \"\theta \in \mathbb{R}\"<\/p>\n

\"r\" est le module de \"z\"
\net \"\arg (z) = \theta \quad (2\,\pi)\"
\nOn a \u00e9crit la forme exponentielle<\/a> du complexe \"z\".<\/p>\n

Lorsque l’on a obtenu \"Z = r \, \textrm{e} ^{\textrm{i } t }\", ne pas conclure h\u00e2tivement:
\n\"\ast\" si \"r\" = 0, \"Z\" = 0, module nul, pas d’argument,
\n\"\ast\" si \"r > 0\",
\n\"\vert Z \vert = r\" et \"\arg (Z) = t \quad (2\, \pi)\".
\n\"\ast\" si \"r < 0\",
\n\"\vert Z \vert = - r\" et \"\arg(Z)= \pi + t \quad (2 \,\pi)\".<\/p>\n

Utilisation pour le module et argument de la somme de deux complexes de m\u00eame module
\nLorsque \"Z = r \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i } t } \pm \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } \right )\", appliquer la transformation indiqu\u00e9e en 5.3. et il faudra faire attention au signe selon de cas de \"\displaystyle \cos \left (\frac {t - t'} 2 \right )\" ou de \"\displaystyle \sin \left( \frac {t - t'} 2 \right )\" (cf ce qui pr\u00e9c\u00e8de)<\/p>\n

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