{"id":26821,"date":"2019-05-22T14:59:13","date_gmt":"2019-05-22T13:59:13","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26821"},"modified":"2023-09-14T11:30:49","modified_gmt":"2023-09-14T10:30:49","slug":"cours-en-ligne-revisions-equivalents-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-revisions-equivalents-maths-spe\/","title":{"rendered":"R\u00e9visions sur les \u00e9quivalents : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours et m\u00e9thodes sur les \u00e9quivalents en Maths Sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Ce r\u00e9sum\u00e9 de cours et de m\u00e9thodes sur les \u00e9quivalents en maths sp\u00e9 reprend les r\u00e9sultats d\u00e9j\u00e0 vus en maths sup et liste tout ce qu’il faut savoir pour les concours sur ce chapitre. Pour travailler de mani\u00e8re plus pr\u00e9cise sur les \u00e9quivalents et sur les autres chapitres, contactez un des professeurs Groupe R\u00e9ussite pour des cours \u00e0 domicile en maths<\/a>.<\/p>\n

1. \u00c9quivalents usuels et classiques en pr\u00e9pa Maths sp\u00e9<\/h2>\n

\u00c9quivalents en 0 <\/b>:<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \sin x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle 1-\cos x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\tan x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \ln(1+x) \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\textrm e^x-1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle(1+x)^\alpha-1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \alpha x\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\textrm{Arcsin } x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \textrm{Arctan } x \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \textrm {sh}(x ) \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\textrm {ch}(x) -1 \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \frac{x^2}{2}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\textrm {th} (x) \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} x\"<\/p>\n

Tous ces \u00e9quivalents peuvent \u00eatre retrouv\u00e9s par exemple en prenant le premier terme non nul du d\u00e9veloppement limit\u00e9 de la fonction consid\u00e9r\u00e9e en 0. Ces \u00e9quivalents vous serviront dans le chapitre s\u00e9ries enti\u00e8res en pr\u00e9pa<\/a>.<\/p>\n

\u00c9quivalents classiques en 1 \u00e0 connaitre<\/b><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\ln x \underset{x\rightarrow 1}{ \sim} x-1\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\textrm{Arccos }(x) \underset{x\rightarrow 1^-}{ \sim} \sqrt{1-x^2}\"<\/p>\n

Equivalents en\u00a0\"\pm \infty\"\u00a0<\/b><\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \underset{x\rightarrow \pm \infty}{ \sim} a_n x^n\" si \"a_n\neq 0\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \textrm{ch } x \underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim} \dfrac{e^x}{2}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle \textrm{sh }x \underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim} \dfrac{e^x}{2}\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Op\u00e9rations autoris\u00e9es sur les \u00e9quivalents en MP, MPI, PC, PSI, PT<\/h2>\n

Produit d’\u00e9quivalents<\/strong>\u00a0:<\/p>\n

\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" et \"h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} k(x)\"<\/p>\n

\"\Rightarrow\" \"f(x)\,h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\,k(x)\"<\/p>\n

Quotient d’\u00e9quivalents<\/strong> :<\/p>\n

\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" et<\/p>\n

\"h(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} k(x)\" et \"h(x)\,k(x)\neq0\" \"\Rightarrow\" \"\displaystyle\frac{f(x)}{h(x)}\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \frac{g(x)}{k(x)}\"<\/p>\n

Passage \u00e0 la valeur absolue :<\/strong><\/p>\n

\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" \"\Rightarrow\" \"|f(x)|\underset{x\rightarrow a}{ \sim} |g(x)|\"<\/p>\n

Puissance :<\/strong><\/p>\n

\"f(x)\underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\" \"\Rightarrow\" \"(f(x)) ^\alpha\underset{x\rightarrow a}{ \sim} (g(x))^\alpha\"<\/p>\n

(en imposant si \"\alpha\notin \mathds{Z},\" \"f\" et \"g\" \u00e0 valeurs strictement positives).<\/p>\n

3. Op\u00e9rations interdites sur les \u00e9quivalents<\/h2>\n

Une v\u00e9rification qui peut aider \u00e0 corriger des fautes : si la fonction ou la suite<\/a> n’est pas nulle, on ne peut pas trouver un \u00e9quivalent \u00e9gal \u00e0 0.<\/p>\n

Addition :<\/b><\/p>\n

\"\textrm e^{-x}-1\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}-x\",<\/p>\n

\"x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x\" et \"\displaystyle \textrm e^{-x}-1+x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\frac{x^2}{2}\" et n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 0.<\/p>\n

Diff\u00e9rence :<\/b><\/p>\n

\"1\underset{x\rightarrow 0}{ \sim} \, 1\", \"\cos(x) \underset{x\rightarrow 0}{ \sim} 1\" et \"\displaystyle 1-\cos x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\frac{x^2}{2}\" et n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 0.<\/p>\n

Passage au logarithme pour des fonctions admettant 1 pour limite :<\/b><\/p>\n

\"u\underset{x\rightarrow a}{ \sim}v\" et \"\displaystyle\lim_a v=1\" n’implique pas que \"\ln \;u\underset{x\rightarrow a}{ \sim}\ln \;v\".<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/i><\/u>:<\/p>\n

\"1+x\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}1+x^2\" et \"\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x\" alors que<\/p>\n

\"\ln(1+x^2)\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}x^2\" donc \"\ln(1+x)\" et \"\ln(1+x^2)\" ne sont pas \u00e9quivalents en 0.<\/p>\n

Passage \u00e0 l’exponentielle :<\/b><\/p>\n

\"u\underset{x\rightarrow a}{ \sim}v\" et \"\displaystyle\lim_a v=\pm \infty\" n’implique pas que \"\textrm e^u\underset{x\rightarrow a}{ \sim}\textrm e^v\".<\/p>\n

Exemple<\/i><\/u> :<\/p>\n

\"u(x) = x + 1\" est \u00e9quivalent \u00e0 \"v(x) = x\" en \"+\infty\" mais \"e^u\" n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 \"\textrm e^v,\" car le quotient \"\textrm e^1\" ne tend pas vers 1.<\/p>\n

Passage \u00e0 la puissance :<\/b><\/p>\n

\"\ast\" \"u\underset{x\rightarrow a}{ \sim}v\" n’implique pas \"w^u\underset{x\rightarrow a}{ \sim}w^v\" et n’implique pas que \"u^w\underset{x\rightarrow a}{ \sim}v^w\" lorsque \"w\" n’est pas une constante.<\/p>\n

\"\ast\" De m\u00eame, \"u_n\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n\" n’implique pas \"u_n^n\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n^n\"<\/p>\n

Exemple 1<\/u><\/i> :<\/p>\n

\"\ast\" \"u(x) = x + 1\" est \u00e9quivalent \u00e0 \"v(x) = x\" en \"+\infty\", mais \"x^{x+1}\" n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 \"x^{x}\" car le quotient \"x\" tend vers \"+\infty\".<\/p>\n

\"\ast\" De m\u00eame \"(x + 1)^x\" n’est pas \u00e9quivalent \u00e0 \"x^x\" en \"+\infty\" car le quotient \"\displaystyle \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\" tend vers e en \"+\infty\".<\/p>\n

Exemple 2<\/i><\/u>\u00a0 :<\/p>\n

soit \"\displaystyle u_n = 1 + \frac{1}{n}\" et \"v_n = 1\", \"u_n\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n\",<\/p>\n

\"\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n^n=\textrm e^1>0\" \u00a0et \"v_n^n=1\",<\/p>\n

\"u_n^n\" et \"v_n^n\" ne sont pas \u00e9quivalents.<\/p>\n

N’h\u00e9sitez pas \u00e0 consulter tous les autres cours en ligne de Maths en MP<\/a>, mais aussi les cours en ligne de Maths en PC<\/a>, les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> ou encore les cours en ligne de Maths en PT<\/a> pour am\u00e9liorer vos r\u00e9sultats avant les concours.<\/p>\n

\n

4 – Des m\u00e9thodes pour obtenir des \u00e9quivalents usuels<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Utilisation de la limite :<\/p>\n

Si \"f\" admet une limite\u00a0finie non nulle<\/u>\u00a0\"\lambda\" en \"a\", \"f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}\lambda\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b> Utilisation de la d\u00e9riv\u00e9e :<\/p>\n

Si \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et si\u00a0\"f '(a)\" est non nul<\/u>, \"f(x)-f(a) \underset{x\rightarrow a}{ \sim}f'(a)(x-a)\".<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/u><\/i>\u00a0:\u00a0\u00a0\"\displaystyle\textrm{Arctan} (x)-\frac{\pi}{4}\underset{x\rightarrow 1}{ \sim}\frac{x-1}{2}\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> Si \"f\" et \"g\" sont des fonctions \u00e0 valeurs dans \"\left.\right]0 , + \infty\left[\right.\", de limite nulle en \"a\" v\u00e9rifiant \"f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\", pour d\u00e9montrer que \"\ln(f(x)) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))\",<\/p>\n

on \u00e9crit \"f(x) = g(x) (1 + \varepsilon(x))\" avec \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0\".<\/p>\n

Les fonctions utilis\u00e9es \u00e9tant \u00e0 valeurs strictement positives, on peut \u00e9crire<\/p>\n

\"\ln(f(x)) = \ln(g(x)) + \ln(1 + \varepsilon(x)).\"<\/p>\n

Comme \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\ln(g(x))=-\infty\", au voisinage de \"a\", \"\ln(g(x)) \neq 0\" donc<\/p>\n

\"\ln(f(x))=\ln(g(x))\displaystyle\left(1+\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))} \right)\" avec<\/p>\n

\"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))}=0\" donc \"\ln(f(x))\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x)).\"<\/p>\n

Exemple<\/u><\/i>\u00a0 : \"\ln(\sin (x))\underset{x\rightarrow 0}{ \sim}\ln (x)\"
\n<\/b><\/p>\n

 <\/p>\n

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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b> Si \"f\" et \"g\" sont des fonctions \u00e0 valeurs dans \"\left.\right]0 , + \infty\left[\right.\", de limite \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

\"+\infty\" en \"a\" v\u00e9rifiant \"f(x) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} g(x)\", pour d\u00e9montrer que:\"\ln(f(x)) \underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))\",<\/p>\n

on \u00e9crit \"f(x) = g(x) (1 + \varepsilon(x))\" avec \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x)=0.\"<\/p>\n

Les fonctions utilis\u00e9es \u00e9tant \u00e0 valeurs strictement positives, on peut \u00e9crire \"\ln(f(x)) = \ln(g(x)) + \ln(1 + \varepsilon(x)).\"<\/p>\n

Comme \"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\ln(g(x))=+\infty\", au voisinage de \"a\", \"\ln(g(x)) \neq 0\" donc<\/p>\n

\"\ln(f(x))=\ln(g(x))\displaystyle\left(1+\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))} \right)\" avec<\/p>\n

\"\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{\ln(1+\varepsilon(x))}{\ln(g(x))}=0\" donc \"\quad\quad \ln(f(x))\underset{x\rightarrow a}{ \sim} \ln(g(x))\".<\/p>\n

Exemple<\/i>\u00a0: \"\ln(1+x)\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}\ln (x)\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0Par utilisation de la propri\u00e9t\u00e9 \"f = g + h\" et \"h\underset{a} { = } o(g)\", alors \"f \underset {a}\sim g\".<\/p>\n

cons\u00e9quence\u00a0<\/b>:<\/p>\n

Si \"f = g + h\" o\u00f9 \"\displaystyle\lim_a g=+\infty\" et \"\displaystyle\lim_a h=\lambda\in \mathds{R}\", \"f\underset{a}{ \sim}g\", par utilisation de la propri\u00e9t\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente car \"h = o(g).\"<\/p>\n

Exemple<\/i> :<\/p>\n

\"\ln(x)+\textrm{Arctan } x\underset{x\rightarrow +\infty}{ \sim}\ln(x)\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.<\/b> Cas d’une somme de fonctions, lorsque l’une au moins tend vers \"\infty\".<\/p>\n

Si \"f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i(x)\", l’une au moins des fonctions tendant vers \"\infty\", on met en facteur la fonction qui tend le plus vite vers l’infini.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/i>: \u00e9quivalent en \"+\infty\" de<\/p>\n

\"u(x)=x^2+x^{\frac{3}{2}}\displaystyle\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x\ln (x);\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7<\/b>.<\/b> Cas d’une somme de fonctions, chacune des fonctions admettant 0 pour limite.<\/p>\n

Si \"f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i(x)\", et si pour tout \"i\", la fonction \"u_i\" admet 0 pour limite en \"a\", on met en facteur la fonction qui tend le moins vite vers 0.<\/p>\n

Exemple<\/i> : trouver un \u00e9quivalent en \"0^+\", de \"u(x)=x+x^2\ln(x)+x\ln^2x\"<\/p>\n

Tous les chapitres au programme de Maths en Maths Sp\u00e9 sont \u00e9galement disponibles en cours en ligne, vous pourrez notamment r\u00e9viser et vous entra\u00eenez sur les chapitres suivants :<\/p>\n