{"id":26065,"date":"2019-05-15T14:43:32","date_gmt":"2019-05-15T13:43:32","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26065"},"modified":"2023-09-15T13:13:13","modified_gmt":"2023-09-15T12:13:13","slug":"cours-en-ligne-limites-fonctions-terminale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-limites-fonctions-terminale\/","title":{"rendered":"Cours : limites de fonctions en Terminale"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Limites de fonctions en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

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R\u00e9visez votre chapitre de maths sur les limites de fonction au programme de maths en Terminale. La terminale est la derni\u00e8re ligne droite avant le bac, il est ainsi primordial de pr\u00e9parer cet examen d\u00e8s les premier jours de cours. Pour maximiser leurs r\u00e9sultats et leurs chances de r\u00e9ussite, les \u00e9l\u00e8ves peuvent suivre pendant les vacances, un stage de pr\u00e9paration au bac ou des cours de maths \u00e0 domicile<\/a>.<\/p>\n

Cours en ligne sur les limites de fonctions en classe de Terminale<\/h2>\n

1. Conna\u00eetre la d\u00e9finition d’une limite en \"\pm \infty\"<\/h3>\n

1.1. Limite d’une fonction en \"+\infty\"<\/h4>\n

Dans ce paragraphe, on suppose que la fonction \"f\" est d\u00e9finie sur un ensemble \"\mathcal{D}\" et qu’il existe \"a \in \mathbb{R}\" tel que \"[a , + \infty[ \, \subset \mathcal{D}\". On note \"\Gamma\" son graphe<\/a>.<\/p>\n

\"\bullet\" Def1<\/strong> : Soit \"\ell \in \mathbb{R}\", la fonction \"f\" admet \"\ell\" pour limite en \"+\infty\" si elle v\u00e9rifie l’une des deux conditions \u00e9quivalentes suivantes :
\n\"\ast\" tout intervalle<\/a> ouvert \"]\alpha , \beta [\" conte- nant \"\ell\" contient toutes les valeurs \"f(x)\" pour \"x\" assez grand, ce qui veut dire qu’il existe \"B \geqslant a\" tel que si \"x \geqslant B\", \"f(x) \in \; ]\alpha , \beta[\"
\n\"\ast\" pour tout \"\varepsilon > 0\", il existe \"B \geqslant a\" tel que si \"x \geqslant B\", \"f(x) \in \; ] \ell - \varepsilon , \ell + \varepsilon[\,\".
\nOn \u00e9crit alors
\n\"\quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \ell\" ou \"f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} {\ell}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Def2<\/strong> : La fonction \"f\" admet \"+\infty\" pour limite en \"+\infty\" si elle v\u00e9rifie l’une des deux conditions \u00e9quivalentes suivantes
\n\"\ast\" pour tout \"A \in \mathbb{R } ^+\", l’intervalle \"[A , \, + \infty[\" contient toutes les valeurs \"f(x)\" pour \"x\" assez grand
\n\"\ast\" pour tout \"A \geqslant 0\", il existe \"B \geqslant a\" tel que si \"x \geqslant B\", \"f(x) \geqslant A\".
\nOn \u00e9crit alors
\n\"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\" ou \"f(x) \xrightarrow[x \to - \infty]{} {+\infty}\"<\/p>\n

\"\bullet\" Def3<\/strong> : La fonction \"f\" admet \"-\infty\" pour limite en \"+\infty\" si pour tout \"A \in \mathbb{R }^+\", l’intervalle \"] - \infty , \, -A]\" contient toutes les valeurs \"f(x)\" pour \"x\" assez grand.
\nOn \u00e9crit alors
\n\"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty\" ou \"f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} {-\infty}\"<\/p>\n

\"limite-fonction-terminale\"<\/p>\n

1.2. Limite d’une fonction en \"-\infty\"<\/h4>\n

Dans ce paragraphe, on suppose que la fonction \"f\" est d\u00e9finie sur un ensemble \"\mathcal{D}\" et qu’il existe \"a \in \mathbb{R}\" tel que \"\qquad \qquad ] - \infty, \, a] \subset \mathcal{D}\".
\nOn note \"\Gamma\" son graphe.<\/p>\n

\"\bullet\" Def1<\/strong> : Soit \"\ell \in \mathbb{R}\", la fonction \"f\" admet \"\ell\" pour limite en \"-\infty\" si elle v\u00e9rifie l’une des conditions \u00e9quivalentes suivantes
\n\"\ast\" tout intervalle ouvert \"]\alpha , \beta [\" contenant \"\ell\" contient toutes les valeurs \"f(x)\" pour \"x\" n\u00e9gatif assez grand en valeur absolue
\n\"\ast\" pour tout \"\varepsilon > 0\", il existe \"B \leqslant a\" tel que si \"x \leqslant B\", \"f(x) \in \; ] \ell - \varepsilon , \,\ell + \varepsilon[\"
\nOn \u00e9crit alors
\n\"\quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \ell\" ou \"f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} {\ell}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Def2<\/strong> : La fonction \"f\" admet \"+\infty\" pour limite en \"-\infty\" si elle v\u00e9rifie l’une des deux conditions \u00e9quivalentes suivantes
\n\"\ast\" pour tout \"A \in \mathbb{R } ^+\", l’intervalle \"[A , \, + \infty[\" contient toutes les valeurs \"f(x)\" pour \"x\" n\u00e9gatif, assez grand en valeur absolue
\n\"\ast\" pour tout \"A \geqslant 0\", il existe \"B \leqslant a\" tel que si \"x \leqslant B\", \"f(x) \geqslant A\".
\nOn \u00e9crit alors
\n\"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty\" ou \"f(x) \xrightarrow[x \to -\infty]{} {+\infty}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Def3<\/strong> : La fonction \"f\" admet \"-\infty\" pour limite en \"-\infty\" si pour tout \"A \in \mathbb{R }^+\", il existe \"B \leqslant a\" tel que si \"x \leqslant B\", \"f(x) \leqslant - A\".
\nOn \u00e9crit alors
\n\"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\" ou \"f(x) \xrightarrow[x \to -\infty]{} {+\infty}\".<\/p>\n

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1.3. Les limites de r\u00e9f\u00e9rence<\/h4>\n

\"\bullet\" Pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle \lim_{x\to + \infty} x^n = + \infty\"
\n\"\displaystyle \displaystyle \lim _{x \to -\infty} x^n = \left \{ \begin{matrix} + \infty & \textrm{si} & n \textrm{ est pair} \\ - \infty & \textrm{si}& n \textrm{ est impair} \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac 1 x = 0\" et \"\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac 1 x = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \textrm{e} ^x = + \infty\" et \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \textrm{e} ^x = 0\".<\/p>\n

Vous avez d\u00e9j\u00e0 \u00e9tudi\u00e9 la fonction exponentielle<\/a> l’an dernier dans le programme de premi\u00e8re en maths. Cette ann\u00e9e, vous verrez la fonction logarithme<\/a> avec d’autres limites de r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 connaitre.<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

2. Conna\u00eetre la d\u00e9finition d’une limite en \"a\" d’une fonction<\/h3>\n

2.1. Limite \u00e0 droite en \"a\" d’une fonction<\/h4>\n

On suppose dans cette partie que \"f\" est d\u00e9finie sur un ensemble contenant un intervalle de la forme \"]a , a + r]\" avec \"r > 0\".<\/p>\n

\"\bullet\" On dit que \"f\" admet \"+\infty\" pour limite \u00e0 droite en \"a\" lorsque pour tout \"A > 0\", l’intervalle \"[A , + \infty[\" contient tous les \"f(x)\" lorsque \"x\" est proche de \"a\" et dans \"]a , \, a + r]\".
\nOn \u00e9crit \"\displaystyle \lim _ {x \to a ^{+} } f(x) = + \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" On dit que \"f\" admet \"-\infty\" pour limite \u00e0 droite en \"a\" lorsque pour tout \"A > 0\", l’intervalle \"] - \infty, - A]\" contient tous les \"f(x)\" lorsque \"x\" est proche de \"a\" et sup\u00e9rieur \u00e0 \"a\".
\nOn \u00e9crit \"\displaystyle \lim _ {x \to a ^{+} } f(x) = - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" Soit \"\ell \in \mathbb{R}\", on dit que \"f\" admet \"\ell\" pour limite \u00e0 droite en \"a\" lorsque tout intervalle de la forme \"]\ell - \varepsilon , \ell + \varepsilon[\" contient tous les \"f(x)\" pour \"x\" assez proche de \"a\" et sup\u00e9rieur \u00e0 \"a\".
\nOn \u00e9crit \"\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = \ell\".<\/p>\n

2.2. Limite \u00e0 gauche en \"a\" d’une fonction<\/h4>\n

On suppose dans cette partie que \"f\" est d\u00e9finie sur un ensemble contenant un intervalle de la forme \"[a - r , a[\" avec \"r > 0\".<\/p>\n

On d\u00e9finit comme ci-dessus
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim _ {x \to a ^{-} } f(x) = + \infty\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim _ {x \to a ^{-} } f(x) = - \infty\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim _ {x \to a ^{-} } f(x) = \ell\".
\nen rempla\u00e7ant \u00ab\u00a0\"x\" assez proche de \"a\" et sup\u00e9rieur \u00e0 \"a\"\u00a0\u00bb par \u00ab\u00a0\"x\" assez proche de \"a\" et inf\u00e9rieur \u00e0 \"a\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

2.3. Limite en \"a\" d’une fonction<\/h4>\n

Si \"f\" est d\u00e9finie au moins sur \"[a - r , a[ \;\cup\; ]a ,a + r]\" et si les limites de \"f\" \u00e0 droite et \u00e0 gauche en \"a\" sont \u00e9gales \u00e0 \"L\", on dit que \"f\" admet une limite en \"a\" et on \u00e9crit \"\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L\".<\/p>\n

Lorsque \"f\" admet une limite (\u00e0 droite ou \u00e0 gauche) infinie en \"a\", on dit que la droite d’\u00e9quation \"x = a\" est asymptote \u00e0 la courbe .<\/p>\n

Les limites de r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 apprendre par coeur<\/strong>\u00a0(en d\u00e9but d’ann\u00e9e)<\/span>
\n\"\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac 1 x = + \infty\", \"\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} \frac 1 x = -\infty\"<\/span>
\n\"\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac 1 {\sqrt{x}} = + \infty\".<\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

3. Op\u00e9rations sur les limites<\/h3>\n

On suppose que les fonctions \"f\" et \"g\" sont d\u00e9finies sur le m\u00eame ensemble \"\mathcal{D}\"
\nLes limites consid\u00e9r\u00e9es dans la suite<\/a> sont prises en \"a\" o\u00f9 \"a\" repr\u00e9sente :
\n\"+ \infty\" ,\"- \infty\" , \"b ^{+}\" , \"b ^{ - }\" , \"b\" si \"b \in\mathbb{R}\".<\/p>\n

On note \"\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = L\" et \"\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = L'\" (\"L\" et \"L'\" finies ou infinies)<\/p>\n

3.1. Fonction \"-f\" et limites<\/h4>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to b } (- f(x) ) = \left \{ \begin{matrix} - L &\textrm{si}& L \in \mathbb{R}\\<\/p>\n

3.2. Somme de limites de fonctions<\/h4>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to b } (f(x) + g(x)) =\"
\n\"\left \{ \begin{matrix} L + L' &\textrm{si}& L, L' \in \mathbb{R}\\<\/p>\n

Si \"\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = + \infty\" et \"\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = - \infty\",
\non dit que l’on a\u00a0une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\boxed{\infty - \infty}\".<\/p>\n

3.3. Produit de limites de fonctions<\/h4>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to b } (f(x) \times g(x)) =\"
\n\"\left \{ \begin{matrix} L \times L' &\textrm{si}& L, L' \in \mathbb{R}\\<\/p>\n

Si \"\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = 0\" et \"\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = \pm \infty\",
\non dit que l’on a une forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\boxed{ 0 \times \infty}\".<\/p>\n

3.4. Inverse et limite d’une fonction<\/h4>\n

\"\bullet\" Si \"f\" admet en \"b\" une limite infinie ou une limite finie et non nulle, on peut d\u00e9finir \"\displaystyle \frac 1 {f(x)}\" pour \"x\" proche de \"b\".<\/p>\n

\"\displaystyle \lim_{x \to b } \displaystyle \frac 1 {f(x)} = \left \{ \begin{matrix} 1/L &\textrm{si}& L \in \mathbb{R}^*\\<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" admet en \"b\" une limite \"L = 0\"
\n\"\ast\" et si pour \"x\" proche de \"b\", \"f(x) > 0\", \"\displaystyle \lim_{x\to b} \frac 1 {f(x)} = + \infty\".<\/p>\n

\"\ast\" et si pour \"x\" proche de \"b\", \"f(x) < 0\", \"\displaystyle \lim_{x \to b} \frac 1 {f(x)} = - \infty\".<\/p>\n

3.5. Quotient et limites de fonctions<\/h4>\n

Pour trouver la limite de \"\displaystyle \frac f g\" , on cherche avec 3.4., la limite de \"\displaystyle \frac 1 g\" et on utilise la limite du produit.
\nOn saura r\u00e9soudre sauf si
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0\", on dit que l’on a la forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\boxed{\displaystyle \frac 0 0}\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty,\, \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty\", on dit que l’on a la forme ind\u00e9termin\u00e9e \"\boxed{\displaystyle \frac {\infty} {\infty} }\".<\/p>\n

3.6. Composition et limites de fonctions<\/h4>\n

On suppose que \"a, b , c\" sont r\u00e9els ou \u00e9gaux \u00e0 \"\pm \infty\".
\nSoient \"f\" et \"g\" deux fonctions telles que la compos\u00e9e \"g \circ f\" soit d\u00e9finie au voisinage de \"a\".<\/p>\n

Si \"\displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = b\" et \"\displaystyle \lim_{y \to b } g(y) = c\",
\nalors \"\displaystyle \lim _{x \to a} g(f(x)) = c\".<\/p>\n

Application au changement de variable :
\nsous r\u00e9serve d’existence des limites,
\n\"\bullet\" En utilisant la fonction \"\displaystyle g : t \mapsto \frac 1 t\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim _{x \to + \infty} f(x) = \lim_{t \to 0 ^+ } f\left (\frac 1 t \right )\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_ {x \to - \infty} f(x) = \lim_{t \to 0 ^{-} } f\left (\frac 1 t \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant la fonction \"\displaystyle g : t \mapsto t + a\"
\n\"\displaystyle \lim_ {x \to a} f(x) = \lim_{t \to 0 } f\left (t + a \right)\".<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

4. Utilisation d’in\u00e9galit\u00e9s et limites en terminale<\/h3>\n

4.1. Comparaison et limites de fonctions en terminale<\/h4>\n

\"\bullet\" F1<\/strong> Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies sur \"[a , + \infty[\".
\nOn suppose que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty\" et
\npour \"x \geqslant A \geqslant a\", \"f(x) \geqslant g(x)\", alors \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" F1B<\/strong> Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies sur \"] - \infty , a]\".
\nOn suppose que \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty\" et
\npour \"x \leqslant A \leqslant a\", \"f(x) \geqslant g(x)\", alors \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" F1T<\/strong> Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies dans un m\u00eame voisinage de \"b\"
\nOn suppose que \"\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = + \infty\" et
\npour \"x\" proche de \"b\", \"f(x) \geqslant g(x)\", alors \"\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = + \infty\".<\/p>\n

En raisonnant avec \"-f\" et \"-g\", on obtient les r\u00e9sultats qui suivent :<\/p>\n

\"\bullet\" F2<\/strong> Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies sur \"[a , + \infty[\".
\nOn suppose que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty\" et
\npour \"x \geqslant A \geqslant a\", \"f(x) \leqslant g(x)\", alors \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" F2B<\/strong> Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies sur \"] - \infty , a]\".
\nOn suppose que \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty\" et
\npour \"x \leqslant A \leqslant a\", \"f(x) \leqslant g(x)\", alors \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\" F2T<\/strong> Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions d\u00e9finies dans un m\u00eame voisinage de \"b\"
\nOn suppose que \"\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = - \infty\" et
\npour \"x\" proche de \"b\", \"f(x) \leqslant g(x)\", alors \"\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = - \infty\".<\/p>\n

4.2. Limite par encadrement<\/h4>\n

C’est le th\u00e9or\u00e8me appel\u00e9 \u00ab\u00a0th\u00e9or\u00e8me des gendarmes\u00a0\u00bb par le programme de terminale.
\nEstimant que les gendarmes ont mieux \u00e0 faire que de servir de moyen mn\u00e9motechnique, j’utiliserai le terme de th\u00e9or\u00e8me d’encadrement.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me d’encadrement (ou th\u00e9or\u00e8me des gendarmes)<\/strong><\/p>\n

Soit \"\ell \in \mathbb{R}\".
\nSoient \"f, g, h\" trois fonctions d\u00e9finies sur un intervalle de la forme \"[A , + \infty[\" et v\u00e9rifiant
\npour tout \"x \geqslant A\", \"f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)\" .
\nSi \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \lim_{x \to + \infty} h(x) = \ell\", alors\"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = \ell\".<\/p>\n

5. Des limites avec la fonction exponentielle<\/h3>\n

5.1. Des limites au programme de terminale<\/h4>\n

\"\bullet\" \"\displaystyle \lim _ {x \to + \infty} \textrm{e} ^x = + \infty\" et \"\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \textrm{e} ^{ - x} = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" Croissance compar\u00e9e<\/strong>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\" , \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\textrm{e} ^x} {x ^n} = + \infty\" ce qui s’\u00e9crit aussi \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n \, \textrm{e} ^{- x} = 0\"<\/p>\n

\"\bullet\" Cons\u00e9quence<\/em> : \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\textrm{e} ^x} {\sqrt{x} } = + \infty\".<\/p>\n

6. Quelques m\u00e9thodes pour lever des ind\u00e9terminations<\/h3>\n

\"\bullet\" M1<\/strong> : Pour trouver la limite d’une fonction polyn\u00f4me<\/a> en \"\pm \infty\" , factoriser le terme de plus haut degr\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\" M2<\/strong> : Pour trouver la limite en \"\pm \infty\" d’un quotient de fonctions polyn\u00f4mes , factoriser au num\u00e9rateur et au d\u00e9nominateur le terme de plus haut degr\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\" M3<\/strong> : En pr\u00e9sence de racines carr\u00e9es, on peut envisager de multiplier et diviser par la quantit\u00e9 conjugu\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" M4<\/strong> : Pour une forme ind\u00e9termin\u00e9e avec une exponentielle et un polyn\u00f4me, chercher \u00e0 utiliser les r\u00e9sultats sur les croissances compar\u00e9es.<\/p>\n

\"\bullet\" M5<\/strong> : Pour une forme ind\u00e9termin\u00e9e de la forme \"\displaystyle \frac 0 0\" en \"a \in \mathbb{R}\" pour un quotient de deux fonctions polyn\u00f4mes \"P\" et \"Q\", factoriser \"(x - a)\" dans les deux fonctions polyn\u00f4mes<\/p>\n

\"\bullet\" M6<\/strong> Reconna\u00eetre des taux d’accroissements de fonctions d\u00e9rivables<\/a> :
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)} x = 1\"
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{e} ^x - 1 } x = 1\"<\/p>\n

Ce chapitre servira \u00e9galement au moment d’effectuer des calculs de limites de suites en terminale. Compl\u00e9tez vos r\u00e9visions en consultant et en vous entra\u00eenant sur l’ensemble des annales de maths de Terminale mais aussi avec les cours en ligne de maths au programme de Terminale, comme les chapitres suivants :<\/p>\n