{"id":26833,"date":"2019-05-22T14:41:32","date_gmt":"2019-05-22T13:41:32","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26833"},"modified":"2024-02-06T16:27:22","modified_gmt":"2024-02-06T15:27:22","slug":"cours-en-ligne-diffusion-thermique-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-diffusion-thermique-maths-spe\/","title":{"rendered":"Diffusion thermique en maths sp\u00e9"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tDiffusion thermique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConducteurs ohmiques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tThermochimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9f\u00e9rentiels non galil\u00e9ens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectrostatique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMagn\u00e9tostatique et induction<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOndes dans le vide<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOndes dans les milieux<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPhysique quantique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOptique physique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPhysique statistique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectronique et signal<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectrochimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur la diffusion thermique en maths sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

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Ce cours gratuit de physique chimie en pr\u00e9pa maths sp\u00e9 vous aidera pour travailler la diffusion thermique. \u00c0 l’aide de ce cours de MP, PC, PT, PSI et MPI, vous aurez l’occasion de voir les \u00e9quations d’une diffusion thermique, les conditions d’une limite et les \u00e9l\u00e9ments de r\u00e9solution de l’\u00e9quation, Si vous souhaitez am\u00e9liorer vos r\u00e9sultats en pr\u00e9pa, n\u2019h\u00e9sitez pas \u00e0 suivre nos cours de physique chimie \u00e0 domicile<\/a>.<\/p>\n

\u00c9tablir l’\u00e9quation de diffusion thermique<\/h2>\n

En l’absence de terme de source ou de perte thermique, il est toujours possible d’appliquer sans d\u00e9monstration les deux lois g\u00e9n\u00e9rales suivantes
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\"\displaystyle{\mu c\frac{\partial T}{\partial t}=-\mathrm{div}\vec{j}}\"<\/p>\n

\"\vec{j}=-\lambda\vec{grad} T\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit\u00a0l’\u00e9quation de la chaleur<\/b>\u00a0:<\/p>\n

\"\displaystyle{\frac{\partial T}{\partial t}-D\Delta T=0 \quad avec \quad D=\frac{\lambda}{\mu c}}\"<\/p>\n

Cependant, il est fortement conseill\u00e9 de toujours refaire la d\u00e9monstration suivante, car c’est en l’adaptant qu’on pourra prendre en compte les hypoth\u00e8ses de l’\u00e9nonc\u00e9 et les \u00e9ventuels termes de source.<\/p>\n

1.<\/b>\u00a0Pour \u00e9tablir l’\u00e9quation de diffusion thermique, on commence par \u00e9tudier la g\u00e9om\u00e9trie du probl\u00e8me, et on d\u00e9finit les deux grandeurs fondamentales en un point \"M\" et \u00e0 une date \"t\" :<\/p>\n

* la temp\u00e9rature \"T(M,t)\" en kelvin<\/p>\n

* le vecteur densit\u00e9 de courant thermique \"\vec{j}(M;t)\" en joule par kelvin et par m\u00e8tre carr\u00e9.<\/p>\n

Les invariances, les sym\u00e9tries et les hypoth\u00e8ses de l’\u00e9nonc\u00e9 am\u00e8nent \u00e0 exprimer ces deux grandeurs en fonction<\/p>\n

* de \"x\", de \"y\" ou de \"z\" pour les transferts unidirectionnels (cas des barreaux, situation du cours) ;<\/p>\n

* de \"M\" ind\u00e9pendamment de \"t\" dans le cas stationnaire ou permanent (cas de la loi d’Ohm thermique) ;<\/p>\n

* de \"r\" pour les transferts radiaux cylindriques ou sph\u00e9riques (\u00e9tude thermique d’une plan\u00e8te par exemple) ;<\/p>\n

* de \"\theta\" pour les transferts orthoradiaux (probl\u00e8me de Fourier dans un anneau torique calorifug\u00e9).<\/p>\n

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PRENDRE DES COURS DE PHYSIQUE CHIMIE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C\u2019est comprendre et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de physique chimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2.<\/b>\u00a0On applique ensuite le premier principe sur une tranche infinit\u00e9simale du mat\u00e9riau, pendant une dur\u00e9e infinit\u00e9simale : c’est le\u00a0bilan thermique<\/b>. Celui-ci demande beaucoup de soin, et beaucoup de pratique pour savoir le faire correctement. Souvent, ce sont des difficult\u00e9s de g\u00e9om\u00e9trie qui se posent : il est indispensable de conna\u00eetre parfaitement :<\/p>\n

Les expressions de la surface d’un disque de rayon \"r\", de la surface lat\u00e9rale d’un cylindre de rayon \"r\" et de hauteur \"H\"\u00a0 et de la surface d’une sph\u00e8re de rayon \"r\" ;<\/p>\n

Les expressions du volume d’un cylindre de rayon \"r\"\u00a0 et de hauteur \"H\", du volume d’un manchon cylindrique de hauteur \"H\" compris entre \"r\" et \"r+dr\", du volume d’une bille de rayon \"r\", du volume d’une coquille sph\u00e9rique entre \"r\" et \"r+dr\".<\/p>\n

Voici l’exemple fondamental du cours : un mat\u00e9riau solide cylindrique d’axe \"(O,z)\", de rayon \"a\", de masse volumique \"\mu\", de capacit\u00e9 thermique massique \"c\", de conductivit\u00e9 thermique \"\lambda\", est le si\u00e8ge d’une conduction thermique unidirectionnelle le long de l’axe \"(O,z)\", et est isol\u00e9 thermiquement sur sa paroi lat\u00e9rale.<\/p>\n

En faisant un bilan sur la tranche \"[z,z+dz]\" entre \"t\" et \"t+dt\", le bilan thermique s’\u00e9crit<\/p>\n

\"\mu \pi a^2 c\left[T(z,t+dt)-T(z,t)\right]\"<\/p>\n

=\"j(z,t)\pi a^2dt-j(z+dz,t)\pi a^2dt\".<\/p>\n

3.\u00a0<\/b>\u00a0En divisant ce bilan par les deux \u00e9l\u00e9ments diff\u00e9rentiels, on doit voir appara\u00eetre des d\u00e9riv\u00e9es partielles par rapport aux diff\u00e9rentes variables.<\/p>\n

La non-disparition d’un \u00e9l\u00e9ment diff\u00e9rentiel parasite (dt, dx, dy, dz, dr, d\"\theta\") signale toujours une erreur et forme un message d’alerte.<\/b><\/i><\/p>\n

Dans l’exemple fondamental, en divisant par \"dt dz\" :<\/p>\n

\"\displaystyle{\mu c\pi a^2\frac{T(z,t+dt)-T(z,t)}{dt}}\"<\/p>\n

=\"\displaystyle{\pi a^2\frac{j(z,t)-j(z+dz,t)}{dt}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\mu c\frac{\partial T(z,t)}{\partial t}=-\frac{\partial j(z,t)}{\partial z}}\"<\/p>\n

4.<\/b>\u00a0On \u00e9crit la loi de Fourier \"\vec{j}=-\lambda\vec{grad}T\" en la traduisant dans le syst\u00e8me de coordonn\u00e9es choisi.<\/p>\n

Dans l’exemple :<\/p>\n

\"\displaystyle{j(z,t)=-\lambda\frac{\partial T(z,t)}{\partial z}}\"<\/p>\n

5.\u00a0<\/b>En combinant le bilan thermique et la loi de Fourier, on en d\u00e9duit l’\u00e9quation aux d\u00e9riv\u00e9es partielles v\u00e9rifi\u00e9e par \"T\".<\/p>\n

Dans le cas \u00e9tudi\u00e9 :<\/p>\n

\"\displaystyle{\mu c\frac{\partial T(z,t)}{\partial t}=\lambda\frac{\partial^2T(z,t)}{\partial z^2}}\"<\/p>\n

Exercice d’application.<\/b><\/p>\n

\u00c9tablir l’\u00e9quation de la chaleur et les coordonn\u00e9es cylindriques pour une diffusion radiale (\"T(r,t)\" et \"\vec{j}(r,t=j(r,t)\vec{u}_r\" dans un cylindre de hauteur \"H\".<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS DE PHYSIQUE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs profs de physique.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR M'AM\u00c9LIORER EN PHYSIQUE, JE CHERCHE DES<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers physique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Conditions aux limites et diffusion thermique<\/h2>\n

Il existe\u00a0trois formes de conditions aux limites<\/b>\u00a0:<\/p>\n

1.<\/b>\u00a0la paroi est au contact d’un thermostat \u00e0 la temp\u00e9rature \"T_0\" ; on \u00e9crit la continuit\u00e9 de la temp\u00e9rature en ce point<\/p>\n

2. la paroi est au contact d’un fluide \u00e0 la temp\u00e9rature \"T_0\" loin de la\u00a0paroi : on \u00e9crit la continuit\u00e9 de \"j\" ou du flux en utilisant<\/p>\n

* du c\u00f4t\u00e9 du mat\u00e9riau, la loi de Fourier<\/p>\n

*\u00a0 du c\u00f4t\u00e9 du fluide la loi de Newton relative \u00e0 la convection, qui fait\u00a0appara\u00eetre la diff\u00e9rence entre la temp\u00e9rature de la paroi et celle du\u00a0fluide<\/p>\n

3.\u00a0<\/b>la paroi est au contact du vide :\u00a0 on \u00e9crit la continuit\u00e9 de \"j\" ou du flux en utilisant<\/p>\n

* du c\u00f4t\u00e9 du mat\u00e9riau, la loi de Fourier<\/p>\n

* du c\u00f4t\u00e9 du vide la\u00a0 loi de Stefan relative au rayonnement, qui fait appara\u00eetre la\u00a0 temp\u00e9rature de la paroi \u00e0 la puissance 4.<\/p>\n

Exercice d’application sur l’\u00e9quation de la chaleur<\/b><\/p>\n

La solution de l’\u00e9quation de la chaleur unidirectionnelle dans un barreau de conductivit\u00e9 \"\lambda\" est \"T(x,t)=A(t)x+B(t)\".<\/p>\n

En \"x=0\", on place la section droite du mat\u00e9riau au contact d’un fluide \u00e0 la temp\u00e9rature \"T_0\", avec un coefficient de convection \"h\".<\/p>\n

\u00c9crire la condition aux limites sous la forme d’une relation entre \"A(t)\" et \"B(t)\".<\/p>\n

\u00c9l\u00e9ments de r\u00e9solution de l’\u00e9quation<\/h2>\n

1. R\u00e9gime permanent unidirectionnel sans terme de source.
\n<\/b><\/p>\n

La\u00a0 d\u00e9riv\u00e9e seconde de \"T\" est nulle, on en d\u00e9duit que \"T\" est une fonction\u00a0affine, on d\u00e9termine les deux constantes d’int\u00e9gration gr\u00e2ce aux\u00a0conditions aux limites.<\/p>\n

2. R\u00e9gime quasi-permanent unidirectionnel sans terme de source.<\/b><\/p>\n

L’\u00e9quation est la m\u00eame, la r\u00e9solution identique, mais les constantes d’int\u00e9gration d\u00e9pendent du temps.<\/p>\n

3. Relation en ordres de grandeur.<\/b><\/p>\n

On\u00a0 obtient une relation entre les ordres de grandeur temporel \"\tau\"\u00a0(dur\u00e9e caract\u00e9ristique de diffusion) et spatial \"L\" (distance\u00a0caract\u00e9ristique de diffusion) en utilisant la relation<\/p>\n

\"\displaystyle{\frac{\partial X}{\partial Y}\simeq\frac{o.d.g.(X)}{o.d.g.(Y)}}\"<\/p>\n

4. Solutions fondamentales de l’\u00e9quation de diffusion sans terme de source.<\/b><\/p>\n

Aucune\u00a0 de ces solutions n’est \u00e0 conna\u00eetre par c\u0153ur. Il suffit de calculer les\u00a0d\u00e9riv\u00e9es partielles spatiales et temporelles de la solution propos\u00e9e,\u00a0d’injecter dans l’\u00e9quation et d’en d\u00e9duire \u00e0 quelle(s) condition(s) elle\u00a0est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/p>\n

5. Solution du type onde<\/a> thermique.<\/b><\/p>\n

On \u00e9crit en grandeurs complexes<\/p>\n

\"\underline{T}(z,t)=\underline{T}_0\exp\left(i(\omega t-\underline{k}z\right)\".<\/p>\n

On injecte dans l’\u00e9quation et on en d\u00e9duit l’\u00e9quation complexe v\u00e9rifi\u00e9e par \"\underline{k}\" (cette \u00e9quation sera appel\u00e9e\u00a0\u00e9quation de dispersion<\/b>\u00a0dans le chapitre sur les ondes).<\/p>\n

6. Solution du type onde stationnaire.\u00a0<\/b><\/p>\n

On\u00a0 cherche une solution du type \"T(z,t)=f(z)\cdot g(t)\". On injecte dans\u00a0l’\u00e9quation de diffusion, on s\u00e9pare les variables en \u00e9crivant l’\u00e9galit\u00e9\u00a0entre une fonction de \"z\" seul et d’une fonction de \"t\" seul. On en\u00a0d\u00e9duit que chaque terme est \u00e9gal \u00e0 une m\u00eame constante, et on obtient\u00a0deux \u00e9quations diff\u00e9rentielles, une temporelle, une spatiale.<\/p>\n

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