{"id":26869,"date":"2019-05-22T15:11:15","date_gmt":"2019-05-22T14:11:15","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26869"},"modified":"2023-09-14T11:35:12","modified_gmt":"2023-09-14T10:35:12","slug":"cours-en-ligne-series-numeriques-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-series-numeriques-maths-spe\/","title":{"rendered":"Cours et m\u00e9thodes sur les S\u00e9ries num\u00e9riques"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Les s\u00e9ries num\u00e9riques en Maths Sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours – s\u00e9ries num\u00e9riques en MP, PC, MPI, PSI et PT<\/h2>\n

Ce chapitre d\u00e9but\u00e9 en classe de maths sup est tr\u00e8s important pour les concours. Les notions travaill\u00e9es dans ce chapitre vous serviront dans de nombreux chapitres en classe de MP, MPI, PSI, PT et PC. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 faire appel \u00e0 nos cours de maths \u00e0 domicile<\/a> si vous souhaitez maitriser compl\u00e8tement ces notions et viser les meilleures \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs aux concours.<\/p>\n

1. Comment d\u00e9montrer qu’une s\u00e9rie \u00e0 termes positifs converge ?<\/h2>\n

M1. <\/b>Si \"\displaystyle S_n =\sum_{k=0}^{n} u_k\", montrer que la suite \"(S_n)_n\" des sommes partielles est major\u00e9e<\/p>\n

\"(i.e\; \exists\, M\in\mathds{R}, \;\forall n\in\mathds{N},\;\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k\leqslant M).\"<\/p>\n

M2.<\/b> Montrer qu’il existe une s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" positif ou nul convergente telle que<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M2.1.\u00a0<\/b>\"u_n\underset{n\rightarrow \infty}{\text{=}}O(v_n)\"
\nou \"u_n\underset{n\rightarrow \infty}{\text{=}}o(v_n)\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M2.2<\/b>. Montrer qu’il existe une suite \"(v_n)_{n\geqslant0}\" telle que pour \"n\" assez grand, \"0 \leqslant u_n \leqslant v_n\" et telle que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" converge.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M2.3.<\/b> Montrer que \"\quad \quad \displaystyle u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}} O\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)\" o\u00f9 \"\alpha > 1\".<\/p>\n

Pour cela, il suffit que \"\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n^{\alpha}u_n=A\" o\u00f9 \"A \geq 0\".<\/p>\n

Cette m\u00e9thode est souvent utilisable pour les s\u00e9ries de terme g\u00e9n\u00e9ral de la forme \"\textrm{e} ^{-\alpha (n)}\" (en prenant en g\u00e9n\u00e9ral \"\alpha = 2\"), mais attention \u00e0 ne pas passer \u00e0 c\u00f4t\u00e9 d’une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique dans le cas \"\textrm{e}^{-nz}=(\textrm{e}^{-z})^n\".<\/p>\n

M3.<\/b> Trouver une suite \"(v_n)_{n\geqslant0}\" \u00e0 termes positifs telle que \"u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}v_n\,\", la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" \u00e9tant convergente.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0\u00a0\u00a0M3.B.<\/b>\u00a0Montrer que \"\displaystyle u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\frac{A}{n^\alpha}\" o\u00f9 \"\alpha > 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>Appliquer la r\u00e8gle d’Alembert.<\/p>\n

Trouver \"N \in \mathds{N}\" tel que pour tout \"n\geqslant N\", \"u_n > 0\" et montrer que la suite \"\displaystyle\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)_{n\geqslant N}\" converge vers \"q\" v\u00e9rifiant \"q \in \left[\right. 0 , 1\left[\right.\"<\/p>\n

Astuce<\/i>\u00a0:\u00a0 Il sera plus simple d’utiliser la r\u00e8gle de d’Alembert si vous avez auparavant trouv\u00e9 un \u00e9quivalent<\/a> simple de \"u_n\" ne contenant que des produits ou quotients.<\/p>\n

M5. <\/b>Montrer que \"u_n = f(n)\" o\u00f9 \"f\" est une fonction continue sur \"[0 , \, +\infty[\" o\u00f9 \"n_0 \in \mathds{N}\", d\u00e9croissante, \u00e0 valeurs positives ou nulles, et montrer que la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle\int_{n_0}^{n} f (t )\textrm{d} t\" converge.<\/p>\n

M6. <\/b>Montrer que \"u_n = f(n)\" o\u00f9 \"f\" est une fonction continue sur \"[ a , \, + \infty[\" (o\u00f9 \"a \geqslant 0\"), d\u00e9croissante, \u00e0 valeurs positives ou nulles et int\u00e9grable sur \"[a , \, +\infty[\". (dans le chapitre int\u00e9gration sur un intervalle quelconque<\/a>).<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension
cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. Comment d\u00e9montrer qu’une s\u00e9rie \u00e0 termes positifs diverge ?<\/h2>\n

M1.<\/b>\u00a0Montrer que la suite \"(u_n)_n\" ne converge pas vers 0.<\/p>\n

M2.<\/b>\u00a0Montrer que la suite des sommes partielles \"(S_n)_n\" n’est pas major\u00e9e.<\/p>\n

M3.<\/b> Montrer qu’il existe une suite \"(v_n)_{n\geqslant 0}\" \u00e0 valeurs positives ou nulles telle que \"v_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}}O(u_n)\", la s\u00e9rie de terme\u00a0g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" \u00e9tant divergente.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M3.B.\u00a0<\/b>Montrer qu’il existe une suite \"(v_n)_{n \geqslant0}\" telle que pour \"n\" assez grand, \"0 \leqslant v_n \leqslant u_n\", la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" \u00e9tant divergente.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M3.T.\u00a0<\/b>Montrer que \"\displaystyle \frac{1}{n^\alpha}\underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}}O(u_n)\" o\u00f9 \"\alpha \leqslant 1\". Il suffit pour cela que \"\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}n^\alpha u_n=A\" o\u00f9 \"A > 0\" ou \"A = +\infty.\"<\/p>\n

M4. <\/b>Trouver une suite \"(v_n)_{n \geqslant 0}\" \u00e0 termes strictement positifs telle que \"u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}v_n\", la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" \u00e9tant divergente.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M4.B<\/b>\u00a0Montrer que \"u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\displaystyle\frac{A}{n^\alpha}\" o\u00f9 \"\alpha\leqslant1.\"<\/p>\n

M5. <\/b>\u00a0Appliquer la r\u00e8gle de d’Alembert\u00a0 trouver \"N \in \mathds{N}\" tel que pour tout \"n \geqslant N\", \"u_n > 0\" et montrer que la suite<\/p>\n

\"\displaystyle\left(\frac{u_{n+1}}{u_n} \right)_{n\geqslant N}\" admet une limite \"q\" strictement sup\u00e9rieure \u00e0 1 (la s\u00e9rie est alors grossi\u00e8rement divergente).<\/p>\n

M6.<\/b> Montrer que \"u_n = f(n)\" o\u00f9 \"f\" est une fonction continue sur \"[n_0 , +\infty[\" o\u00f9 \"n_0 \in \mathds{N}\", d\u00e9croissante, \u00e0 valeurs positives ou nulles, et montrer que la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle\int_{n_0}^{n}f (t ) \textrm{d} t\" diverge. (exemple de cas d’application: s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle\frac{1}{n\ln n}\").<\/p>\n

M7.<\/b>\u00a0 Montrer que \"u_n = f(n)\" o\u00f9 \"f\" est une fonction continue sur \"\left[\right.a , +\infty\left[\right.\" (o\u00f9 \"a \geqslant 0\"), d\u00e9croissante, \u00e0 valeurs positives ou nulles et non int\u00e9grable sur \"[a, \, +\infty[\". (dans le chapitre int\u00e9gration sur un intervalle quelconque).<\/p>\n

3. Comment d\u00e9montrer qu’une s\u00e9rie \u00e0 termes quelconques converge ?<\/h2>\n

M1. <\/b>Montrer qu’elle est absolument convergente c’est-\u00e0-dire appliquer \u00e0 la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"|u_n|\" l’un des crit\u00e8res du \"\S 1\" .<\/p>\n

M2. <\/b>Trouver une suite \"(a_n)_n\" convergente telle que \"u_n = a_{n + 1} - a_n\" et appliquer le crit\u00e8re de comparaison suite-s\u00e9rie.<\/p>\n

M3. <\/b>Effectuer le DL de \"u_n\" \u00e0 l’ordre deux en \"\displaystyle \frac{1}{n}\".<\/p>\n

Lorsque l’on obtient \"\quad \quad \displaystyle u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}}a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\", la s\u00e9rie est convergente si, et seulement si, \"a = b = 0\" (\u00e0 justifier).<\/p>\n

Lorsque l’on obtient \"\quad \quad \displaystyle u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\text{=}}a+\frac{b}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\", la s\u00e9rie est convergente si, et seulement si, \"a = b = 0\" (\u00e0 justifier).<\/p>\n

M4. <\/b>Montrer qu’elle v\u00e9rifie le th\u00e9or\u00e8me sp\u00e9cial des s\u00e9ries altern\u00e9es.<\/p>\n

Lorsque \"\forall n\in \mathds{N},\" \"u_n=(-1)^na_n\" ou \"\forall n\in \mathds{N},\" \"u_n=(-1)^{n+1}a_n\", avec \"a_n\geqslant0\", pour d\u00e9montrer que la suite \"(a_n)_n\" est d\u00e9croissante, il suffit de trouver une fonction \"f\" telle que \"f(n)=a_n\" et de prouver que la fonction \"f\" est d\u00e9croissante sur \"\mathds{R}^+\" ou sur \"\left[\right.\alpha,+\infty\left[\right.\" pour \"\alpha>0.\"<\/p>\n

M5. <\/b>Lorsque \"u_n\" est \u00e9quivalent au terme g\u00e9n\u00e9ral \"(- 1)^n a_n\" d’une s\u00e9rie altern\u00e9e convergente, \u00e9crire
\n\"u_n = (-1)^n a_n + b_n\,\",<\/p>\n

Trouver la valeur de \"b_n\" ou un \u00e9quivalent simple de \"b_n\" qui permette de dire si la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"b_n\" converge ou diverge.<\/p>\n

L’\u00e9quivalence \"u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}(- 1)^n a_n\" et la convergence de \"\sum (- 1)^na_n\" n’impliquent pas la convergence de \"\sum u_n\".<\/p>\n

Exemple<\/i> : \"u_n=\displaystyle\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^a}\" v\u00e9rifie \"u_n\displaystyle\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\" .<\/p>\n

\"\sum u_n\" converge si \"a=2\" et diverge si \"a=1\".<\/p>\n

M6. <\/b>Utiliser un\u00a0groupement par paquets .<\/i><\/p>\n

On suppose que la suite \"(u_n)_n\" converge vers 0.<\/p>\n

\"\ast\" Montrer que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n = u_{2n} + u_{2n + 1}\" converge.<\/p>\n

Montrer enfin que les suites \"(S_{2n})_{n\geqslant0}\" et\u00a0\"(S_{2n + 1})_{n \geqslant 0}\" convergent vers la m\u00eame limite \"S\".
\n(\"S_{2n + 1}\" est la somme partielle d’ordre \"n\" de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\").<\/p>\n

\"\ast\" Montrer que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n = u_{3n} + u_{3n + 1} + u_{3n + 2}\" converge.<\/p>\n

Montrer enfin que les suites \"(S_{3n})_{n\geqslant 0}\" , \"(S_{3n + 1})_{n\geqslant 0}\" et \"(S_{3n + 2})_{n\geqslant 0}\" convergent vers la m\u00eame limite \"S\".<\/p>\n

(\"S_{3n + 2}\" est la somme partielle d’ordre \"n\" de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\").<\/p>\n

Alors la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" converge.<\/p>\n

M7. <\/b>Pour une s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n =\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} f (x)\sin(x) \textrm {d} x\", apr\u00e8s s’\u00eatre assur\u00e9 que la s\u00e9rie n’est pas absolument convergente ou que l’int\u00e9grale<\/a> n’est pas facilement calculable, on peut chercher \u00e0 d\u00e9montrer qu’elle v\u00e9rifie le th\u00e9or\u00e8me sp\u00e9cial des s\u00e9ries altern\u00e9es :<\/p>\n

Ce qui sera vrai si \"f\" est continue sur \"\left[\right.0 , +\infty\left[\right.\", d\u00e9croissante et de limite nulle en \"\infty\", le changement de variable<\/a><\/p>\n

\"t = x - n \pi\" permet d’obtenir la forme<\/p>\n

\"u_n =(-1)^n\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t+n\pi)\sin(t)\,\textrm {d}t\"<\/p>\n

Pour optimiser vos r\u00e9visions et vous aider \u00e0 r\u00e9diger vos fiches de r\u00e9vision, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 vous rendre sur les cours en ligne mis \u00e0 disposition des \u00e9tudiants en Maths Sp\u00e9. Vous pourrez ainsi acc\u00e9der aux cours en ligne de MP en maths<\/a>, \u00e0 diff\u00e9rents cours en ligne de PC en Maths<\/a>, aux cours en ligne de PT en Maths<\/a>, mais \u00e9galement \u00e0 des cours en ligne de Maths en PSI<\/a>.<\/p>\n

4 – Comment d\u00e9montrer la divergence d’une s\u00e9rie \u00e0 termes quelconques ?<\/h2>\n

Remarque\u00a0<\/i>: si \"u_n\" garde un signe constant pour \"n\" assez grand, on peut utiliser le paragraphe II- en raisonnant avec \"u_n\" ou avec \"- u_n\".<\/p>\n

M1.<\/b>\u00a0Si la suite \"u_n\" ne converge pas vers 0, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" diverge grossi\u00e8rement.<\/p>\n

M2.<\/b>\u00a0 Si pour tout \"n\", \"u_n \neq 0\" et si la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\" admet une limite \"q>1\", la s\u00e9rie \"\sum u_n\" diverge grossi\u00e8rement.<\/p>\n

M3. <\/b>Si \"u_n = a_{n + 1} - a_n\" o\u00f9 la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n\" diverge, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" diverge.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

5. Comment calculer la somme d’une s\u00e9rie num\u00e9rique ?<\/h2>\n

M1. Calcul par t\u00e9lescopage :<\/b><\/p>\n

\"\ast\" Si l’on peut \u00e9crire<\/p>\n

\"\quad \quad u_n =\varphi(n) - \varphi(n + 1)\",
\n\"\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k=\varphi(0)-\varphi(n+1),\" il suffit de conna\u00eetre \"\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\varphi(n)\" pour calculer la somme de la s\u00e9rie.<\/p>\n

\"\ast\" Si l’on peut \u00e9crire \"\quad \quad u_n =\varphi(n) - \varphi(n + 2)\",<\/p>\n

\"\displaystyle S_n= \sum _{k = 0} ^n u_k\" est \u00e9gal \u00e0 \"\varphi(0)+\varphi(1)-\varphi(n+1)-\varphi(n+2)\",<\/p>\n

il suffit de conna\u00eetre \"\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\varphi(n)\" ou \"\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}(\varphi(n)+\varphi(n+1))\" pour trouver la somme de la s\u00e9rie.<\/p>\n

M2.<\/b> Pour calculer la somme d’une s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n = \displaystyle\frac{P(n)}{Q(n)}\" o\u00f9 \"P\" est une fonction polyn\u00f4me et o\u00f9\u00a0\"Q(n)= \displaystyle\prod_{i=1}^n(n-x_i)\" avec \"x_1\, \cdots \, , x_p\,\" deux \u00e0 deux distincts.<\/p>\n

Lorsque la s\u00e9rie converge,
\n\"\ast\" chercher des scalaires \"a_1\, ,\,\cdots \, , \, a_p\" tels que \"\displaystyle\frac{P(n)}{Q(n)}={\displaystyle\sum_{i=1}^{p}}\frac{a_i}{n-x_i}\"
\n(cette d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples est obtenue par expand avec une TI formelle ou par utilisation du cours de MPSI<\/a>).<\/p>\n

\"\ast\" puis regarder s’il est possible par groupements de termes d’obtenir \"u_n\" de la forme<\/p>\n

\"\varphi(n) - \varphi(n + 1)\" ou \"\varphi(n) - \varphi(n + 2).\"<\/p>\n

\"\ast\" Lorsque \"S_n\" s’exprime en fonction de<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+1}\" ou m\u00eame de \"\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\",<\/p>\n

on exprime ces sommes en fonction<\/a> de la suite \"(a_n)_{n \geqslant 1}\" telle que<\/p>\n

\"a_n =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln(n)\" et on utilise la convergence de \"(a_n)_{n}\" vers la constante d’Euler \"\gamma\".<\/p>\n

M3.<\/b>\u00a0Pour une s\u00e9rie dont le terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" s’\u00e9crit \"u_n = \displaystyle\frac{P(n)}{n!}\", o\u00f9 \"P\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"p\",
\nd\u00e9composer \"P\" dans la base de polyn\u00f4mes \u00e9tag\u00e9s \"(1,\; \textrm X,\; \textrm X(\textrm X - 1),\, ... ,\"<\/p>\n

\"\textrm X(\textrm X - 1) ... (\textrm X - p + 1))\" et simplifier, pour \"n \geqslant i\",<\/p>\n

\"\displaystyle \frac{n(n-1)...(n-i+1)}{n!}=\frac{1}{(n-i)!}\"<\/p>\n

M4. <\/b>Utiliser les s\u00e9ries connues :<\/p>\n

\"\ast\" \u00a0Si \"|x|<1\", \"\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}\"<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\"<\/p>\n

\"\ast\" \u00a0si \"x\in\mathds{C},\" \"\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x\";<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln(2).\"<\/p>\n

M5.A. <\/b>Pour une s\u00e9rie dont le terme g\u00e9n\u00e9ral est de la forme<\/p>\n

\"u_n =(- 1)^n \displaystyle\int_{0}^{1} x^n f ( x) \,\textrm{d} x\",<\/p>\n

calculer la somme partielle \"S_n\"<\/p>\n

\"\displaystyle S_n=\int_{0}^{1}\left(f(x)\sum_{k=0}^{n}(-x)^k \right)\textrm {d} x\"<\/p>\n

\"\displaystyle S_n =\int_{0}^{1}f(x)\frac{1-(-x)^{n+1}}{1-(-x)}\textrm{d}x\"<\/p>\n

\"\displaystyle S_n =\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{1+x}\textrm{d} x-I_n\"
\navec \"I_n=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\frac{(-x)^{n+1}}{1+x}\textrm{d}x\"
\net d\u00e9montrer que \"(I_n)_{n\geqslant 0}\" converge vers 0 en utilisant \"|I_n|\leqslant \displaystyle\int_{0}^{1}Mx^{n+1}\,dx\" si pour tout \"x\in[0,1]\", \"|f(x)|\leqslant M\".<\/p>\n

M5.B. <\/b>Pour une s\u00e9rie dont le terme g\u00e9n\u00e9ral est de la forme<\/p>\n

\"u_n =\displaystyle\int_{0}^{1} x^n f ( x) \textrm{d} x\",<\/p>\n

\"\ast\" montrer que la fonction \"x\mapsto \displaystyle\frac{f(x)}{1-x}\" est continue sur \"[0,1]\",<\/p>\n

\"\ast\" \u00e9crire la somme partielle \"S_n\" d’ordre \"n\" sous la forme :<\/p>\n

\"\displaystyle S_n=\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{1-x}\textrm{d}x-I_n\"
\no\u00f9 \"\displaystyle I_n=\int_{0}^{1}f(x)\frac{x^{n+1}}{1-x}\textrm{d}x\"<\/p>\n

\"\ast\" et d\u00e9montrer que \"(I_n)_{n\geqslant0}\" converge vers 0 en utilisant \"|I_n|\leqslant \displaystyle\int_{0}^{1}M x^{n+1}\textrm{d}x\" si pour tout \"x\in[0,1]\", \"\displaystyle\left|\frac{f(x)}{1-x}\right|\leqslant M.\"<\/p>\n

M6.<\/b>\u00a0 Pour une s\u00e9rie dont le terme g\u00e9n\u00e9ral est de la forme \"I_n =\int_{[a,b]}u_n\", on pourra aussi<\/p>\n

\"\ast\" chercher \u00e0 d\u00e9montrer que la s\u00e9rie de fonctions de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"[a ,\, b]\", pour pouvoir intervertir la somme de la s\u00e9rie et l’int\u00e9grale (chapitre suites et s\u00e9ries de fonctions en MP, PSI, MPI, PC et PT<\/a>)<\/p>\n

\"\ast\" ou chercher \u00e0 appliquer le th\u00e9or\u00e8me d’interversion du signe somme et de l’int\u00e9grale (chapitre int\u00e9gration sur un intervalle quelconque).<\/p>\n

M7.\u00a0<\/b> Reconna\u00eetre un produit de Cauchy.<\/p>\n

Pour cela, il suffit de trouver deux s\u00e9ries absolument convergentes \"\sum b_n\" et \"\sum c_n\" et de v\u00e9rifier que \"a_n =\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_k\; c_{n-k}\".<\/p>\n

Par th\u00e9or\u00e8me, \"\sum a_n\" converge absolument et<\/p>\n

\"\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n=\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_n \right)\left(\sum_{k=0}^{\infty} c_n\right)\".👍\u00a0Conseil :\u00a0<\/i>rappelez la formule du produit de Cauchy, pr\u00e9cisez les deux suites \"(b_n\") et \"(c_n)\" et faites bien attention \u00e0 la plage de sommation<\/a>.<\/p>\n

En particulier si \"a_n =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k\; c_{n-k}\", on peut se ramener \u00e0 un produit de Cauchy en posant \"b_0 = 0\".<\/p>\n

Prenez de l’avance sur les cours dispens\u00e9s en pr\u00e9pa en r\u00e9visant maintenant les chapitres \u00e0 venir dans le programme de maths en Maths Sp\u00e9 :<\/p>\n