{"id":26059,"date":"2019-05-15T14:49:30","date_gmt":"2019-05-15T13:49:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26059"},"modified":"2021-01-04T16:13:29","modified_gmt":"2021-01-04T15:13:29","slug":"cours-en-ligne-probabilites-lois-densite-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-probabilites-lois-densite-terminale\/","title":{"rendered":"Cours, exercices et corrig\u00e9s sur Loi \u00e0 densit\u00e9 en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours, exercices et corrig\u00e9s sur\u00a0: Loi \u00e0 densit\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours sur les lois \u00e0 densit\u00e9 en terminale<\/h2>\n

R\u00e9visez votre cours de maths au programme de terminale sur les lois \u00e0 densit\u00e9 et exercez-vous sur les exercices corrig\u00e9s ci-dessous. Pour r\u00e9ussir au bac et r\u00e9ussir en terminale, il est primordial de bien conna\u00eetre tous les chapitres du programme de maths de terminale. Aucune impasse ne doit \u00eatre faite lors de votre pr\u00e9paration au bac. En effet, certains exercices demandent parfois d’utiliser des notions issues de plusieurs chapitres pour r\u00e9soudre l’exercice. Pour maximiser vos chances de r\u00e9ussite, il est recommand\u00e9 de prendre des cours particuliers en maths.<\/p>\n

1. Variable al\u00e9atoire discr\u00e8te<\/h3>\n

D\u00e9finition: variable al\u00e9atoire discr\u00e8te<\/b><\/p>\n

On dit qu’on d\u00e9finit une\u00a0variable al\u00e9atoire discr\u00e8te<\/b>\u00a0\"X\" sur l’ensemble \"E\" lorsque, \u00e0 chaque \u00e9ventualit\u00e9 \"e\" de l’exp\u00e9rience al\u00e9atoire, on associe un nombre r\u00e9el \"X(e)\text{ : }e \longmapsto X(e)\".<\/p>\n

Notations :<\/p>\n

Les \u00e9v\u00e9nements sont des sous-ensembles de \"E\". Dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, la notation \"(X=a)\", avec \"a \in \mathbb{R}\", d\u00e9signe l’\u00e9v\u00e9nement \"\left\{ e \in E\text{ }|\text{ }X(e) = a \right\}\", i.e l’ensemble des \u00e9ventualit\u00e9s \"e\" pour lesquelles la variable al\u00e9atoire \"X\" prend la valeur \"a\".<\/p>\n

D\u00e9finition: loi de probabilit\u00e9 discr\u00e8te
\n<\/b><\/p>\n

La\u00a0loi de probabilit\u00e9 d’une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te<\/b>\u00a0\"X\" est donn\u00e9e par :<\/p>\n

\"\bullet\" l’ensemble des valeurs \"\{x_{1},...,x_{n}\}\" prises par la variable al\u00e9atoire;<\/p>\n

\"\bullet\" les probabilit\u00e9s<\/a> \"P(X=x_{i})\" pour toutes les valeurs \"x_{i}\" prises par \"X\".<\/p>\n

On rappelle que:<\/p>\n

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  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{i=1}^{n} P(X=x_{i}) = 1\]\"<\/p>\n<\/p>\n

D\u00e9finition: esp\u00e9rance d’une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te
\n<\/b><\/p>\n

Si l’on consid\u00e8re une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te \"X\" qui prend les valeurs \"\{x_{1},...,x_{n}\}\" avec les probabilit\u00e9s \"P(X=x_{i})\", son esp\u00e9rance,\u00a0lorsqu’elle existe<\/b>, est d\u00e9finie par la relation:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \times P(X=x_{i})}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Remarque<\/i>. Toutes les variables al\u00e9atoires n’admettent pas une esp\u00e9rance.<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance
\n<\/b><\/p>\n

L’esp\u00e9rance est lin\u00e9aire: soient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes \u00e0 valeurs r\u00e9elles qui admettent toutes deux une esp\u00e9rance, et \"\lambda \in \mathbb{R}\". Alors \"X + \lambda Y\" admet \u00e9galement une esp\u00e9rance, et nous avons:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(X + \lambda Y) = E(X) + \lambda E(Y)}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

D\u00e9finition: variance d’une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te
\n<\/b><\/p>\n

Si l’on consid\u00e8re une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te \"X\" qui prend les valeurs \"\{x_{1},...,x_{n}\}\" avec les probabilit\u00e9s \"P(X=x_{i})\", sa variance,\u00a0lorsqu’elle existe<\/b>, est d\u00e9finie par la relation:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{Var(X) = E\left[\left(X-E(X)\right)^{2}\right]}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

La racine carr\u00e9e de la variance est appel\u00e9\u00a0\u00e9cart-type<\/b>, not\u00e9 \"\sigma(X)\":<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Remarque<\/i>. Toutes les variables al\u00e9atoires n’admettent pas une variance.<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" On monte que:<\/p>\n

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  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{Var(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" Soient \"X_{1}, ..., X_{n}\" des variables al\u00e9atoires qui admettent une variance. Alors \"X = \sum_{i=1}^{n} X_{i}\" admet \u00e9galement une variance, et nous avons:<\/p>\n

Si les \"X_{i}\" sont ind\u00e9pendantes:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[Var(X) = Var\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \sum_{i=1}^{n} Var(X_{i})\]\"<\/p>\n<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\u00a096%\u00a0<\/span><\/strong> de r\u00e9ussite au BAC
<\/span>\u00a044% <\/span><\/strong><\/span>\u00a0de mentions Bien et Tr\u00e8s bien<\/span>
\u00a099% <\/span><\/strong><\/span>\u00a0de recommandation \u00e0 leurs amis<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION EN TERMINALE<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers en terminale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. Lois de probabilit\u00e9s \u00e0 densit\u00e9 sur un intervalle<\/h3>\n

D\u00e9finitions et propri\u00e9t\u00e9s
\n<\/b><\/p>\n

D\u00e9finition : densit\u00e9 de probabilit\u00e9
\n<\/b><\/p>\n

On dit qu’une fonction f, d\u00e9finie sur un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\", est une\u00a0densit\u00e9 de probabilit\u00e9<\/b>\u00a0sur \"I\" lorsque :<\/p>\n

\"\bullet\" la fonction \"f\" est\u00a0continue<\/b><\/a>\u00a0sur \"I\";<\/p>\n

\"\bullet\" la fonction \"f\" est \u00e0\u00a0valeurs positives<\/b>\u00a0sur \"I\";<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0l’aire sous la courbe de \"f\" est \u00e9gale \u00e0 \"1\" unit\u00e9s d’aire<\/b>.<\/p>\n

D\u00e9finition: variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9
\n<\/b><\/p>\n

Soit \"f\" une fonction d\u00e9finie sur \"I\", qui est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9 sur \"I\".<\/p>\n

On dit que\u00a0la variable al\u00e9atoire \"X\" suit la loi de densit\u00e9 \"f\" sur l’intervalle \"I\"<\/b>\u00a0(ou est \u00ab\u00a0\u00e0 densit\u00e9 \"f\" sur \"I\"\u00ab\u00a0) lorsque, pour tout intervalle \"J\" inclus dans \"I\", la probabilit\u00e9 de l’\u00e9v\u00e9nement \"(X \in J)\" est la mesure, en unit\u00e9s d’aire, de l’aire du domaine: \"\left\{M(x,y)\text{ }|\text{ }x \in J\text{ et }0 \leq y\leq f(x)\right\}\".<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\forall J \subset I\text{, }P(X \in J) = \int_{t \in J} f(t)\text{ } dt}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s
\n<\/b><\/p>\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire qui suit la loi de densit\u00e9 \"f\" sur l’intervalle \"I\". On a les propri\u00e9t\u00e9s suivantes :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"J\" et \"J'\" sont deux unions finies d’intervalles inclus dans \"I\", on a :<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout intervalle \"J = [c;d]\" de \"I\", on a :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{P(X \in J) = P(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} f(t)\text{ } dt}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout r\u00e9el \"\alpha\" de \"I\", on a : \"P(X=\alpha)=0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tous r\u00e9els \"c\" et \"d\" de \"I\":<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(c \leq X \leq d) = P(c < X \leq d)\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= P(c \leq X < d) = P(c < X < d)\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"J\" un intervalle inclus dans \"I\", on a : \"P(X \in \overline{J}) = 1 - P (X \in J)\"<\/p>\n

D\u00e9finition: probabilit\u00e9 conditionnelle
\n<\/b><\/p>\n

Soit \"I'\" un intervalle de \"I\" tel que \"P(X \in I') \neq 0\" et soit \"J\" un autre intervalle de \"I\". On d\u00e9finit la probabilit\u00e9 conditionnelle \"P_{X \in I'}(X \in J)\" par l’\u00e9galit\u00e9 :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{P_{X \in I'}(X \in J) = \frac{P(X \in I' \cap J)}{P(X \in I')}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

D\u00e9finition: esp\u00e9rance d’une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9<\/p>\n

L’esp\u00e9rance \"E(X)\" d’une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 \"f\" sur \"[a;b]\" est d\u00e9finie par:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(X) = \int_{a}^{b} xf(x)\text{ } dx}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Loi uniforme sur \"[0,1]\"
\n<\/b><\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/b><\/p>\n

La fonction constante \"f\" d\u00e9finie sur \"[0;1]\" par \"f(x)=1\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9.<\/p>\n

D\u00e9finition: loi uniforme sur \"[0;1]\"
\n<\/b><\/p>\n

On dit qu’une variable al\u00e9atoire \"X\" suit la loi uniforme sur l’intervalle \"[0;1]\" si sa densit\u00e9 est la fonction d\u00e9finie sur \"[0;1]\" par:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f\text{ : }x \in [0;1] \longmapsto f(x) = 1}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"Densite<\/p>\n

Densit\u00e9 de probabilit\u00e9 de la loi uniforme sur \"[0;1]\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9
\n<\/b><\/p>\n

Pour tout intervalle \"[c;d]\" inclus dans \"[0;1]\", on a :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{P(X \in [c;d]) = P(c \leq X \leq d) = d-c}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Loi uniforme sur \"[a;b]\"
\n<\/b><\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/b><\/p>\n

La fonction constante \"f\" d\u00e9finie sur \"[a;b]\", avec \"a < b\", par \"f(x)=\frac{1}{b-a}\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9.<\/p>\n

D\u00e9finition: loi uniforme sur \"[a;b]\"<\/p>\n

Une variable al\u00e9atoire \"X\" suit une loi uniforme sur l’intervalle \"[a;b]\" \"(a < b)\" si sa densit\u00e9 est la fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"[a;b]\" par:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f\text{ : }x \in [a;b] \longmapsto f(x) = \frac{1}{b-a}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/b><\/p>\n

Pour tout intervalle \"[c;d]\" inclus dans \"[0;1]\", on a :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{P(X \in [c;d]) = P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: esp\u00e9rance d’une loi uniforme sur \"[a;b]\"
\n<\/b><\/p>\n

L’esp\u00e9rance \"E(X)\" d’une variable al\u00e9atoire \"X\" suivant une\u00a0loi uniforme sur \"[a;b]\"<\/b>\u00a0est telle que:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(X) = \int_{a}^{b} xf(x)\text{ } dx = \frac{a+b}{2}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

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STAGE REVISION BAC<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Profite de tes vacances pour gagner des points au bac.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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96%<\/span><\/strong> \u00a0de r\u00e9ussite au BAC<\/span>
44%<\/strong><\/span> de mentions Bien et Tr\u00e8s bien<\/span>
99%<\/span><\/strong> de recommandation \u00e0 leurs amis<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

Loi exponentielle
\n<\/b><\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/b><\/p>\n

Soit \"\lambda\" un nombre r\u00e9el strictement positif. La fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"I = [0;+\infty[\" par<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f\text{ : }t \in [0;+\infty[ \longmapsto f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\]\"<\/p>\n

\u00a0est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9.<\/p>\n

D\u00e9finition: loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*}\"
\n<\/b><\/p>\n

Soit \"\lambda\" un nombre r\u00e9el strictement positif. Une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 \"X\" suit la loi exponentielle<\/a> de param\u00e8tre \"\lambda\" si sa densit\u00e9 est la fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"[0;+\infty[\" par:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f\text{ : }t \in [0;+\infty[ \longmapsto f(t) = \lambda e^{-\lambda t}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"Densite<\/p>\n

Densit\u00e9 de probabilit\u00e9 de la loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda >0\"<\/p>\n

Remarque<\/i>. Le param\u00e8tre \"\lambda\" est \u00e9gal \u00e0 l’ordonn\u00e9e du point de la courbe repr\u00e9sentant la densit\u00e9 situ\u00e9 sur l’axe des ordonn\u00e9es car \"f(0) = \lambda e^{0} = \lambda\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/b><\/p>\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 qui suit la loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda > 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Quels que soient les nombres r\u00e9els positifs \"c\" et \"d\", on a :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(X \in [c;d]) = P(c \leq X \leq d)\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \int_{c}^{d} \lambda e^{-\lambda t}\text{ } dt = e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout r\u00e9el positif \"a\", on a: \"\boxed{P(X \geq a)= e^{-\lambda a}}\"<\/p>\n

D\u00e9finition: esp\u00e9rance d’une loi exponentielle
\n<\/b><\/p>\n

On d\u00e9finit l’esp\u00e9rance \"E(X)\" d’une variable al\u00e9atoire suivant la\u00a0loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*}\"<\/b>\u00a0en posant:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(X) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \int_{0}^{x} t\text{ }\lambda e^{-\lambda t}\text{ } dt}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/b><\/p>\n

L’esp\u00e9rance \"E(X)\" d’une variable al\u00e9atoire suivant la loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*}\" est telle que:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(X) = \frac{1}{\lambda}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: dur\u00e9e de vie sans vieillissement
\n<\/b><\/p>\n

Une variable al\u00e9atoire \"X\" qui suit une loi exponentielle est telle que, pour tous r\u00e9els \"x\" et \"h\" positifs, on a:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{P_{X \geq t}(X \geq t+h) = P(X \geq h)}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Cette propri\u00e9t\u00e9 est appel\u00e9e propri\u00e9t\u00e9 de\u00a0dur\u00e9e de vie sans vieillissement<\/b>. En effet, si on interpr\u00e8te X comme la dur\u00e9e de vie d’un appareil, cette \u00e9galit\u00e9 signifie que la probabilit\u00e9 que l’appareil fonctionne encore au-del\u00e0 du temps \"t+h\" sachant qu’il fonctionne encore \u00e0 l’instant \"t\" est \u00e9gale \u00e0 la probabilit\u00e9 que l’appareil fonctionne au-del\u00e0 du temps \"h\". Cela signifie que, pendant l’intervalle \"[0;t]\", l’appareil ne s’est pas us\u00e9 puisque son fonctionnement \u00e0 partir de l’instant \"t\" est identique \u00e0 celui qu’il avait \u00e0 partir du temps \"0\".<\/p>\n

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\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"Prendre\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

Exercices de probabilit\u00e9s : Loi \u00e0 densit\u00e9, loi normale et estimation<\/h2>\n

Les\u00a0exercices sur les probabilit\u00e9s : Loi \u00e0 densit\u00e9, loi normale, fluctuations et estimation<\/a> arrivent sous peu.<\/p>\n

Annales de probabilit\u00e9s : Loi \u00e0 densit\u00e9, fluctuations et estimation<\/h2>\n

Pour avoir un bon niveau de maths, il faut tout simplement r\u00e9viser r\u00e9guli\u00e8rement, mais aussi, et surtout, s\u2019entra\u00eener et se tester sur divers exercices de maths, comme sur les annales de bac de maths. Les annales du bac sont les meilleurs exercices puisque ce sont des sujets d\u00e9j\u00e0 tomb\u00e9s lors de l’examen. Les \u00e9l\u00e8ves de terminale peuvent donc se rendre compte du niveau attendu le jour de l’examen, mais aussi des exigences et du syst\u00e8me de notation de l’\u00e9preuve. Il est \u00e9galement possible pour les \u00e9l\u00e8ves de terminale de participer \u00e0 des stages intensifs en terminale pour se pr\u00e9parer aux \u00e9preuves du bac. Gr\u00e2ce \u00e0 ces stages, les \u00e9l\u00e8ves pourront d\u00e9crocher les notes attendues et esp\u00e9r\u00e9es via le simulateur de bac.<\/p>\n

Les \u00e9l\u00e8ves de terminale qui suivent l’option maths compl\u00e9mentaires en terminale g\u00e9n\u00e9rale devront \u00e9galement \u00eatre parfaitement \u00e0 l’aise sur les chapitres suivants :<\/p>\n

    \n
  • les suites num\u00e9riques et les mod\u00e8les discrets<\/li>\n
  • les fonctions convexes<\/li>\n
  • les lois discr\u00e8tes<\/li>\n
  • les statistiques \u00e0 2 variables al\u00e9atoires<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Cours, exercices et corrig\u00e9s sur\u00a0: Loi \u00e0 densit\u00e9 R\u00e9sum\u00e9 de cours Exercices et corrig\u00e9s Cours en ligne de Maths en Terminale R\u00e9sum\u00e9 de cours sur les lois \u00e0 densit\u00e9 en terminale R\u00e9visez votre cours de maths au programme de terminale sur les lois \u00e0 densit\u00e9 et exercez-vous sur les exercices corrig\u00e9s ci-dessous. Pour r\u00e9ussir […]<\/p>\n","protected":false},"author":7,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"ocean_post_layout":"full-screen","ocean_both_sidebars_style":"","ocean_both_sidebars_content_width":0,"ocean_both_sidebars_sidebars_width":0,"ocean_sidebar":"ressource","ocean_second_sidebar":"0","ocean_disable_margins":"enable","ocean_add_body_class":"","ocean_shortcode_before_top_bar":"","ocean_shortcode_after_top_bar":"","ocean_shortcode_before_header":"","ocean_shortcode_after_header":"","ocean_has_shortcode":"","ocean_shortcode_after_title":"","ocean_shortcode_before_footer_widgets":"","ocean_shortcode_after_footer_widgets":"","ocean_shortcode_before_footer_bottom":"","ocean_shortcode_after_footer_bottom":"","ocean_display_top_bar":"default","ocean_display_header":"default","ocean_header_style":"","ocean_center_header_left_menu":"0","ocean_custom_header_template":"0","ocean_custom_logo":0,"ocean_custom_retina_logo":0,"ocean_custom_logo_max_width":0,"ocean_custom_logo_tablet_max_width":0,"ocean_custom_logo_mobile_max_width":0,"ocean_custom_logo_max_height":0,"ocean_custom_logo_tablet_max_height":0,"ocean_custom_logo_mobile_max_height":0,"ocean_header_custom_menu":"0","ocean_menu_typo_font_family":"0","ocean_menu_typo_font_subset":"","ocean_menu_typo_font_size":0,"ocean_menu_typo_font_size_tablet":0,"ocean_menu_typo_font_size_mobile":0,"ocean_menu_typo_font_size_unit":"px","ocean_menu_typo_font_weight":"","ocean_menu_typo_font_weight_tablet":"","ocean_menu_typo_font_weight_mobile":"","ocean_menu_typo_transform":"","ocean_menu_typo_transform_tablet":"","ocean_menu_typo_transform_mobile":"","ocean_menu_typo_line_height":0,"ocean_menu_typo_line_height_tablet":0,"ocean_menu_typo_line_height_mobile":0,"ocean_menu_typo_line_height_unit":"","ocean_menu_typo_spacing":0,"ocean_menu_typo_spacing_tablet":0,"ocean_menu_typo_spacing_mobile":0,"ocean_menu_typo_spacing_unit":"","ocean_menu_link_color":"","ocean_menu_link_color_hover":"","ocean_menu_link_color_active":"","ocean_menu_link_background":"","ocean_menu_link_hover_background":"","ocean_menu_link_active_background":"","ocean_menu_social_links_bg":"","ocean_menu_social_hover_links_bg":"","ocean_menu_social_links_color":"","ocean_menu_social_hover_links_color":"","ocean_disable_title":"on","ocean_disable_heading":"default","ocean_post_title":"","ocean_post_subheading":"","ocean_post_title_style":"","ocean_post_title_background_color":"","ocean_post_title_background":0,"ocean_post_title_bg_image_position":"","ocean_post_title_bg_image_attachment":"","ocean_post_title_bg_image_repeat":"","ocean_post_title_bg_image_size":"","ocean_post_title_height":0,"ocean_post_title_bg_overlay":0.5,"ocean_post_title_bg_overlay_color":"","ocean_disable_breadcrumbs":"default","ocean_breadcrumbs_color":"","ocean_breadcrumbs_separator_color":"","ocean_breadcrumbs_links_color":"","ocean_breadcrumbs_links_hover_color":"","ocean_display_footer_widgets":"default","ocean_display_footer_bottom":"default","ocean_custom_footer_template":"0","footnotes":""},"class_list":["post-26059","page","type-page","status-publish","entry"],"yoast_head":"\nCours, exercices et corrig\u00e9s sur Loi \u00e0 densit\u00e9 en Terminale<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Cours, qcm, exercices et corrig\u00e9s sur les loi \u00e0 densit\u00e9 en terminale. 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