{"id":26154,"date":"2019-05-15T17:14:41","date_gmt":"2019-05-15T16:14:41","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26154"},"modified":"2023-09-15T13:24:09","modified_gmt":"2023-09-15T12:24:09","slug":"cours-en-ligne-loi-normale-fluctuation-estimation","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-loi-normale-fluctuation-estimation\/","title":{"rendered":"Cours, exercices et corrig\u00e9s sur Loi Normale, intervalle de fluctuation et estimation en Terminale"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Terminale<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en Terminale G\u00e9n\u00e9rale<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tRaisonnement et r\u00e9currence<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes suites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLes limites<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tContinuit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlgorithmique<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions exponentielles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions logarithmes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions trigonom\u00e9triques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tConditionnement et ind\u00e9pendance<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tPrimitives<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9rivation et convexit\u00e9<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul int\u00e9gral<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFigures et \u00e9quation cart\u00e9sienne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi binomiale<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLois des grands nombres<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tLoi normale, intervalles, estimation<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres complexes - alg\u00e8bre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations polynomiales<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tG\u00e9om\u00e9trie et complexes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - Congruences<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tArithm\u00e9tique - PGCD PPCM<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tNombres Premiers et Fermat<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tGraphes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCha\u00eene de Markov<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n
\n
\n

Loi Normale, intervalle de fluctuation et estimation en Terminale<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en Terminale<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours Probabilit\u00e9s: Loi normale, fluctuation & estimation<\/h2>\n

Profitez de ce cours en ligne sur la loi normale, la fluctuation et les estimations au programme de maths de terminale pour vous remettre \u00e0 niveau ou tout simplement pour contr\u00f4ler vos connaissances sur le chapitre. Les \u00e9l\u00e8ves ayant s\u00e9lectionn\u00e9 la sp\u00e9cialit\u00e9 maths au programme de Terminale doivent travailler dur, car le coefficient au bac, des math\u00e9matiques est tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9. Pour d\u00e9finir les notes minimales \u00e0 avoir au bac pour d\u00e9crocher la mention bien ou la mention tr\u00e8s bien, rendez-vous sur notre simulateur de bac et nos cours de maths particulier<\/a>.<\/p>\n

1. Loi normale<\/h3>\n

D\u00e9finition: variable al\u00e9atoire centr\u00e9e et r\u00e9duite
\n<\/b><\/p>\n

On dit qu’une variable al\u00e9atoire<\/a> est centr\u00e9e et r\u00e9duite lorsque son esp\u00e9rance est nulle et son \u00e9cart-type \u00e9gal \u00e0 \"1\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s<\/p>\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire prenant un nombre fini de valeurs, d’esp\u00e9rance \"m = E(X)\", de variance \"Var(X)\" et d’\u00e9cart-type \"\sigma_{0} = \sqrt{Var(X)}\" non nul.<\/p>\n

\"\bullet\" La variable al\u00e9atoire \"(X-m)\" a une esp\u00e9rance nulle;<\/p>\n

\"\bullet\" La variable al\u00e9atoire \"\boxed{Z = \frac{X-m}{\sigma_{0}}}\" est une variable al\u00e9atoire centr\u00e9e et r\u00e9duite.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de Moivre-Laplace
\n<\/b><\/p>\n

Soit \"p\" un nombre r\u00e9el de l’intervalle \"]0;1[\".<\/p>\n

Soit une suite de variables al\u00e9atoires \"(X_{n})\" o\u00f9 chaque variable al\u00e9atoire \"X_{n}\" suit la loi binomiale \"B(n,p)\".<\/p>\n

On pose \"\boxed{Z_{n} = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}}\" la variable al\u00e9atoire centr\u00e9e et r\u00e9duite associ\u00e9e \u00e0 \"X_{n}\".<\/p>\n

Alors, pour tous r\u00e9els \"a\" et \"b\" tels que \"a < b\", on a:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} P(a \leq Z_{n} \leq b)\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}\text{ } dx}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"Loi<\/p>\n

Repr\u00e9sentation graphique de la loi de probabilit\u00e9 de la variable al\u00e9atoire \"Z_{n}\" (\"n=99\") et de la fonction \"x \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}\"<\/p>\n

Les aires des rectangles repr\u00e9sentent les probabilit\u00e9s. Le param\u00e8tre \"p\" \u00e9tant fix\u00e9, plus l’entier \"n\" augmente, plus la loi de probabilit\u00e9 de la variable al\u00e9atoire \"Z_{n}\" se rapproche de la loi de densit\u00e9<\/a> de probabilit\u00e9 \"x \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}\".<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

2. Loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\"<\/h3>\n

Propri\u00e9t\u00e9
\n<\/b><\/p>\n

La fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" par \"x \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9.<\/p>\n

D\u00e9finition
\n<\/b><\/p>\n

Une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 \"X\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\" si sa fonction de densit\u00e9 est la fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" par<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f\text{ : }x \in \mathbb{R} \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

On a alors, pour tous r\u00e9els \"a\" et \"b\" tels que \"a < b\" :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\text{ } dx\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \int_{a}^{b} \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"Courbe<\/p>\n

Courbe de Gauss – repr\u00e9sentation graphique de la densit\u00e9 de probabilit\u00e9 \"x \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}\"<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s
\n<\/b><\/p>\n

Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 qui suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\". On a:<\/p>\n

\"\bullet\" Pour tout r\u00e9el \"u\" positif, \"P(X \leq -u) = P(X \geq u)\";<\/p>\n

\"\bullet\" \"P(0 \leq X) = P(X \geq 0) = \frac{1}{2}\"<\/p>\n

D\u00e9finition: esp\u00e9rance de la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite
\n<\/b><\/p>\n

Si la variable al\u00e9atoire \"X\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\", son esp\u00e9rance \"E(X)\" est d\u00e9finie par:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[E(X)\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[= \lim\limits_{y \longrightarrow -\infty} \int_{y}^{0} t\text{ }f(t)\text{ } dt + \lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} \int_{0}^{x} t\text{ }f(t)\text{ } dt\]\"<\/p>\n<\/p>\n

o\u00f9 \"f\" est la fonction de densit\u00e9 de la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: esp\u00e9rance de la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite
\n<\/b><\/p>\n

L’esp\u00e9rance (ou la moyenne) de la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\" est \u00e9gale \u00e0 \"0\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9: variance de la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite
\n<\/b><\/p>\n

La variance de la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\", d\u00e9finie par \"Var(X) = E\left[(X-E(X))^{2}\right]\", est \u00e9gale \u00e0 \"1\".<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me: r\u00e9partition des valeurs de \"X \thicksim N(0,1)\"
\n<\/b><\/p>\n

Lorsque la variable al\u00e9atoire \"X\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\", alors pour tout nombre \"\alpha\" de l’intervalle \"]0;1[\", il existe un unique nombre r\u00e9el positif \"u_{\alpha}\" tel que<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{P(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha}) = 1 - \alpha}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Valeurs particuli\u00e8res
\n<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" On a \"u_{0.05} \approx 1.96\" d’o\u00f9 : \"P(-1.96 \leq X \leq 1.96) \approx 0,95\".<\/p>\n

\"\bullet\" On a \"u_{0.01} \approx 2.58\" et \"P(-2.58 \leq X \leq 2.58) \approx 0.99\".<\/p>\n

3. Loi normale \"N(\mu,\sigma^{2})\"<\/h3>\n

D\u00e9finition
\n<\/b><\/p>\n

Une variable al\u00e9atoire \"X\" suit une loi normale \"N(\mu,\sigma^{2})\" si la variable al\u00e9atoire \"\boxed{Z = \frac{X - \mu}{\sigma}}\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s: esp\u00e9rance et \u00e9cart-type de la loi normale \"N(\mu,\sigma^{2})\"<\/p>\n

On admet que, si une variable al\u00e9atoire \"X\" suit la loi normale \"N(\mu,\sigma^{2})\"}, alors son esp\u00e9rance est \u00e9gale \u00e0 \"\mu\" et son \u00e9cart-type \u00e0 \"\sigma\":<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(X) = \mu}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\sigma(X) = \sigma}\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s: intervalles un, deux et trois sigmas
\n<\/b><\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.68\]\"<\/p>\n

(\u00e0 \"10^{-2}\" pr\u00e8s)<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95\]\"<\/p>\n

(\u00e0 \"10^{-2}\" pr\u00e8s)<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997\]\"<\/p>\n

(\u00e0 \"10^{-2}\" pr\u00e8s)<\/p>\n

4. Intervalle de fluctuation<\/h3>\n

En statistiques, un \u00e9chantillon de taille \"n\" est la liste des \"n\" r\u00e9sultats obtenus par \"n\" r\u00e9p\u00e9titions ind\u00e9pendantes de la m\u00eame exp\u00e9rience al\u00e9atoire.<\/p>\n

Par exemple, un \u00e9chantillon de taille \"100\" du lancer d’un d\u00e9 dont on observe l’apparition ou non de la face \"6\" est la liste des r\u00e9sultats obtenus en lan\u00e7ant \"100\" fois le d\u00e9. Pour chaque lancer la probabilit\u00e9 de r\u00e9ussir (d’obtenir la face \"6\") est \"p\", la probabilit\u00e9 de l’\u00e9chec (ne pas obtenir \"6\") est \"1-p\" (\"p = \frac{1}{6}\" si le d\u00e9 est bien \u00e9quilibr\u00e9). Le nombre de r\u00e9ussites dans un \u00e9chantillon de taille \"n\" suit la loi binomiale<\/a> \"B(n,p)\".<\/p>\n

On note \"f\" la fr\u00e9quence du nombre de r\u00e9ussites dans l’\u00e9chantillon.<\/p>\n

D\u00e9finition: intervalle de fluctuation \u00e0 \"95\%\"
\n<\/b><\/p>\n

Un intervalle de fluctuation au seuil de \"95\%\", relatif aux \u00e9chantillons de taille \"n\", est un intervalle o\u00f9 se situe la fr\u00e9quence \"f\" observ\u00e9e dans un \u00e9chantillon de taille \"n\" avec une probabilit\u00e9 sup\u00e9rieure \u00e0 \"0.95\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9 admise en classe inf\u00e9rieur :
\n<\/b><\/p>\n

L’intervalle \"\left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\" est un intervalle de fluctuation approch\u00e9 au seuil de \"95\%\", relatif aux \u00e9chantillons de taille \"n\". Dans certains cas, la probabilit\u00e9 que la fr\u00e9quence appartienne \u00e0 l’intervalle \"\left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\" est tr\u00e8s proche de \"0.95\" mais en \u00e9tant inf\u00e9rieure, c’est pourquoi on dit que ce sont des intervalles de fluctuation \u00ab\u00a0approch\u00e9s\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Dans la pratique, on utilise l’intervalle \"\left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\" pour des probabilit\u00e9s<\/a> \"p\" comprises entre \"0.2\" et \"0.8\" et des \u00e9chantillons de taille \"n\" sup\u00e9rieure \u00e0 \"25\".<\/p>\n

Intervalles de fluctuation asymptotique
\n<\/b><\/p>\n

Dans ce qui suit, on consid\u00e8re des variables al\u00e9atoires \"X_{n}\" suivant chacune une loi binomiale \"B(n,p)\" (exemple : on lance \"n\" fois une pi\u00e8ce \u00e9quilibr\u00e9e, \"X_{n}\" est le nombre de \u00ab\u00a0pile\u00a0\u00bb obtenus, \"X_{n}\" suit la loi \"B(n,0.5)\").<\/p>\n

La variable al\u00e9atoire \"\boxed{F_{n} = \frac{X_{n}}{n}}\" donne donc la fr\u00e9quence du nombre de \u00ab\u00a0succ\u00e8s\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s<\/b><\/p>\n

La variable al\u00e9atoire \"F_{n} = \frac{X_{n}}{n}\":<\/p>\n

\"\bullet\" prend \"n+1\" valeurs: \"0, \frac{1}{n}, ..., \frac{n}{n}\".<\/p>\n

\"\bullet\" v\u00e9rifie \"\boxed{E\left(\frac{X_{n}}{n}\right) = p}\" et \"\boxed{\sigma\left(\frac{X_{n}}{n}\right) = \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\"<\/p>\n

D\u00e9finition: intervalle de fluctuation asymptotique au seuil \"1-\alpha\"
\n<\/b><\/p>\n

Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable al\u00e9atoire \"F_{n}=\frac{X_{n}}{n}\" au seuil \"1-\alpha\" est un intervalle d\u00e9termin\u00e9 \u00e0 partir de \"p\" et de \"n\" et qui contient \"F_{n}\" avec une probabilit\u00e9 d’autant plus proche de \"1-\alpha\" que \"n\" est grand.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/b><\/p>\n

Soit \"p\" un nombre r\u00e9el fix\u00e9 de l’intervalle \"]0;1[\".<\/p>\n

Soit une suite de variables al\u00e9atoires \"(X_{n})\", chaque variable al\u00e9atoire \"X_{n}\" suivant la loi binomiale \"B(n,p)\".<\/p>\n

Pour tout r\u00e9el \"\alpha\" dans \"]0;1[\", on a:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} P\left(\frac{X_{n}}{n} \in I_{n} \right) = 1 - \alpha}\]\"<\/p>\n

o\u00f9<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[I_{n} = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Remarque<\/i>. Le nombre \"u_{\alpha}\" est l’unique r\u00e9el positif tel que, pour \"Y\" une variable al\u00e9atoire suivante la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite \"N(0,1)\" :<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(-u_{\alpha} \leq Y \leq u_{\alpha}) = 1 - \alpha\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9
\n<\/b><\/p>\n

L’intervalle \"\boxed{I_{n} = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]}\" est un intervalle de fluctuation asymptotique<\/p>\n

au seuil \"1-\alpha\" de la variable al\u00e9atoire \"F_{n} = \frac{X_{n}}{n}\".<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/b><\/p>\n

Soit un r\u00e9el \"p\" de l’intervalle \"]0;1[\" et une suite de variables al\u00e9atoires \"(X_{n})\" o\u00f9 chaque variable al\u00e9atoire \"X_{n}\" suit la loi binomiale \"B(n,p)\". Il existe un entier \"n_{0}\" tel que:<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{si }n \geq n_{0}\text{ alors : }\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P\left(\frac{X_{n}}{n} \in \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \right) \geq 0.95\]\"<\/p>\n<\/p>\n

Intervalle de fluctuation et prise de d\u00e9cision
\n<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si la fr\u00e9quence observ\u00e9e \"f\" dans un \u00e9chantillon appartient \u00e0 un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \"95\%\", on consid\u00e8re que\u00a0l’\u00e9chantillon est compatible avec le mod\u00e8le<\/b>\u00a0(i.e la loi de probabilit\u00e9 retenue pour d\u00e9crire l’exp\u00e9rience);=<\/p>\n

\"\bullet\" Sinon, on consid\u00e8re que l’\u00e9chantillon n’est pas compatible avec le mod\u00e8le.<\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

5. Estimation<\/h3>\n

Comme dans la section pr\u00e9c\u00e9dente, on consid\u00e8re une suite<\/a> de variables al\u00e9atoires \"(X_{n})\" o\u00f9 chaque variable al\u00e9atoire \"X_{n}\" suit la loi binomiale \"B(n,p)\". La variable \"F_{n} = \frac{X_{n}}{n}\" donne donc la fr\u00e9quence du nombre de \u00ab\u00a0succ\u00e8s\u00a0\u00bb.<\/p>\n

On dit qu’un intervalle est al\u00e9atoire lorsque ses bornes sont d\u00e9finies par des
\nvariables al\u00e9atoires. La r\u00e9alisation d’un intervalle al\u00e9atoire est l’intervalle obtenu apr\u00e8s avoir r\u00e9alis\u00e9 l’exp\u00e9rience al\u00e9atoire (apr\u00e8s avoir lanc\u00e9 500 fois une pi\u00e8ce, interrog\u00e9 1000 personnes…).<\/p>\n

D\u00e9finition: intervalle de confiance
\n<\/b><\/p>\n

Un intervalle de confiance pour une proportion \"p\" \u00e0 un niveau de confiance de \"95\%\" est la r\u00e9alisation, \u00e0 partir d’un \u00e9chantillon, d’un intervalle al\u00e9atoire contenant la proportion \"p\" avec une probabilit\u00e9 sup\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 \"95\%\".<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9<\/b><\/p>\n

Pour une valeur de \"p\" fix\u00e9e, l’intervalle al\u00e9atoire \"\left[F_{n} - \frac{1}{\sqrt{n}} ; F_{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\" contient, pour \"n\" assez grand, la proportion \"p\" avec une probabilit\u00e9 au moins
\n\u00e9gale \u00e0 \"0.95\".<\/p>\n

Remarque<\/i>. On se place dans le cas o\u00f9 l’\u00e9chantillon contient au moins \"30\" \u00e9l\u00e9ments. Si la fr\u00e9quence \"f\" observ\u00e9e est telle que \"nf \geq 5\" et \"n(1-f) \geq 5\", on convient que \"f\" est une estimation de \"p\" et que l’intervalle \"\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\" est
\nun intervalle de confiance au niveau de \"95\%\" pour la proportion \"p\". Cet intervalle est parfois appel\u00e9\u00a0fourchette de sondage<\/b>.<\/p>\n

Taille de l’\u00e9chantillon pour avoir une pr\u00e9cision donn\u00e9e au niveau de confiance de \"95\%\"<\/p>\n

La pr\u00e9cision de l’estimation est donn\u00e9e par l’amplitude de l’intervalle \"\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]\", qui vaut \"\frac{2}{\sqrt{n}}\" et d\u00e9pend donc de la taille \"n\" de l’\u00e9chantillon. On observe cependant que cette amplitude ne d\u00e9pend pas de la taille de la population
\ntotale, dans laquelle est pr\u00e9lev\u00e9 l’\u00e9chantillon.<\/p>\n

Si \"a \in \mathbb{R}_{+}\" est la pr\u00e9cision souhait\u00e9e, on cherche \"n \in \mathbb{N}\" tel que \"\frac{2}{\sqrt{n}} \leq a \Longleftrightarrow n \geq \frac{4}{a^{2}}\".<\/p>\n

\"Taille<\/p>\n

Exercices de probabilit\u00e9s : loi normale, fluctuations et estimation<\/h2>\n

Exercice 1 :<\/p>\n

\"X\" est une variable al\u00e9atoire qui suit la loi normale \"\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)\" o\u00f9 \"\mu=-7\" et \"\sigma=2\"<\/p>\n

Question 1 :<\/p>\n

Montrer que\u00a0\"P(X=-7)= 0\"<\/p>\n

Question 2 :<\/p>\n

Le r\u00e9el \"a\" tel que \"P(X\leqslant a)=0,8\" v\u00e9rifie \"a>-7\"<\/p>\n

Question 3 :<\/p>\n

Montrer que \"\displaystyle P\left(\frac{X+2}{-7}\geqslant0\right)\"\u00a0est strictement inf\u00e9rieure \u00e0 0,5<\/p>\n

Annales sur les\u00a0probabilit\u00e9s : Loi \u00e0 densit\u00e9, loi normale, fluctuations et estimation<\/h2>\n

Prendre des cours particuliers en maths, est un moyen tr\u00e8s efficace pour progresser rapidement et efficacement. Avec un professeur particulier, l’\u00e9l\u00e8ve aura la possibilit\u00e9 de s’entra\u00eener sur des annales de maths au bac dans les vraies conditions d’examen. Le professeur sera pr\u00e9sent \u00e9galement pour donner les bonnes m\u00e9thodes de travail<\/strong> \u00e0 l’\u00e9l\u00e8ve, ce qui lui permettra d’une part, de r\u00e9ussir en terminale, et d’autre part, de r\u00e9ussir facilement lors de ses \u00e9tudes sup\u00e9rieures. De plus, avoir une bonne m\u00e9thodologie de travail peut faire gagner beaucoup de points aux \u00e9l\u00e8ves notamment lors des concours aux \u00e9coles commerce comme le concours Acces ou le concours S\u00e9same, ainsi que les concours d’\u00e9coles d\u2019ing\u00e9nieurs, le concours Puissance Alpha ou le concours Geipi Polytech par exemple.<\/p>\n

Pour les \u00e9l\u00e8ves qui pr\u00e9f\u00e8rent travailler seuls, les cours en ligne de maths sont de tr\u00e8s bons compl\u00e9ments aux cours enseign\u00e9s pendant les classes au lyc\u00e9e. Les r\u00e9visions peuvent alors \u00eatre anticip\u00e9es et travaill\u00e9es selon le rythme de l’\u00e9l\u00e8ve, voici quelques id\u00e9es de cours \u00e0 revoir avant le bac :<\/p>\n